用尺规作三角形及三角形全等应用(提高)知识讲解

用尺规作三角形及三角形全等应用（提高）

【学习目标】

1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；

2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.

【要点梳理】

要点一、基本作图

1.尺规作图的定义

利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.

要点诠释：

尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.

2.常见基本作图

常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；

3.作角的平分线；

4.作线段的垂直平分线；

5.作三角形.

要点诠释：

1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；

2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.

要点二、三角形全等的实际应用

在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.

【典型例题】

类型一、基本作图

1、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）

如图，已知，∠α、∠β．

求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．

【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．

【答案与解析】

解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．

【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．

举一反三：

【变式】（2015•湖州模拟）请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）

【答案】

解：

（1）以点B为一顶点作等边三角形；

（2）作等边三角形点B处的角平分线．

2、（2015•宝鸡校级模拟）如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）

【思路点拨】以C为圆心，任意长为半径画弧分别交CA、CB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结CP并延长交BA于点D．

【解析】

解：如图所示：DC即为所求．

【总结升华】此题主要考查了角平分线的做法，熟练掌握基本作图方法是解题关键．

类型二、作三角形

3、（2016•蓝田县一模）如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

【思路点拨】先作线段AC=b，再过点C作AC的垂线，接着以点A为圆心，a为半径画弧交此垂线于B，则△ABC为所求．

【答案与解析】

解：如图，

△ABC为所求作的直角三角形．

【总结升华】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

举一反三：

【变式】已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）

【答案】先作出∠MEN=∠ABC，然后在变EM、EN上截取DE=AB，EF=BC，连接DF，即可得到△ABC的全等三角形；

如图所示，△DEF即为所求作的三角形，依据为SAS；

类型三、三角形全等的实际应用

4、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．

要求：（1）画出设计的测量示意图；

（2）写出测量方案的理由．

【思路点拨】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得揽月湖的长度（如下图）；

（2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案．

【答案与解析】

解：（1）如图所示；

分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，

使其相交于点C，

使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ，

测得PQ即可得出AB的长度．

（2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，

又∠PCQ=∠BCA，

∴在△PCQ与△BCA中，

，

∴△PCQ≌△BCA（SAS），

∴AB=PQ．

【总结升华】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握．

举一反三

【变式】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（）

A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【答案】C.