2016-2017学年广东省普通高中1月学业水平考试数学真题(一) 解析版
广东省广州市南沙区第一中学2016-2017学年高一下学期
南沙第一中学2016级高一下学期第一次统测试题平行班 数学 2017.3.14一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2cos3π=（ ） A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 2．在单位圆中，面积为1的扇形所对的弧长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3．与角3π-终边相同的角是（ ）A.56πB.3πC.116π D.35π4 ）A ．12x =B ．6x =C ．3x π=D ．12x π=-5．已知1312sin -=α，且α是第四象限的角，则αtan 的值为（ ） A ．512 B ．512- C ．125 D ．125-6．已知α为第二象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限7．已知α为锐角，且4sin 5α=，则()cos πα-=（ ）． A ．35- B ．35 C ．45- D ．458. 函数1sin 2y x =（ ）A ．在[],ππ-上是增函数B ．在[]0,π上是减函数C ．在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．在[],0π-上是减函数9.为了得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位10.） A ．．()(),k k k Z πππ+∈C11.()0000cos6cos36sin6cos54+=A ．C ． 0 D12.A ．tan α B ．tan 2α C ． 2tan α D ．2tan 2α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知sin 2cos 12sin cos αααα-=-+，则tan α= ．14．()0cos75-＝________15.定义域为________ 16.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的解析式为________三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知4cos ,,tan 5ααα=-求sin 的值。
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案详细解析
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案详细解析2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={0,2,4}。
N={1,2,3}。
P={0,3}，则(M∪N)∩P=（）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0}2.函数y=XXX(x+1)的定义域是（）A.(−∞,+∞)B.(0,+∞)C.(−1,+∞)D.[−1,+∞)3.设i为虚数单位，则复数i−1=（）A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i4.命题甲：球的半径为1cm；命题乙：球的体积为πcm³，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线l过点A(1,2)，且与直线y=4/3x+1垂直，则直线l的方程是（）A.y=2xB.y=−2x+4C.y=x+1D.y=x−16.顶点在原点，准线为x=−2的抛物线的标准方程是（）A.y²=8xB.y²=−8xC.x²=8yD.x²=−8y7.已知三点A(−3,3)，B(0,1)，C(1,0)，则AB+BC=（）A.5B.4C.13+2D.13−28.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(5,−2)，下列等式不正确的是（）A.sinα=−1/5B.sin(α+π)=C.cosα=D.tanα=−3/39.下列等式恒成立的是（）A.(x≠0)log3(x²+1)+log3(2)=log3(x²+3)B.3x(3x²+1)=(3x)²+1C.x/(x²+1)+x/(x²+4)=2x/(x²+2)D.x²/(x²+1)+4x²/(4x²+1)=5(x²+1)/(x²+1)(4x²+1)10.已知数列{an}满足a1=−x/x³=1，且an+1−an=2，其中x≤3，则{an}的前n项之和Sn=（）A.n+1B.n²C.2−1D.211.已知实数x,y,z满足y≤x，则z=2x+y的最大值为（）A.3B.5C.9D.1012.已知点A(−1,8)和B(5,2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是（）A.(x+2)²+(y+5)²=32B.(x+2)+(y+5)=181.(x-2)^2 + (y-5)^2 = 322.(x-2) + (y-5) = 183.A。
[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题
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[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题234522(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)xx ++=+ D.31log 3x x =-10.已知数列{}na 满足11a =,且12n n a a +-=,则{}n a 的前n 项之和n S =（ ） A. 21n + B.2n C. 21n -D.12n -11.已知实数x, y, z 满足32x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z =2x +y 的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）A.22(2)(5)32x y +++= B. 22(2)(5)18x y +++= C.22(2)(5)32x y -+-= D.22(2)(5)18x y -+-= 13.下列不等式一定成立的是（ ）A.12x x +≥ (0x ≠)B. 22111x x +≥+ (x R ∈)C. 212x x+≤ (x R ∈) D.2560x x ++≥(x R ∈)614.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时,2()sin f x x x=-,则当[0,)x ∈+∞时,()f x =（ ）A.2sin x x+ B. 2sin x x-- C. 2sin x x- D.2sin x x-+15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x= 17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1 和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4，则椭圆的标准方程是7三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=(1)证明: ABC∆为等腰三角形;(2)若a =2, c=3,求sin C 的值.821.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA AB⊥,PA AD ⊥,AC CD ⊥,60oABC ∠=, PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点. (1)证明:PA CD⊥;(2)求三棱锥P -ABC 的体积; (3) 证明:AE PCD⊥平面PBCDAE2017年广东省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题1.B【解析】M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3}.2.C【解析】对数函数要求真数大于0, ∴x+1>0即x>-1.3.D【解析】===-i-1=-1-i,其中i2=-1.4.C【解析】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要性.5.B【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.96.A【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x 轴上,且-=-2,∴p=4.由y2=2px得y2=8x.7.A【解析】=(3,-2),=(1,-1),+=(4,-3),∴|+|==5.8.D【解析】r===3,sin α=,cos α=,tan α=∴A,B,C正确,D错误,tan α===-.9.D【解析】 A.=(x≠0)B.(3x)2=32xC.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).10.B【解析】{a n}为公差为2的等差数列,10由S n=na1+d=n+·2=n2.11.C【解析】如图,画出可行域当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.12.D【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:C(,)=(2,5)半径r===3所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.13.B【解析】A选项:错在x可以小于0; B选项:x2+≥2=2=2≥1,其中≤1;C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.14.A【解析】x∈[0,+∞)时,-x∈(-∞,0],由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.15.C【解析】平均数加6,方差不变.二、填空题16.5【解析】,x,15成等比数列,∴x2=×15=25,又∵x>0,∴x=5.17.π【解析】f(x)=sin x cos(x+1)+cos x sin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2 x+1)最小正周期T===π.18.【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.选取十位数: 1 2 3 4选取个位数:2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3结果:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.19.+=1【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1(a>b>0)离心率:e==长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4∴a=2,c=1,b===∴椭圆标准方程为+=1.三、解答题20.(1)证明:∵=,=∴=,即tan A=tan B,又∵A,B∈(0,π),∴A=B∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2根据余弦定理:c2=a2+b2-2ab cos C9=4+4-8cos C,∴cos C=∵C∈(0,π),∴sin C>0∴sin C==.21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD,又∵CD⊂平面ABCD∴AP⊥CD.(2)解:由(1)AP⊥平面ABC∴V=S△ABC·APP-ABC=×AB·BC·sin∠ABC·AP=××2×2×sin60°×2=.(3)证明:∵CD⊥AP,CD⊥AC,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,AP∩AC=A∴CD⊥平面APC,又∵AE⊂平面APC∴CD⊥AE由AB=BC=2且∠ABC=60°得△ABC为等边三角形,且AC=2又∵AP=2且E为PC的中点,∴AE⊥PC又∵AE⊥CD,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PC∩CD=C∴AE⊥平面PCD.。
2016年-2017年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷2,参考版解析)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2016年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，【答案】D【解析】由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，所以{1,2}A B =I ，故选D. 2. 设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，故选C. 3. 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ）323π （C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为233，所以球面的表面积为243)12ππ⋅=，故选A.5. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k =，所以2k =，选D.6. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（A ）−43 （B ）−34（C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】圆心为(1,4)，半径2r =，所以2211a =+，解得43a =-，故选A.7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C.8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n; 第二次运算，a=2，s=2226⨯+=，k=2，不满足k>n; 第三次运算，a=5，s=62517⨯+=，k=3，满足k>n ， 输出s=17，故选C ．10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x（D ）y x=【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．11. 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B【解析】因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.12. 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数 y =|x 2-2x -3| 与 y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．14. 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________.【答案】5-15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+= （I ）求{n a }的通项公式；(II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2【试题分析】（I ）先设{}n a 的首项和公差，再利用已知条件可得1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；（II ）根据{}n b 的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列{}n b 的前10项和．18． (本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
广东省阳春市第一中学2016-2017学年高一上学期第一次考试(10月月考)数学试题Word版含答案
数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}A =，{2,4,5}B =，则()U C A B =（） A ．{6,8} B ． {5,7} C ． {4,6,7} D ．{1,3,5,6,8}2.函数()f x =+ ）A ． [1,)-+∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]-D ．(1,2)-3.下列函数在(0,)+∞上是增函数的是（ ）A ．1y x = B ．||y x = C ．2y x =- D ．21y x =-+4.下列选项中的两个函数表示同一个函数的是（ ）A ．()f x =2()g x =B ．0(1)1,()f g x x ==C. 2()()f x g x == D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-5.已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为（）A ． 1B ． 2 C. 4 D ．56.已知集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是（） A ． P Q = B ．P Q ⊆ C. P Q ⊇ D ．P Q φ=7.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=（ ）A ． -2B ． 0 C. 1 D ．28.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）A ． 3x y =B ．2(11)y x x =-≤< C. 22,0,0x x x y x x x ⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩D ．22x x y -=-9.集合{,}A a b =，{1,0,1}B =-，从集合A 到B 的映射:f A B →满足()()0f a f b +=，那么这样的映射:f A B →的个数是（ ）A ． 2B ． 3 C. 5 D ．810.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）11.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()xf xg x e +=，则（ ） A ．()2x x e e f x -+= B ．()2x x e e f x --= C. ()2x xe e g x --= D ．()2x xe e g x --= 12.已知()1f x x =+，()2g x x =-，(),()()()(),()()f x f x g x F x g x f x g x <⎧=⎨≥⎩，则()F x 的最值是（ ） A ．有最大值为23，无最小值 B ．有最大值为13-，无最小值 C. 有最小值为13-，无最大值 D ．有最小值为23，无最大值 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数12y x=+-的定义域为 ． 14.有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人．15.函数2()26(22)f x x x x =-+-<≤的值域为 ．16.已知函数(21)72(1)()(1)x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨≥⎩在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）不用计算器化简计算：（1）1013823()27-++； （2）220.53327492()()(0.008)8925---+⨯. 18. （本小题满分12分）已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-.（1）求当3m =时，,AB A B ； （2）若A B A =，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分） 已知函数21()f x x =. （1）判断并用定义证明函数的奇偶性；（2）判断并用定义证明函数在(,0)-∞上的单调性.20. （本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+.（1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数2()23,[2,2]f x x ax x =++∈-.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）若()f x 在区间[2,2]-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（3）记()f x 在区间[2,2]-上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式及值域.22.（本小题满分12分） 已知函数11()()212x f x x =+-. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）求证：当0x ≠时，()0f x >.试卷答案一、选择题1-5: ACBCD 6-10: CADBD 11、12：BA二、填空题13. [3,2)(2,)-+∞ 14. 2 15. 9(20,]2- 16. 31[,)82 三、解答题17.（1）原式121233=++=. （2）原式22133284910002()()()279825=-+⨯472171252932599=-+⨯=-+=.（2）由A B A =，得：A B ⊆，则有13312m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解得：41m m ≥⎧⎨≥⎩，即4m ≥， ∴实数m 的取值范围为4m ≥.19.（1）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，它关于原点对称， 且2211()()()f x f x x x -===-，∴()f x 为偶函数. （2）任取12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <，则12221211()()f x f x x x -=-2121221()()()x x x x x x +-= ∵120x x <<，∴120x x +<，210x x ->，221()0x x >， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在(,0)-∞上为增函数.20.（1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =（2）设0x <，则0x ->，∴22()()2()2f x x x x x -=-+-=-，又∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即2()()2f x f x x x =--=-+，∴222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩. （3）∵2()2f x x x =+在(0,)+∞上为增函数，且(0)0f =，()f x 为R 上的奇函数，∴()f x 为R 上的增函数，∴原不等式可变形为：22(2)(2)f t t f t k -<-即2222t t t k -<-，对任意t R ∈恒成立，（分离参数法）∴2min (2)1k t t <+=-另法：即220t t k +->，对任意t R ∈恒成立，∴440k ∆=+<解得：1k <-，∴k 的取值范围为(,1)-∞-.21.（1）当1a =-时，22()23(1)2f x x x x =-+=-+ ∵对称轴1[2,2]x =∈-，∴min ()(1)2f x f ==，max ()(2)11f x f =-=.（2）22()()3f x x a a =+-+，对称轴方程为x a =-当()f x 在[2,2]-上单调增时，2a -≤-，即2a ≥ 当()f x 在[2,2]-上单调减时，2a -≥，即2a ≤- 故实数a 的取值范围为：2a ≤-或2a ≥.（3）由（2）知：①当2a ≤-时，()f x 在[2,2]-上递减，∴min ()(2)47f x f a ==+ ②当2a ≥时，()f x 在[2,2]-上递增，∴min ()(2)47f x f a =-=-+ ③当22a -<<时，2min ()3f x a =-+综上：247,2()3,2247,2a a g a a a a a +≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≥⎩22.（1）由210x -≠，得0x ≠∴()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，它关于原点对称 ∴111121()()()()1212212212x x x x f x x x x --=-+=-+=-+--- 21111111()()()()122122212x x x x x x x f x -+=-+=--=+=--- ∴()f x 为偶函数.（2）证明：当0x >时，∴21x>，∴210x -> ∴1021x >-，∴1112122x +>- ∴11()()0212x f x x =+>- 又∵()f x 为偶函数，∴当0x <时，()0f x >综上可得：当0x ≠时，()0f x >.。
广东省普通高中学高三数学1月业水平考试试卷(含解析)
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={0,2,4}, N={1,2,3}, P={0,3}, 则()MN P = （ ）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0} 2.函数y=lg (x+1) 的定义域是（ ）A.(,)-∞+∞B. (0,)+∞C. (1,)-+∞D. [1,)-+∞3.设i 为虚数单位,则复数1ii-= （ ）A. 1+iB.1-iC. -1+iD. -1-i4.命题甲：球的半径为1cm;命题乙:球的体积为43πcm 3,则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线112y x =+垂直,则直线l 的方程是（ ） A. y =2x B. y =-2x +4 C. 1322y x =+ D. 1522y x =+6.顶点在原点，准线为x =-2的抛物线的标准方程是（ ）A.28y x = B. 28y x =- C. 28x y = D. 28x y =-7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),=+（ ）8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点P )2-,下列等式不正确的是（ ）A.2sin3α=- B.2sin()3απ+=C. cosα=D. tanα=9.下列等式恒成立的是（）23x-= (0x≠) B. 22(3)3x x=C.22333log(1)log2log(3)x x++=+ D.31log3xx=-10.已知数列{a}n满足1a1=,且1a a2n n+-=,则{a}n的前n项之和nS=（）A. 21n+ B. 2n C. 21n- D. 12n-11.已知实数x, y, z满足32xy xx y≤≤+≥,则z=2x+y的最大值为（）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB为直径的圆的标准方程是（）A.22(2)(5)x y+++=22(2)(5)18x y+++=C. 22(2)(5)x y-+-=22(2)(5)18x y-+-=13.下列不等式一定成立的是（）A.12xx+≥ (0x≠) B. 22111xx+≥+(x R∈)C. 212x x+≤ (x R∈) D. 2560x x++≥ (x R∈)14.已知 f (x)是定义在R上的偶函数,且当(,0]x∈-∞时, 2()sinf x x x=-,则当[0,]x∈+∞时, ()f x=（）A. 2sinx x+ B. 2sinx x-- C. 2sinx x- D. 2sinx x-+15.已知样本12345,,,,x x x x x的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x+++++的平均数和方差分别为（）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x=17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字,将它们组成一个两位数,该两位数小于20的概率是 19.中心在坐标原点的椭圆,其离心率为12,两个焦点F 1 和F 2在x 轴上,P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4,则椭圆的标准方程是三、 解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明，证明过程和验算步骤）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=（1）证明: ABC ∆为等腰三角形； （2）若a =2, c=3,求sin C 的值.21.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA AB ⊥, PA AD ⊥,AC CD ⊥,60o ABC ∠=,PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点.（1）证明: PA CD ⊥； （2）求三棱锥P-ABC 的体积； （3）证明: AE PCD ⊥平面.2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（答案解析）1、B 解析：{}4,3,2,1,0=N M {}3,0)(=∴P N M .2、C 解析： 对数函数要求真数大于0 101->⇒>+∴x x .3、D 解析:i i i i i i i i i --=--=-+=⋅-=-1111)1(1. 4、C 解析：充分性：若cm R 1=，则233434cm R V ==π；同样利用此公式可证必要性.5、B 解析：121-=⇒k k 两直线垂直 2-=∴k l 的斜率为直线. 根据点斜式方程)(00x x k y y -=-可得)1(22--=-x y ，整理得42+-=x y .6、A 解析：由准线方程2-=x 可知焦点在x 轴上 422=⇒-=-∴p p由px y 22=可得x y 82=.7、A 解析：)1,1(),2,3(-=-=BC AB )3,4(-=+∴BC AB5)3(422=-+=+.8、D 解析：xy r x r y y x r ====-+=+=αααtan ,cos ,sin ,3)2()5(2222 C B A ,,∴正确，D 错误55252tan -=-==x y α. 9、 D解析：A.)0(1313≠=-x x x； B.xx 223)3(=；C.)1(2log 2log )1(log 22222+=++x x .10、B 解析：由已知可得{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列2122)1(2)1(n n n n d n n na S n =⨯-+=-+=∴. 11、C 解析：如图，画出可行域，当直线z x y +-=2平移经过点A 时在y 轴上的截距z 取得最大值，由)3,3(333A y x x y x ⇒⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==得 9332max =+⨯=∴z .12、D 解析：圆的标准方程为222)()r b y a x =-+-（，其中圆心为)5,2()228,251(=++-C ，半径为23)28()51(2122=-+--=r ∴所求圆的标准方程为18)5()222=-+-y x （. 13、B 解析：A 选项：错在x 可以小于0； B 选项：1111)1(2111111222222=-+⋅+≥-+++=++x x x x x x （当且仅当11122+=+x x ，即0=x 时等号成立） C 选项：0)1(2122≥-=-+x x x x x 212≥+∴D 选项：设652++=x x y 可知二次函数与x 轴有两个交点，其值可以小于0.14、A 解析：)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时, 2()sin f x x x =- 当[)+∞∈,0x 时，(]0,∞-∈-x )(sin )sin()()(22x f x x x x x f =+=---=-∴∴当[)+∞∈,0x 时，x x x f sin )(2+=.15、C 解析：平均数加6，方差不变. 16、5 解析：15,,35x 成等比数列 2515352=⨯=∴x 又0>x 5=∴x . 17、π 解析：)12sin()1sin()1sin(cos )1cos(sin )(+=++=+++=x x x x x x x x f∴函数)(x f 的最小正周期为ππωπ===222T . 18、41解析：所有可能的基本事件有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43共12个，其中小于20的两位数有12，13，14共3个，由古典概型计算公式可得该两位数小于20的概率为41123==P . 19、13422=+y x 解析：根据焦点在x 轴上可设椭圆标准方程为12222=+by a x 离心率21==a c e ，长轴长4221=+=PF PF a 312,1,22222=-=-===∴c abc a∴所求椭圆的标准方程为13422=+y x .20、解：（1）证明：B bA a cos cos =由正弦定理得，BBA A cos sin cos sin =，即B A tan tan = 又),0(,π∈B A B A =∴ ∴ABC ∆为等腰三角形. （2）由（1）知B A = 2==∴b a 根据余弦定理，得 C ab b a c cos 2222-+= 即81cos cos 222223222-=⇒⨯⨯-+=C C 又),0(π∈C 863)81(1cos 1sin 22=-=-=∴C C . 21、解：（1）证明：AB PA ⊥ ，AD PA ⊥，A AD AB = ，ABCD AD AB 平面⊂,ABCD PA 平面⊥∴ 又 ABCD CD 平面⊂ CD PA ⊥∴（2）由（1）知ABCD PA 平面⊥332260sin 222131sin 213131=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅∠⋅⨯=⋅=∴∆- PA ABC BC AB AP S V ABC ABC P （3）证明：CD PA ⊥ ，CD AC ⊥，A AC PA = ，PAC AC PA 平面⊂,PAC CD 平面⊥∴ 又PAC AE 平面⊂ AE CD ⊥∴60,2=∠==ABC BC AB ABC ∆∴为等边三角形，且2=AC2==∴AC PA 又 E 为PC 的中点 PC AE ⊥∴又CD AE ⊥ ，C CD PC = ，PCD CD PC 平面⊂,PCD AE 平面⊥∴.。
广东省湛江第一中学2016-2017学年高二上学期第一次大考数学(理)试题Word版含答案
湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. ,a b 是任意实数，a b >，且0a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 33a b --<B. 1b a< C. 1lg()lg a b a b ->- D. 22a b > 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ）A. 1B. 4C. 2D. 3log 53. 下列函数中，最小值为4的是( ) A.4()f x x x =+ B.4()cos cos f x x x=+ C.()343x x f x -=+⨯ D.()lg 4log 10x f x x =+ 4．ABC ∆中，1b =，6B π∠=，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2014的值为( ) A ．57 B ． 67 C ．37 D ．176．某船开始看见灯塔在南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60o 的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）A B.30km C ．15km D.7.数列{}n a 满足1a ，21a a -，32a a -，，1n n a a --是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a 等于( )A ．41n -B ．121n --C ．21n +D ．21n-8.设n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 5359a a =，则95s s 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．129．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列四个命题：①0d <；②110S >；③ 使0n S >的最大n 值为12；④数列{}n S 中的最大项为11s ，其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110.已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则ba 的取值范围是( ) A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1(11. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值等于9，则实数m 等于( )A ．2-B ．1C ．1-D ．212.己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则21445n n S a ++的最小值为（ ） A ．4- B ．272 C ．1219D ．675 第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为 .14．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,2,A b =︒=ABC S ∆=，则a = .15．已知数列1, 111,,,,,12123123n ++++++则其前n 项的和等于 .16．给出下列命题：① ,A B 是ABC ∆的内角，且A B >，则sin sin A B >;② {}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③ 在数列{}n a 中,如果n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列；④ O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心； 则上述命题中正确的有 （填上所有正确命题的序号）三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =．（I ）求{}n a 的通项公式n a ；(II)若数列{}n b 满足：3n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18（本小题满分12分）已知函数23()cos()cos()22f x x x x ππ=+--+. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值；(II) 求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间．19（本小题满分12分） 已知不等式的解集为或 （I ）求a ,b 的值；(II)解不等式2()0ax am b x bm -++<.20.(本小题满分12分)假设我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x (厘米)满足关系式：)100(53)(≤≤+=x x k x H （当0=x 时表示无隔热层），若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （I ）求k 的值和)(x f 的表达式；(II)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用)(x f 最小，并求出最小值.21（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ,已知(,)m c a b =+,(,n a b a =-, //m n（I ）求角A ；(II)若a =求b c +的取值范围．22（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,12-=n n a S ()*n N ∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 满足n n a n b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(III)若数列{}n c 满足()n n n n a c λ1123--+=（λ为非零常数），确定λ的取值范围,使*n N ∈时，都有n n c c >+1.湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷答案第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 1214. 15. 21n n + 16. ①④ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分10分)解：（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得1193690,15105240a d a d +=+=， ———————1分解得12a d == ————————3分 2n a n = ————————5分(II) 323n n n b a ==⋅ —— ——————7分 由13n nb b +=，{b n }是首项为6，公比为2的等比数列 ———————8分 则13(13)23313n n n T +-==-- ————————10分18（本小题满分12分）解：1cos 2()-cos )(sin )22x f x x x +=⋅-+（1sin 22sin(2)23x x x π==- ——————4分 （I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1； ——————8分(II) 当()f x 递增时，222 ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈， 即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, ——————10分 所以，()f x 在5[,]612ππ上递增 即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ —— ——— 12分 19（本小题满分12分）解：（I ）因为不等式的解集为或 所以，是方程的两个解 —————1分 所以， ———————3分 解得 ———————5分 (II) 由（I ）知原不等式为，即， —————— 6分 当时，不等式解集为 ———————— 8分 当时，不等式解集为; ——————— 10分 当时，不等式解集为; ———————12分20.(本小题满分12分)解：（I ）当0=x 时，8=H ，即85=k ，解得40=k ————2分 故5340)(+=x x H ——————3分5380065340206)(++=+⨯+=∴x x x x x f )100(≤≤x ————6分 (II) 由（I ）知35535≤+≤x ————7分7010160021053800)53(25340206)(=-≥-+++=+⨯+=∴x x x x x f —————10分 当且仅当53800106+=+x x ，即5=x 时)(x f 取得最小值 ————11分 即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. —12分 21（本小题满分12分）（I ）∵//m n 221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, —————1分 由余弦定理得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+- ——————3分 ∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =————————4分 ∵()0,πA ∈,∴π3A =————————5分 (II)由余弦定理得2sin sin sin a b c A B C===, ∴2sin b B =,2sin c C =—————6分 ∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++ ———————7分 2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++12sin 22sin 2B B B =++⨯ π3sin 6B B B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ————————9分 ∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． ————————11分所以b c +∈ ————————12分 22（本小题满分12分）解：（I ）当n =1时，11121a s a ==-，11a ∴= ————— 1分 当1n >时，21n n s a =-，1121n n s a --∴=-112n n n n s s a a --∴-=-122n n n a a a -∴=-12n n a a -∴={}n a 是首项为1，公比为2的等比数列1*2,n n a n N -∴=∈ —————3分(II) 22n n n b n a n =⋅=⋅212222n n T n =⋅+⋅+⋅ ① 23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅ ②①-②得23122222n n n T n +-=+++-⋅1(1)22n n +=-⋅-1(1)22n n T n +∴=-⋅+ ———————7分 (III) ∵11-2)1(23--⋅+=n n n n C λ n n n 2)1(31λ--+=∴n n C C >+1即 >-+++112)1(3n n n λn n n 2)1(31λ--+ 即02)1(2)1(33111>---+--++n n n n n n λλ即0)22()1(321>+-+⋅+n n n n λ 即023)1(32>⋅-+⋅nn n λ ∴>-λn)1(n n 2332⋅⋅- 即>-λn )1(1)23(--n —————— 8分 当n 为偶数时≤--1)23(n 23-∴23->λ —————10分 当n 为奇数时≤--1)23(n 1- ∴1->-λ 即 1<λ 又∵0λ≠∴ 123<<-λ且0λ≠ —————— 12分。
广东省湛江一中2016-2017学年高一上学期第二次大考数学试卷Word版含解析
2016-2017学年广东省湛江一中高一（上）第二次大考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．集合M={4，5，﹣3m}，N={﹣9，3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3或﹣1 B．3 C．3或﹣3 D．﹣12．已知两条不同的直线m，n和平面α，下列说法正确的是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，那么n与α相交C．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3．用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解，可以取的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．已知a=2log52，b=21.1，c=（）﹣0.8，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．在下列A、B、C、D四个图象中，大致为函数y=2|x|﹣x2（x∈R）的图象的是（）A．B．C．D．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）是R上的奇函数．当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．18．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2nC． D．log2m＞log2n9．对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞） B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B．2 C．D．111．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）12．设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是．14．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是．15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．则直线AB1和EF所成的角为．16．已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得，则称常数C是函数f（x）在D上的“湖中平均数”．若已知函数，则f（x）在[0，2016]上的“湖中平均数”是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）求值：（1）（﹣1.8）0+（）﹣2•（3）﹣+（2）lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2．18．（12分）已知函数f（x）=x+（a为非零实数）（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）当a=4时，•①用定义证明f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；‚②写出f（x）在（﹣∞，0）的单调区间（不用加以证明）19．（12分）如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求三棱锥D1﹣AB1C的体积．20．（12分）某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．21．（12分）函数f（x）=x2﹣2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g （t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）作g（t）的简图并写出g（t）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的取值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数①存在t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）有解，求k的取值范围；②若函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），若对任意x∈R，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，求实数m的最大值．2016-2017学年广东省湛江一中高一（上）第二次大考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．集合M={4，5，﹣3m}，N={﹣9，3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3或﹣1 B．3 C．3或﹣3 D．﹣1【考点】交集及其运算．【分析】利用M∩N≠∅，列出关系式，直接求出m的值即可．【解答】解：由M∩N≠∅，可知﹣3m=﹣9，或﹣3m=3，解得m=3或﹣1，故选A．【点评】本题考查集合的基本运算，集合的交集的应用，考查计算能力．2．已知两条不同的直线m，n和平面α，下列说法正确的是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，那么n与α相交C．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由空间中的线面关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，如图，那么n∥α或n与α相交，故A、B错误；如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n或m与n相交，故C错误；如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质可得m∥n．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．3．用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解，可以取的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】设f（x）=lgx﹣3+x，∵当连续函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0时，f （x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3﹣x在区间（a，b）上有解，进而得到答案．【解答】解：设f（x）=lgx﹣3+x，∵当连续函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3﹣x在区间（a，b）上有解，又∵f（2）=lg2﹣1＜0，f（3）=lg3＞0，故f（2）•f（3）＜0，故方程lgx=3﹣x在区间（2，3）上有解，故选：C【点评】本题考查的知识点是方程的根，函数的零点，其中熟练掌握函数零点的存在定理是解答的关键．4．已知a=2log52，b=21.1，c=（）﹣0.8，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：2log52＜1，1＜=20.8＜211，∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．5．在下列A、B、C、D四个图象中，大致为函数y=2|x|﹣x2（x∈R）的图象的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分析函数的奇偶性，可排除B，D；由函数图象过（0，1）点，可排除C；进而得到答案．【解答】解：函数y=f（x）=2|x|﹣x2满足f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除B，D；当x=0时，函数图象过（0，1）点，故排除C；故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数图象的判断，多采用排除法进行解答．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．已知函数f（x）是R上的奇函数．当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】已知函数f（x）是R上的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），可以令x ＜0，可得﹣x＞0，可得x＜0的解析式，从而求解．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，∴20+b=0，∴b=﹣1，∵当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，令x＜0，﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，∴f（﹣1）=﹣2﹣2×（﹣1）+1=﹣3．故选B．【点评】此题主要考查函数的奇偶性，知道奇函数的性质f（0）=0，这是解题的关键，此题比较简单．8．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2nC． D．log2m＞log2n【考点】不等关系与不等式．【分析】根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题．【解答】解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不对．又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴，所以A不对，C对．故答案为C．【点评】指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质．9．对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞） B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f （x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1）=，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选B．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B．2 C．D．1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体△SCD积．【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S，△SCD因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==则：sin∠SDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3==所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD故选C【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．11．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则解得a∈（1，3）故选B【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键．12．设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．【考点】函数的值．【分析】设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，则（﹣∞，0]⊆A，从而h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，由此能求出实数a 的最大值．【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在[0，+∞）上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤．∴实数a的最大值为．故选：B．【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是1＜x＜2．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】真数要大于0，负数不能开偶次方根，分母不能为0．【解答】解：要使函数有意义则：∴1＜x＜2故答案是：1＜x＜2【点评】本题主要考查函数定义域及求法．14．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是[﹣10，2] ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域．【分析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程f（﹣x）=f （x），即可求出函数的值域．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，∴定义域关于原点对称，即1+a+2=0，∴a=﹣3．又f（﹣x）=f（x），∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，即﹣b=b解得b=0，∴f（x）=ax2+bx+2=﹣3x2+2，定义域为[﹣2，2]，∴﹣10≤f（x）≤2，故函数的值域为[﹣10，2]．故答案为：[﹣10，2]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．则直线AB1和EF所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过平移直线作出异面直线AD1与EF所成的角，在三角形中即可求得．【解答】解：连接A1C1、A1D和DC1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD=B1C1，AD∥B1C1，可知AB1∥DC1，在△A1AD中，E，F分别是AD，AA1的中点，所以，有EF∥A1D，所以∠A1DC1就是异面直线AB1和EF所成角，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1、A1D和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△A1DC1是正三角形，∠A1DC1=60°故异面直线AB1和EF所成角的大小为60°．故答案为：60°．【点评】本题在正方体中求异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于基础题．利用平移法构造出异面直线的所成角，是解答本题的关键．16．已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得，则称常数C是函数f（x）在D上的“湖中平均数”．若已知函数，则f（x）在[0，2016]上的“湖中平均数”是．【考点】基本不等式．【分析】根据已知中函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对∀x1∈D，∃唯一的x2∈D，使得，则称常数C是函数f（x）在D上的“湖中平均数”．根据函数f（x）=（）x，x∈[0，2016]，为单调减函数，可得f（x）在[0，2016]上的“湖中平均数”是其最大值和最小值的几何平均数【解答】解：由已知中湖中平均数的定义可得C即为函数y=f（x），x∈D最大值与最小值的几何平均数又∵函数f（x）=（）x，x∈[0，2016]为减函数故其最大值M=1，最小值m=（）2016故C==；故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据已知判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016秋•赤坎区校级月考）求值：（1）（﹣1.8）0+（）﹣2•（3）﹣+（2）lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式==．（2）原式=．【点评】本题考查了对数的运算法则、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）（2016秋•赤坎区校级月考）已知函数f（x）=x+（a为非零实数）（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）当a=4时，•①用定义证明f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；‚②写出f（x）在（﹣∞，0）的单调区间（不用加以证明）【考点】函数与方程的综合运用；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可．（2）①利用函数的单调性的定义证明即可．②集合函数的单调性，写出单调区间即可．【解答】解：（1）函数f（x）=x+是奇函数…（1分）函数f（x）=x+的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称…（2分）且f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x）…∴f（x）是奇函数…（2） ①任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则=…当0＜x1＜x2＜2时，x2﹣x1＞0，x1x2＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（0，2）上单调递减；…（8分）当2＜x1＜x2时，x2﹣x1＞0，x1x2﹣4＞0，x1x2＞0∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；…（10分）②‚∵f（x）Z是奇函数，f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（﹣∞，﹣2）上单调递增；…（12分）【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2012•惠州一模）如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求三棱锥D1﹣AB1C的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由四边形D1OBM是平行四边形得D1O∥BM，由线面平行的判定得到BM∥平面D1AC（Ⅱ）由OB1⊥D1O，AC⊥D1O，得到D1O⊥平面AB1C，确定D1O为三棱锥D1﹣AB1C的高，同时确定△AB1C为底．【解答】解：（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形，∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．（2分）∵D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，，∴，OB1=2，D1O=2，则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．又∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，且BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，（10分）∴D1O⊥平面AB1C，即D1O为三棱锥D1﹣AB1C的高．（12分）∵，D1O=2∴．14【点评】本题主要考查平面图形中的线线关系，培养学生平面与空间的转化能力，熟练应用线面平行和线面垂直的判定定理．20．（12分）（2016秋•辽宁期中）某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）能根据图象知时，有，即可求出k、b的值；（2）能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．【解答】解：（1）由图可知时，有解得（2）当P=Q时，得，解得．令，∵x≥9，∴，在中，对称轴为直线，，且图象开口向下，∴时，t取得最小值，此时x=9．【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！21．（12分）（2016秋•原州区校级月考）函数f（x）=x2﹣2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）作g（t）的简图并写出g（t）的最小值．【考点】二次函数的图象；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意可知，f（x）为二次函数，要求其在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间）讨论可得二次函数的最小值即得g（t）的函数表达式；（2）画出分段函数的简图，由简图可知g（t）的最小值．【解答】解：（1）据题意可知函数为二次函数且开口向上，所以函数有最小值，即当x=﹣==1，f min=1分情况讨论函数在闭区间[t，t+1]（t∈R）：①当闭区间[t，t+1]（t∈R）⊂（﹣∞，1）即t＜0时，得：二次函数在x=t+1时取到最小值，∴g（t）=（t+1）2﹣2（t+1）+2=t2+1；②当1∈[t，t+1]即0≤t≤1时，得x=1时，二次函数取到最小值∴g（t）=1；③当闭区间[t，t+1]⊂（1，+∞）即t＞1时，得：x=t时，二次函数取到最小值∴g（t）=t2﹣2t+2．综上（2）由（1）可知g（t）为分段函数作出图象如下：从图象上可知g（t）min=1．【点评】本题考点是二次函数的图象，考查通过二次函数的图象求二次函数在闭区间上的最值，求解本题主要依据函数的单调性，要根据二次函数的图象判断出所研究区间的单调性，确定最值在那个位置取到，再求出最值，本题中所给的区间是一个不定的区间，故解题时要根据区间与对称轴的位置进行分类讨论，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间），解题时注意总结分类讨论思想在求解本题中的作用．22．（12分）（2016秋•如东县月考）已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的取值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数①存在t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）有解，求k的取值范围；②若函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），若对任意x∈R，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，求实数m的最大值．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）把a=b=1代入f（x），化简得3•（3x）2+2•3x﹣1=0，求解即可得答案；（2）①f（x）是奇函数，得f（﹣x）+f（x）=0，代入原函数求解得a，b的值，判断函数f（x）的单调性，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）恒成立，由函数的单调性可得k的取值范围；②由f（x）•[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），化简得不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，然后构造函数和由函数f（x）的单调性即可求得实数m的最大值．【解答】解：（1）由题意，，化简得3•（3x）2+2•3x﹣1=0，解得3x=﹣1（舍）或，∴x=﹣1；（2）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0，∴，化简并变形得：（3a﹣b）（3x+3﹣x）+2ab﹣6=0，要使上式对任意的x成立，则3a﹣b=0且2ab﹣6=0，解得：或，∵f（x）的定义域是R，∴，（舍去）∴a=1，b=3，∴．①=对任意x1，x2∈R，x1＜x2有：=，∵x1＜x2，∴，∴f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上递减．∵f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k），∴t2﹣2t＞2t2﹣k，即t2+2t﹣k＜0在t∈R时有解∴△=4+4k＞0，解得：k＞﹣1，∴k的取值范围为（﹣1，+∞）；②∵f（x）•[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），∴即g（x）=3x+3﹣x，∴g（2x）=32x+3﹣2x=（3x+3﹣x）2﹣2，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，即（3x+3﹣x）2﹣2≥m•（3x+3﹣x）﹣11，即：恒成立．令t=3x+3﹣x，t≥2，则在t≥2时恒成立，令，，t∈（2，3）时，h′（t）＜0，∴h（t）在（2，3）上单调递减，。
【数学】2017年广东省普通高中学业水平考试真题
机密★启用前试卷类型：A2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷共4页，21小题，满分100分。
考试用时90分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}4,2,0{=M ，}3,2,1{=N ，}3,0{=P ，则=P N M )(（）A ．}4,3,2,1,0{B ．}3,0{C ．}4,0{D ．}0{2．函数)1lg(+=x y 的定义域是（）A ．},{+∞-∞B ．),0(+∞C ．),1(+∞-D ．),1[+∞-3．设i 为虚数单位，则复数=-i i 1（）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i--14．命题甲：球体的半径是1cm ，命题乙：球体的体积是π34cm 2，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点A(1，2)，且与直线y ＝21x ＋1垂直，则直线l 的方程是（）A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝2321+xD ．y ＝2521+x 6．顶点在坐标原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是（）A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y7．已知三点A(－3，3),B(0,1)，C(1，0)，则|BC AB +|等于（）A ．5B ．4 C.213+ D.213-8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P )2,5(-，则下列等式不正确的是（）A ．32sin -=αB ．32)sin(=+παC ．35cos =αD ．23tan -=α9．下列等式恒成立的是（）A ．3231-=X X B ．23)3(2X X =C ．)3(log 2log )1(log 23323+=++x x D ．x x -=31log 210．已知数列}{n a 满足11=a ，且21=-+n n a a ，则的前n 项和n S =（）A ．12+nB ．2nC ．12-nD ．12-n 11．已知实数z y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤23y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A ．3B ．5C ．9D ．1012．已知点A (-1,8)和B 点（5,2），则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（）A ．23)5()2(22=+++y xB ．18)5()2(22=+++y xC ．23)5()2(22=-+-y xD ．18)5()2(22=-+-y x 13．下列不等式一定成立的是（）A ．)0(21≠≥+x x x B ．)(11122R x x x ∈≥++C ．)(212R x x x ∈≤+D ．)(0652R x x x ∈≥++14．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当]0,(-∞∈x 时，x x x f sin )(2-=，则当),0[+∞∈x 时，)(x f =（）A ．x x sin 2+B ．x x sin 2--C ．x x sin 2-D ．xx sin 2+-15．已知样本54321,,,,x x x x x 的平均数为4，方差为3，则6,6,6,6,654321+++++x x x x x 的平均数和方差分别为（）A ．4和3B ．4和9C ．10和3D ．10和9二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上）16．已知0>x ，且15,,35x 成等比数列，则x =________17．函数x x x x x f cos )1sin()1cos(sin )(+++=的最小正周期是_______18．从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是_______19．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为21，两个焦点F 1和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若4||||11=+PF PF ，则此椭圆的标准方程是_______三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）20．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,，已知Bb A a cos cos =（1）证明：△ABC 为等腰三角形；（2）若2=a ，3=c ，求sin C 的值.21．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，P A =AB =BC =2，E 为PC 的中点.（1）证明：AP ⊥CD ；（2）求三棱锥P -ABC 的体积；（3）证明：AE ⊥平面PCD .。
2016-2017学年广东省高一上学期第一次大考数学试卷7
第一学期“第一次大考”高一级数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{3,4,5}，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{3} B ．{4,5} C ．{4,5,6} D ．{0,1,2} 2．若集合A={1,2,3}, 则满足A B A =⋃的集合B 的个数是( ) A ． 6 B. 7 C. 8 D. 103．下列函数中，既是偶函数又在(－3,0)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1 D ．y ＝x 4．下列函数中，与函数y ＝x －1相同的是( )A ．y ＝x 2－2x ＋1B ．y ＝x 2－1x ＋1C ．y ＝t －1D ．2)1(--=x y5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ）A. 1B. 1-C. 1或1-D. 1或1-或06.某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为( ) A. 26 B. 12 C. 30 D.237．设函数)(),(x g x f 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．)()(x g x f ⋅是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数C ．|)(|)(x g x f 是奇函数D ．|)()(x g x f ⋅|是奇函数8．设()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()3f x x =，则(8.5)f 等于( )A. 1.5-B.0.5-C. 0.5D. 1.5 9．函数14)(33+⋅+=x k x x f (R k ∈)，若8)2(=f ，则)2(-f 的值为（ ）. A.-6 B.-7 C.6 D.710．设函数，则上的减函数，若是R ),()(∈+∞-∞a x f （ ） A ．)2()(a f a f > B ．)()(2a f a f < C ．)()(2a f a a f <+ D ．)()1(2a f a f <+11．定义在R 上的奇函数f x ()，0)5(=f ，且对任意不等的正实数1x ，2x 都满足[])()(21x f x f -0)(12<-x x ，则不等式0)(>-⋅x f x 的解集为( ).A ．)5,0()0,5(⋃-B ．),5()5,(+∞⋃--∞C ．)5,0()5,(⋃--∞D ．),5()0,5(+∞⋃-12．已知函数()()()21,143,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．若()()0f f m ≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,2-B ．[][)2,24,-+∞C ．2,22⎡⎤-+⎣⎦D ．[)2,224,⎡⎤-++∞⎣⎦二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数 =-⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤=))2((1,661,)(2f f x x x x x x f 则 . 14．函数6122--++=x x x y 的定义域为 .15.已知=+-=+)(,23)1(2x f x x x f 求函数的解析式 .16．如果函数a x ax x f 数上是单调递增的，则实在区间)4,(32)(2-∞-+=取值范围是________．三．解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（本题10分）设全集R U =，{}2≤≤∈=x a R x A ，{}23,312≥+≤+∈=x x x R x B 且． (1)若1=a ，求B A ，(∁A U )B ；(2)若}032|{,52<-+∈=-=x x Z x C a ，求C A .18．（本题12分）设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果A B B = ，求实数a 的取值范围19. (本题12分)规定符号*表示一种运算，即),(*为正实数b a b a ab b a ++=3k *1=且， .*)2()1(的值域求函数；求正整数x k y k =20.(本题12分)某品牌茶壶的原售价为每个80元，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；如果一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个。
2016-2017学年广东省普通高中1月学业水平考试模拟数学试卷(一)_解析版
学业水平考试模拟试卷(一)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) 1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1＋i，则z1z2＝()A．－2B．2C．1－i D．1＋i解析：由题意，得z1＝1＋i，z2＝1－i，则z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2；故选B.答案：B2．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝()A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{－1，1}解析：M∩N＝{1}，故选C.答案：C3．已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1 C．1 D．3解析：本题考查函数的奇偶性．令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C.答案：C4．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB 的长度等于()A．2 5 B．2 3 C. 3 D．1解析：利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋（3）2＝1，半径r＝2，∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3.答案：B5．函数f (x )＝2x ＋1的定义域是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 D ．(－∞，＋∞) 解析：由2x ＋1≥0，解得x ≥－12，故选B.答案：B6．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．4解析：(2a －b )·b ＝(3，x )·(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. 答案：C7．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0.∴－a <0，b >－a . ∴－a <b <0<－b <a . 答案：C8．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：因为y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝ cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，故选A.答案：A9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14解析：由不等式组，作出可行域如下：在点A (2，3)处，z ＝3x ＋y 取最大值为9. 答案：C10．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析：法一利用等比数列的通项公式求解．由题意得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案：D11．当x ＞0时，下列不等式正确的是( )A ．x ＋4x ≥4B ．x ＋4x ≤4C ．x ＋4x ≥8D ．x ＋4x ≤8解析：由均值不等式可知，当x ＞0时，x ＋4x ≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取“＝”，故选A.答案：A12．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋22－524b ＝23，∴b ＝3，答案选D.答案：D13．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925解析：从5人中选2人共有10种选法，其中有甲的有4种选法，所以概率为410＝25.答案：B14．设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞1”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：a ＞1可以推出a 2＞1，但反过来由a 2＞1，不能推出故答案为A.答案：A15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，当z＝2x＋y过点B(2，0)时，z最大，所以z max＝4，所以z＝2x＋y的最大值4.故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．解析：由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.答案：1517．某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是________米．解析：由小到大排列为1.69，1.72，1.75, 1.77，1.78, 1.80.中位数是1.75＋1.772＝1.76.答案：1.7618．已知直线x ＝－2交椭圆x 225＋y 221＝1于A ，B 两点，椭圆的右焦点为F 点，则△ABF 的周长为________．解析：椭圆x 225＋y 221＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝25－21＝4，又直线x ＝－2经过椭圆x 225＋y 221＝1的左焦点F 1，且椭圆的右焦点为F ，由椭圆的定义可知，△ABF 的周长为AF ＋BF ＋AB ＝AF ＋AF 1＋BF ＋BF 1＝4a ＝4×5＝20.答案：2019．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴a －35－4＝5－36－4，∴a ＝4.答案：4三、解答题(本大题共2个题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A .(1)求角C 的大小；(2)若a ＝2，且△ABC 的面积为332，求c 的值． 解：(1)由正弦定理得3sin A ＝2sin C sin A ， 因为A ，C 是锐角，所以sin C ＝32，故C ＝60°.(2)因为S ＝12ab sin C ＝332，所以b ＝3.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×3＝7，所以c＝7.21．(12分)已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是正方形，E是PA的中点．求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD.证明：(1)连接AC交BD与O，连接EO，∵E，O分别为PA，AC的中点，∴EO∥PC.∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD. (2)∵PD⊥平面ABCD BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC∵ABCD为正方形∴BC⊥CD又∵PD∩CD＝D∴BC⊥平面PCD∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD.。
广东省梅州市梅江七年级数学上学期第一次月考试卷(含解析) 北师大版
2016-2017学年广东省梅州市七年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣2016的倒数是（）A．2016 B．2016 C．D．2．四个数﹣3，0，1，2，其中负数是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．23．如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为（）A．+3 B．﹣3 C．+D．﹣4．如图所示，a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a5．在下面的图形中，（）是正方体的展开图．A．B．C．D．6．下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（）A．B．C．D．7．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃ D．6℃8．用一个平面去截：①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的图形是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④9．下列各对数中，互为相反数的是（）A．和0.2 B．和C．﹣1.75和D．2和﹣（﹣2）10．下列计算错误的是（）A．0﹣（﹣5）=5 B．（﹣3）﹣（﹣5）=2 C．D．（﹣36）÷（﹣9）=﹣4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．绝对值小于4的所有整数的和是．12．比较大小：（填“＞”“＜”或“=”）（1）﹣24 2；（2）﹣1.5 0；（3）0 |﹣8|；（4）﹣（﹣3）3．13．的相反数是，绝对值是，倒数是．14．在数轴上，点A表示的数是﹣5．那么在数轴上与点A相距4个单位长度的点所表示的数．15．小红和小花在玩一种计算的游戏，计算的规则是=ad﹣bc．现在轮到小红计算的值，请你帮忙算一算结果是．16．如图，用小木块搭一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示．问：最少需要个小正方体木块，最多需要个小正方体木块．三、解答题（本大题共6小题，共46分）17．计算下列各题（1）24+（﹣21）﹣（+10）+（﹣13）（2）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣（+3）（3）（﹣24）×（﹣++）（4）（﹣81）÷2×÷（﹣16）18．在数轴上描出表示下列各数的点，并用“＜”把它们连接起来．4，﹣2，﹣4，3.5，0，．19．画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图：20．如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．21．某水泥仓库6天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：+20、﹣25、﹣13、+28、﹣29、﹣16．（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？22．学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49×（﹣5），看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：小明：原式=﹣×5=﹣=﹣249；小军：原式=（49+）×（﹣5）=49×（﹣5）+×（﹣5）=﹣249；（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：19×（﹣8）2016-2017学年广东省梅州市梅江实验中学七年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣2016的倒数是（）A．2016 B．2016 C．D．【考点】倒数．【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣2016的倒数是，故选D【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握互为倒数之间关系是解题关键．2．四个数﹣3，0，1，2，其中负数是（）A．﹣3 B．0 C．1 D．2【考点】正数和负数．【专题】计算题．【分析】﹣3小于零，是负数，0既不是正数也不是负数，1和2是正数．【解答】解：∵﹣3＜0，且小于零的数为负数，∴﹣3为负数．故选：A．【点评】题目考查了正负数的定义，解决此类问题关键是熟记正负数的定义，需要注意的是，0既不是正数也不是负数．3．如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为（）A．+3 B．﹣3 C．+D．﹣【考点】正数和负数．【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向右记为正，则向左就记为负，据此解答即可．【解答】解：如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为﹣3；故选：B．【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．4．如图所示，a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．b=2a【考点】有理数大小比较．【分析】根据数轴判断出a，b与零的关系，即可．【解答】根据数轴得到a＜0，b＞0，∴b＞a，故选A【点评】此题是有理数大小的比较，主要考查了识别数轴上的点表示的数，也是解本题的难点．5．在下面的图形中，（）是正方体的展开图．A．B．C．D．【考点】几何体的展开图．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意带“田”字的不是正方体的平面展开图．【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A选项缺少一个小正方形，故不是正方体的展开图；B、D选项都出现了“田”字，不能围成正方体，只有选项C可以拼成一个正方体．故选C．【点评】解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．6．下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：球体的主视图、左视图、俯视图都是圆形，故选A【点评】本题考查了简单几何体的三视图，锻炼了学生的空间想象能力．7．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃ D．6℃【考点】有理数的减法．【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：2﹣（﹣8）=2+8=10℃．故选C．【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．8．用一个平面去截：①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的图形是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④【考点】截一个几何体．【分析】根据圆锥、圆柱、球、五棱柱的形状特点判断即可．【解答】解：圆锥，如果截面与底面平行，那么截面就是圆；圆柱，如果截面与上下面平行，那么截面是圆；球，截面一定是圆；五棱柱，无论怎么去截，截面都不可能有弧度．故选B．【点评】本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．9．下列各对数中，互为相反数的是（）A．和0.2 B．和C．﹣1.75和D．2和﹣（﹣2）【考点】相反数．【分析】注意相反数的特征：绝对值相等但是符号不同的数是互为相反数．【解答】解：在和0.2中，它们的绝对值不等；在和中，它们互为倒数；﹣1.75的相反数为；在2和﹣（﹣2）中，∵﹣（﹣2）=2，它们相等．故选C．【点评】注意相反数和倒数概念的区别．10．下列计算错误的是（）A．0﹣（﹣5）=5 B．（﹣3）﹣（﹣5）=2 C．D．（﹣36）÷（﹣9）=﹣4 【考点】有理数的除法；有理数的减法；有理数的乘法．【分析】根据有理数的加法、减法、乘法、除法法则分别进行计算即可．【解答】解：A、0﹣（﹣5）=5，计算正确；B、（﹣3）﹣（﹣5）=﹣3+5=2，计算正确；C、×（﹣）=﹣，计算正确；D、（﹣36）÷（﹣9）=4，原题计算错误；故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的计算，关键是掌握计算法则，注意结果符号的判断．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．绝对值小于4的所有整数的和是0 ．【考点】有理数的加法；绝对值．【专题】计算题．【分析】找出绝对值小于4的所有整数，求出之和即可．【解答】解：绝对值小于4的所有整数是﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，其和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3=0．故答案为：0【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．比较大小：（填“＞”“＜”或“=”）（1）﹣24 ＜2；（2）﹣1.5 ＜0；（3）0 ＜|﹣8|；（4）﹣（﹣3）= 3．【考点】有理数大小比较．【专题】推理填空题．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得（1）﹣24＜2；（2）﹣1.5＜0；（3）0＜|﹣8|；（4）﹣（﹣3）=3．故答案为：＜、＜、＜、=．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．13．的相反数是3，绝对值是3，倒数是﹣．【考点】倒数；相反数；绝对值．【专题】计算题．【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．利用这些知识即可求解．【解答】解：﹣3的相反数为﹣（﹣3）=3；﹣3的绝对值为|﹣3|=3；﹣3的倒数为1÷（﹣3）=﹣；故答案分别为：3，3，﹣．【点评】此题考查了相反数、绝对值和倒数的性质，要求学生牢固掌握相反数、绝对值和倒数的性质及其定义，并能熟练运用．14．在数轴上，点A表示的数是﹣5．那么在数轴上与点A相距4个单位长度的点所表示的数﹣1或﹣9 ．【考点】数轴．【分析】此题注意考虑两种情况：要求的点在已知点的左侧或右侧．【解答】解：与点A相距4个单位长度的点表示的数有2个，分别是﹣5+4=﹣1或﹣5﹣4=﹣9．故答案为：﹣1或﹣9．【点评】考查了数轴．要求掌握数轴上的两点间距离公式的运用．在数轴上求到已知点的距离为一个定值的点有两个．15．小红和小花在玩一种计算的游戏，计算的规则是=ad﹣bc．现在轮到小红计算的值，请你帮忙算一算结果是﹣2 ．【考点】代数式求值．【专题】计算题．【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．【解答】解： =1×4﹣2×3=4﹣6=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．如图，用小木块搭一个几何体，它的主视图和俯视图如图所示．问：最少需要10 个小正方体木块，最多需要16 个小正方体木块．【考点】由三视图判断几何体．【分析】综合三视图，这个几何体中底层最多有3+3+1=7个小正方体，最少也有7个小正方体，第二层最多有2×3=6个小正方体，最少有2个小正方体，第三层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体，因此这个几何体最少需要7+2+1=10个小正方体，最多需要7+6+3=16个小正方体木块．【解答】解：综合三视图的知识，该几何体底面最多有7个小正方形，最少也是7个小正方形，第二层最多有6个小正方形，最少有2个，而第三层最多有3个小正方形，最少有1个，故这个几何体最少有10个小正方形，最多有16个．【点评】本题要根据最多和最少两种情况分别进行讨论，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”得出结果．三、解答题（本大题共6小题，共46分）17．计算下列各题（1）24+（﹣21）﹣（+10）+（﹣13）（2）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣（+3）（3）（﹣24）×（﹣++）（4）（﹣81）÷2×÷（﹣16）【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；实数．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式利用减法法则变形，结合后相加即可得到结果；（3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（4）原式从左到右依次计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=24﹣21﹣10﹣13=24﹣44=﹣20；（2）原式=﹣4﹣3+5﹣4=﹣8+1=﹣7；（3）原式=18﹣16﹣2=0；（3）原式=81×××=1．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在数轴上描出表示下列各数的点，并用“＜”把它们连接起来．4，﹣2，﹣4，3.5，0，．【考点】有理数大小比较．【专题】作图题；实数．【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可．【解答】解：，﹣4＜﹣2＜＜0＜3.5＜4．【点评】（1）此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．（2）此题还考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．19．画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图：【考点】简单组合体的三视图．【专题】应用题．【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；俯视图，3列，每列小正方形数目分别为3，1，1．【解答】解：作图如下：【点评】此题考查的知识点是简单组合体的三视图，关键明确主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．20．如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．【考点】作图-三视图；由三视图判断几何体．【分析】由已知条件可知，主视图有4列，每列小正方数形数目分别为1，2，3，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1．据此可画出图形．【解答】解：从正面和从左面看到的形状图如图所示：【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．21．某水泥仓库6天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：+20、﹣25、﹣13、+28、﹣29、﹣16．（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？【考点】正数和负数．【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据有理数的减法运算，可得答案；（3）根据装卸都付费，可得总费用．【解答】解：（1）+20+（﹣25）+（﹣13）+（+28）+（﹣29）+（﹣16）=20﹣25﹣13+28﹣29﹣16=﹣35，答：仓库里的水泥减少了，减少了35吨；（2）200﹣（﹣35）=235（吨）答：6天前，仓库里存有水泥235吨；（3）（|+20|+|﹣25|+|﹣13|+|+28|+|﹣29|+|﹣16|）×5=131×5=655（元）答：这6天要付655元的装卸费．【点评】本题考查了正数和负数，（1）有理数的加法是解题关键；（2）剩下的减去多运出的就是原来的，（3）装卸都付费．22．学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49×（﹣5），看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：小明：原式=﹣×5=﹣=﹣249；小军：原式=（49+）×（﹣5）=49×（﹣5）+×（﹣5）=﹣249；（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：19×（﹣8）【考点】有理数的乘法．【专题】阅读型．【分析】（1）根据计算判断小军的解法好；（2）把49写成（50﹣），然后利用乘法分配律进行计算即可得解；（3）把19写成（20﹣），然后利用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：（1）小军解法较好；（2）还有更好的解法，49×（﹣5）=（50﹣）×（﹣5）=50×（﹣5）﹣×（﹣5）=﹣250+=﹣249；（3）19×（﹣8）=（20﹣）×（﹣8）=20×（﹣8）﹣×（﹣8）=﹣160+=﹣159．【点评】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键．。
广东省湛江一中2016-2017学年高二上学期第一次大考数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年广东省湛江一中高二（上）第一次大考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等比数列{a n}的公比为，则的值是（）A．﹣2 B．﹣C．D．22．若数列{a n}满足：a1=19，a n=a n﹣3（n∈N*），而数列{a n}的前n项和最大时，n的值为+1（A．6 B．7 C．8 D．93．在等差数列{a n}中，a1=3，a10=3a3，则{a n}的前12项和S12=（）A．120 B．132 C．144 D．1684．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．5．已知sinθ+cosθ=，则tan（θ+）=（）A．B．2 C．±D．±26．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣7．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．310．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．11．数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）+1A．3690 B．3660 C．1845 D．183012．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．数列{a n}中，a1=1，a n=3a n+2，（n∈N*），则它的一个通项公式为．+114．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．15．设数列{a n}的前n项和为S n．若a2=12，S n=kn2﹣1（n∈N*），则数列{}的前n项和为．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．18．已知数列{a n}中，a1=，a n=2﹣（n≥2，n∈N），数列{b n}满足b n=（n ∈N*）．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项，并说明理由．19．已知函数f（x）=2sin（x+）•cos（x+）﹣sin（2x+π）．（Ⅰ）求f的（x）的最小正周期；（Ⅱ）若将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若b=，A=，求△ABC的面积．21．已知A、B、C、D为同一平面上的四个点，且满足AB=2，BC=CD=DA=1，∠BAD=θ，△ABD的面积为S，△BCD的面积为T．（1）当θ=时，求T的值；（2）当S=T时，求cosθ的值．=2S n+3（n∈N）22．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．2016-2017学年广东省湛江一中高二（上）第一次大考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等比数列{a n}的公比为，则的值是（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为，则==﹣2．故选：A．=a n﹣3（n∈N*），而数列{a n}的前n项和最大时，n的值为2．若数列{a n}满足：a1=19，a n+1（A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【分析】先由题设条件求出a n=19+（n﹣1）×（﹣3）=22﹣3n，再由a n=22﹣3n≥0，得n，由此得到数列{a n}的前n项和数值最大时，n的值．【解答】解：∵a1=19，，∴数列{a n}是首项为19，公差为﹣3的等差数列，∴a n=19+（n﹣1）×（﹣3）=22﹣3n，由a n=22﹣3n≥0，得n，∴数列{a n}的前n项和数值最大时，n的值是7．故选B．3．在等差数列{a n}中，a1=3，a10=3a3，则{a n}的前12项和S12=（）A．120 B．132 C．144 D．168【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出{a n}的前12项和S12．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=3，a10=3a3，∴3+9d=3（3+2d），解得d=2，∴{a n}的前12项和S12=12×=168．故选：D．4．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出平移后的解析式，利用偶函数的性质，求出φ，然后求出|φ|的最小值．【解答】解：平移后的函数解析式为y=sin2（x+φ）=sin（2x+2φ），因为它是偶函数，所以2φ=+kπ，k∈Z，即φ=，k∈Z，所以|φ|的最小值是故选C．5．已知sinθ+cosθ=，则tan（θ+）=（）A．B．2 C．±D．±2【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意和sin2θ+cos2θ=1联立解得sinθ和cosθ，进而可得tanθ，再由两角和的正切公式可得．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1联立解得或，当时，tanθ==3，tan（θ+）==﹣2；当时，tanθ==，tan（θ+）==2．故选：D6．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，故选：D．7．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．9．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（）A．3 B．C．D．3【考点】余弦定理．【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC==，故选：C10．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．【考点】数列的求和．【分析】由a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，可求得a n，从而可知，利用等比数列的求和公式即可求得答案．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，①∴a1+a2+a3+…+a n+1=3n+1﹣1，②②﹣①得：a n+1=3n+1﹣3n=2×3n，∴a n=2×3n﹣1．当n=1时，a1=31﹣1=2，符合上式，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×9n﹣1，∴=4，=9，∴{}是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==（9n﹣1）．故选B．11．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【考点】数列的求和．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11， (50)a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，+1a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选D．12．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【考点】归纳推理．【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M=（1+2016）•22014=2017×22014故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．=3a n+2，（n∈N*），则它的一个通项公式为a n=2•3n﹣1﹣1．13．数列{a n}中，a1=1，a n+1【考点】数列递推式．+1=3（a n+1），从而{a n+1}是以a1+1=2为首项，q=3为公比的【分析】两边同加1，可得a n+1等比数列，故可求．【解答】解：由题意a n +1=3a n +2，可得a n +1+1=3（a n +1） ∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，q=3为公比的等比数列， a n +1=2•3n ﹣1=3n 故a n =2•3n ﹣1﹣1 故答案为：a n =2•3n ﹣1﹣1．14．设当x=θ时，函数f （x ）=sinx ﹣2cosx 取得最大值，则cos θ= ﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】f （x ）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f （x ）取得最大值，得到sin θ﹣2cos θ=，与sin 2θ+cos 2θ=1联立即可求出cos θ的值．【解答】解：f （x ）=sinx ﹣2cosx=（sinx ﹣cosx ）=sin （x ﹣α）（其中cos α=，sin α=），∵x=θ时，函数f （x ）取得最大值，∴sin （θ﹣α）=1，即sin θ﹣2cos θ=， 又sin 2θ+cos 2θ=1，联立得（2cos θ+）2+cos 2θ=1，解得cos θ=﹣．故答案为：﹣15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 2=12，S n =kn 2﹣1（n ∈N *），则数列{}的前n 项和为．【考点】数列的求和．【分析】S n =kn 2﹣1（n ∈N *），可得：当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，由a 2=12，解得k=4．可得S n =4n 2﹣1，==．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵S n =kn 2﹣1（n ∈N *），∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=kn 2﹣1﹣[k （n ﹣1）2﹣1]=2nk ﹣k ， ∴a 2=4k ﹣k=12，解得k=4． ∴S n =4n 2﹣1，∴==．∴数列{}的前n 项和=++…+==．故答案为：．16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC=5，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 5 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC 、过A 做AE ⊥BC 、垂足为E ，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE 、CE 、BC 、BD ，由条件求出AD 的长． 【解答】解：如图所示：延长BC ，过A 做AE ⊥BC ，垂足为E ， ∵CD ⊥BC ，∴CD ∥AE ，∵CD=5，BD=2AD ，∴，解得AE=，在RT △ACE ，CE===，由得BC=2CE=5，在RT △BCD 中，BD===10，则AD=5， 故答案为：5．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB ；（Ⅱ）△ADC 的面积S ．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△BCD 中由正弦定理解出BD ，在△ABD 中，由余弦定解出cos ∠ADB ； （II ）代入三角形的面积公式计算．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD 中，由正弦定理得：，即，解得BD=3．在△ABD 中，由余弦定理得：cos ∠ADB===．∴∠ADB=45°．（Ⅱ）∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．∴sin ∠ADC=sin （45°+30°）=，∴S △ACD =•CDsin ∠ADC==．18．已知数列{a n }中，a 1=，a n =2﹣（n ≥2，n ∈N ），数列{b n }满足b n =（n∈N*）．（1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．【考点】数列递推式；数列的函数特性；等差关系的确定．【分析】（1）把给出的变形得a n a n ﹣1=2a n ﹣1﹣1，然后直接求b n +1﹣b n ，把b n +1和b n 用a n +1和a n 表示后整理即可得到结论；（2）求出数列{b n }的通项公式，则数列{a n }的通项公式可求，然后利用数列的函数特性可求其最大项和最小项．【解答】（1）证明：由，得：a n a n ﹣1=2a n ﹣1﹣1，则a n +1a n =2a n ﹣1．又，∴b n﹣b n=+1====1．∴数列{b n}是等差数列；（2）解：∵，，又数列{b n}是公差为1的等差数列，∴，则=，当n=4时，取最大值3，当n=3时，取最小值﹣1．故数列{a n}中的最大项是a4=3，最小项是a3=﹣1．19．已知函数f（x）=2sin（x+）•cos（x+）﹣sin（2x+π）．（Ⅰ）求f的（x）的最小正周期；（Ⅱ）若将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），利用三角函数周期公式即可解得．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=2sin（2x+），可求2x+∈[，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+）•cos（x+）﹣sin（2x+π）=cos2x+sin2x …=2sin（2x+）…于是T=π，…（Ⅱ）由条件可得g（x）=f（x﹣）=2sin（2x+），…由于x ∈[0，]，∴2x +∈[，]，…∴sin （2x +）∈[﹣，1]，…∴g （x ）=2sin （2x +）∈[﹣1，2]，故函数g （x ）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．…20．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2bsinB=（2a +c ）sinA +（2c +a ）sinC ． （Ⅰ） 求B 的大小；（Ⅱ） 若b=，A=，求△ABC 的面积．【考点】正弦定理的应用． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理，化简整理a 2+c 2﹣b 2+ac=0，再由余弦定理，求得角B 的大小， （Ⅱ）由三角行的内角和定理，求得C 及sinC ，再由正弦定理，求得c 的值，可求得三角形的面积． 【解答】（Ⅰ）解：∵2bsinB=（2a +c ）sinA +（2c +a ）sinC ， 由正弦定理得，2b 2=（2a +c ）a +（2c +a ）c ，… 化简得，a 2+c 2﹣b 2+ac=0．…∴．…∵0＜B ＜π， ∴B=．…（Ⅱ）解：∵A=，∴C=．… ∴sinC=sin ==．…由正弦定理得，，…∵，B=，∴．…∴△ABC 的面积=．…21．已知A 、B 、C 、D 为同一平面上的四个点，且满足AB=2，BC=CD=DA=1，∠BAD=θ，△ABD 的面积为S ，△BCD 的面积为T ． （1）当θ=时，求T 的值；（2）当S=T 时，求cos θ的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理求出BD，cos∠BCD，由此能出△BCD的面积T．（2）由S=，得到sinθ=，从而4sin2θ=sin2∠BCD=1﹣cos2∠BCD=1﹣（）2，由此能求出cosθ．【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosθ=3，∴BD=，在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD===﹣，∴∠BCD=120°，∴T===．（2）S=，BD2=AD2+AB2﹣2AD•ABcosθ=5﹣4cosθ，cos∠BCD==，T==，∵S=T，∴sinθ=，∴4sin2θ=sin2∠BCD=1﹣cos2∠BCD=1﹣（）2，解得cosθ=．22．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n+3，∴当n≥2时，a n=2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，化为a n+1=3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n=3n．（II）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3T n=32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n=（n﹣1）•3n+1+3．2017年1月11日。
2016-2017年广东省珠海市高一(下)期末数学试卷(a卷)(解析版)
2016-2017学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．（5分）177（8）＝（）（2）．A．1111111B．111111C．1111101D．10111112．（5分）f（x）＝3x6﹣2x5+x3+1，按照秦九韶算法计算x＝2的函数值时，v4＝（）A．17B．68C．8D．343．（5分）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若男运动员抽取了8人，则女运动员抽取的人数为（）A．5B．6C．7D．84．（5分）一组数x，y，4，5，6的均值是5，方差是2，则xy＝（）A．25B．24C．21D．305．（5分）在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如图是某工厂对甲乙两个车间各10名工人生产的合格产品的统计结果的茎叶图．设甲、乙的中位数分别为x甲、x乙，甲、乙的方差分别为s甲2、s乙2，则（）A．x甲＜x乙，s甲2＜s乙2B．x甲＞x乙，s甲2＞s乙2C．x甲＞x乙，s甲2＜s乙2D．x甲＜x乙，s甲2＞s乙28．（5分）由函数y＝sin x的图象经过（）变换，得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．A．纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再向右平移个单位B．纵坐标不变，向右平移个单位，再横坐标缩小到原来的C．纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2 倍，再向左平移个单位D．纵坐标不变，向左平移个单位，再横坐标扩大到原来的2 倍9．（5分）若tanα＝﹣2，则sin（）cos（π+α）＝（）A．﹣B．C．﹣D．10．（5分）等腰直角△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝2，则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣11．（5分）f（x）＝﹣sin（x+）sin（x﹣）的最小正周期和一条对称轴方程为（）A．2π；x＝kπ+，k∈Z B．2π；x＝kπ+，k∈ZC．π；x＝kπ+，k∈Z D．π；x＝kπ+，k∈Z12．（5分）△ABC中，若＝0，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．（5分）使用辗转相除法，得到315和168的最大公约数是．14．（5分）若sinα+cosα＝，α为锐角，则＝．15．（5分）运行右边的程序框图，输出的结果是．16．（5分）矩形区域ABCD中，AB长为2 千米，BC长为1 千米，在A点和C点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆 1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为．17．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为．18．（5分）下面是被严重破坏的频率分布表和频率分布直方图，根据残表和残图，则p ＝，q＝．19．（5分）若α，β∈（0，），sin（）＝﹣，cos（）＝，则α+β＝．20．（5分）已知，则△ABM与△ACM的面积的比值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（﹣，1）．（1）若||＝2 且∥，求的坐标；（2）若||＝，（+3）⊥（﹣），求向量，的夹角的余弦值．22．（10分）下表是检测某种浓度的农药随时间x（秒）渗入某种水果表皮深度y（微米）的一组结果．（1）在规定的坐标系中，画出x，y的散点图；（2）求y与x之间的回归方程，并预测40秒时的深度（回归方程精确到小数点后两位；预测结果精确到整数）．回归方程：＝bx+a，其中＝，a＝﹣b．23．（10分）＝（3sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）x∈[﹣，]时，g（x）＝f（x）+m的最大值为，求g（x）的最小值及相应的x 值．24．（10分）四名选手A、B、C、D参加射击、抛球、走独木桥三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等，比赛结束，评委们会根据选手表现给每位选手评定比赛成绩，根据比赛成绩，对前两名进行奖励．（1）选手D至少获得两个合格的概率；（2）选手C、D只有一人得到奖励的概率．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xoy中，A为以原点O为圆心的单位圆O与x正半轴的交点，在圆心角为的扇形AOB的弧AB上任取一点P，作PN⊥OA于N，连结PO，记∠PON＝θ．（1）设△PON的面积为y，使y取得最大值时的点P记为E，点N记为F，求此时的值；（2）求k＝a||•||+（a∈R，E是在（1）条件下的点E）的值域．2016-2017学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．（5分）177（8）＝（）（2）．A．1111111B．111111C．1111101D．1011111【考点】EM：进位制．【解答】解：177（8）＝7×80+7×81+1×82＝127，127÷2＝63…1，63÷2＝31…1，31÷2＝15…1，15÷2＝7…1，7÷2＝3…1，3÷2＝1…1，1÷2＝0…1，∴127（10）＝1111111（2）．故选：A．2．（5分）f（x）＝3x6﹣2x5+x3+1，按照秦九韶算法计算x＝2的函数值时，v4＝（）A．17B．68C．8D．34【考点】EL：秦九韶算法．【解答】解：f（x）＝3x6﹣2x5+x3+1＝（（（（（3x﹣2）x）x+1）x）x）x+1，按照秦九韶算法计算x＝2的函数值时，v0＝3，v1＝3×2﹣2＝4，v2＝4×2＝8，v3＝8×2+1＝17，v4＝17×2＝34．故选：D．3．（5分）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若男运动员抽取了8人，则女运动员抽取的人数为（）A．5B．6C．7D．8【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若男运动员抽取了8人，设女运动员抽取的人数为x，则，解得x＝6．故选：B．4．（5分）一组数x，y，4，5，6的均值是5，方差是2，则xy＝（）A．25B．24C．21D．30【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：∵一组数x，y，4，5，6的均值是5，方差是2，∴，解得x＝7，y＝3，∴xy＝21．故选：C．5．（5分）在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】G8：扇形面积公式．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，根据扇形的面积公式S＝lr，可得：4＝×4r，解得：r＝2，再根据弧长公式l＝rα，即：4＝2α，解得α＝2，可得扇形的圆心角的弧度数是2．故选：B．6．（5分）一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解答】解：一次投掷两枚骰子，基本事件总数n＝6×6＝36，向上点数之和不小于10，包含的基本事件有：（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共有6个，∴一次抛掷两枚骰子，向上点数之和不小于10的概率为：p＝＝．故选：A．7．（5分）如图是某工厂对甲乙两个车间各10名工人生产的合格产品的统计结果的茎叶图．设甲、乙的中位数分别为x甲、x乙，甲、乙的方差分别为s甲2、s乙2，则（）A．x甲＜x乙，s甲2＜s乙2B．x甲＞x乙，s甲2＞s乙2C．x甲＞x乙，s甲2＜s乙2D．x甲＜x乙，s甲2＞s乙2【考点】BA：茎叶图．【解答】解：由茎叶图，得：x甲＝34，x乙＝＝43.5，∴x甲＜x乙；由茎叶图知甲的数据相对分散，乙的数据相对集中，∴＞．故选：D．8．（5分）由函数y＝sin x的图象经过（）变换，得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．A．纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再向右平移个单位B．纵坐标不变，向右平移个单位，再横坐标缩小到原来的C．纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2 倍，再向左平移个单位D．纵坐标不变，向左平移个单位，再横坐标扩大到原来的2 倍【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：y＝sin x的图象向右平移个单位可得y＝sin（x﹣）的函数图象，再将y＝sin（x﹣）的函数图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到y＝sin（2x﹣）的函数图象，故选：B．9．（5分）若tanα＝﹣2，则sin（）cos（π+α）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：∵tanα＝﹣2，∴sin（）cos（π+α）＝cosα（﹣cosα）＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故选：A．10．（5分）等腰直角△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝2，则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：等腰直角△ABC中，A＝90°，AB＝AC＝2，则向量在方向上的投影为：||cos（π﹣B）＝﹣2×cos＝﹣；故选：B．11．（5分）f（x）＝﹣sin（x+）sin（x﹣）的最小正周期和一条对称轴方程为（）A．2π；x＝kπ+，k∈Z B．2π；x＝kπ+，k∈ZC．π；x＝kπ+，k∈Z D．π；x＝kπ+，k∈Z【考点】H2：正弦函数的图象．【解答】解：f（x）＝﹣sin（x+）sin（x﹣）＝﹣cos（﹣x）sin（x﹣）＝﹣sin（x﹣）cos（x﹣）＝﹣sin（2x﹣），它的最小正周期为＝π．令2x﹣＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，即x＝kπ+，k∈Z，故选：C．12．（5分）△ABC中，若＝0，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：因为△ABC中，若＝＝＝0，所以AC与AC边上的中线垂直，所以△ABC是等腰三角形；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13．（5分）使用辗转相除法，得到315和168的最大公约数是21．【考点】WE：用辗转相除计算最大公约数．【解答】解：315＝168+147，168＝147+21，147＝21×7．∴315和168的最大公约数是21．故答案为：21．14．（5分）若sinα+cosα＝，α为锐角，则＝3．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：由sinα+cosα＝，两边平方得：1+2sinαcosα＝，解得，2sinαcosα＝；∴＝＝＝＝3．故答案为：3．15．（5分）运行右边的程序框图，输出的结果是．【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝的值．故答案为：．16．（5分）矩形区域ABCD中，AB长为2 千米，BC长为1 千米，在A点和C点处各有一个通信基站，其覆盖范围均为方圆 1 千米，若在该矩形区域内随意选取一地点，则该地点无信号的概率为1﹣．【考点】CF：几何概型．【解答】解：∵如图，扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°，∴扇形ADE的面积为S1＝×π×12＝，同理可得，扇形CBF的在，面积S2＝，又∵长方形ABCD的面积S＝2×1＝2，∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是P＝＝1﹣，故答案为：1﹣．17．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为f （x）＝3sin（2x+）．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象，可得A＝3，＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得，2•+φ＝，∴φ＝，故f（x）的表达式为f（x）＝3sin （2x+），故答案为：f（x）＝3sin（2x+）．18．（5分）下面是被严重破坏的频率分布表和频率分布直方图，根据残表和残图，则p＝30，q＝0.1．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：由频率分布表得到[70，80）内的频数为90，由频率分布直方图得到[70，80）内的频率为0.45，∴样本单元数n＝＝200．∴p＝200﹣90﹣60﹣20＝30．q＝＝0.1．故答案为：30，0.1．19．（5分）若α，β∈（0，），sin（）＝﹣，cos（）＝，则α+β＝．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（）＝，∴∈（﹣，），可得：sin（）＝±，∵α，β∈（0，），sin（﹣β）＝﹣，∴﹣β∈（﹣，），可得：cos（﹣β）＝，∴cos[（α﹣）﹣（﹣β）]＝cos（α﹣）cos（﹣β）+sin（α﹣）sin（﹣β）＝±＝，或1．即cos（+）＝，或1，∴cos（α+β）＝cos[2（+）]＝2 cos2（+）﹣1＝﹣，或1．∵α+β∈（0，π），∴可得：α+β＝．故答案为：．20．（5分）已知，则△ABM与△ACM的面积的比值为β：α．【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：由，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC 与F，AE＝βAC，AD＝αAB，，则△ABM与△ACM的面积的比值为β：α故答案为：β：α三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中＝（﹣，1）．（1）若||＝2 且∥，求的坐标；（2）若||＝，（+3）⊥（﹣），求向量，的夹角的余弦值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）设＝（m，n），若||＝2 且∥，其中＝（﹣，1），可得m2+n2＝4，m＝﹣n，解得m＝﹣，n＝或m＝，n＝﹣，则＝（﹣，）或（，﹣）；（2）若＝（﹣，1），可得||＝，又||＝，（+3）⊥（﹣），可得（+3）•（﹣）＝2﹣32+2•＝0，即有3﹣3×2+2•＝0，可得•＝，向量，的夹角的余弦值为＝＝．22．（10分）下表是检测某种浓度的农药随时间x（秒）渗入某种水果表皮深度y（微米）的一组结果．（1）在规定的坐标系中，画出x，y的散点图；（2）求y与x之间的回归方程，并预测40秒时的深度（回归方程精确到小数点后两位；预测结果精确到整数）．回归方程：＝bx+a，其中＝，a＝﹣b．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（1）在规定的坐标系中，画出x，y的散点图如图所示；（2）计算＝×（5+10+15+20+30）＝16，＝×（6+10+10+13+16）＝11；x i y i＝5×6+10×10+15×10+20×13+30×16＝1020，＝52+102+152+202+302＝1650，∴回归系数为：＝＝≈0.53，a＝﹣b＝11﹣0.53×16＝2.52；∴回归方程为：＝0.53x+2.52；当x＝40时，＝0.53×40+2.52＝23.72，即预测40秒时的深度23.72微米．23．（10分）＝（3sin x，cos x），＝（cos x，cos x），f（x）＝•．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）x∈[﹣，]时，g（x）＝f（x）+m的最大值为，求g（x）的最小值及相应的x 值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【解答】解：（1）＝（3sin x，cos x），＝（cos x，cos x），∴f（x）＝•＝3sin x cos x+3cos2x＝sin2x+＝3sin（2x+）+；令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴3sin（2x+）+∈[﹣，]；∴f（x）的值域是[﹣，]，∴g（x）＝f（x）+m的最大值为+m＝，解得m＝1，∴g（x）＝f（x）+1；∴g（x）的最小值为﹣+1＝﹣，此时x＝﹣．24．（10分）四名选手A、B、C、D参加射击、抛球、走独木桥三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等，比赛结束，评委们会根据选手表现给每位选手评定比赛成绩，根据比赛成绩，对前两名进行奖励．（1）选手D至少获得两个合格的概率；（2）选手C、D只有一人得到奖励的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）∵四名选手A、B、C、D参加射击、抛球、走独木桥三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格、不合格机会相等，∴选手D至少获得两个合格的概率：p＝＝．（2）所有获得奖励的可能结果有：（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD），共6种，选手C、D只有一人得到奖励包含的情况有：（AC），（AD），（BC），（BD），有4种，∴选手C、D只有一人得到奖励的概率p＝．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xoy中，A为以原点O为圆心的单位圆O与x正半轴的交点，在圆心角为的扇形AOB的弧AB上任取一点P，作PN⊥OA于N，连结PO，记∠PON＝θ．（1）设△PON的面积为y，使y取得最大值时的点P记为E，点N记为F，求此时的值；（2）求k＝a||•||+（a∈R，E是在（1）条件下的点E）的值域．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）ON＝cosθ，PN＝sinθ，∴y＝cosθsinθ＝sin2θ，∵0，∴当时，y取得最大值，此时E（，），F（，0），∴＝．（2）＝（cosθ，sinθ），＝（，），∴＝cosθ+sinθ＝（sinθ+cosθ），∴k＝a sinθcosθ+sinθ+cosθ，令sinθ+cosθ＝sin（）＝t，则sinθcosθ＝，∵0，∴≤，∴1＜t，∴k＝a•+t＝，令f（t）＝，①若a＝0，则f（t）＝t，∴f（t）的值域为（1，]；②若a＞0，则f（t）的对称轴为直线x＝﹣＜0，∴f（t）在（1，]上单调递增，∴f（1）＜f（t）≤f （），即f（t）的值域为（1，+]；③若a＜0，则f（t）的图象开口向下，若﹣≤1，即a≤﹣1时，f（t）在（1，]上单调递减，∴f（t）的值域为[+，1）；若﹣≥，即﹣≤a＜0时，f（t）在（1，]上单调递增，∴f（t）的值域为（1，+]；若1＜﹣，即﹣1时，f（t）在（1，]上先增后减，∴f（t）的最大值为f （﹣）＝，若1＜，即﹣1＜a＜2﹣2时，则f（t）的最小值为f （）＝，若≤﹣，即2﹣2≤a ＜﹣则f（t）的最小值为f（1）＝1，综上，当a＝0时，f（t）的值域为（1，]；当a≤﹣1时，k的值域是[+，1）；当a ＞﹣且a≠0时，k的值域是（1，+]；﹣1＜a＜2﹣2时，k的值域是[，]；当2﹣2≤a ＜﹣时，k的值域是（1，]．第21页（共21页）。
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2017年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{1，2，3}，P＝{0，3}，则(M∪N)∩P 等于()A．{0，1，2，3，4} B．{0，3} C．{0，4} D．{0}解析：M∪N＝{0，1，2，3，4}，(M∪N)∩P＝{0，3}，故选B.答案：B2．函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．－1，＋∞)解析：对数函数要求真数大于0，所以x＋1＞0，解得x＞－1，故选C.答案：C3．设i为虚数单位，则复数1－ii等于()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：1－ii＝（1－i）·ii·i＝i－i2i2＝i＋1－1＝－1－i，故选D.答案：D4．已知甲：球的半径为1 cm；乙：球的体积为4π3cm3，则甲是乙的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：若r ＝1 cm ，由V ＝43πr 3可得体积为43π cm 3，同样利用此公式可证必要性也成立．答案：C5．已知直线l 过点A (1，2)，且与直线y ＝12x ＋1垂直，则直线l的方程是( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝12x ＋32D ．y ＝12x ＋52解析：因为两直线垂直时，斜率互为倒数的相反数(k 1k 2＝－1)，所以直线l 的斜率k ＝－2，由点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可得，y －2＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x ＋4，故选B.答案：B6．顶点在坐标原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y解析：因为准线方程为x ＝－2，所以焦点在x 轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，由y 2＝2px 得y 2＝8x .答案：A7．已知三点A (－3，3), B (0, 1)，C (1，0)，则|AB →＋BC →|等于( ) A ．5 B ．4 C.13＋ 2 D.13－ 2解析：因为AB →＝(3，－2)，BC →＝(1，－1)，所以AB →＋BC →＝(4，－3)，所以|AB→＋BC →|＝42＋（－3）2＝5，故选A.答案：A8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，则下列等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53 D ．tan α＝－52解析：依题意得，r ＝x 2＋y 2＝5＋4＝3，sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，所以sin α＝－23，cos α＝53，tan α＝－25＝－255，所以A ，B ，C 正确，D 错误．答案：D9．下列等式恒成立的是( ) A.13x＝x －23(x ≠0)B ．(3x )2＝3x 2C ．log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 3(x 2＋3) D ．log 313x ＝－x解析：13x ＝x －13(x ≠0)，故A 错；(3x )2＝32x ，故B 错；log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 32(x 2＋1)，故C 错． 答案：D10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n 2＋1B ．n 2C ．2n －1D ．2n －1解析：数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n （n －1）2·2＝n 2，故选B.答案：B11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤x ，x ＋y ≥2，则z ＝2x ＋y 的最大值为()A ．3B ．5C ．9D ．10解析：如图，画出可行域，当y ＝－2x ＋z 移动到A 点时，直线与y 轴的截距z 取得最大值，因为A (3，3)，所以z ＝2x ＋y 的最大值为9.答案：C12．已知点A (－1，8)和B (5, 2)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝3 2B ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝18C ．(x －2)2＋(y －5)2＝3 2D ．(x －2)2＋(y －5)2＝18解析：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1＋52，8＋22＝(2，5)，半径r ＝12（5＋1）2＋（2－8）2＝32，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －5)2＝18.答案：D13．下列不等式一定成立的是( )A．x＋2x≥2(x≠0) B．x2＋1x2＋1≥1(x∈R)C．x2＋1≤2x(x∈R) D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)解析：A选项中，当x＜0时，显然不成立；C选项中，当x＝－1时，显然不成立；D选项中，当x∈(－3，－2)时，x2＋5x＋6＜0，所以不成立；B选项中，x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2（x2＋1）·1x2＋1－1＝1(x∈R)，当且仅当x＝0时取“＝”．答案：B14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x2－sin x，则当x∈0，＋∞)时，f(x)＝()A．x2＋sin x B．－x2－sin x C．x2－sin x D．－x2＋sin x解析：设x∈0，＋∞)，则－x∈(－∞，0]，所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin x，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋sin x，故选A.答案：A15．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4, 方差为3，则x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数和方差分别为() A．4和3 B．4和9 C．10和3 D．10和9解析：由平均数的定义可知x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数＝x－＋6＝10，方差不变．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．已知x ＞0，且53，x ，15成等比数列，则x ＝____________．解析：因为513， x ，15成等比数列，所以x 2＝53×15＝25，又x ＞0，所以x ＝5.答案：517．函数f (x )＝sin x cos(x ＋1)＋sin(x ＋1)cos x 的最小正周期是____________．解析：f (x )＝sin x cos(x ＋1)＋sin(x ＋1)cos x ＝sin x ＋(x ＋1)]＝sin(2x ＋1)，所以最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π18．从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是____________．解析：从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数一共有如下12个基本事件：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43；其中该两位数小于20的共有12，13，14三个，所以该两位数小于20的概率为312＝14. 答案：1419．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1和F 2在x轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的标准方程是________．解析：根据焦点在x 轴上可以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)，因为长轴长2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y23＝1.答案：x 24＋y 23＝1三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B. (1)证明：△ABC 为等腰三角形； (2)若a ＝2，c ＝3，求sin C 的值． (1)证明：因为a cos A ＝bcos B ，所以a cos B ＝b cos A ，由正弦定理知sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以tan A ＝tan B ， 又A ，B ∈(0，π)， 所以A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形．(2)解：由(1)可知A ＝B ，所以a ＝b ＝2，根据余弦定理有：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以9＝4＋4－8cos C ，解得cos C ＝－18，因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＞0， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝638.21．(12分)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ＝2，E 为PC 的中点．(1) 证明：AP ⊥CD ； (2) 求三棱锥PABC 的体积； (3) 证明：AE ⊥平面PCD .(1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，所以PA ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以AP ⊥CD .(2)解：由(1)可知AP ⊥平面ABC ，所以V P －ABC ＝13S △ABC ·AP ，又S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×2×2×sin 60°＝3，所以V P －ABC ＝13×3×2＝233.。