初中数学相似三角形专项练习题：与旋转变换综合训练题(附答案)
2025届中考数学复习专项(相似三角形-手拉手旋转型综合应用)练习(附答案)
2025届中考数学复习专项（相似三角形-手拉手旋转型综合应用）练习1．如图（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出ΔOB1C1；（2）点B的对应点B1的坐标是，点C的对应点C1的坐标是．2．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC，AC的中点，连接DE．（1）求：的值；（2）将△CDE绕点C逆时针方向旋转一定的角度，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．4．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．5．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．6．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：（1）△ABC∽△ADE（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE为多少7．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△ ≌△ ；②△ ∽△ ．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．8．如图，点B在线段CD上，在CD的同一侧作两个等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB ＝∠BED＝90°，AD与CE，BE分别交于点P，M，连接PB．（1）若AD＝k•CE，则k的值是；（2）求证：△BMP∽△DME；（3）若BC＝，P A＝3，求PM的长．9．如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB 上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．。
(1503)相似三角形性质专项练习30题(有答案)
相似三角形性质专项练习30题（有答案）1．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．2．如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：=．4．如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．5．如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′，∠C=∠C′，求证：=．6．已知，如图，△AOB∽△DOC，BD⊥AC，∠AOB是直角．求证：AD2+BC2=AB2+CD2．7．已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．8．如图，△ABC与△ADB相似，AD=4，CD=6，求这两个三角形的相似比．9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．10．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q 从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？11．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE△∽△DEF，AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．14．如图，△ABC∽△DAB，AB=8，BC=12，求AD的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？16．如图，△ABC∽△FED，若∠A=50°，∠C=30°，求∠E的度数．17．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件你能求出边AB的长吗？请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．20．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm（1）已知他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．（2）已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．21．如图，已知△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，（1）求∠B和∠D的度数；（2）求AE和DE的长．22．一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．23．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为多少？24．如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD与△PCE相似时，求BP的值．25．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，求证：．26．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=4cm，求EF 和AC的长．27．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．（1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长；（2）设△APQ的面积为S，①求△APQ的面积S与t的关系式；②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？29．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？30．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．相似三角形专项练习30题参考答案:1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=9，∴BE===，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．2．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：AB=3；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：CD=；（3）∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴=，同理可得=，∴=．4．解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．5．证明：∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴=，同理可求△ABE∽△A′B′E′，∴=，∴=．6．解：∵BD⊥AC，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，∴在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2=CE2+DE2，∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．7．解：分三种情况：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=1，BC=，AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣（﹣1）=2﹣；③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=．综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．8．解：∵△ABC与△ADB相似，∴△ABC∽△ADB，∴=，∴AB2=AC•AD=10×4=40，∴△ABC与△ADB的相似比为==．9．解：设BF=x，则CF=4﹣x，由翻折的性质得B′F=BF=x，当△B′FC∽△ABC，∴=，即=，解得x=， 即BF=．当△FB ′C ∽△ABC ， ∴AB FB /'=ACFC 即，解得：x=2．∴BF 的长度为：2或．10．解：设运动了ts ，根据题意得：AP=2tcm ，CQ=3tcm ，则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t （cm ），当△APQ ∽△ABC 时，， 即， 解得：t=；当△APQ ∽△ACB 时，， 即，解得：t=4； 故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是：s 或4s11．解：∵△AOB ∽△EOD ， ∴DE ：AB=OA ：OE ，∵DE=AB ，AB=9，AO=6，∴DE=×9=6，OE=OA=4，∴AE=OA+OE=6+4=10．12．解：（1）∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP ∽△PDB ，∴∠APC=∠B ，∵∠A=∠A ，∴∠ACP ∽∠APB ，∴∠APB=∠ACP=120°；（2）∵△ACP ∽△PDB ，∴AC ：PD=PC ：BD ，∴PD•PC=AC•BD，∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD，∴CD2=AC•BD．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=8，∴BE===10，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．14．解：∵△ABC∽△DAB，∴，∵AB=8，BC=12，∴，∴AD=．15．解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．16．解：∵△ABC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°，∵△ABC∽△FED，∴∠E=∠B=100°．17．解：∵△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，∴．又AD=3，AE=6，CE=3，∴AB==18．18．解：设经过t秒两三角形相似，则AP=AB﹣BP=8﹣2t，AQ=4t，①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=2，②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=，综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似19．解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或20．解：（1）∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的周长比为：5：2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm，2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm（2）∵这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的面积比为：25：4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2∴（25﹣4）x=588，∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2，4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm221．解：（1）∵△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，∴∠B=∠A=117°，∠C=∠D=37°；（2）∵△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，∴设AE=x，DE=y，则BE=12﹣x，CE=18﹣y，∴==，即==，解得x=8，y=6，∴AE=8，DE=622．解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有；②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有．③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，∴一共有两种截法．23．解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；（2）若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为和；（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和．24．解：设BP=x，∵等边△ABC的边长为8，∴CP=8﹣x，∵E为AC中点，∴CE=AC=×8=4，①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，∴=，即=，整理得，x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，即BP的长为2或6，②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，∴=，即=，解得x=，即BP=，综上所述，BP的值是2或6或．25．证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴===K．又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，∴==．∴，∵∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′．∴．26．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴，∴，同理，∴．答：EF的长是cm，AC的长是cm．27．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）28．解：（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6﹣t；（2分）（2）设△APQ的面积为S，①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQ•AP=×2t×（6﹣t）=6t﹣t2，即S=6t﹣t2，②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×（6﹣2）]=8（cm2）；（6分）（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当=时=，∴t=2.4（s）；②当=时=，∴t=（s）；综上所述，当t为2.4秒或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．29．解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，∴设AC=3xcm，AB=5xcm，则BC==4x（cm），即4x=8，解得：x=2，∴AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则BP=2tcm，CP=BC﹣BP=8﹣2t（cm），CQ=tcm，∵∠C是公共角，∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当，即时，△CPQ∽△CAB，解得：t=，∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．30．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案在初中数学中，相似三角形是一个很重要的概念。
相似三角形具有相同的形状，但是尺寸不同。
理解相似三角形的性质对于解决几何问题和计算三角形的边长和角度非常有帮助。
下面是一些相似三角形的练习题，帮助你巩固对该概念的理解，并附有答案供参考。
练习题一：已知△ABC和△DEF相似，且AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 12cm。
若DE = 9cm，求DF和EF的长度。
练习题二：△ABC和△PQR中，∠B = ∠Q，AB = 5cm，BC = 8cm，PQ = 6cm，若AC = 10cm，求PR的长度。
练习题三：已知△ABC和△DEF相似，DE = 4.5cm，EF = 6cm，BC = 12cm，若AC = 8cm，求△ABC和△DEF的周长比。
练习题四：在△ABC中，∠B = 90°，AB = 9cm，BC = 12cm。
点D是BC的中点，于BC上作DE ⊥ BC，DE = 3cm。
求△ADE和△ABC的周长比。
练习题五：已知△ABC和△DEF相似，AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 15cm，EF = 6cm，若△DEF的面积为18平方厘米，求△ABC的面积。
答案及解析如下：练习题一：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设DF = x，EF = y。
根据题意可写出比例：AB/DE = AC/EF = BC/DF代入已知值，得到：6/9 = 8/y = 12/x解得：x = 16cm，y = 12cm因此，DF = 16cm，EF = 12cm。
练习题二：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设PR = x。
根据题意可写出比例：AB/PQ = AC/PR = BC/QR代入已知值，得到：5/6 = 10/x = 8/(6 + x)解得：x = 15cm因此，PR = 15cm。
练习题三：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典演习题类似三角形【1 】一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2）的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F．在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实．7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=_________°,BC=_________;（2）断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问：（1）经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似？若消失,求t的值;若不消失,请解释来由．9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;（留意：全等算作类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形,并给出证实．10．如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证实;（2）图中有无类似三角形？如有,请写出一对;若没有,请解释来由;（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）;（3）M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释：△ADM∽△MCP．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S;（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P.Q两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分？若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC上活动的两点．若P自点A动身,以1cm/s 的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似？15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B 开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM 与△MAN类似？若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似？19．如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上肯定点P的地位,使得以P,A,D 为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形类似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．21．如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动．假如P.Q同时动身,用t（秒）暗示移动的时光,那么当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．22．如图,路灯（P点）距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA地点的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了照样变短了？变长或变短了若干米？23．阳光亮媚的一天,数学兴致小组的同窗们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不轻易到达）,他们带了以下测量对象：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜．请你在他们供给的测量对象中选出所需对象,设计一种测量计划．（1）所需的测量对象是：_________;（2）请鄙人图中画出测量示意图;（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．问题布景在某次活动课中,甲.乙.丙三个进修小组于统一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们经由过程测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根竖立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2,测得黉舍旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细疏忽不计）的高度为200cm,影长为156cm．义务请求：（1）请依据甲.乙两组得到的信息盘算出黉舍旗杆的高度;（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请依据甲.丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径．（友谊提醒：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;须要时可采取等式1562+2082=2602）25．阳光经由过程窗口照耀到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC．26．如图,李华晚上在路灯下漫步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的程度距离OA=a,求他影子AC的长;（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请解释来由;（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的偏向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①,分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分离用S1,S2,S3暗示,则不难证实S1=S2+S3．（1）如图②,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;（不必证实）（2）如图③,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,请你肯定S1,S2,S3之间的关系并加以证实;（3）若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与（2）雷同的关系,所作三角形应知足什么前提证实你的结论;（4）类比（1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4．（1）求BD.CD的长;（2）过B作BE⊥DC于E,求BE的长．30．（1）已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;（2）已知：两类似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．考点：类似三角形的剖断;平行线的性质.菁优网版权所有专题：证实题.剖析：依据平行线的性质可知∠AED=∠C,∠A=∠FEC,依据类似三角形的剖断定理可知△ADE∽△EFC．解答：证实：∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考核的是平行线的性质及类似三角形的剖断定理．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．考点：类似三角形的剖断;三角形中位线定理;梯形.菁优网版权所有专题：几何分解题.剖析：（1）应用平行线的性质可证实△CDF∽△BGF．（2）依据点F是BC的中点这一已知前提,可得△CDF≌△BGF,则CD=BG,只请求出BG的长即可解题．解答：（1）证实：∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,（6分）∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm．（8分）点评：本题重要考核了类似三角形的剖断定理及性质,全等三角形的剖断及线段的等量代换,比较庞杂．3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．考点：类似三角形的剖断.菁优网版权所有专题：证实题.剖析：由FD∥AB,FE∥AC,可知∠B=∠FDE,∠C=∠FED,依据三角形类似的剖断定理可知：△ABC∽△FDE．解答：证实：∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE．点评：本题很简略,考核的是类似三角形的剖断定理：（1）假如两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似;（2）假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形类似;（3）假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形类似．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释：△ABF∽△EAD．考点：类似三角形的剖断;矩形的性质.菁优网版权所有专题：证实题.剖析：依据两角对应相等的两个三角形类似可解．解答：证实：∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考核类似三角形的剖断定理,症结是找准对应的角．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2）的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．考点：类似三角形的剖断;全等三角形的剖断;等腰三角形的剖断;扭转的性质.菁优网版权所有专题：几何分解题.剖析：（1）因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAE=∠CAD,又因为AB=AC,AD=AE,应用SAS可证出△BAE≌△CAD,可知BE.CD是对应边,依据全等三角形对应边上的中线相等,可证△AMN是等腰三角形．（2）应用（1）中的证实办法仍然可以得出（1）中的结论,思绪不变．（3）先证出△ABM≌△ACN（SAS）,可得出∠CAN=∠BAM,所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等）,又∵∠BAC=∠DAE,所以∠MAN=∠DAE=∠BAC,所以△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形,所以∠PBD=∠AMN,所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等,两三角形类似）．6．如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F．在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实．考点：类似三角形的剖断;平行四边形的性质.菁优网版权所有专题：凋谢型.剖析：依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形类似这一剖断定理可证实图中类似三角形有：△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF．解答：解：类似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）点评：考核了平行线的性质及类似三角形的剖断定理．7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=135°°,BC=;（2）断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论．考点：类似三角形的剖断;正方形的性质.菁优网版权所有专题：证实题;网格型.剖析：（1）不雅察可得：BF=FC=2,故∠FBC=45°;则∠ABC=135°,BC==2;（2）不雅察可得：BC.EC的长为2.,可得,再依据其夹角相等;故△ABC∽△DEC．解答：解：（1）∠ABC=135°,BC=;（2）类似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC．点评：解答本题要充分应用正方形的特别性质．留意在正方形中的特别三角形的应用,搞清晰矩形.菱形.正方形中的三角形的三边关系,可有助于进步解题速度和精确率．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问：（1）经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似？若消失,求t的值;若不消失,请解释来由．考点：类似三角形的剖断;一元二次方程的应用;分式方程的应用;正方形的性质.菁优网版权所有专题：动点型.剖析：（1）关于动点问题,可设时光为x,依据速度暗示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可,如本题中应用,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系;（2）先假设类似,应用类似中的比例线段列出方程,有解的且相符题意的t值即可解释消失,反之则不消失．解答：解：（1）设经由x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有：（6﹣2x）x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,（2分）解方程,得x1=1,x2=2,（3分）经磨练,可知x1=1,x2=2相符题意,所以经由1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经由t秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,是以有或（5分）即①,或②（6分）解①,得t=;解②,得t=（7分）经磨练,t=或t=都相符题意,所以动点M,N同时动身后,经由秒或秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似．（8分）点评：重要考核了类似三角形的剖断,正方形的性质和一元二次方程的应用以及解分式方程．要控制正方形和类似三角形的性质,才会灵巧的应用．留意：一般关于动点问题,可设时光为x,依据速度暗示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可．9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;（留意：全等算作类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形,并给出证实．考点：类似三角形的剖断;概率公式.菁优网版权所有专题：凋谢型.剖析：（1）采取列举法,列举出所有可能消失的情形,再找出类似三角形即可求得;①与③,②与④类似;（2）应用类似三角形的剖断定理即可证得．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情形如下六种情形：①②,①③,①④,②③,②④,③④（2分）个中有两组（①③,②④）是类似的．∴拔取到的二个三角形是类似三角形的概率是P=（4分）证实：（2）选择①.③证实．在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD（8分）选择②.④证实．∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考核概率的求法：假如一个事宜有n种可能,并且这些事宜的可能性雷同,个中事宜A消失m种成果,那么事宜A的概率P（A）=,即类似三角形的证实．还考核了类似三角形的剖断．10．附加题：如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证实;（2）图中有无类似三角形？如有,请写出一对;若没有,请解释来由;（3）求△BEC与△BEA的面积之比．考点：类似三角形的剖断;三角形的面积;含30度角的直角三角形.菁优网版权所有专题：分解题.剖析：（1）依据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半,可知CD=2ED,则可写出相等的线段;（2）两角对应相等的两个三角形类似则可断定△ADE∽△AEC;（3）请求△BEC与△BEA的面积之比,从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边,若求得高之比可知面积之比,由此需作△BEA的边BE边上的高即可求解．解答：解：（1）AD=DE,AE=CE．∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形类似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;（3）作AF⊥BD的延伸线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题重要考核了直角三角形的性质,类似三角形的剖断及三角形面积的求法等,规模较广．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）;（3）M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论．考点：类似三角形的剖断;菱形的剖断.菁优网版权所有专题：分解题.剖析：（1）依据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等,从而不难求得其周长;（2）因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB,所以△PMC∽△QMB∽△ABC;（3）依据中位线的性质及菱形的剖断不难求得四边形AQMP为菱形．解答：解：（1）∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB．∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM,PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;（3）当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形．点评：此题重要考核了平行四边形的剖断和性质,中位线的性质,菱形的剖断等常识点的分解应用．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释：△ADM∽△MCP．考点：类似三角形的剖断;正方形的性质.菁优网版权所有专题：证实题.剖析：欲证△ADM∽△MCP,经由过程不雅察发明两个三角形已经具备一组角对应相等,即∠D=∠C,此时,再求夹此对应角的双方对应成比例即可．解答：证实：∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD．∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM．点评：本题考核类似三角形的剖断．辨认两三角形类似,除了要控制界说外,还要留意精确找出两三角形的对应边.对应角,可应用数形联合思惟依据图形供给的数据盘算对应角的度数.对应边的比．本题中把若干线段的长度用统一线段来暗示是求线段是否成比例时经常应用的办法．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S;（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P.Q两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分？若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由．考点：类似三角形的剖断;三角形三边关系;等腰三角形的剖断;勾股定理;直角梯形.菁优网版权所有专题：动点型;凋谢型.剖析：（1）求面积要先求梯形的高,可依据两底的差和CD的长,在直角三角形顶用勾股定理进行求解,得出高后即可求出梯形的面积．（2）①PQ等分梯形的周长,那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP,已知了AD,BC的长,可以用t来暗示出AP,BP,CQ,QD的长,那么可依据上面的等量关系求出t的值．②本题要分三种情形进行评论辩论：一,当P在AB上时,即0＜t≤8,假如两三角形类似,那么∠C=∠ADP,或∠C=∠APD,那么在△ADP中依据∠C的正切值,求出t的值．二,当P在AD上时,即8＜t≤10,因为P,A,D在一条直线上,是以构不成三角形．三,当P在CD上时,即10＜t≤12,因为∠ADC是个钝角,是以△ADP是个钝角三角形是以不成能和直角△CQE类似．分解三种情形即可得出相符前提的t的值．（3）和（2）雷同也要分三种情形进行评论辩论：一,当P在AB上时,即0＜t≤8,等腰△PDQ以DQ为腰,是以DQ=DP或DQ=PQ,可以经由过程构建直角三角形来暗示出DP,PQ的长,然后依据得出的等量关系来求t的值．二,当P在AD上时,即8＜t≤10,因为BA+AD=CD=10,是以DP=DQ=10﹣t,是以DP,DQ恒相等．三,当P在CD上时,即10＜t≤12,情形同二．分解三种情形可得出等腰三角形以DQ为腰时,t的取值．点评：本题重要考核了梯形的性质以及类似三角形的剖断和性质等常识点,要留意（2）中要依据P,Q的不合地位,进行分类评论辩论,不要漏解．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC上活动的两点．若P自点A动身,以1cm/s 的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似？考点：类似三角形的剖断;矩形的性质.菁优网版权所有专题：几何动点问题;分类评论辩论.剖析：要使以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似,则要分两两种情形进行剖析．分离是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC,从而解得所需的时光．解答：解：设经x秒后,△PBQ∽△BCD,因为∠PBQ=∠BCD=90°,（1）当∠1=∠2时,有：,即;（2）当∠1=∠3时,有：,即,∴经由秒或2秒,△PBQ∽△BCD．点评：此题考核了类似三角形的剖断及矩形的性质等常识点的分解应用．15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B 开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似．考点：类似三角形的剖断;一元一次方程的应用.菁优网版权所有专题：动点型.剖析：设经由t秒后,△PBQ与△ABC类似,依据旅程公式可得AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,然后应用类似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．解答：解：设经由秒后t秒后,△PBQ与△ABC类似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP：AB=BQ：BC,即（10﹣2t）：10=4t：20,解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时,有BQ：AB=BP：BC,即4t：10=（10﹣2t）：20,解得t=1．所以,经由2.5s或1s时,△PBQ与△ABC类似（10分）．解法二：设ts后,△PBQ与△ABC类似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情形：（1）当BP与AB对应时,有=,即=（2）当BP与BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经由1s或2.5s时,以P.B.Q三点为极点的三角形与△ABC类似．点评：本题分解了旅程问题和三角形的问题,所以学生日常平凡学过的常识要会融会起来．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似．考点：类似三角形的剖断.菁优网版权所有专题：分类评论辩论.剖析：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形类似．在Rt△ABC和Rt△ACD,直角边的对应需分情形评论辩论．解答：解：∵AC=,AD=2,∴CD==．要使这两个直角三角形类似,有两种情形：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有=,∴AB==3;（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有=,∴AB==3．故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形类似．点评：本题考核类似三角形的剖断．辨认两三角形类似,除了要控制界说外,还要留意精确找出两三角形的对应边.对应角,可应用数形联合思惟依据图形供给的数据盘算对应角的度数.对应边的比．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM 与△MAN类似？若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由．考点：类似三角形的剖断;正方形的性质.菁优网版权所有专题：探讨型;分类评论辩论.剖析：两个三角形都是直角三角形,还只需知足一对角对应相等或夹直角的双方对应成比例即可解释两个三角形类似．若DM与AM对应,则△CDM与△MAN全等,N与B重合,不合题意;若DM与AN对应,则CD：AM=DM：AN,得AN=a,从而肯定N的地位．解答：证实：分两种情形评论辩论：①若△CDM∽△MAN,则=．∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a．②若△CDM∽△NAM,则．∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意．所以,能在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM与△MAN类似．当AN=a时,N点的地位知足前提．点评：此题考核类似三角形的剖断．因不明白对应关系,所以需分类评论辩论．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似？考点：类似三角形的剖断.菁优网版权所有专题：分解题;动点型.。
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。
初中数学《相似三角形》压轴30题含解析
相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为 12n +1 ．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是 2或23 ．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是 34 ．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。
专题训练——相似三角形几何模型中的旋转相似(含解析)
相似三角形几何模型--旋转相似//,DE BC ∆旋转相似模型：已知：如图一，现将ADE 绕点A 旋转一定角度得到如图二得到//ADE AD E ABC ABD ACE ''∆∆∆∆∆和图一 图二 一、单选题1．如图，△ABC中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC D 、E 分别在边AC 、BC 上，CD ＝1，DE ∥AB ，将△CDE绕点C 旋转，旋转后点D 、E 对应的点分别为D ′、E ′，当点E ′落在线段AD ′上时，连接BE ′，此时BE ′的长为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，把ABC 绕点A 旋转得到ADE ，当点D 刚好落在BC 上时，连接CE ，设AC 、DE 相交于点F ，则图中相似三角形的对数是（）．A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对二、填空题 3．已知正方形DEFG 的顶点F 在正方形ABCD 的一边AD 的延长线上，连结AG ，CE 交于点H ，若3AB =，DE =则CH 的长为________.4．如图，正方形ABCD 的边长为8，线段CE 绕着点C 逆时针方向旋转，且3CE =，连接BE ，以BE 为边作正方形BEFG ，M 为AB 边的中点，当线段FM 的长最小时，tan ECB ∠=______．三、解答题5．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC=，点D，E 分别为AC ，BC 的中点．CDE △绕点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0360α︒≤≤︒，记直线AD 与直线BE 的交点为点P ．（1）如图1，当0α=︒时，AD 与BE 的数量关系为_________，AD 与BE 的位置关系为_______；（2）当0360α<≤︒︒时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）CDE △绕点C 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P 点运动轨迹的长度和P 点到直线BC 距离的最大值．6．如图1，点O 为正方形ABCD 的中心，E 为AB 边上一点，F 为BC 边上一点，△EBF 的周长等于BC 的长. （1）求∠EOF 的度数.（2）连接OA 、OC （如图2）.求证：△AOE ∽△CFO .（3）若OF ，求AE CF的值.7．如图，已知点E 在ABC 内，ABC EBD α∠=∠=，60ACB EDB ∠=∠=︒，150AEB ∠=︒，90BEC ∠=︒．（1）当60α=︒时，求证：BD =；（2）当90α=︒时，求BDAE的值．8．如图1，Rt ABC △中，90C ∠=︒，34AC AB =，点E 、F 、D 分别在三条边上，EF AB ∥，ED AC ． （1）如图2，将FCE △绕点C 逆时针旋转，点P 、G 分别为EF 、AB 的中点，若9AF =，求PG 的长；（2）如图3，将DEB 绕点B 顺时针旋转，点H 、G 为AB 、DB 的中点，直接写出GHCE的值．9．已知ABC 中90,ABC =∠点D E 、分别在边BC 、边AC 上，连接,,DE DF DE ⊥点F 、点C 在直线DE 同侧，连接,FC 且AB DEk BC DF==． （1）点D 与点B 重合时，①如图1，1k =时，AE 和FC 的数量关系是；位置关系是；②如图2，2k =时，猜想AE 和FC 的关系，并说明理由； （2）2BD CD =时，③如图3，1k =时，若26,CDF AE S ==,求FC 的长度；④如图4，2k =时，点M N 、分别为EF 和AC 的中点，若10AB =，直接写出MN 的最小值．10．在Rt ABC 和Rt DEF △中，30ABC EDF ∠=∠=︒，90BAC DEC ∠=∠=︒，BC 与DF 在同一条直线上，点C 与点F 重合，2AC =，如图为将CED 绕点C 顺时针旋转30后的图形，连接BD ，AE ，若12E F A C =，求B D C 和AEC 的面积．11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG ∆的面积为求FH 的长．12．将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．（1）问题发现如图①，对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______．（2）拓展探究如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:AB AC BB '，CC '．对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． （3）问题解决如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．13．尝试：如图①，ABC 中，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，直接写出图中的一对相似三角形_______； 拓展：如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度得到AB C ''，点B 、C 的对应点分别为B ′、C '，连接BB '、CC '，若8BB '=，求CC '的长；应用：如图③，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AB =，30ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，当点B 的对应点B ′恰好落在Rt ABC △的边所在的直线上时，直接写出此时点C 的运动路径长．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，点M 是AB 的中点，连接MC ，点P 是线段BC 延长线上一点，且PC ＜BC ，连接MP 交AC 于点H ．将射线MP 绕点M 逆时针旋转60°交线段CA 的延长线于点D ． （1）找出与∠AMP 相等的角，并说明理由．（2）若CP =12BC ，求AD BC的值．15．在ABC 和ADE 中，BA BC =，DA DE =，且ABC ADE α∠=∠=，点E 在ABC 的内部，连接EC ，EB ，EA 和BD ，并且90ACE ABE ∠+∠=︒．（观察猜想）（1）如图①，当60α=︒时，线段BD 与CE 的数量关系为__________，线段EA ，EB ，EC 的数量关系为__________． （探究证明）（2）如图②，当90α=︒时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （拓展应用）（3）在（2）的条件下，当点E 在线段CD 上时，若BC =BDE 的面积． 16．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E 、A 、D 在同一条直线上），发现BE DG =且BE DG ⊥．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE DG =吗？若能，请给出证明，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG 和菱形ABCD ，将菱形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转（如图2），试问当EAG ∠与BAD ∠的大小满足怎样的关系时，BE DG =；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG 和矩形ABCD ，且23AE AB AG AD ==，2AE a =，2AB b =（如图3），连接DE ，BG ．试求22DE BG +的值（用a ，b 表示）．17．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点P 是△ABC 外一点，连接BP ，将线段BP 绕点P 逆时针旋转α得到线段PD ，连接BD ，CD ，AP ． 观察猜想：（1）如图1，当α＝60°时，CDAP的值为 ，直线CD 与AP 所成的较小角的度数为 °； 类比探究：（2）如图2，当α＝90°时，求出CDAP的值及直线CD 与AP 所成的较小角的度数； 拓展应用：（4）如图3，当α＝90°时，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，点P 在线段FE 的延长线上，点A ，D ，P 三点在一条直线上，BD 交PF 于点G ，CD 交AB 于点H . 若CD ＝2BD 的长．18．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边ABC 中，点P 是边BC 上任意一点，连接AP ，以AP 为边作等边APQ ，连接CQ ，BP 与CQ 的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰ABC 中，AB BC =，点P 是边BC 上任意一点，以AP 为腰作等腰APQ ，使AP P Q =，APQ ABC ∠=∠，连接CQ ，判断ABC ∠和ACQ ∠的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形APEF ，Q 是正方形APEF的中心，连接CQ ．若正方形APEF 的边长为5，CQ =ADBC 的边长．19．如图，以ABC 的两边AB 、AC 分别向外作等边ABD △和等边ACE △，BE 与CD 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．（1）求证：ADC ABE ≅；（2）求DPB ∠的度数及BE 的长；（3）若点Q 、R 分别是等边ABD △和等边ACE △的重心（三边中线的交点），连接AQ 、AR 、QR ，作出图象，求QR 的长．20．如图1，在Rt ABC 中，90ACB AC BC ︒∠==，，在斜边AB 上取一点D ，过点D 作//DE BC ，交AC 于点E ．现将ADE 绕点A 旋转一定角度到如图2所示的位置（点D 在ABC 的内部），使得90ABD ACD ︒∠+∠=．（1）①求证：ABD ACE ∽；②若1,CD BD ==AD 的长；（2）如图3，将原题中的条件“AC BC =”去掉，其它条件不变，AC AEk AB AD==设，若13CD BD ==，，4=AD ，求k 的值；（3）如图4，将原题中的条件“90ACB ︒∠=”去掉，其它条件不变，若23AC AE AB AD ==，设C D m =，BD n AD p ==，，试探究m n p ，，三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程） 21．（1）观察猜想：如图1，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，45BAC DAE ∠=∠=︒，DE AE =，将A D E绕点A 逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD ，交AC 于点G ，连接CE 交BD 于点F ，则BDCE值为______，BFC ∠的度数为_____． （2）类比探究：如图3，当90ACB AED ∠=∠=︒，30BAC DAE ∠=∠=︒时，请求出BDCE的值及BFC ∠的度数． （3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，45BDC ∠=︒．若8CD =，6BD =，请直接写出A ，D 两点之间的距离．22．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ． （1）求证：△MFC ∽△MCA ； （2）求证△ACF ∽△ABE ；（3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．23．（问题发现）（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连结EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（探究证明）（2）如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，并说明理由； （拓展延伸）（3）如图3，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝2CD ＝4，将△ACD 绕顺时针旋转，点C 对应点E ，设旋转角∠CAE 为α（0°＜α＜360°），当点C ，D ，E 在同一直线时，画出图形，并求出线段BE 的长度． 24．（1）尝试探究：如图①，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且EF ∥AB ． ①AF BE的值为_________；②直线AF 与直线BE 的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的CEF ∆绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若3BC =，2CE =，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长．25．已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ．（1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出BFAE的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E 在AD 上移动时，请直接写出点E 运动到什么位置时DFDC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）26．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）①当α＝0°时，AE BD =； ②当α＝180°时，AEBD=； （2）试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）当△EDC 旋转至A 、B 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．27．在ABC ∆中，90,2ACB BC AC ︒∠===，将ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转α角0180()α︒<<︒至''AB C ∆的位置． （1）如图1，当旋转角为60︒时，连接'C C 与AB 交于点M ，则'C C =．（2）如图2，在（1）条件下，连接'BB ，延长'CC 交'BB 于点D ，求CD 的长．（3）如图3，在旋转的过程中，连线'','CC BB CC 、所在直线交'BB 于点D ，那么CD 的长有没有最大值?如果有，求出CD 的最大值：如果没有，请说明理由．28．问题背景：如图（1），已知A ABC DE ∽△△，求证：ABD ACE ∽； 尝试应用：如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ︒∠=∠=，30ABC ADE ︒∠=∠=，AC 与DE 相交于点F ．点D 在BC 边上，AD BD=DFCF 的值；拓展创新：如图（3），D 是ABC 内一点，30BAD CBD ︒∠=∠=，90BDC ︒∠=，4AB =，AC =直接写出AD 的长．参考答案1．B 【分析】如图，作CH ⊥BE ′于H ，设AC 交BE ′于O ．首先证明∠CE ′B ＝∠D ′＝60°，解直角三角形求出HE ′，BH 即可解决问题．解：如图，作CH ⊥BE ′于H ，设AC 交BE ′于O ． ∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵DE ∥AB ， ∴CD CA ＝CECB ，∠CDE ＝∠CAB ＝∠D ′＝60°∴'CD CA ＝'CE CB， ∵∠ACB ＝∠D ′CE ′， ∴∠ACD ′＝∠BCE ′， ∴△ACD ′∽△BCE ′，∴∠D ′＝∠CE ′B ＝∠CAB ，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝BC ∵DE ∥AB ， ∴CD CA ＝CE CB ，∴CE∵∠CHE ′＝90°，∠CE ′H ＝∠CAB ＝60°，CE ′＝CE∴E ′H ＝12CE ′CH ′＝32，∴BH∴BE ′＝HE ′+BH ＝ 故选：B ．【点拨】本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导． 2．B解：如解图，∵把ABC 绕点A 旋转得到ADE ，∴ABC ADE △≌△，21∠=∠，∴34∠=∠，A ABC DE ∽△△，∴AFE DFC ∽△△，∴AF EFDF FC=，∵AFD EFC ∠=∠，∴AFD EFC ∽△△， ∵BAC DAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =，∴35∠=∠，∴ABD AEC ∽△△．3【分析】连接EG ，与DF 交于N ，设CD 和AH 交于M ，证明△ANG ∽ADM ，得到DM ADNG AN=，从而求出DM 的长，再通过勾股定理算出AM 的长，通过证明△ADG ≌△CDE 得到∠DAG=∠DCE ，从而说明△ADM ∽△CHM ，得到AD AMCH CM=，最后算出CH 的长.解：连接EG ，与DF 交于N ，设CD 和AH 交于M ， ∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN ，∵∠MAD=∠GAN ，∠MDA=∠GNA=90°， ∴△ANG ∽ADM ， ∴DM ADNG=， ∵DE ∴DF=EG=2, ∴DN=NG=1， ∵AD=AB=3， ∴3131DM =+， 解得：DM=34，∴MC=94，，∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG ， ∴∠ADG=∠EDC ， 在△ADG 和△CDE 中，AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△CDE （SAS ）， ∴∠DAG=∠DCE ， ∵∠AMD=∠CMH ， ∴∠ADM=∠CHM=90°， ∴△ADM ∽△CHM ，∴AD AMCH CM=， 即3494CH=， 解得：【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH 的长.4．13【分析】连接BD ，BF ，FD ，证明△EBC ∽△FBD ，根据题意，知道M ，F ，D 三点一线时，FM 最小，然后过点M 作MG ⊥BD ，垂足为G ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG 和DG 的长，再根据正切的定义计算即可． 解：连接BD ，BF ，FD ，如图，∵BD BFBC BE = ∴BD BCBF BE=， ∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°， ∴∠FBD=∠EBC ， ∴△EBC ∽△FBD ，∴∠FDB=∠ECB ，DF BDCE BC=∴=由题意知：FM 、DF 、DM 三条线段满足FM+DF≥MD ，其中DM 、DF 的值一定， ∴当M ，F ，D 三点一线时，FM 最小， 过点M 作MN ⊥BD ，垂足为G ， ∵∠MBN=45°，BM=12AB=4，∴∵∴∴tan tan MG ECB FDG=DG ∠=∠=13， 故答案为：13．【点拨】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键．5．（1）,AD AD BE =⊥；（2）依然成立，证明见解析；（3）23π．【分析】（1）分别求出AD ，BE 的长，即可求解；（2）通过证明△BCE ∽△ACD ，可得AD ACBE BC==CBO=∠CAD ，可得结论； （3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P 点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P 点到直线BC 距离的最大值． 解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，AD ⊥BE ， ∵点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，∴AD=CD=12BE=EC=12BC=12，∴，故答案为：，AD ⊥BE ； （2）结论仍然成立，理由如下：∵BC=1，EC=12，∴33BC AC ，EC CD =∴BC ECAC DC=， ∵△CDE 绕点C 顺时针旋转， ∴∠BCE=∠ACD ， ∴△BCE ∽△ACD ，∴AD ACBE ==CBO=∠CAD ，∴，∵∠CBO+∠BOC=90°， ∴∠CAD+∠AOP=90°， ∴∠APO=90°， ∴BE ⊥AD ；（3）∵∠APB=90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，如图3，取AB 的中点G ，作⊙G ，以点C 为圆心，CE 为半径作⊙C ，当BE 是⊙C 切线时，点P 到BC 的距离最大，过点P 作PH ⊥BC ，交BC 的延长线于H ，连接GP ，∵BE 是⊙C 切线， ∴CE ⊥BE ，∵sin ∠EBC=12EC BC =， ∴∠EBC=30°， ∴∠GBP=30°， ∵GB=GP ，∴∠GBP=∠GPB=30°， ∴∠BGP=120°，∵点P 的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C ，∴P 点运动轨迹的长度=120121803ππ︒⨯⨯=︒， ∵∠ABP=30°，BP ⊥AP ，∴AP=12AB=1， ∵∠CBP=30°，PH ⊥BH ，∴PH=12∴P 点到直线BC 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P 的运动轨迹是本题的关键．6．（1）45°；（2）证明见解析；（3）54【分析】(1).在BC 上取一点G ，使得CG=BE ，连接OB 、OC 、OG ，然后证明△OBE 和△OCG 全等，从而得出∠BOE ＝∠COG ，∠BEO ＝∠CGO ，OE ＝OG ，根据三角形的周长得出EF=GF ，从而得出△FOE 和△GOF 全等，得出∠EOF的度数；(2)、连接OA ，根据点O 为正方形ABCD 的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，结合∠BOE=∠COG 得出∠AEO=∠COF ，从而得出三角形相似；(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出AE 和CO 的关系，CF 和AO 的关系，从而得出答案．解：(1).如图，在BC 上取一点G ，使得CG=BE ，连接OB 、OC 、OG. ∵点O 为正方形ABCD 的中心， ∴ OB=OC ，∠BOC ＝90°，∠OBE ＝∠OCG ＝45°． ∴△OBE ≌△OCG （SAS ）.∴∠BOE ＝∠COG ，∠BEO ＝∠CGO ，OE ＝OG. ∴∠EOG ＝90°，∵△BEF 的周长等于BC 的长， ∴ EF ＝GF.∴△EOF ≌△GOF （SSS ）. ∴∠EOF ＝∠GOF ＝45°．(2).连接OA ．∵ 点O 为正方形ABCD 的中心， ∴∠OAE ＝∠FCO ＝45°．∵∠BOE ＝∠COG ， ∠AEO ＝∠BOE ＋∠OBE ＝∠BOE ＋45°， ∠COF ＝∠COG ＋∠GOF ＝∠COG ＋45°． ∴ ∠AEO ＝∠COF ，且∠OAE ＝∠FCO ． ∴ △AOE ∽△CFO ． (3).∵△AOE ∽△CFO ， ∴AO CF ＝ OE FO＝AE CO ． 即AE ＝OE FO ×CO ，CF ＝AO÷OEFO．∵OE OF ，∴ OE FO．∴AECO ，CF ． ∴AE CF ＝54．点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大．熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键．7．(1)见解析;(2) 16.【分析】（1）连结DC ，易证ABE CBD ∆≅∆，然后得到90EDC ∠=︒，30CED ∠=︒，然后利用直角三角形性质得到BD （2）连结DC ，易证ABC EBD ∆∆，设BD x =在直角三角形EBD 中由相似比可直接得到答案解：如图所示图1，（1）连结DC ，易证ABE CBD ∆≅∆，∴AE CD =，证90EDC ∠=︒，30CED ∠=︒，∴BD ED === （2）如图所示图2， ∴AB EBBC BD=∴~ABE CBD ∆∆， ∴BCD BAD ∠=∠∴CD AD ⊥ 又∵60CED ∠=︒，设BD x =，则2DE x =，CD =∵AE AB CD BC ==6AE x =，∴16BD AE =【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，能够知道相似三角形对应边成比例是求线段比的常用方法是本题关键8．（1）7.5；（2）58.【分析】（1）连结PC ，GC ，易得~PCG FCA ∆∆，得到比例线段计算即可 （2）运用三角形相似得到比例线段，计算即可 解：（1）连结PC ，GC ，可证~PCG FCA ∆∆，::PG AF PG FC =，7.5=PG（2）58【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识是本题关键9．（1）①AE =FC ；AE ⊥FC ；②AE =2FC ；AE ⊥FC ；理由见解析；（2）③FC =6；④MN 的最小值为53．【分析】（1）①利用SAS 证出△ABE ≌△CDF ，从而证出AE=FC ，∠A=∠DCF ，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；②根据相似三角形的判定证出△ABE ∽△CDF ，从而得出∠A =∠DCF ，2AECF=，然后证出∠ACF=90°即可得出结论；（2）③作GD ⊥BC 于点D ，交AC 于点G ；作GH ⊥AB 于点H ，交AB 于点H ；DM ⊥AC ，利用SAS 证出△EDG ≌△FDC ，从而得出EG =FC ，令DC =a ，BD =2a ，根据三角形的面积公式即可求出a 值，从而求出结论；④连接MD 和MC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=12EF ，从而得出点M 的运动轨迹为是CD 的垂直平分线的一部分，作CD 的垂直平分线MH 交BC 于H ，然后证出四边形NMHG 为平行四边形，从而求出结论． 解：（1）①解：∵90,ABC =∠,⊥DF DE∴∠ABC=∠EDF=90°，∠A ＋∠BCA=90°∴∠ABE ＋∠EDC=∠CDF ＋∠EDC ∴∠ABE=∠CDF ∵=1==AB DEk BC DF∴AB=CB ，DE=DF ∴△ABE ≌△CDF∴AE=FC ，∠A=∠DCF∴∠DCF ＋∠BCA=90°∴∠ACF=90°∴AE ⊥FC故答案为：AE =FC ；AE ⊥FC ； ②证明：AE =2FC ；AE ⊥FC ∵DF ⊥DE∴∠EDF =∠ABC =90° ∴∠ABE =∠CDF ·∵2AB DEBC DF== ∴△ABE ∽△CDF∴∠A =∠DCF ，2AECF = ∵∠A +∠ACB =90° ∴∠DCF +∠ACB =90°∴∠ACF =90°；即FC ⊥AE ·（2）③解：作GD ⊥BC 于点D ，交AC 于点G ；作GH ⊥AB 于点H ，交AB 于点H ；DM ⊥AC ．∴四边形BDGH 为矩形 ∴DB =HG∵∠ABC =90°，1AB DEBC DF== ∴∠A =∠HGA =∠ACB =45°∴DC =DG ∵DE ⊥DF∴∠EDG =∠FDC∴△EDG ≌△FDC （SAS ） ∴EG =FC ∵BD =2CD∴令DC =a ，BD =2a∴AG =∴EG =2-，MD · ∵6CDF S ∆=∴(11262CDF S EG MD ∆=⋅=-=解得1a =2a =∴FC = EG =6④∵=2==AB DEk BC DF ，AB=10 ∴BC=5∵2BD CD =∴CD=13=BC 53由③易证∠ECF=90°在Rt △EDF 和Rt △ECF 中，点M 为EF 的中点，连接MD 和MC∴DM=CM=12EF∴点M 的运动轨迹为是CD 的垂直平分线的一部分，作CD 的垂直平分线MH 交BC 于H∴当NM ⊥MH 时，MN 的最小，易知MN ∥BC ，MH ∥AB ，CH=12CD =56取BC 的中点G ，连接NG ，则CG=12BC =52∴NG 为△ABC 的中位线 ∴NG ∥AB ∴MH ∥NG∴四边形NMHG 为平行四边形∴此时MN=GH=CG －CH=53即MN 的最小值为53．【点拨】本题主要考查几何变换综合题、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，解题关键是熟练掌握三角形的中位线的性质、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质．10．BDC 和AEC 的面积分别为2和12．【分析】过点D 作DM ⊥BC 于点M ，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出BC 、DC 的长度，且证BDC ∽AEC ，在Rt △DMC 中，可得DM=1，即BDC 的面积可求，且2AEC BDC 1124S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，即AEC 的面积可求．解：如图所示，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，∵AC=2，1EF=AC 2，∴EC=1，又∵ABC=30∠︒，EDC=30∠︒，∴在Rt △BAC 和Rt △DEC 中，BC=2AC=4，DC=2EC=2，由旋转性质知，BCD ACE 30∠=∠=︒，BC CD==2AC EF， ∴BDC ∽AEC ，故BD BC==2AE AC， 在Rt △DMC 中，BCD=30∠︒，DC=2， ∴DM=1，∴BDC BC DM 41222S ⋅⨯===△， ∵BDC ∽AEC ，∴2AEC BDC1124S S⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴AEC 11242S ⨯==△，∴BDC 和AEC 的面积分别为2和12．【点拨】本题主要考察了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明BDC ∽AEC ，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方．11．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的FEH FHG ∆∆∽，得到FE FHFH FG=，过点E 作EQ FG ⊥，可得出EQ ，根据2FH FE FG =⋅即可求解； 解：（1）证明：∵80ABC ∠=，BD 平分ABC ∠， ∴40ABD DBC ∠=∠=， ∴140A ADB ∠+∠=． ∵140ADC ∠=，∴140BDC ADB ∠+∠=．A BDC ∠=∠， ∴ABD DBC ∆∆∽∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”．（2）∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴三角形EFH 与三角形HFG 相似． 又EFH HFG ∠=∠， ∴FEH FHG ∆∆∽， ∴FE FHFH FG=， ∴2FH FE FG =⋅．过点E 作EQ FG ⊥，垂足为Q ． 则3sin 602EQ FE =⨯=．∵12FG EQ ⨯=∴12FG = ∴8FG FE ⋅=，∴28FH FE FG =⋅=， ∴FH =【点拨】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键． 12．（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =． 【分析】（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△∽ABC ，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数；（2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△∽CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△∽AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC'的值，进而求出n 的值．解：（1）由题意可知：对ABC 作变换60⎡︒⎣得AB C ''△，∴AB C ''△∽ABC ，60BAB '∠=︒，∴B B '∠=∠，∴()2:3:1AB C ABCSS''==，ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒． 故答案为：3:1，60．（2）根据题意得：::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒， ∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠， ∴BAB CAC ''∠=∠， ∴BAB '△∽CAC '△，∴相似比ABk AC=，BB A CC A ''∠=∠，:AB AC∴2:2ABB ACC SS''==，延长CC '交BB '于D ，如图，设CC '交AB '于E ．DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，∴DEB '△∽AEC '，∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒． （3）四边形ABB C ''为矩形， ∴90BAC '∠=︒， 30BAC ∠=︒，∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒， 90ACB ∠=︒，∴90ACC '∠=︒， 在Rt ACC '△中，12AC AC '=， ∴21AC AC '=， ∴2AC n AC'==， 即n 的值为2．【点拨】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n θ的意义．13．尝试：''ABB ACC △△；拓展：'CC =3π或43π或23π或π或2π.解：尝试：''ABB ACC △△；【解法提示】∵''ABC AB C ≅△△，∴'AB AB =，'AC AC =，''BAC B AC ∠=∠，∴''BAB CAC ∠=∠，''AB AB AC AC =，∴''ABB ACC △△.拓展：∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =， ∴45ABC ∠=︒，∴sin 45AC AB ︒==''ABB ACC △△，∴CC'AC BB'AB ==. 又∵'8BB =，∴'CC =应用：3π或43π或23π或π或2π.【解法提示】在Rt ABC 中，2AB =，30ABC ∠=︒，∴1AC =，60BAC ∠=︒，当点'B 落在AC 所在直线上时，有两种情况：①若点'B 在AC 延长线上时，如解图①，'60CAC BAC ∠=∠=︒，∴弧60'11803CC ππ⨯==；②若点'B 在CA 的延长线上时，如解图②，此时点B ，'C ，'B 三点共线，∴旋转角360260240=︒-⨯=︒，∴弧240141803'CC ππ⨯==； 当点'B 落在边BC 所在直线上时，如解图③，'260120CAC ∠=⨯︒=︒，∴弧120121803CC'ππ⨯==； 当点'B 落在边AB 所在直线上时，如解图④，此时点C ，A ，'C 三点共线，旋转角为180︒，∴弧1801180CC'ππ⨯==. 当点'B 与点B 重合时，点C 旋转一周，∴弧'22CC AC ππ=⨯=.∴当点B 的对应点'B 恰好落在Rt ABC 的边所在直线上时，点C 的运动路径长为3π或43π或23π或π或2π.图① 图② 图③ 图④14．（1）∠D =∠AMP ，理由见解析；（2【分析】（1）由旋转的性质可得∠PMD =60°，即可得到∠AMD +∠AMP =60°，只需要找到一个角与角∠AMD 的度数和为60度即可得到答案；（2）过点C 作CG ∥BA 交MP 于点G ，证明△MDA ≌△MGC ，△CGP ∽△BMP ，然后计算求解即可得到答案. 解：（1）∠D =∠AMP ，理由如下： ∵∠ACB =90°，∠B =30°， ∴∠BAC =60°，∴∠D +∠DMA =∠BAC =60°由旋转的性质知，∠DMA +∠AMP =∠PMD =60°， ∴∠D =∠AMP ；（2）如图，过点C 作CG ∥BA 交MP 于点G ， ∵CG ∥BA∴∠GCP =∠B =30°，∠BCG =180°-∠B =150°．∵∠ACB =90°，点M 是AB 的中点，∠B =30°∴∠BAC =60° ∴12CM AB BM AM ===，∴∠MCB =∠B =30°， ∴∠MCG =120°， ∵∠MAD =180°﹣∠BAC =120°， ∴∠MAD =∠MCG ．由旋转的性质得∠PMD =60° ∵∠AMC =∠MCB +∠B =60°∴∠AMG =∠PMD∵∠DMG ﹣∠AMD =∠AMG =∠AMC ﹣∠GMC ，∴∠DMA =∠GMC ．在△MDA 与△MGC 中，MAD MCG AMD CMG MC MA ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDA ≌△MGC （ASA ），∴AD =CG ．∵CP =12BC ，∴CP =13BP ． ∵∠GCP =∠B ，∠GPC =∠MPB∴△CGP ∽△BMP ， ∴13CG CP BM BP == ∴3BM CG =设CG =AD =t ，则BM =3t ，AB =6t ．在Rt △ABC 中，cos cos 3033BC AB B AB ===∠∠，∴AD BC ==【点拨】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．（1）BD CE =，222EB EC EA +=；（2）不成立，理由见解析；（3）2【分析】（1）由△DAB ≌△EAC （SAS ），可得BD =EC ，∠ABD =∠ACE ，由∠ACE +∠ABE =90°，推出∠ABD +∠ABE =90°，可得∠DBE =90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA 2=EC 2+2BE 2．由题意△ABC ，△ADE 都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB ∽△EAC ，推出DB AB EC AC=，∠ACE =∠ABD ，可得∠DBE =90°，推出DE 2=BD 2+BE 2，即可解决问题； （3）首先证明AD =DE =EC ，设AD =DE =EC =x ，在Rt △ADC 中，利用勾股定理即可解决问题；解：（1）如图①中，∵BA =BC ，DA =DE ．且∠ABC=∠ADE =60°，∴△ABC ，△ADE 都是等边三角形，∴AD =AE ，AB =AC ，∠DAE =∠BAC =60°，∴∠DAB =∠EAC ，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴BD =EC ，∠ABD =∠ACE ，∵∠ACE +∠ABE =90°，∴∠ABD +∠ABE =90°，∴∠DBE =90°，∴DE 2=BD 2+BE 2，∵EA =DE ，BD =EC ，∴EA 2=BE 2+EC 2．故答案为：BD =EC ，EA 2=EB 2+EC 2．（2）结论：EA 2=EC 2+2BE 2．理由：如图②中，∵BA =BC ，DA =DE ．且∠ABC =∠ADE =90°，∴△ABC ，△ADE 都是等腰直角三角形，∴∠DAE =∠BAC =45°，∴∠DAB =∠EAC ，∵ADAE =2，ABAC =2， ∴ADABAE AC =，∴△DAB ∽△EAC ，∴DBABEC AC =，∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠ABE =90°，∴∠ABD +∠ABE =90°，∴∠DBE =90°，∴DE 2=BD 2+BE 2，∵EA ，BD EC ， ∴12EA 2=12EC 2+BE 2，∴EA 2=EC 2+2BE 2．（3）如图③中，∵∠AED =45°，D ，E ，C 共线，∴∠AEC =135°，∵△ADB ∽△AEC ，∴∠ADB =∠AEC =135°，∵∠ADE =∠DBE =90°，∴∠BDE =∠BED =45°，∴BD =BE ，∴DE，∵EC，∴AD =DE =EC ，设AD =DE =EC =x ，在Rt △ABC 中，∵AB =BC∴AC，在Rt △ADC 中，∵AD 2+DC 2=AC 2，∴x 2+4x 2=40，∴x，∴AD =DE∴BD =BE =2，∴S △BDE =12×2×2=2． 【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．16．（1）见解析；（2）当EAG BAD ∠=∠时，BE DG =，理由见解析；（3）221313a b +．【分析】（1）由正方形的性质得出AE AG =，90EAG ∠=︒，AB AD =，90BAD ∠=︒，得出EAB GAD ∠=∠，则可证明()AEB AGD SAS ≌△△，从而可得出结论；（2）由菱形的性质得出AE AG =，AB AD =，则可证明()AEB AGD SAS ≌△△，由全等三角形的性质可得出结论；（3）设BE 与DG 交于Q ，BE 与AG 交于点P ，证明EAB GAD ∽△△，得出EBA GDA ∠=∠，得出GD EB ⊥，连接EG ，BD ，由勾股定理可求出答案．解：（1）∵四边形AEFG 为正方形，∴AE AG =，90EAG ∠=︒，又∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAD ∠=︒，∴EAG BAG BAD BAG ∠-∠=∠-∠∴EAB GAD ∠=∠，在△AEB 和△AGD 中，AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEB AGD SAS ≌△△，∴BE DG =；（2）当EAG BAD ∠=∠时，BE DG =，理由如下：∵EAG BAD ∠=∠，∴+EAG BAG BAD BAG ∠∠=∠+∠∴EAB GAD ∠=∠，又∵四边形AEFG 和四边形ABCD 均为菱形，∴AE AG =，AB AD =，在△AEB 和△AGD 中，AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEB AGD SAS ≌△△，∴BE DG =；（3）设BE 与DG 交于Q ，BE 与AG 交于点P ，由题意知，2AE a =， ∵23AE AB AG AD ==，90EAB GDA GAB ∠=∠=︒+∠， ∴EAB GAD ∽△△，∴EBA GDA ∠=∠，∵++90ADB ABD GDA QDB ABD ∠+∠=∠∠∠=︒，∴+++90QDB QBD EBA QDB ABD ∠∠=∠∠∠=︒，∴GD EB ⊥，连接EG ，BD ，∴22ED GB +2222EQ QD GQ QB =+++22EG BD =+， ∵23AE AB AG AD ==，2AE a =，2AB b =， ∴3AG a =，3AD b =，在Rt △EAG 中，由勾股定理得：222+EG AE AG =，同理222+BD AB AD =，∴22ED GB +()()()()22222323a a b b =+++221313a b =+．【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．由(3)可得结论：当四边形的对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等．17．（1）1，60；（2）CD AP=CD 与AP 所成的较小角的度数为45°；（3）BD 【分析】（1）根据α＝60°时，△ABC 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，即可求解，再得到直线CD 与AP 所成的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质证明△PBA ∽△DBC ，再得到CD AP =BC AB，再根据相似三角形的性质求出直线CD 与AP 所成的度数；（3）延长CA ，BD 相交于点K ，根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得∠BCD ＝∠KCD ，由（2）的结论求出AP 的长，再利用在Rt △PBD 中，设PB ＝PD ＝x ，由勾股定理可得BD ＝AD ，再列出方程即可求出x ，故可得到BD 的长．解：（1）∵α＝60°，AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB =CB∵将线段BP 绕点P 逆时针旋转α得到线段PD ，∴△BDP 是等边三角形，∴BP =BD∵∠PBA =∠PBD -∠ABD =60°-∠ABD ，∠DBC =∠ABC -∠ABD =60°-∠ABD ， ∴∠PBA =∠DBC∴△PBA ≌△DBC ，∴AP =CD ∴CD AP=1 如图，延长CD 交AB ，AP 分别于点G ，H ，则∠AHC 为直线CD 与AP 所成的较小角，∵△PBA ≌△DBC∴∠P AB =∠DCB∵∠HGA =∠BGC∴∠AHC ＝∠ABC ＝60°故答案为：1，60；（2）解：如图，延长CD 交AB ，AP 分别于点M ，N ，则∠ANC 为直线CD 与AP 所成的较小角，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝45°.在Rt △ABC 中，AB BC ＝cos ∠ABC ＝cos45°＝2. ∵PB ＝PD ，∠BPD ＝90°，∴∠PBD ＝∠PDB ＝45°.在Rt △PBD 中，PB BD ＝cos ∠PBD ＝cos45°∴AB BC ＝PB BD ，∠ABC ＝∠PBD . ∴∠ABC －∠ABD ＝∠PBD －∠ABD .即∠PBA ＝∠DBC .∴△PBA ∽△DBC .∴CD AP ＝BC AB P AB ＝∠DCB . ∵∠AMN ＝∠CMB ，∴∠ANC ＝∠ABC ＝45°.即CD AP CD 与AP 所成的较小角的度数为45°. (3)延长CA ，BD 相交于点K ，如图.∵∠APB ＝90°，E 为AB 的中点，∴EP ＝EA ＝EB .∴∠EAP ＝∠EP A ，∠EBP ＝∠EPB.∵点E ，F 为AB ，AC 的中点，∴PF //BC .∴∠AFP ＝∠ACB ＝∠PBD ＝45°. ∵∠BGP ＝∠FGK ，∴∠BPE ＝∠K .∴∠K ＝∠EBP ，∵∠EBP ＝∠PEB ，∠PEB=∠DBC ，∴∠K ＝∠CBD .∴CB ＝CK .∴∠BCD ＝∠KCD .由(2)知∠ADC ＝∠PDB ＝45°，△PBA ∽△DBC ，∴∠P AB ＝∠DCB .∴∠BDC ＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC .∵∠BHD ＝∠CHA ，∴∠DBA ＝∠DCA .∴∠DBA ＝∠P AB.∴AD ＝BD .由(2)知DC，∴AP1= 在Rt △PBD 中，PB ＝PD ＝x ，由勾股定理可得BD＝AD .∴AD ＋PD ＝x＝AP ＝1∴x ＝1.∴BD【点拨】此题主要考查四边形综合，解题的关键熟知旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的方法．18．（1）BP CQ =；（2）ABC ACQ ∠=∠；理由见解析；（3）4．【分析】（1）利用SAS 定理证明BAP CAQ △≌△，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明BAC PAQ △∽△，得到AB AP AC AQ=，再证明BAP CAQ △≌△，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接AB 、AQ ，根据相似三角形的性质求出BP ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：（1）问题发现：∵ABC ∆和APQ ∆都是等边三角形，∴A B AC =，AP AQ =，60BAC PAQ ∠=∠=︒，∴BAP CAQ ∠=∠，在BAP △和CAQ ∆中，AB AC BAP CAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，。
初三数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，若是2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 以下命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，而且点D 、点E 和ABC ∆的一个极点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出知足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地址，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，假设5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为，请你帮忙小明计算一下楼房的高度（精准到）．例8 格点图中的两个三角形是不是是相似三角形，说明理由．例9 依照以下各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是不是相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，以下每一个图形中，存不存在相似的三角形，若是存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的依照．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长别离为五、1二、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，教师让同窗们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方式．小芳的测量方式是：拿一根高米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为米，如此即可明白旗杆的高．你以为这种测量方式是不是可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，咱们能够在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确信BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）若是有一个正方形的边在AB 上，另外两个极点别离在AC ，BC 上，求那个正方形的面积．。
九年数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．
27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．
解答：
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，
∴△ABC∽△FDE．
点评：
本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：
（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
一．解答题（共30小题）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点Байду номын сангаас，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC= ，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．
17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．
18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？
中考数学 相似三角形专题训练(含答案)
2020中考数学相似三角形专题训练（含答案）一、选择题：1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）A．B．C．D．﹣答案：D．2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）A．=B．=C．=D．=答案：C3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③答案D．4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C．二、填空题：5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．答案：4．6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．答案：或．7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．故答案为113°或92°．8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．答案：1．9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．答案：．10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．故答案为3：4．三、解答题：11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．12.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．13. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．∵△ADF∽△DEC，14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是 MD=ME ；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为 AD=AB+DC ；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．。
(最新整理)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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经典练习题相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．(1）求证:△CDF∽△BGF；(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证:△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B，A,D在一条直线上，连接BE，CD，M,N分别为BE，CD的中点．(1）求证:①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出(1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2)的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t,使以A，M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在,请说明理由．9．如图,在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．(1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA,∠BAC=45°，∠BDC=60°,CE⊥BD于E，连接AE．（1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由;（3)求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知:P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图,已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8,CD=10．(1）求梯形ABCD的面积S；(2）动点P从点B出发,以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动;动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在，请求出t的值；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A 出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中,AB=10cm，BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知,如图，在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明,若不能,请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示,梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°,AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2,将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图,路灯(P点)距地面8米，身高1。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图，在△/ABC DE// BC, EF // AB，求证：△ADE EFC .2 .如图，梯形ABCD中，AB // CD,点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.(1 )求证：△ CDFBGF ;(2)当点F是BC的中点时，过F作EF // CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3 .如图，点D , E在BC 上，且FD // AB, FE // AC.4 .如图，已知 E 是矩形ABCD 的边CD 上一点， BF 丄AEF ,试说明：△ ABF s\ EAD .5 .已知：如图①所示，在△ 和念BCD 中，AB=AC , AD=AE ，/ BAC= / DAE ,且点3, A , D 在一条直线上，连接 BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点.（1 ）求证：① BE=CD :②厶 A 是等腰三角形；（2 ）在图①的基础上，将△ 绕点DE 按顺时针方向旋转180。
，其他条件不变，得到图②所示的图形.请 直接写出（1 ）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2 ）的条件下，请你在图②中延长 ED 交线段BC 于点P .求证：△ PBDAMN.6 .如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接 EC ,交AD 于点F .在不添加辅助线的情况下，请你写图②7 .如图，在4 X3的正方形方格中，△和ABCDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC ________(2)判断△ ABC^ DE是否相似，并证明你的结论.8.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(1)经过多少时间，△AMIN积等于矩形ABCD面积的〒？(2)是否存在时刻t，使以A , M , N为顶点的三角形与△相似D若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.C --------------------------- BM9 .如图，在梯形ABCD中，若AB II DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形，并给出证明.10 .如图△ ABC, D 为AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。
初三相似三角形练习题含答案
初三相似三角形练习题含答案1. 某个角的度数是60°。
它的补角和它的和是多少？解答：补角是90°减去该角的度数，即90°- 60° = 30°。
和角是该角的度数加上补角的度数，即60° + 30° = 90°。
2. 给出三角形ABC，其中∠ABC = 90°, AB = 6cm，AC = 8cm。
根据比例的性质，我们可以得出DE = ? （ADE与ABC相似，DE = x cm）解答：由三角形相似的性质可知，AB/DE = AC/AD。
代入已知条件可得6/DE = 8/AD。
交叉相乘得到8DE = 6AD，进一步可以得到4DE = 3AD。
根据题意可知AD = AE + DE，即8 = AE + x。
将此代入前面的等式中，可以得到4x = 3(8-x)。
解这个方程可以得到x = 6。
所以DE = 6cm。
3. 已知两个三角形ABC和DEF相似。
已知BC = 12cm，EF = 8cm，且BC/EF = 3/2。
求AB的长度。
解答：根据相似三角形的性质，AB/DE = BC/EF。
代入已知条件得到AB/8 = 12/8。
交叉相乘可得到8AB = 12 × 8，即AB = 12 × 8 ÷ 8 =12cm。
所以AB的长度为12cm。
4. 两个三角形相似，已知小三角形的面积为25cm²，大三角形的面积是多少？解答：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，它们对应边的比例的平方等于对应高的比例的平方。
假设小三角形的面积为S，大三角形的面积为T，对应边的比例为k，对应高的比例为h，那么我们可以得到：T/S = (k² × h²)/(k² × h²) = (k² × h²)/(1) = k² × h²根据题意，已知小三角形的面积为25cm²，所以S = 25。
专题09 相似三角形中的图形旋转问题(解析版)
专题09 相似三角形中的图形旋转问题一、单选题1．如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论：①EAB GAD ∠=∠；①AFC AGD ∆∆∽；①22AE AH AC =⋅；①DG AC ⊥．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】 ①四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，①EAB 、①GAD 与①BAG 的和均为90°，即可证明①EAB 与①GAD 相等；①由题意易得AD=DC ，AG=FG ，进而可得AC AF AD AG=，①DAG=①CAF ，然后问题可证；①由四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，可求证①HAF①①FAC ，则有AF AC AH AF =，然后根据等量关系可求解；①由①及题意知①ADG=①ACF=45°，则问题可求证．【详解】解：①①四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形①①EAG=①BAD=90°又①①EAB=90°-①BAG ，①GAD=90°-①BAG①①EAB=①GAD①①正确①①四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形①AD=DC ，AG=FG2，2 ①2AC AD =2AF AG=即AC AF AD AG=又①①DAG+①GAC=①FAC+①GAC①①DAG=①CAF①AFC AGD∆∆∽①①正确①①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线①①AFH=①ACF=45°又①①FAH=①CAF①①HAF①①FAC①AF AC AH AF=即2·AF AC AH=又2①22AE AH AC=⋅①①正确①由①知AFC AGD∆∆∽又①四边形ABCD为正方形，AC为对角线①①ADG=①ACF=45°①DG在正方形另外一条对角线上①DG①AC①①正确故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．2．在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AD是①ABC的中线，①ADC＝45°，把①ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQAQ的值为（）A2B3C2D3【答案】A【解析】【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，①ADC＝①ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出①C、①B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A作AE①BC，垂足为E，①①ADC＝45°，①①ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE2AD，在Rt①ABC中，①①BAC＝90°，AD是①ABC的中线，①AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，①ADC＝①ADC′＝45°，CD＝C′D，①①CDC′＝45°+45°＝90°，①①DAC＝①DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝①C′AD，①①B＝90°﹣①C＝①CAE＝22.5°，①BQD＝90°﹣①B＝①C′QA＝67.5°，①AC′＝AQ＝AC，由①AEC①①BDQ得：BQAC＝BDAE，①BQAQ＝BQAC＝ADAE2AE2故选：A．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE①AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①①AEF①①CAB；①CF＝2AF；①DF＝DC；①S①ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE①AC，可得①ABC=①AFB=90°，又①BAF=①CAB，于是①AEF①①CAB，故①正确；①根据点E是AD边的中点，以及AD①BC，得出①AEF①①CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故①正确；①过D作DM①BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故①正确；①根据①AEF①①CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S①AEF=12S①ABF，S①ABF=16S矩形ABCD ，可得S四边形CDEF=S①ACD-S①AEF=512S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=52S①ABF，故①正确．【详解】如图，过D作DM①BE交AC于N，①四边形ABCD是矩形，①AD①BC，①ABC＝90°，AD＝BC，①BE①AC于点F，①①EAC＝①ACB，①ABC＝①AFE＝90°，①①AEF①①CAB，故①正确；①①AEF①①CBF，①AEBC ＝AFCF，①AE＝12AD＝12BC，①AFCF ＝12，①CF＝2AF，故①正确，①DE①BM，BE①DM，①四边形BMDE是平行四边形，①BM＝DE＝12BC，①BM＝CM，①CN＝NF，①BE①AC于点F，DM①BE，①DN①CF，①DF＝DC，故①正确；①①AEF①①CBF，①EFBF＝AEBC＝12，①S①AEF＝12S①ABF，S①ABF＝16S矩形ABCD，①S①AEF＝112S矩形ABCD，又①S四边形CDEF＝S①ACD﹣S①AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，①S①ABF：S四边形CDEF＝2：5，故①正确；故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题4．如图，在四边形ABCD中，AE①BC，垂足为E，①BAE＝①ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为____．（用含k的式子表示）22516k【分析】连接AC，将①ABD绕点A逆时针旋转至①ACG，连接DG，根据相似三角形的判定与性质求出DG=kBC，然后根据题意推出①CDG=90°，即可利用勾股定理求解．【详解】解：如图，连接AC，①AE①BC，BE＝CE＝2，①BC=4，AE垂直平分BC，AB=AC，将①ABD绕点A逆时针旋转至①ACG，如图所示，连接DG，则AD=AG，BD=CG，由旋转的性质可得：①BAC=①DAG，①AB=AC，AD=AG，①①ABC①①ADG，①AD DG AB BC=，①AD＝kAB，①DG=kBC=4k，①①BAE+①ABC=90°，①BAE=①ADC，①①ABC+①ADC=90°，①①ABC①①ADG，①①ABC=①ADG，①①ADG+①ADC=90°，即：①CDG=90°，①2222516CG CD GD k+=+①22516BD CG k=+【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转构造辅助线，以及勾股定理解三角形等，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．5．如图，在一个1213⨯的网格中，点,,O A B 都在格点上，8OA AB ==，点P 是线段AB 上的一个动点，连接OP ，将线段OA 沿直线OP 进行翻折，点A 落在点C 处，连接BC ，以BC 为斜边在直线BC 的左侧（或下方）构造等腰直角三角形BDC ，则点P 从A 运动到B 的过程中，线段BC 的长的最小值为____________，线段BD 所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）____________．【答案】 828 4【解析】【分析】根据OB OC BC -≤仅当C 在OB 上时等号成立，由折叠性质可知OA =OC ，从而求出BC 的最小值；再证明OCB ADB △△2：1，从而得出点D 2为半径的圆弧01D D 上运动，由此画出图形即可得出格点的个数． 【详解】解：如图，连接OB ，AD ．①8OA AB ==，90OAB ∠=︒ ①2282OB OA AB +=又①OB OC BC -≤仅当C 在OB 上时等号成立，①BC 的最小值OB OC =-，又①8OC OA ==，①BC 的最小值828OB OC =-=，①OAB 和BDC 均为等腰直角三角形，①45OBA CBD ∠=∠=︒，2OB AB BD= 又①OBA ABC OBC ∠=∠+∠，DBC ABC ABD ∠∠+∠=，①OBC ABD ∠=∠，①OCB ADB △△，①2OC BC AD BD ==222AD == ①如图：点D 2为半径的圆弧01D D 上运动，当点P 与点A 重合时，点D 在0D 处，当点P 与点B 重合时，点D 在1D 处，①线段BD 所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个．故答案为：828，4．【点睛】本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明22AD ==从而得出点D 在2为半径的圆弧01D D 上运动，再根据画图得出结论． 6．如图，正方形ABCD 的边长为8，线段CE 绕着点C 逆时针方向旋转，且3CE =，连接BE ，以BE 为边作正方形BEFG ，M 为AB 边的中点，当线段FM 的长最小时，tan ECB ∠=______．【答案】13【解析】【分析】连接BD ，BF ，FD ，证明①EBC①①FBD ，根据题意，知道M ，F ，D 三点一线时，FM 最小，然后过点M 作MG①BD ，垂足为G ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG 和DG 的长，再根据正切的定义计算即可．【详解】解：连接BD ，BF ，FD ，如图，①2BD BF BC BE = ①BD BC BF BE=， ①①FBD+①DBE=45°，①EBC+①DBE=45°， ①①FBD=①EBC ，①①EBC①①FBD ， ①①FDB=①ECB ，2DF BD CE BC= 232CE =由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，①当M，F，D三点一线时，FM最小，过点M作MN①BD，垂足为G，①①MBN=45°，BM=12AB=4，2，222248AM AD++52222(45)(22)MD MG-=-2①22tan tan62MGECB FDG=DG∠=∠13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键．7．如图，在①ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．【答案】2【解析】【分析】如图，构造等腰Rt①CBG，①CBG=90°，则由①CGE①①CBD，得2，即可求得点E运动的路径长．【详解】如图：作GB①BC于B，取GB=BC，当点D与点B重合时，则点E与点G重合，①①CBG=90°，2，①GCB=45︒，①四边形CDEF是正方形，2DC，①ECD=45︒，①①BCD+①DCG =①GCE+①DCG =45︒，①①BCD =①GCE，且CG CE2 BC DC==①①CGE①①CBD，①GE CE2BD DC==2BD，①BD=5，①点E运动的路径长为22【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若3AB=，2DE CH的长为________.917 【解析】【分析】连接EG ，与DF 交于N ，设CD 和AH 交于M ，证明①ANG①ADM ，得到DM AD NG AN=，从而求出DM 的长，再通过勾股定理算出AM 的长，通过证明①ADG①①CDE 得到①DAG=①DCE ，从而说明①ADM①①CHM ，得到AD AM CH CM=，最后算出CH 的长. 【详解】解：连接EG ，与DF 交于N ，设CD 和AH 交于M ，①①GNA=90°，DN=FN=EN=GN ，①①MAD=①GAN ，①MDA=①GNA=90°，①①ANG①ADM ，①DM AD NG AN =， ①2DE①DF=EG=2, ①DN=NG=1，①AD=AB=3，①3131DM =+， 解得：DM=34， ①MC=94，22317AD DM + ①①ADM+①MDG=①EDG+①CDG ，①①ADG=①EDC ，在①ADG 和①CDE 中，AD CD ADG CDE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADG①①CDE （SAS ），①①DAG=①DCE ，①①AMD=①CMH ， ①①ADM=①CHM=90°，①①ADM①①CHM ，①AD AM CH CM=， 即3173494CH=， 解得：917.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH 的长.9．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE①AC 于点F ，连接DF ，分析下列五个结论：①①AEF①①CAB ；①CF ＝2AF ；①DF ＝DC ；①S 四边形CDEF＝52S①ABF ，其中正确的结论有_____个．【答案】4【解析】【分析】①四边形ABCD是矩形，BE①AC，则①ABC＝①AFB＝90°，又①BAF＝①CAB，于是①AEF①①CAB，故①正确；①由AE＝12AD＝12BC，又AD①BC，所以AEBC＝AFFC＝12，故①正确；①过D作DM①BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝12BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故①正确；①根据①AEF①①CBF得到12EF AEBF BC==，求出S△AEF＝12S△ABF，S△ABF＝16S矩形ABCDS四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝52S△ABF，故①正确．【详解】解：过D作DM①BE交AC于N，①四边形ABCD是矩形，①AD①BC，①ABC＝90°，AD＝BC，①BE①AC于点F，①①EAC＝①ACB，①ABC＝①AFE＝90°，①①AEF①①CAB，故①正确；①AD①BC，①①AEF①①CBF，①AEBC ＝AFFC＝12，①AE＝12AD＝12BC，①AFCF ＝12，①CF＝2AF，故①正确，①DE①BM，BE①DM，①四边形BMDE是平行四边形，①BM＝DE＝12BC，①BM＝CM，①CN＝NF，①BE①AC于点F，DM①BE，①DN①CF，①DF＝DC，故①正确；①①AEF①①CBF，①12 EF AEBF BC==，①S△AEF＝12S△ABF，S△ABF＝16S矩形ABCD①S△AEF＝112S矩形ABCD，又①S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，①S四边形CDEF＝52S△ABF，故①正确；故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线，根据相似三角形表示出图形面积之间关系是解题的关键．三、解答题10．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP交CD于E，PF①AE交BC于点F，连接AF 交BD于M．(1)判断①APF的形状，并说明理由；(2)连接EF，求EF:PM的值．【答案】(1)①APF是等腰直角三角形，理由见解析(2)EF：PM=22【解析】【分析】（1）过点P作PG①BC于点G，交AD于点H，根据正方形的性质证明①APH①①PFG，即可得结论；（2）将①ADE绕点A顺时针旋转90°得到①ABN，利用全等三角形的性质证明①AFN=①AFE，然后证明①APM①①AFE，可得EF：PM=AP：AF，根据①APF是等腰直角三角形，进而可以解决问题．(1)解：①APF是等腰直角三角形，理由如下：如图，过点P作PG①BC于点G，交AD于点H，①GH=CD，①四边形ABCD是正方形，①①ADB=45°，AD=CD，①①PHD=90°，①①HPD=45°，①HD=HP，①AH=GP，①PF①AE，①①APF =90°，①①APH +①FPG =90°，①①P AH +①APH =90°，①①P AH =①FPG ，在①APH 和①PFG 中，90PAH FPG AH PG AHP PGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ①①APH ①①PFG （ASA ），①AP =FP ，①①APF 是等腰直角三角形；(2)解：如图，将①ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到①ABN ，①①ADE =①ABN =90°，①ABC =90°，①①ABC +①ABN =180°，①C ，B ，N 共线，①①EAF =45°，①①NAF =①F AB +①BAN =①F AB +①DAE =45°，①①F AE =①F AN ，在①F AN 和①F AE 中，AF AF FAN FAE AN AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①F AN ①①F AE （SAS ），①①AFN =①AFE ，①①FMB =①AMP ，①MBF =①P AM =45°，①①BFM =①APM ，①①APM =①AFE ，①①APM ①①AFE ，①EF ：PM =AP ：AF ，由（1）知：①APF 是等腰直角三角形，①AF ：AP =22①EF ：PM =22【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考题的压轴题．11．将ABC 绕点A 逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n 倍，得到AB C ''△，我们将这种变换记为[],n θ．（1）问题发现如图①，对ABC 作变换603⎡︒⎣得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______． （2）拓展探究如图①，ABC 中，35BAC ∠=︒且:2AB AC BB '，CC '．对ABC 作变换603⎡⎤︒⎣⎦得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数，并就图①的情形说明理由． （3）问题解决如图①，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．【答案】（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =．【解析】【分析】（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△①ABC ，3，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数； （2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::3AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△①CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△①AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC'的值，进而求出n 的值． 【详解】解：（1）由题意可知：对ABC 作变换603⎡︒⎣得AB C ''△， ∴AB C ''△①ABC 3，60BAB '∠=︒，∴B B '∠=∠，∴()2:33:1AB C ABC S S ''==， ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒．故答案为：3:1，60．（2）根据题意得：::3AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠，∴BAB CAC ''∠=∠，∴BAB '△①CAC '△，∴相似比AB k AC=，BB A CC A ''∠=∠，:2AB AC = ∴2:22ABB ACC S S ''==，延长CC '交BB '于D ，如图，设CC '交AB '于E ．DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，∴DEB '△①AEC '，∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒．（3）四边形ABB C ''为矩形，∴90BAC '∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒，90ACB ∠=︒，∴90ACC '∠=︒，在Rt ACC '△中，12AC AC '=， ∴21AC AC '=， ∴2AC n AC '==， 即n 的值为2．【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n θ的意义．12．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG ∆的面积为23FH 的长．【答案】（1）见解析；（2）22【解析】【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的FEH FHG ∆∆∽，得到FE FH FH FG=，过点E 作EQ FG ⊥，可得出EQ ，根据2FH FE FG =⋅即可求解；【详解】 （1）证明：①80ABC ∠=，BD 平分ABC ∠， ①40ABD DBC ∠=∠=， ①140A ADB ∠+∠=．①140ADC ∠=， ①140BDC ADB ∠+∠=．A BDC ∠=∠，①ABD DBC ∆∆∽①BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”．（2）①FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，①三角形EFH 与三角形HFG 相似．又EFH HFG ∠=∠，①FEH FHG ∆∆∽， ①FE FH FH FG =，①2FH FE FG =⋅．过点E 作EQ FG ⊥，垂足为Q ．则3sin 602EQ FE =⨯=． ①1232FG EQ ⨯=， ①13232FG = ①8FG FE ⋅=，①28FH FE FG =⋅=，①22FH = 【点睛】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．13．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30ABC ∠=︒，//MN AC ，D 为BC 边上一点，连接AD ，作DE AD ⊥交MN 于点E ，连接AE ．猜想线段AD 与DE 之间的数量关系，并证明．【答案】3DE AD =，见解析【解析】【分析】过点D 作DG BC ⊥交AB 于点G ，通过证明BDE GDA △∽△，可得DA GD DE BD=，即在Rt BDG 中，3tan 30DG BD =︒=3AD DE =3DE AD =． 【详解】解：3DE =．证明：如图，过点D 作DG BC ⊥交AB 于点G ，则90BDE GDE ∠+∠=︒，DE AD ⊥，90GDE ADG ∴∠+∠=︒，GDA BDE ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，30ABC ∠=︒，60C ∴∠=︒，//MN AC ，180120EBD C ∴∠=︒-∠=︒，30ABC =︒∠，DG BC ⊥，60BGD ∴∠=︒，120AGD EBD ∴∠=︒=∠， BDE GDA ∴△∽△，DA GD DE BD∴=， 在Rt BDG 中，3tan 30DG BD =︒= 3AD DE ∴=，即3DE AD =．【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、正切的性质是解题的关键． 14．如图，已知点E 在ABC 内，ABC EBD α∠=∠=，60ACB EDB ∠=∠=︒，150AEB ∠=︒，90BEC ∠=︒．（1）当60α=︒时，求证：3BD AE =； （2）当90α=︒时，求BD AE 的值． 【答案】(1)见解析;(2) 16.【解析】【分析】（1）连结DC ，易证ABE CBD ∆≅∆，然后得到90EDC ∠=︒，30CED ∠=︒，然后利用直角三角形性质得到3BD =（2）连结DC ，易证ABCEBD ∆∆，设BD x =在直角三角形EBD 中由相似比可直接得到答案【详解】 如图所示图1，（1）连结DC ，易证ABE CBD ∆≅∆，①AE CD =，证90EDC ∠=︒，30CED ∠=︒， ①33BD ED CD AE === （2）如图所示图2，①AB EB BC BD=①~ABE CBD ∆∆， ①BCD BAD ∠=∠①CD AD ⊥又①60CED ∠=︒，设BD x =，则2DE x =，23CD x =①3AE AB CD BC==6AE x =，①16BD AE =【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，能够知道相似三角形对应边成比例是求线段比的常用方法是本题关键 15．（1）【问题发现】：如图1在Rt①ABC 中，AB ＝AC ，①BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 与点A 重合，易知①ACF ①①BCE ．线段BE 与AF 有怎样的数量关系？请直接写出．（2）【拓展研究】：在（1）的条件下，将正方形CDEF 绕点C 旋转至如图2所示的位置，连接BE ，CE ，AF ．请猜想线段BE 和AF 的数量关系，并证明你的结论；（3）【结论运用】：在（1）（2）的条件下，若①ABC 的面积为8时，当正方形CDEF 旋转到B 、E 、F 点共线时，请直接写出线段AF 的长． 【答案】（1）2BE =；（2）2BE AF =，证明过程见解答；（3）32或232．【解析】【分析】（1）当点E 与点A 重合时，证明ACF ∆和BCE ∆都是等腰直角三角形，所以它们的对应角相等，可得ACF BCE ∽，可推出2BE AF =；（2）由FEC 和ABC 都是等腰直角三角形可得2AC FC BC EC =45ACF BCE ACE ∠=∠=︒-∠，可证明ACF BCE ∽，可推出2BE AF =仍然成立；（3）由B 、E 、F 三点共线得90BFC ∠=︒，根据图1，由ABC 的面积为8，可求出22AD =42BC =且22EF CF DE AD ====BCF △中由勾股定理求出BF 的长，再求BE 的长，再由2BE AF =求出AF 的长．【详解】 解：（1）结论：2BE =，如图1，AB AC =，90BAC ∠=︒，45B ACB ∴∠=∠=︒，四边形CDEF 是正方形，EF CF ∴=，90F ∠=︒，45FEC FCE ∴∠=∠=︒，FEC B ∴∠=∠，FCE ACB ∠=∠，点E 与点A 重合，FEC FAC B ∴∠=∠=∠，FCE FCA ACB ∠=∠=∠，AB BE =， ACF BCE ∴△∽△； ∴AF AC AB BC=， 2sin sin 45AC B BC ==︒ ∴2AF BE 2BE AF ∴．（2）2BE =．证明：如图2，由（1）得，2sin sin 45AC B BC ==︒四边形CDEF 是正方形，EF CF ∴=，90EFC ∠=︒，45FEC FCE ∴∠=∠=︒，∴2sin sin 45FC FEC EC =∠=︒= ∴2AC FC BC EC = 45ACF BCE ACE ∠=∠=︒-∠，ACF BCE ∴△∽△，∴2AF AC BE BC == 2BE AF ∴． （3）如图1，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为BC 的中点，12AD BC ∴=，AD BC ⊥， 2BC AD ∴=， ABC ∆的面积为8，∴182BC AD ⋅=，28AD ∴=， 22AD ∴=42BC ∴=点E 与点A 重合，四边形CDEF 是正方形，22EF CF DE CD ∴====如图2，B 、E 、F 三点共线且点E 在线段BF 上，90BFC ∠=︒，2222(42)(22)26BF BC CF ∴--，2622BE BF EF ∴=-=2BE AF =． 22622=232AF ∴=；如图3，B 、E 、F 三点共线且点F 在线段BE 上，90BFC ∠=︒，2222(42)(22)26BF BC CF ∴--， 则2622BE BF EF =+=2BE AF =． 22622=232AF ∴=，综上所述，线段AF 的长为32或232．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的化简以及解直角三角形等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．解题关键是利用旋转相似得到ACF BCE ∽，问题（3）难点正确画出图形，得到90BFC ∠=︒．16．如图，ABC 和ADE 是有公共顶点直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）如图1，若ABC 和ADE 是等腰直角三角形，求证：CP BD ⊥；（2）如图2，若30ADE ABC ∠=∠=︒，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，4AB =，3AD =，若把ADE 绕点A 旋转，当90EAC ∠=︒时，请直接写出PB 的长度【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）PB 的长为45或285． 【解析】【分析】（1）由条件证明①ABD ①①ACE ，即可得①ABD =①ACE ，可得出①BPC =90°，进而得出BD ①CP ； （2）先判断出①ADB ①①AEC ，即可得出结论；(3) 分为点E 在AB 上和点E 在AB 的延长线上两种情况画出图形，然后再证明①PEB ①①AEC ，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．【详解】解：（1）证明：如图，①①BAC =①DAE =90°，①①BAE +①CAE =①BAD +①BAE ， 即①BAD =①CAE ．①ABC 和ADE 是等腰直角三角形， ①AD AE =，AB AC = 在①ABD 和①ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ①①ABD ①①ACE （SAS ）， ①①ABD =①ACE ．①①CAB =90°，①①ACF +①AFC =90°，①①ABP +①BFP =90°．①①BPF =90°，①BD ①CP ；（2）（1）中结论成立，理由： 在Rt ①ABC 中，①ABC =30°， ①AB 3，在Rt ①ADE 中，①ADE =30°， ①AD 3，①AD AE AB AC=①①BAC =①DAE =90°，①①BAD =①CAE ，①①ADB ①①AEC ．①①ABD =①ACE同（1）得CP BD ⊥； （3）解：①ABC 和ADE 是等腰直角三角形， ①=3AD AE =，=4AB AC = ①当点E 在AB 上时，BE =AC -AE =1．①①EAC =90°，①CE 2222=3+4AE AC +． 同（1）可证①ADB ①①AEC ． ①①DBA =①ECA ．①①PEB =①AEC ， ①①PEB ①①AEC ． ①PB BE AC CE = ①145PB =． ①PB =45． ①当点E 在BA 延长线上时，BE =5．①①EAC=90°，①CE=5．同（1）可证①ADB①①AEC．①①DBA=①ECA．①①BEP=①CEA，①①PEB①①AEC．①PB BE AC CE=．①7 45 PB=．①PB=285．综上所述，PB的长为45或285．【点睛】此题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得①PEB①①AEC是解题的关键．17．如图，在Rt①ABC中，①ACB=90°，①B=30°，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且PC＜BC，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转60°交线段CA的延长线于点D．（1）找出与①AMP相等的角，并说明理由．（2）若CP=12BC，求ADBC的值．【答案】（1）①D=①AMP，理由见解析；（23【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得①PMD=60°，即可得到①AMD+①AMP=60°，只需要找到一个角与角①AMD的度数和为60度即可得到答案；（2）过点C作CG①BA交MP于点G，证明①MDA①①MGC，①CGP①①BMP，然后计算求解即可得到答案.【详解】解：（1）①D=①AMP，理由如下：①①ACB=90°，①B=30°，①①BAC=60°，①①D+①DMA=①BAC =60°由旋转的性质知，①DMA+①AMP=①PMD =60°，①①D=①AMP；（2）如图，过点C作CG①BA交MP于点G，①CG①BA①①GCP=①B=30°，①BCG=180°-①B =150°．①①ACB=90°，点M是AB的中点，①B=30°①①BAC=60°①12CM AB BM AM===，①①MCB=①B=30°，①①MCG=120°，①①MAD=180°﹣①BAC =120°，①①MAD=①MCG．由旋转的性质得①PMD=60°①①AMC=①MCB+①B=60°①①AMG=①PMD①①DMG﹣①AMD=①AMG=①AMC﹣①GMC，①①DMA=①GMC．在①MDA 与①MGC 中，MAD MCG AMD CMG MC MA ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①MDA ①①MGC （ASA ），①AD =CG ．①CP =12BC ，①CP =13BP ． ①①GCP =①B ，①GPC =①MPB ①①CGP ①①BMP ，①13CG CP BM BP == ①3BM CG =设CG =AD =t ，则BM =3t ，AB =6t ．在Rt ①ABC 中，cos cos 3033BC AB B AB t ===∠∠， ①333AD BC t == 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．在ABC 和ADE 中，BA BC =，DA DE =，且ABC ADE α∠=∠=，点E 在ABC 的内部，连接EC ，EB ，EA 和BD ，并且90ACE ABE ∠+∠=︒．【观察猜想】（1）如图①，当60α=︒时，线段BD 与CE 的数量关系为__________，线段EA ，EB ，EC 的数量关系为__________．【探究证明】（2）如图①，当90α=︒时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E 在线段CD 上时，若5BC =BDE 的面积．【答案】（1）BD CE =，222EB EC EA +=；（2）不成立，理由见解析；（3）2【解析】【分析】（1）由①DAB ①①EAC （SAS ），可得BD =EC ，①ABD =①ACE ，由①ACE +①ABE =90°，推出①ABD +①ABE =90°，可得①DBE =90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA 2=EC 2+2BE 2．由题意①ABC ，①ADE 都是等腰直角三角形，想办法证明①DAB ①①EAC ，推出DB AB EC AC =2，①ACE =①ABD ，可得①DBE =90°，推出DE 2=BD 2+BE 2，即可解决问题； （3）首先证明AD =DE =EC ，设AD =DE =EC =x ，在Rt ①ADC 中，利用勾股定理即可解决问题；【详解】（1）如图①中，①BA =BC ，DA =DE ．且①ABC =①ADE =60°，①①ABC，①ADE都是等边三角形，①AD=AE，AB=AC，①DAE=①BAC=60°，①①DAB=①EAC，①①DAB①①EAC（SAS），①BD=EC，①ABD=①ACE，①①ACE+①ABE=90°，①①ABD+①ABE=90°，①①DBE=90°，①DE2=BD2+BE2，①EA=DE，BD=EC，①EA2=BE2+EC2．故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2．（2）结论：EA2=EC2+2BE2．理由：如图①中，①BA=BC，DA=DE．且①ABC=①ADE=90°，①①ABC，①ADE都是等腰直角三角形，①①DAE=①BAC=45°，①①DAB=①EAC，①ADAE2ABAC2①AD AB AE AC=，①①DAB①①EAC，①DB ABEC AC=2①ACE=①ABD，①①ACE+①ABE=90°，①①ABD+①ABE=90°，①①DBE=90°，①DE2=BD2+BE2，①EA2DE，BD=22EC，①12EA2=12EC2+BE2，①EA2=EC2+2BE2．（3）如图①中，①①AED=45°，D，E，C共线，①①AEC=135°，①①ADB①①AEC，①①ADB=①AEC=135°，①①ADE=①DBE=90°，①①BDE=①BED=45°，①BD=BE，①DE2，①EC2BD，①AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt①ABC中，①AB=BC5①AC10在Rt①ADC中，①AD2+DC2=AC2，①x2+4x2=40，①x2，①AD=DE2①BD =BE =2，①S ①BDE =12×2×2=2． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．19．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题发现：如图1，在等边ABC 中，点P 是边BC 上任意一点，连接AP ，以AP 为边作等边APQ ，连接CQ ，BP 与CQ 的数量关系是________；（2）变式探究：如图2，在等腰ABC 中，AB BC =，点P 是边BC 上任意一点，以AP 为腰作等腰APQ ，使AP PQ =，APQ ABC ∠=∠，连接CQ ，判断ABC ∠和ACQ ∠的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形APEF ，Q 是正方形APEF 的中心，连接CQ ．若正方形APEF 的边长为5，2CQ =ADBC 的边长． 【答案】（1）BP CQ =；（2）ABC ACQ ∠=∠；理由见解析；（3）4．【解析】【分析】（1）利用SAS 定理证明BAP CAQ △≌△，根据全等三角形的性质解答；（2）先证明BAC PAQ △∽△，得到AB AP AC AQ=，再证明BAP CAQ △≌△，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接AB 、AQ ，根据相似三角形的性质求出BP ，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：（1）问题发现：①ABC ∆和APQ ∆都是等边三角形，①A B AC =，AP AQ =，60BAC PAQ ∠=∠=︒， ①BAP CAQ ∠=∠，在BAP △和CAQ ∆中，AB AC BAP CAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()BAP CAQ SAS ≌△△，①BP CQ =，故答案为：BP CQ =；（2）变式探究：ABC ACQ ∠=∠， 理由如下：①AB BC =，①1802ABC BAC -∠︒∠=， ①AP PQ =，①1802APQ PAQ ︒-∠∠=， ①APQ ABC ∠=∠，①BAC PAQ ∠=∠， ①BAC PAQ △∽△，①AB AP AC AQ=， ①BAP PAC PAC CAQ ∠+∠=∠+∠，①BAP CAQ ∠=∠，①BAP CAQ ∽△△，①ABC ACQ ∠=∠；（3）解决问题：连接AB 、AQ，如图所示:①四边形ADBC 是正方形，①2AB AC=45BAC ∠=︒， ①Q 是正方形APEF 的中心，①2AP AQ=45PAQ ∠=︒， ①BAP PAC PAC CAQ ∠+∠=∠+∠，即BAP CAQ ∠=∠，①AB AP AC AQ=， ①ABP ACQ △∽△， ①2CQ AC BP AB == ①2CQ =①1BP =，设PC x =，则1BC AC x ==+，在Rt APC △中，222AP AC PC =+，即()22251x x =++，解得，14x =-（舍去），23x =，①正方形ADBC 的边长为：314+=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．20．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点．CDE △绕点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0360α︒≤≤︒，记直线AD 与直线BE 的交点为点P ．（1）如图1，当0α=︒时，AD 与BE 的数量关系为_________，AD 与BE 的位置关系为_______；（2）当0360α<≤︒︒时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）CDE △绕点C 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P 点运动轨迹的长度和P 点到直线BC 距离的最大值． 【答案】（1）3,AD BE AD BE =⊥；（2）依然成立，证明见解析；（3）233π． 【解析】【分析】（1）分别求出AD ，BE 的长，即可求解；（2）通过证明①BCE①①ACD ，可得3AD AC BE BC=①CBO=①CAD ，可得结论； （3）利用锐角三角函数可求①EBC=30°，由弧长公式可求P 点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P 点到直线BC 距离的最大值．【详解】解：（1）①在Rt①ABC 中，①C=90°，①A=30°，BC=1， 33AB=2BC=2，AD①BE ，①点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，①AD=CD=123BE=EC=12BC=12， 3，故答案为：3，AD①BE ；（2）结论仍然成立，理由如下：3BC=1，3EC=12， ①33BC AC ，3EC CD = ①BC EC AC DC=， ①①CDE 绕点C 顺时针旋转， ①①BCE=①ACD ，①①BCE①①ACD ，①3AD AC BE BC=①CBO=①CAD ， 3，①①CBO+①BOC=90°，①①CAD+①AOP=90°，①①APO=90°，①BE①AD；（3）①①APB=90°，①点P在以AB为直径的圆上，如图3，取AB的中点G，作①G，以点C为圆心，CE为半径作①C，当BE是①C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH①BC，交BC的延长线于H，连接GP，①BE是①C切线，①CE①BE，①sin①EBC=12 ECBC=，①①EBC=30°，①①GBP=30°，①GB=GP，①①GBP=①GPB=30°，①①BGP=120°，①点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，①P点运动轨迹的长度=120121803ππ︒⨯⨯=︒，①①ABP=30°，BP①AP，①AP=12AB=1，33①①CBP=30°，PH①BH，①PH=123 ①P 点到直线BC 3 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，确定点P 的运动轨迹是本题的关键．21．如图，以ABC 的两边AB 、AC 分别向外作等边ABD △和等边ACE ，BE 与CD 交于点P ，已知3PA =，4PB =，5PC =．（1）求证：ADC ABE ≅；（2）求DPB ∠的度数及BE 的长；（3）若点Q 、R 分别是等边ABD △和等边ACE 的重心（三边中线的交点），连接AQ 、AR 、QR ，作出图象，求QR 的长．【答案】（1）见解析；（2）60°，12；（3）43【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AE=AC ，①DAB=①EAC=①AEC=①ACE=60°，得到①DAC=①BAE ，即可证明①ADC①①ABE ；（2）根据全等三角形的性质得到①ADP=①ABP ，设AB ，PD 交于O ，根据三角形的内角和即可得到①DPB=①DAB=60°；在PE 上取点F ，使①PCF=60°，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论；（3）过点Q 作QG①AD 于G ，设QG=x ，根据等边三角形的性质得到AQ=2x ，3，AB=3，证明①ABE①①AQR ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）①①ABD 和①ACE 都为等边三角形，①AD=AB ，AE=AC ，①DAB=①EAC=①AEC=①ACE=60°，①①DAB+①BAC=①EAC+①BAC ，即①DAC=①BAE ，在①ADC 与①ABE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ADC①①ABE （SAS ）；（2）①①ADC①①ABE ；①①ADP=①ABP ，设AB ，PD 交于O ，①①AOD=①POB ，①①DPB=①DAB=60°；如图①，在PE 上取点F ，使①PCF=60°，同（1）可得①APC①①EFC ，①EPC=①EAC=60°，①EF=AP=3，①CPF 为等边三角形，①BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如图①，过点Q 作QG①AD 于G ，设QG=x ，①点Q 、R 分别是等边①ABD 和等边①ACE 的重心，①AQ=2x ，3，AB=3， ①3AQ AR AB AE =，①QAR=①QAB+①BAC+①RAC=30°+①BAC+30°=60°+①BAC ， ①①QAR=①BAE ，①①ABE①①AQR ，①QR ：BE=AQ ：AB ， ①31243QR == 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．已知正方形ABCD ，点E 是CB 延长线上一点，位置如图所示，连接AE ，过点C 作CF①AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：FAB BCF ∠=∠；（2）作点B 关于直线AE 的对称点M ，连接BM ，FM ．①依据题意补全图形；①用等式表示线段CF ，AF ，BM 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见详解；（2）①见详解；①CF=AF+BM ，证明见详解．【解析】。
专项练习 九年级上册数学 旋转中的相似三角形
试卷第1页，共9页专题 旋转中的相似三角形（专项练习）（培优练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） （2024·浙江宁波·一模）1．如图，将矩形ABCD 绕点C 顺时针方向旋转90°得到矩形FGCE ，连接AF ，点H 是AF 的中点，连接GH .若AB=2, BC=4，则GH 的长为（）A.2B.√2C.1D.2√2 （2024·河南南阳·三模）2．如图，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点上，AC ，BO 相交于点D ，已知点B(-4,6)，若矩形绕点O 顺时针旋转，每次旋转45°，则旋转2026次后，矩形的对角线交点D 的坐标为( )A.(-2,3)B.(3,2)C. (2,3)D.(3,-2) （2024九年级·全国·竞赛） 3．如图，直线y =√33y −1的图象与x 轴相交于点A ，将它绕点A 旋转90°后所得到的直线的解析式为（ ).A. y =3y −3√3B. y =−3y −3√3C. y =−√3y +3D. y =−√3y −3（23-24九年级上·浙江·阶段练习）4．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若BC=6cm AB=16cm，水面BF离桌面的高度为9.6cm，则此时点C离桌面的高度为（）图1A. 10cmB. 13.2cmC. 14.4cmD. 16cm（21-22九年级下·广东深圳·周测）5．矩形ABCD中，yy=√17，连接对角线AC，将ΔABC 绕点A 旋转得到Δyy′y′,y′y′交边CD于点G，恰好CG=2, yy′=y′y，则yy′yy′值为（）A. √263B. √172C. 32D.√173（2024·河南周口·模拟预测）6．把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC、FGH如图1放置（点C与点H重合），若将ΔFGH绕点C在平面内旋转，HG、HF分别交边AB于点E、D（点D、E均不与点A、B 重合）.设AE=x,BD=y，在旋转过程中，y与x的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是 （）试卷第2页，共9页试卷第2页，共9页A. y =2√2B. y =y 2−4y −5C. yy 2+yy 2=2yy 2D. xy=8 （23-24九年级上·山东德州·期末）7．如图，矩形ABCD 和矩形AEFG,AD=12,AB=9,AG=8,AE=6，矩形AEFG 绕点A 旋转，给出下列结论： ①3BE=DG;②BE ⊥DG,③当∠yyy =60∘ 时4y Δyyy =3√3y Δyyy ;④yy 2+yy 2=315，其中正确的结论的个数为（）A.2B.3C.4D.5 （2024·浙江嘉兴·一模）8．如图，直角坐标系中，点A(0,4), B(3,0)，线段AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°得到线段BC ，则点C 的纵坐标为（）A.5B. 3+√2C. 5−√22D.7√22（2022·山东泰安·二模）9．如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 在x 轴上， OB=5 OA=2，点C 是y 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到AD ，连接BD ，则BD 的最小值为( )试卷第4页，共9页A. 72 B. 52 C. 52√2 D. 72 （21-22九年级上·江苏无锡·期中）10．如图，边长为10的等边ΔABC 中，点D 在边AC 上，且AD=3，将含30°角的直角三角板 ∠y =30∘)绕直角顶点D 旋转，DE 、DF 分别交边AB 、BC 于P 、 0，连接PQ.当EF ∥PQ 时，DQ 长为（ ）A.6B. √39C.10D.6√3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） （2024九年级下·上海·专题练习）11．如图，已知ΔABC 中， AC=3、 BC=4 AB=5，将ΔABC 绕点C 旋转，使点A 落在边AB 上的点D 处，此时点B 落在点E ，DE BC 相交于点 ，则CF 长为（23-24九年级上·浙江杭州·期末）12．如图，四边形ABCD 与四边形BEFG 都是正方形，将正方形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转，连接AG ，DF ，CE .则AG 和CE 的数量关系为 ；在正方形BEFG 绕点B 按顺试卷第5页，共9页时针方向旋转的过程中，yy yy的值为 .（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）13．如图，在Rt ΔABC 中， ∠yyy =90∘,AC=8, BC=6，将ΔABC 绕直角边BC 中点O 旋转，得到ΔDEF ，并使边DE 恰好经过点C ，过点A 作DE 垂线，交DE 延长线于点G ，则yy =（2024·江苏无锡·二模）14．如图， ∠y =∠y =90∘ AC=EF=8, AB=DF=10，将ΔDEF 的顶点D 与AB 边的中点重合，并将ΔDEF 绕着点D 旋转.在旋转过程中，∠EDF 的边DF 、DE 始终与BC 边相交，交点分别为M 、N .当CN=BM 时，MN 的长是 .（2024·陕西榆林·二模）15．如图，在正方形ABCD 中， AB=8，点H 在CD 上，且CH=2，点E 绕着点B 旋转，且BE=2，在CE 的上方作正方形EFGC ，连接AF 、FH ，则线段AF 的长为 ，线段FH 的最小值是 .（16-17九年级上·江苏无锡·期末）16．如图，在RtΔABC中，∠yyy=90∘，将ΔABC绕点C旋转得到Δy′y′y，点A的对应点A＇恰好与ΔABC的重心重合，y′y′与BC相交于点E，那么BE：CE的值为 .（23-24八年级下·江苏无锡·期末）17．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在线段BC上 （不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E按顺时针方向旋转90°得到FE．连接CF，则＜DCF的度数是.设AF与CD交于点G，连接DF，EG，当DF最小时，四边形CEGF的面积是（2023·浙江·模拟预测）18．如图，已知RtΔABC y RtΔDEF ∠y=∠y=90∘AC=DF=3,BC=EF=4,ΔDEF ,绕着斜边AB 的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q.当ΔBDQ为等腰三角形时，AP 的长为试卷第6页，共9页三、解答题（本大题共6小题，共58分）（22-23九年级上·山西吕梁·期末）19．如图，在等腰ΔABC中，AB=AC=18 BC=12.将ΔABC以C为中心顺时针方向旋转，使得点B的对应点E恰好落在AB边上，点A的对应点为D，DE与AC相交于点F.（1）求证：DC∥AB.（2）求出线段BE的长度．（2024·福建泉州·二模）20．如图，在RtΔABC中.∠y=90∘, BC=6, AC=8.ΔEFG由ΔABC沿CB方向平移得到，线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点D落在直线EF上．（1）求ZADF的大小；（2）求四边形AEFB的面积．（22-23九年级下·河南新乡·阶段练习）21．在RtΔABC中，∠yyy=90∘AB=nBC,P为AB上的一点 （不与端点重合），过点P 作PM⊥AB交AG于点M，得到ΔAPM.试卷第7页，共9页图1 图2 备用图（1）【问题发现】如图1，当n=1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为＿；（2）【类比探究】如图2，当n=2时，ΔAPM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由；（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB=4, AP=2，当ΔAPM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长.（23-24八年级下·山东淄博·期末）22.ΔABC中，AB=AC, ∠yyy=90∘-P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．图a 图b（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：ΔBPE∽ΔCFP;（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.ΔBPE与ΔCFP还相似吗？说明理由.（3）在（2）的条件下，连接EF，动点P在BC上运动的过程中，是否存在ΔBPE与ΔPFE 相似的情况？若不存在请说明理由，若存在请说出点P的位置，并证明.（2024·广东佛山·三模）23．如图1，正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别是边AB，AD的中点，连接EF，点G是线段EF上的一个动点，连接AG，将线段AG绕点A逆时针方向旋转90°，得到AH，连接HD，GB.试卷第8页，共9页备用图（1）求证：GB=HD（2）如图2，若EG=FG，连接FH，试判断四边形AGFH的形状，并说明理由；（3）若直线BG与直线DH交于点M，当ΔAHD为直角三角形时，求四边形AGMH的面积．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）24．已知在RtΔABC中，∠yyy=90∘,yy=yy=4√2,（1）如图1，BC=CD，连接AD，过点C作CELAD于点E，与DB的延长线交于点F，连接AF图1 图2①求／BFC的度数；②②求证：AF+BF=√2CF;（2）如图2，RtΔPCQ绕点C旋转，且yy=yy=2√2,∠yyy=90∘，连接AP、BQ、BP,过点Q作QM⊥BC于M,，当BP-AP的值最大时，直接写出yyyy试卷第9页，共9页。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。
本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。
二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。
2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。
3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。
若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。
若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。
6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。
如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。
7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。
如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。
8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。
如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。
求这两个旅游小组的总年龄之比。
三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。
即 EF/AC = DE/BC。
代入已知值，得 EF/10 = 9/8。
初中数学相似三角形专项练习题：与旋转变换综合训练题(附答案)
当 且 时，
① 中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 的值．
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，在 绕点D旋转的过程中，试证明 恒成立；
（3）若 ， ，求DN的长．
12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ ．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．
（1）当点E与点C重合时．
（1）求∠EOF的度数.
（2）连接OA、OC（如图2）.求证：△AOE∽△CFO.
（3）若OE= OF，求 的值.
25．如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（1）当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF＝ S四边形AEOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
29．如图，直线 分别交轴于A、C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PB⊥ 轴于B，且S△ABP=9．
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
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尝试应用：如图（2），在 和 中， ， ， 与 相交于点 ．点 在 边上， ，求 的值；
拓展创新：如图（3）， 是 内一点， ， ， ， ，直接写出 的长．
9．将正方形 的边 绕点 逆时针旋转至 ，记旋转角为 ．连接 ，过点 作 垂直于直线 ，垂足为点 ，连接 ，
6．发现规律：
（1）如图①， 与 都是等边三角形，直线 交于点 ．直线 ， 交于点 ．求 的度数
（2）已知： 与 的位置如图②所示，直线 交于点 ．直线 ， 交于点 ．若 ， ，求 的度数
应用结论：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 为 轴上一动点，连接 ．将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，求线段 长度的最小值
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，在 绕点D旋转的过程中，试证明 恒成立；
（3）若 ， ，求DN的长．
12．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ ．点D，E分别在边AB，AC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连结BF，BF的中点为G．
（1）当点E与点C重合时．
(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
(2)求当点E在线段AF上时CD的长；
(3)设AE的中点为M，连接FM， Nhomakorabea求FM长的取值范围．
11．在 中， ，CD是中线， ，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
14．几何探究：（问题发现）
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）
（类比探究）
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有 角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；
（拓展延伸）
7．在 中， ，将 绕点 顺时针方向旋转 角 至 的位置．
（1）如图1，当旋转角为 时，连接 与 交于点 ，则 ．
（2）如图2，在（1）条件下，连接 ，延长 交 于点 ，求 的长．
（3）如图3，在旋转的过程中，连线 所在直线交 于点 ，那么 的长有没有最大值?如果有，求出 的最大值：如果没有，请说明理由．
如图1，当 时， 的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．
（2）类比探究
如图2，当 时，请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当 时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 的值．
16．如图1，点E为△ABC边AB上的一点，⊙O为△BCE的外接圆，点D为 上任意一点．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1．(n≥2，且n为正整数)．
初中数学相似三角形专项练习题：与旋转变换综合训练题（附答案）
1．如图，正方形 中，点 是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形 ，边 与正方形 的对角线 相交于点 ，连接 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数为（）A． 个B． 个C． 个D． 个
2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则 的值为（ ）A． B． C． D．
（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；
（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4 ，AB＝4 ，AG＝4，AE＝4 ，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长
3．已知正方形 的边长为12， 、 分别在边 、 上，将 沿 折叠，使得点 落在正方形内部（不含边界）的点 处， 的延长线交 于点 ．若点 在正方形的对称轴上，且满足 ，则折痕 的长为________．
4．如图，已知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形，点E在CD上，点H为AG的中点， ， ， ， ，则DH的长为______．
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若 ，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．
15．在 ， ， ．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
5．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证： = ．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且 = ，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且 = ，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
①如图1，若AD＝BD，求BF的长．
②当点D从点A运动到点B时，求点G的运动路径长．
（2）当AE＝3，点G在△DEF一边所在直线上时，求AD的长．
13．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．
如图1，当 时， 的形状为，连接 ，可求出 的值为；
当 且 时，
① 中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 的值．
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．