部分习题及其解答

本教材习题和参考答案及部分习题解答
第四章
已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0y
σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ=
试求法线方向余弦为112n =，122
n =
，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和
剪应力n τ。

解：应力矢量T 的三个分量为
11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-
总应力111.8T a 。

正应力26.04n i i T n a σ==。

剪应力108.7n a τ。

过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。

证：利用应力张量的对称性，可得
12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。

证毕。

某点的应力张量为
01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。

解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=
即
2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=
上式有两个解：20n =或1y
σ=。

若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得
1n =30n =，这是不可能的。

所以必有1y σ=。

将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，
可求得
=n
基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证
应力分量 22(arctg )x y xy
A C x x y
σ=--++ 22(arctg )y
y xy
A B x x y
σ=-+++
0z yz xz σττ===，2
22
xy y A x y τ=-+
满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。

解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。

在0y =的边界上，有边界条件 0()y y q σ==-，0()0xy y τ==
所给的应力分量xy τ自动满足上面的第二个条件。

将y σ的表达式代入上面的第一个条件，得
AB q =- (1) 在上斜面上，有
tg y x β=-，所以斜面上的应力分量可以简化成
(sin cos )x A C σβββ=++，(sin cos )x A B σβββ=-+，
2sin xy A τβ=-，0z yz xz σττ=== (2)
斜面上的外法向方向余弦为
1sin n β=-，2cos n β=-，30n = (3) 将式(2)和(3)代入边界条件0ij j n σ=，得
(sin cos )cos 0
C A AB βββββ+=--=⎧⎨
⎩ (4)
联立求解(1)和(4)，得
tg q
A ββ
=
-，tg B ββ=-，C β=-
图表示一三角形水坝，已求得应力分量为 x ax by σ=+，y
cx dy σ=+，0z σ=，
0yz xz ττ==，xy dx ay x τγ=---
γ和1γ分别是坝身和水的比重。

求常数a 、b 、c 、d ，使上述应力分量满足边界条件。

解：在0x =的边界上，有边界条件 01()x x y σγ==-，0()0xy x τ==
将题中的应力分量代入上面两式，可解得：0a =，1b γ=-。

在左侧的斜面上，tg x y β=，外法向方向余弦为 1cos n β=，2sin n β=-，30n =
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件0ij j
n σ=，可解得：
21ctg d γβγ=-，21ctg (2ctg )c βγγβ=-。

物体的表面由
(,,)0f x y z =确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷
(,,)p x y z ，试写出其边界条件。

解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
n 或
i
n
按题意，边界条件为 p ⋅=σn n 因此
即 f p f ⋅∇=∇σ
上式的指标形式为 ,,ij
j i f pf σ=。

如图所示，半径为a 的球体，一半沉浸在密度为ρ的液体内，试写出该球的全部边界条件。

解：球面的外法向单位矢量为
i i
x a a ==
r n e 或 i i x n a
= 当0z ≤时，有边界条件
⋅=σn 0 即 ⋅=σr 0 或 0ij j x σ=。

当0z ≥时，球面上的压力为gz ρ，其中g 为重力加速度，边界条件为 gz σρ⋅=-n n 即 gz ρ⋅=-σr r 或 ij j i x gzx σρ=-。

物体的应力状态为ij
ij σσδ=，其中σ为矢径r 的函数。

(1)证明物体所受的体积力是有势
力，即存在一个函数ψ，使ψ=-∇f ；(2)写出物体表面上的面力表达式。

解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以
,,i i i i σσσσ=-∇⋅=-∇⋅=-⋅=-=-∇f σI I e e
所以，只要令ψσ=，就有ψ=-∇f 。

(2)表面上的面力为 σσ=⋅=⋅=T n σn I n 或 i j T n σ=。

已知六个应力分量ij σ中的30i σ=，求应力张量的不变量并导出主应力公式。

解：应力张量的三个不变量为：1x y I σσ=+，2
2x y xy I σστ=-，30I =。

特征方程是
3212122()0I I I I σσσσσσ-+=+=- 上式的三个根即三个主应力为0σ=和
2
x y
σσσ+=
已知三个主应力为1σ、2σ和3σ，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，
其法向单位矢量为
1n ，2n ，3n = 求八面体各个面上的正应力0σ和剪应力0τ。

解：01231
()3
ij i j n n σσσσσ==++，
ij j i n σ=T e ，222
1232223
i i T n σσσσ++=⋅==
T T ，
0τ
某点的应力分量为1122330σσσ===，122331σσσσ===，求： (1)
过此点法向为123)++n e e e 的面上的正应力和剪应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。

解：
(1)123)ij j i
n σ=++T e e e e ， 224T σ=⋅=T T 。

正应力为2n σσ=⋅=T n 。

剪应力为0n τ。

由此可知，2σ
是主应力，123)++n e e e 是和其对应的主方向。

(2)用λ表示主应力，则
2()(2)0λ
σσ
σλσλσλσσσλ
--=-+-=-
所以，三个主应力是12σσ=，23σσσ==-。

由上面的结论可知，和1σ对应的主
方向是n ，又因为23σσσ==-是重根，所以和n 垂直的任何方向都是主方向。

第五章
把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为ij
ijkl kl C εσ=，试写出柔度系数张量ijkl C 的具
体表达式。

解：
橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q 作用，如图所示。

设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。

试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。

解：取压力q 的方向为z 的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x 、y 的方向。

按题意有
证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。

非各向同性体
是否具有这样的性质试举例说明。

解：对各向同性材料，设i n 是应力的主方向，σ是相应的主应力，则 ij j i n n σσ= (1)
各向同性的胡克定律是
2ij
ij ij σλθδμε=+
将上式代入式(1)，得2i ij j i n n n λθμεσ+=，即
1
()2ij j
i n n εσλθμ
=
- 由此可知，i n 也是应变的主方向。

类似地可证，应变主方向也是应力主方向。

因此，
应力主方向和应变主方向一致。

下面假定材料性质具有一个对称面。

设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性
质关于Oxy 平面对称。

因为0xy
γ=，所以从式得
414243xy
x y z C C C τεεε=++
若应变主坐标系也是应力主坐标系，则0xy τ=，即
4142430x y z
C C C εεε++=
上式只能在特殊的应变状态下才能成立。

总之，对各向异性材料，应力主方向和应变
主方向不一定相同。

对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。

解：由式可得主应力和主应变之间的关系 2i i σλθμε=+ (1)
……
第六章
为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的 解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。

设
2122()f
g y g A B α=∇-+∇+∇⨯+u e e e
其中f 、g 、A 、B 为调和函数，问常数α为何值时，上述的u 为无体力弹性力学
的位移场。

解：11,1,1()()0k
i k i i j j ij ji k i k
A A A e A e x x x ∂
∂∂∂∂∂∇∇⨯=⨯===⋅⋅⋅e e e e e e
同理2()0B ∇∇⨯=⋅e 。

由上面两式及
f 和
g 是调和函数可得
,2(1)g θα=∇=-⋅u
,2(1)g θα∇=-∇ (1) 因
f 、
g 、A 、B 为调和函数，所以
2,22g ∇=∇u (2) 将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier 方程，得 ,2[()(1)2]0g λμαμ+-+∇= 上式成立的条件是
()(1)20λμαμ+-+= 即 3λμαλμ
+=
+。

已知弹性体的应力场为 2x x σ=，2y
y x σ=+，22xy x y τ=--，0zx zy ττ==，2z z σ=-。

(1) 求此弹性力学问题的体力场；
(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。

解：
证明下述Betti 互易公式
i i
i i
i i
i i
S
V
S
V
Tu dS f u dV Tu dS f u dV +=+⎰⎰⎰⎰%
%%%蜒， 其中i T 、i f 、i u 和i T %、i f %、i u %分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。

证：
如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程
01
()4(1)
P ν=-
∇+-⋅u p p r
其中2∇=p 0，200P ∇=。

证：无体力的Lam é-Navier 方程为
2()()λμμ+∇∇+∇=⋅u u 0
又
1
12λμμν
+=
-，所以Lam é-Navier 方程可以写成
21
()12ν
∇+
∇∇=-⋅u u 0 ……
设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为x 轴，弯矩所在的主平面为Oxy 平面。

试证下
述位移分量是该问题的解
0y z M
u xy z y u EI ωω=
+-+ 2220()2z x M
v x y z x z v EI
ννωω=-+-+-+ 0x y M w yz y x w
EI
νωω=-+-+。

提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为
0x A
dA σ=⎰，0x
A
zdA σ
=⎰，x A
ydA M σ=⎰
其中A 是杆的横截面。

证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier 方程。

用所给的位移可以
求出应变，然后用胡克定律可以求出应力： x My
I
σ=，其它应力分量为零。

(a) 上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。

杆端面的边界条件为
0xz
yz ττ==，0x A
dA σ=⎰，0x A
zdA σ=⎰，x A
ydA M σ=⎰
式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。

所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。

图表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。

解：显然板中的应力状态是均匀的。

容易验证下述应力分量 1x
q σ=，2y q σ=-，0z xy yz zx στττ====
满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。

由胡克定律可求得应变为
12112122123311()()()q q q q q q E E E
ννν=
+⊗-+⊗--⊗εe e e e e e 利用题的结果，可求得位移为
0001201
21021203
1
()()()1()()()() q q x x E
q q y y q q z z E E
ννν=+⨯-++--+----u u ωr r e e e
弹性半空间0z ≥，比重为γ，边界0z =上作用有均布压力q ，设在z h =处0w =，求位移和应力。

解：由问题的对称性，可以假设 0u v ==，()w w z =
把上述位移分量代入Lam é-Navier 方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成
222d w
dz γλμ
=-
+ 解之得 22(2)
w z Az B γ
λμ=-
+++
其中的A 、B 是待定常数。

由已知条件得
2()02(2)
w h h Ah B γ
λμ=-
++=+ 所以 22(2)
B h Ah γ
λμ=-+
22)()2(2)
(w h A z h z γ
λμ=-
+-+-
应力分量为
[]2x y
dw
z A dz γσσλ
λλμ
===-++，(2)(2)[]2z dw z A dz γ
σλμλμλμ
=+=+-++，0xy yz zx τττ===。

在0z =边界上的边界条件为：10T =，20T =，3T q =。

前两个条件自动满足，最后
一个成为
(2)A q λμ-+= 即 (12)22(1)
q q
A G νλμν-=-=-+-
所以最后得 (12)
()[()2]4(1)
w z h z h q G νγν-=-
-++-，0u v ==；
()z z q σγ=-+，()
1x y z q νσσγν
==-
+-，0xy yz zx τττ===。

设一等截面杆受轴向拉力
p 作用，杆的横截面积为A ，求应力分量和位移分量。

设z 轴和
杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，0u v w ===，且
0u v v
z z x
∂∂∂∂∂∂===。

答案：
当体力为零时，应力分量为 222[()]x A y x y σν=+-，0yz τ=，
222[()]y A x y x σν=+-，0zx τ=，
22()z
A x y σν=+，2xy A xy τν=-
式中，0A ≠。

试检查它们是否可能发生。

解：
图所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为P ，偏心距为e ，杆的横截面积为A ，求应力分量。

解：根据杆的受力特点，假设
z
x σαβ=+，0x y xy yz zx σστττ=====
其中α、β是待定的常数。

………
长方形板ABCD ，厚度为h ，两对边分别受均布的弯矩1M 和2M 作用，如图所示。

验
证应力分量 1312x M z h σ=
，23
12y
M z
h σ=，0z xy yz zx στττ==== 是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。

解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调(Beltrami-Michell)方程，也满足板
面上无面力的边界条件。

板边CD 上的边界条件可以放松为 0xy τ=，0xz τ=，220h h
x dz σ-=⎰，2
21h h x zdz M σ-=⎰
容易验证应力分量满足上述条件。

同样可以说明应力分量满足板边
AB 、BC 、AD 上的边界条件。

所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。