共同本征函数解读

§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明

在算符A

ˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。如果测量B ，则不一定能得到确定值。

例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定

≥∆⋅∆p x

对于比较普遍的情况，设有A

ˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）

因为A

ˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。 考虑积分⎰

≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i A

I ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。 展开上式，有

⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτ

ψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**B

B B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）

因为A

ˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰

⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I （利用了厄米性）

而A B B A A A B B B B A A A B B A

ˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰

⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξ

ξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2

）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ

令K i A B B A

ˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ

这是有关实参数的一元二次方程。 其有解的条件可由判别式给出，即

4

)ˆ()ˆ(22

2

K B A ≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A

≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。比如：因为 i p

x x =]ˆ[，，则有2

ˆ

≥∆⋅∆x p x 。 对易关系对测不准关系的意义

一般来说，若两个力学量A 和B 不对易，则A ∆、B ∆不能同时为0。 如果一个完全确定（0=∆A ），则另一个完全不确定（∞→∆B ）。 即A 和B 不能同时测定，或者说它们不能有共同的本征态。 但当A 和B 对易时，0=∆=∆B A 的特殊情况是存在的。

如在),(00ψθY 态中，x L ˆ，y

L ˆ同时有确定值0。 反过来说，若两个力学量A 和B 对易，则可以找到状态，使得A ∆、B ∆同时为0，这

样的状态称为A

ˆ，B ˆ的共同本征态。这实际上就是我们介绍测不准关系的最重要的原因。 例1讨论动量三个分量）（z y x p p p ˆ,ˆ,ˆ的共同本征态。 由于0]ˆˆ[=βαp p ，，所有），，（z y x p p p

ˆˆˆ可以有共同本征态， 即平面波函数)()()()(z y x r z y x

p p p p ψψψψ=

。 具体表示为

r p i zp yp xp i

p p p p e e

z y x r z y x z

y

x

⋅++===2

/3)(2/3)2(1)2(1)()()

()(ππψψψψ 相应的本征值为),,(z y x p p p p

。

例2坐标),,(z y x r

的共同本征态，即δ函数。

)()()()(0000

00z z y y x x r z y x ---=δδδψ

在讲述两个力学量的共同本征函数的一般原则以前，先讨论角动量的本征态。

由于其三个分量不对易，γαβγβαεL i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =，故一般无共同本征态，但由于

0]ˆ,ˆ[2=α

L L ，我们可以找出2ˆL 与任一分量（一般取为z L ˆ）的共同本征态。

2、2

ˆL ，z

L ˆ的共同本征函数 球谐函数 采用球坐标

θ

θθθθϕθθθθθ2222

2222sin ˆ)sin (sin ]

sin 1)sin (sin 1[ˆz L +

∂∂

∂∂-=∂∂+∂∂∂∂-= L

ϕ

∂∂-= i ˆz

L 考虑到0]ˆ,ˆ[2=z L L ，2

ˆL 的本征函数可以同时也取为z

L ˆ的本征态，即取其交集。 ϕϕψm m i e 21

)(π

=

，),2,1,0( ±±=m 此时，由于)(ϕψm 也是2ˆL

本征函数， 2ˆL 的本征函数实际上可以分离变量，即可以写为)()(),(ϕψθϕθm Y Θ=，

代入本征方程

),(),(ˆ22ϕθλϕθY Y L

=， 2 λ是2ˆL

的本征值（λ无量纲），用2ˆL 的球坐标表达式代入得 0)sin ()d d (sin d d sin 12

2=Θ-+Θθ

λθθθθm ，)0(πθ≤≤ 上式还较为复杂，需要化简。为此令)1|(|cos ≤=ξθξ，得

0)1(d d 1d d 2

22=Θ--+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡Θ-ξλξξξm ）（ 或

0)1(d d 2d d 12

2

222

=Θ--+Θ-Θ-ξ

λξξξξm ）（ 这是缔合勒让德方程。

在1||≤ξ区域中，微分方程有两个正则奇点1±=ξ，其余的均为常点。可以证明，当

)1(+=l l λ， ,2,1,0=l