初中数学常见的存在性问题(答案附后)

7. ( 2017·宜昌)已知抛物线 y ax bx c ，其中 2a b 0 c ，且 a b c 0 .
2
(1)直接写出关于 x 的一元二次方程 ax bx c 0 的一个根;
2
(2)证明:抛物线 y ax bx c 的顶点 A 在第三象限;
AB l2 ，且 PA AB BQ 最小，此时 PA BQ =
.
3. ( 2017·咸宁)如图，在 Rt ABC 中， BC 2, BAC 30 ,斜边 AB 的两个端点分别在 相互垂直的射线 OM , ON 上滑动，下列结论: ①若 C , O 两点关于 AB 对称，则 OA 2 3 ; ② C , O 两点间距离的最大值为 4; ③若 AB 平分 CO ，则 AB CO ; ④斜边 AB 的中点 D 运动路径的长为 其中正确的是
6.(1) APR, BPQ, CQR 的面积均为 6t (2 t ) ; (2) PQR 面积的最小值为 6;
18 或 1. 25 7.(1) x 1 ;
(3) t (2) A(1, 4a) , Q a 0,4a 0 ,所以在第三象限. (3) y x 2 x 3 .
(3)若⊙ M 与线段 EN 只有一个公共点.求 t 的取值范围.
5. (2017· 无锡)如图， 已知矩形 ABCD 中，AB 4, AD m ， 动点 P 从点 D 出发， 在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，连接 CP ，作点 D 关于直线 I PC 的讨称点 E ，设 点 P 的运动时间为 t ( s). (1)若 m 6 ，求当 P 、 E 、 B 三点在同一直线上时对应的 t 的值; (2)已知 m 满足:在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中， 有且只有一个时刻 t ， 使点 E 到直线 BC 的距离等于 3，求所有这样的 m 的取值范围.
6. (2017·绵阳)如图，已知 ABC 中， C 90 ，点 M 从点 C 出发沿 CB 方向以 1 cm/s 的速度匀速运动， 到达点 B 停止运动， 在点 M 的运动过程中， 过点 M 作直线 MN 交 AC 于点 N ，且保持 NMC 45 ，再过点 N 作 AC 的垂线交 AB 于点 F ，连接 MF ，将 MNF 关于直线 NF 对称后得到 ENF ，已知 AC 8 cm， BC 4 cm，设点 M 运动 时间为 t (s)， ENF 与 ANF 重叠部分的面积为 y (cm2). (1)在点 M 的运动过程中， 能否使得四边形 MNEF 为正方形?如果能.求出相应的 t 值;如果 不能，说明理由; (2)求 y 关于 t 的函数解析式及相应 t 的取值范围; (3)当 y 取最大值时，求 sin NEF 的值.
初中常见的存在性问题（答案附后）
1. ( 2017·怀化)如图，在菱形 ABCD 中， ABC 120, AB 10 cm，点 P 是这个菱形内 部或边上的一点.若以 P, B, C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P, A( P, A 两点不重合) 两点间的最短距离为 m.
2. ( 2017· 内江)如图， 已知直线 l1 // l2 ，l1 , l2 之间的距离为 8， 点 P 到直线 l1 的距离为 6.点 Q 到直线 l2 的距离为 4, PQ 4 30 ，在直线 l1 上有一动点 A ，直线 l2 上有一动点 B ,满足
同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1 cm/s.过点 Q 作 QM BD ，垂 足为 H ,交 AD 于点 M ，连接 AF , PQ ，当点 Q 停止运动时， EFP 也停止运动.设运动 时间为 t (s)(0< t <6)，解答下列问题: (1)当 t 为何值时， PQ // BD ? (2)设五边形 AFPQM 的面积为拭 y (cm2)，求 y 与 t 之间的函数关系式; (3)在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 S五边形AFPQM : S矩形ABCD 9:8 ?若存在，求出 t 的值;若不存在，请说明理由. (4)在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使点 M 在线段 PG 的垂直平分线上?若存在，求
. 2
(把你认为正确结论的序号都填上).
4. ( 2017 ·绍兴 ) 已知 ABC , AB AC, D 为直线 BC 上一点， E 为直线 AC 上一点，
AD AE，设 BAD , CDE .
(1)如图，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上; ①如果 ABC 60, ADE 70 ，那么 = ②求 , 之间的关系式. (2)是否存在不同于②中的 , 之间的关系式? 若存在，求出这个关系式(求出一个即可); 若不存在，说明理由. °， = °;
9. 6 动态型问题 1. (2017· 毕节)如图， 在 Rt ABC 中， ACB 90, AC 6, BC 8, AD 平分 CAB 交 BC 于 D 点， E , F 分别是 AD, AC 上的动点.则 CE EF 的最小值为( )
24 D. 6 5 2. (2017·衢州)如图，在直角坐标系中，⊙ A 的圆心 A 的坐标为(-1,0)，半径为 1，点 P 为 3 直线 y x 3 上的动点，过点 P 作⊙ A 的切线，切点为 Q ，则切线长 PQ 的最小值 4
出 t 的值;若不存在，请说明理由.
6. ( 2017 ·大庆 ) 如图，直角 ABC 中， A 为直角， AB 6, AC 8 . 点 P, Q, R 分别在
AB, BC, CA 边上同时开始作匀速运动、2 秒后三个点同时停止运动，点 P 由点 A 出发以
每秒 3 个单位的速度回点 B 运动，点 Q 由点 B 出发以每秒 5 个单位的速度向点 C 运动， 点 R 由点 C 出发以每秒 4 个单位的速度向点 A 运动，在运动过程中: (1)求证: APR, BPQ, CQR 的面积相等; (2)求 PQR 面积的最小值; (3)用 t (秒)( 0 t 2 )表>r 运动时间，是否存在 t ， 使 PQR 90 ?若存在，请直接写出 t 的值:若 不存在，请说明理由.
7. (2017·荆州)如图在平面直角坐标系中。直线 y
3 x 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 4
两点，点 P 、 Q 同时从点 A 出发，运动时间为 t 秒.其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每 秒 4 个单位长度， 点 Q 沿射线 AO 运动， 速度为每秒 5 个单位长度.以点 Q 为圆心，PQ 长 为半径作⊙ Q . (1)求证:直线 AB 是⊙ Q 的切线; (2)过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C (m,0) ， 作直线 AB 的垂线 CM ， 垂足为 M .若 CM 与 ⊙ Q 相切于点 D ，求 m 与 t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围); (3)在(2)的条件下，是否存在点 C ，使得直线 AB 、 CM 、 y 轴与⊙ Q 同时相切?若存在， 请直接写出此时点 C 的坐标;若不存在，请说明理由.
8.(2017·郴州)如图，已知抛物线 y ax
2
8 x c 与 x 轴交于 A, B 两点，与 y 轴交于点 C . 5
且 A(2,0), C (0, 4) ， 直 线 l : y
1 x4 与 x 轴 交 于 点 D ， 点 P 是 抛 物 线 2
8 y ax 2 x c 上的一动点，过点 P 作 PE x 轴，垂足为 E ，交直线 l 于点 F . 5
2
(3)直线 y x m 与 x, y 轴分别相交于 B, C 两点， 与抛物线 y ax bx c 相交于 A, D
2
两点.设抛物线 y ax bx c 的对称轴与 x 轴相交于点 E .如果在对称轴左侧的抛物
2
线上存在点 F ，使得 ADF 与 BOC 相似，并且 SADF 表达式.
A. B. C. 是 .
40 3
15 4
3. ( 2017·遂宁)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 、 F 分别从点 A 、点 D 以相同速度 同时出发，点 E 从点 A 向点 D 运动，点 F 从点 D 向点 C 运动，点 E 运动到 D 点时， E 、 F 停止运动连接 BE 、 AF 相交于点 G ，连接 CG .有下列结论:① AF BE ;②点 G 随 着点 E 、 F 的运动而运动，且点 G 的运动路径的长度为 ; ③线段 DG 的最小值为
参考答案
1. 10 3 10 2. 16 3. ①② 4. (Hale Waihona Puke Baidu)①20 10 ② 2 (2)
2 180 或 180 2
5.(1) t
24 ; 7 1 2 5 117 (2) y t t ; 8 2 2 (3) t 2 ; 32 (4) t . 17
5. (2017 · 青 岛 ) 已 知 : Rt EFP 和 矩 形 ABCD 如 图 ① 摆 放 ( 点 P 与 点 B 重 合 ) ， 点 如图②， F , B( P), C在同一直线上，AB EF 6 cm，BC FP 6 cm, EFP 90 ，
EFP 从图①的位置出发，沿 BC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s , EP 与 AB 交于点 G ；
1 SADE ，求此时抛物线的 2
8. (2017·西宁)如图，在平面直角坐标系中，矩形( OABC 的顶点 A, C 分别在 x 轴， y 轴的 正半轴上， 且 OA 4, OC 3 ， 若抛物线经过 O, A 两点， 且顶点在 BC 边上， 对称轴交 BE 于点 F 点 D, E 的坐标分别为(3,0) , (0,1). (1)求抛物线的解析式; (2)猜想 EBD 的形状并加以证明; (3)点 M 在对称轴右侧的抛物线上，点 N 在 x 轴上，请问是否存在以点 A, F , M , N 为顶 点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标;若不存在，请 说明理由.
①
②
(1)试求该抛物线的表达式; (2)如图①，点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标. (3)如图②，过点 P 作 PH x 轴，垂足为 H ，连接 AC . ①求证: ACD 是直角三角形; ②试问当 P 点横坐标为何值时，使得以点 P 、 C 、 H 为顶点的三角形与 ACD 相似?
2 5 2 ; ④ 当 线 段 DG 最 小 时 ， BCG 的 面 积 S 8
有 .(填序号)
8 5 ，其中正确的命题 5
4. ( 2017 · 烟 台 ) 如 图 ， 菱 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC, BD 相 交 于 点 O, AC 12cm ，
BD 16 cm， 动点 N 从点 D 出发， 沿线段 DB 以 2 cm/s 的速度向点 B 运动， 同时动点 M 从点 B 出发，沿线段 BA 以 1 cm/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点停止运动时另一 个动点也随之停止.设运动时间为 t (s)( t 0 )，以点 M 为圆心， MB 长为半径的⊙ M 与 射线 BA ，线段 BD 分别交于点 E 、 F ，连接 EN . (l)求 BF 的长(用含有 t 的代数式表示)，并求出 t 的取值范围; (2)当 t 为何值时，线段 EN 与⊙ M 相切?
2
8. (1) y
(2) EBD 为等腰直角三角形; (3) M (
3 2 x 3x ; 4
62 3 6 2 15 , 2) 或 M ( , 2) . 3 3