无理数的整数部分与小数部分
无理数的知识点整理
无理数的知识点整理无理数是数学中的一个重要概念，指的是不能表示为两个整数的比值的数。
与无理数相对的是有理数，有理数可以表示为两个整数的比值。
无理数的出现，打破了数学中只有有理数的局限性，使得数学理论更加完善。
一、无理数的定义无理数是指那些不能表示为两个整数的比值的数。
无理数可以用无限不循环小数来表示，如圆周率π，自然对数的底数e等。
无理数的特点是无限不循环，即小数点后的数字没有重复的规律。
二、无理数的性质1. 无理数的无限性：无理数的小数表示是无限不循环的，它们的小数位数是无穷的，也就是说无理数没有终止的小数位数。
2. 无理数的无重复性：无理数的小数位数没有重复的规律，不存在重复的数字序列。
3. 无理数的无限不循环性：无理数的小数位数没有循环的规律，不存在周期性的数字序列。
4. 无理数的无穷性：无理数的小数位数是无穷的，不存在终止的数字序列。
三、无理数的分类无理数可以分为代数无理数和超越无理数两类。
1. 代数无理数：代数无理数是指那些满足代数方程的无理数，如平方根，立方根等。
代数无理数可以用整系数的多项式方程表示。
2. 超越无理数：超越无理数是指那些不能满足任何代数方程的无理数。
超越无理数不能用整系数的多项式方程表示。
四、无理数的运算无理数的运算与有理数的运算类似，可以进行加、减、乘、除等运算。
但需要注意的是，无理数的运算结果可能是有理数，也可能是无理数。
例如，对于两个无理数的加法运算，结果可能是有理数，也可能是无理数。
五、无理数的应用无理数在数学和物理学中有着广泛的应用。
1. 几何学中的无理数：无理数在几何学中被广泛应用，例如圆的周长和面积的计算中就涉及到无理数。
圆周率π是一个无理数，它的值约为3.14159。
2. 物理学中的无理数：无理数在物理学中也有广泛应用，例如自然对数的底数e是一个无理数，它在指数函数和对数函数中起着重要作用。
3. 算法中的无理数：无理数的计算在算法中也有重要应用，例如在计算机中的浮点数表示中，无理数的表示和运算是必不可少的。
借助实例,归纳出无理数的性质及其运算规则
借助实例，归纳出无理数的性质及其运算规则知识点：无理数的性质及其运算规则一、无理数的定义与性质1.无理数是不能表示为两个整数比的实数，其小数部分是无限不循环的。
2.无理数与有理数统称为实数，共同构成了数轴上的所有点。
3.无理数不能精确表示，通常用无限不循环小数或π表示。
4.无理数具有非周期性、非对称性和非线性等特点。
5.无理数可以分为三种类型：带根号的不可约根式、含有π的三角函数值和一些特定算术表达式。
二、无理数的运算规则1.加法：两个无理数相加，仍为无理数。
2.减法：无理数减去有理数，结果为无理数；两个无理数相减，仍为无理数。
3.乘法：两个无理数相乘，仍为无理数。
4.除法：无理数除以有理数，结果为无理数；无理数除以无理数，结果可能为有理数或无理数。
5.幂运算：无理数的幂运算遵循指数法则，如(a^m a^n = a^{m+n})，其中a为无理数，m、n为整数。
6.根式运算：无理数的根式运算，如开平方、立方根等，结果仍为无理数。
7.三角函数运算：正弦、余弦、正切等三角函数，其结果为无理数。
三、无理数的相关概念1.平方根：一个数的平方根是指乘以自身等于该数的非负实数。
2.立方根：一个数的立方根是指乘以自身两次等于该数的实数。
3.π（圆周率）：π是一个常数，表示圆的周长与直径的比值，约等于3.14159。
4.指数函数：以e（自然对数的底数）为底的指数函数，如(e^x)，其中e约等于2.71828。
四、无理数在实际应用中的例子1.物理学：在研究振动、波动等物理现象时，常涉及无理数，如圆频率ω=2πf。
2.几何学：在计算圆的周长、面积等几何问题时，会用到π。
3.工程学：在建筑设计、机械制造等领域，无理数应用于计算角度、弧长等。
4.计算机科学：在二进制与十进制的转换中，无理数起到了关键作用。
通过以上归纳，我们可以了解到无理数的基本性质和运算规则，以及在实际应用中的广泛场景。
在学习和掌握无理数的过程中，要注重理论联系实际，提高自己的数学素养。
求无理数的整数与小数部分
求无理数的整数与小数部分
作者：刘顿
来源：《初中生·考试》2010年第10期
无理数是无限不循环小数. 任何一个无理数都有整数部分和小数部分. 学习了二次根式后,我们遇到了无理数的整数部分与小数部分的问题,不少同学对这类问题感到束手无策.其实,这类题并不难,只要你灵活运用不等式的相关知识,就可以迎刃而解.
例1若5-■的整数部分为a,小数部分是b,求代数式b2-a的值.
解:因为■
也就是-4
所以1
即5-■的整数部分a=1,
小数部分b=5-■-1=4-■.
当a=1,b=4-■时,b2-a=(4-■)2-1=26-8■.
温馨小提示:若a是一个无理数,m为整数,且m
例2若5+■的小数部分为a,5-■的小数部分为b,试求a+b的值.
分析:要求a+b的值,就需求出a和b的值. 此时可通过估算,确定无理数5+■和5-■的整数部分,进而求出5+■,5-■的小数部分,从而使问题获解.
解:因为■
所以7
即5+■的整数部分是7,5-■的整数部分是2.
所以5+■的小数部分为5+■-7=■-2,5-■的小数部分为5-■-2=3-■,
即a=■-2,b=3-■.
a+b=■-2+3-■=1.
温馨小提示:任何实数的小数部分必为0或正的小数.如-5.7的整数部分为-6,小数部分为0.3,切不可认为-5.7的小数部分为-0.7.
例3设■ 的整数部分为m, 小数部分为n,求m2+■mn+n2的值.
解:因为■=■=■,
而2
所以m=2,n=■,即m+n=■,mn=■-1.
m2+■mn+n2=(m+n)2-■mn=(■)2-■×(■-1)=5. ■。
小学数学教学中的名词解释(小数)
小学数学教学中的名词解释与教学建议（小数）[小数]人们为了应用上的方便，把十进分数改写成不带分母的形式，并且按照十进制的位值原则，把个位右边的第1位、第2位、第3位、……像3.24这样的不带分母、按照十进制的位值原则写出来的十进分数，叫做十进小数，简称小数.记号“.”叫做小数点，它是整数部分与小数部分的分界标记.整数部分是零的小数叫做纯小数，纯小数比1小；整数部分不是零的小数叫做带小数或混小数，带小数比1大.由十进分数改写成的小数，小数部分的位数都是有限的，所以亦称有限小数.在小学阶段，还要遇到小数部分的位数是无限多的小数，叫做无限小数.无限小数包括无限循环小数（见[循环小数]）和无限不循环小数.无限循环小数可由不能化成十进分数的分数改写而得，而无限不循环小数不能由分数改写得到，它是无理数的一种表现形式，如圆周率π的小数形式是数，都不能改写成分数. 这样，小数就包括有限小数与无限小数两种情况.认识小数应在认识分数之后.目前小学里一般把小数的认识分为两个阶段：第一阶段通过认识货币、商品标价，让学生对小数有个初步的认识，不概括十进分数的意义.第二阶段由十进复名数借助直观教具进行抽象概括，使学生认识小数的本质是十进分数.教学时，应讲清小数部分数位的意义，帮助学生把数位顺序整数和小数数位顺序表表从整数扩展到小数，并找出它们的异同之处.可以向学生指出，整数部分每远离小数点一位，数位的位置值就相应扩大十倍，而小数部分正相反，每远离小数点一位，数位的位置值就缩小十倍.通过练习，让学生熟记数位顺序表，并理解每一数位的位置值.[小数点]见[小数][十进小数]见[小数][纯小数]见[小数][带小数]见[小数][混小数]见[小数][有限小数]见[小数][无限小数]见[小数][小数的读法]（1）小数读法：整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作零），小数点读作“点”，小数部分按照从左到右的顺序读出每个数位上的数字，中间的“0”要全部读出来.例如，2.48读作二点四八；503.0032读作五百零三点零零三二.小学生由于受到整数读法的思维定势，往往把2.48读成二点四十八，要注意纠正.（2）分数读法：分数读法是把小数当作分数来读.例如，0.72读作百分之七十二；0.865读作千分之八百六十五，这种读法有助于理解小数的意义，但考虑到此时学生对分数还只是初步的认识，这样读难度较大，一般应不作要求.可通过小数与分数的改写来让学生有所了解.[小数的写法]整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字.教学时，要注意引导学生比较整数和小数写法的异同，应向学生指出：写数时小数点应写在整数部分的右下角，不可“居中”，免得与乘号“·”相混，也不可写成“，”，与整数写数中的分节号相混.[小数的位数]一个数的小数部分在几个数位上有数字，就叫做几位小数.如：43.085、0.007都是三位小数，781.3、0.2都是一位小数.小数的位数的概念，在学习小数计算（尤其是乘法）和取小数的近似值时经常要用到.教学时，要让学生把数位、数位名称、数位上的数和位数区分开来，随时纠正学生口头叙述时出现的错误.要注意区分“两位数”与“两位小数”，让学生知道小数的位数只与小数部分有几位相关，而与整数部分无关[几位小数]见[小数的位数][小数的性质]小数的末尾添上或去掉零，小数的大小不变，这叫做小数的性质.小数的性质是小数四则运算的基础.应用小数的性质，可把小数化简，亦可在小数部分的末尾添零，从而增加小数的位数.这样，整数就可看作小数部分是0的小数.如“3”可写成3.0、3.00、3.000等.还可通过对比练习使学生知道，在整数末尾添上（或去掉）一个零，数就要扩大（或缩小）10倍，而在小数末尾添零，只是形式上小数的位数起了变化，小数的值不变.小数的性质，通常是通过把十进复名数，根据单位变化的要求改写成小数的例子来引入的.如教师出示3、30、300三个数，要学生添上单位名称，使这三个名数所表示的量相等.经讨论得出：3分米=30厘米=300毫米.然后教师又提出把这三个数量改用同一个单位“米”来表示.于是又得出：0.3米=0.30米=0.300米.再要求使小数的位数一样多…….在学生的积极思维中，导出小数性质.教学中，要防止学生把“小数末尾”说成是“小数点后面”或“小数后面”的错误.[小数的大小比较]比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，十分位上的数大的那个数较大；十分位上的数也相同，则百分位上的数大的那个数较大，……小数的大小比较方法和整数的大小比较在原则上是完全一样的，即最高位上的数大的那个数较大；最高位上的数相同，则次高位上的数大的那个数较大，……若所有数位上的数都相同，则两数相等，但在整数中，位数多的数一定较大，而在小数中，却不一定如此，如三位小数0.179就比两位小数0.32小.小数大小的比较仍可联系复名数进行教学.练习组织：（1）比较整数部分不同的带小数.（2）比较整数部分相同而十分位上的数不同的带小数.（3）比较整数部分和十分位上的数都相同，百分位上的数不同的带小数.（4）比较整数部分为零，小数部分位数不等的纯小数.（5）比较一组数的大小（可包括整数、分数、小数的综合练习）.[小数的扩大和缩小]把一个小数扩大（缩小）10倍、100倍、1000倍、……只要把小数点向右（左）移动一位、两位、三位、……就行.数位不够时，用“0”来补足.这一规律实际上是小数的另一条性质，通常叫小数点移动规律.教学时，可多用学生熟知的长度单位化聚的实例，如要学生填充：0.004米=（）毫米，0.04米=（）毫米，0.4米=（）毫米，4米=（）毫米.在填空前先让学生考虑；（1）第二行是把第一行的小数点向右移动了几位？（2）小数点移动后，数字4由千分位移到哪一位？这样，千分之4米变成了多少米？等等.填空后归纳出小数点移动引起数值变化的规律.还应把小数点移动、数的扩大（缩小）与乘以（除以）10、100、1000……联系起来，使学生加深理解.教学中要注意“0”的处理：（1）整数部分是“0”的小数，小数点向右移动后，整数左首的“0”必须去掉.（2）小数点向右移动后原小数变成整数，如果小数部分的位数不够，要在右边添“0”补足.（3）小数点向左移动时，如果整数部分的位数不够，则要在左边用“0”补足，点上小数点后，在小数点左边还要再写一个“0”，表示整数部分是零，如把4.3的小数点向左移三位，得0.0043.练习组织：（1）可用“划箭头”的方法帮助理解.如把4.3的小数点左移三位，可先板书为43再添“0”得0.0043.（2）加强口头训练.（3）可出一组数，其中既有小数点移动位置的情况，又有小数点没有移动只是在末尾添零去零的情况，让学生判别这些数的大小变化，加深对小数性质的理解.如：在□里填上“＞”、“＜”或“=”号.0.970□0.097 0.430□0.430.85×10□0.085×100 0.125×10□1.25÷103.875×100□38.75÷10 1000×4.2□42×100[小数和复名数]由于小数是十进分数的一种表示形式，所以凡是进率是10、100、1000的复名数，如3米40厘米可改写成以米为单位的单名数是3.4米，单名数2.45吨改写成复名数是2吨450千克.现行小学数学教学大纲中已没有复名数四则计算的容，遇到复名数的计算，改写成单名数进行计算.这样，学习十进复名数与小数的相互改写是十分必要的.也有助于学生加深对小数实际意义的理解.这一容需要综合运用计量单位、进率和小数的性质、小数点移动规律等知识，所以是学生学习的难点.一般可分下面四种情况进行教学：（1）高级单位单名数化成低级单位单名数，如0.54米=54厘米.方法：用进率100乘.（2）低级单位单名数聚成高级单位单名数，如4厘米=0.04米.方法：用进率100去除.（3）复名数改写成单名数.如3米4厘米=3.04米.（4）单名数改写成复名数.如1.05米=1米5厘米.教学时，注意把“数”、“单位名称”和“名数”三者区分开来，并指出改写时：（1）先要判断是由高级单位化成低级单位，还是由低级单位聚成高级单位，从而决定用进率去乘还是去除.（2）确定原来的单位和要改写的单位间的进率是多少.（3）根据乘除确定小数点应向什么方向移动，并根据进率确定小数点要移动几位.[小数加减法]小数相加减时，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里点上小数点，使它与横线上的小数点对齐.小数加减法和整数加减法一样，都是把相同数位上的数分别相加减.但在整数时，相同数位上的数对齐表现为末位（个位）对齐，而在小数时，则表现为小数点对齐，因而整数加减的对位知识会对小数加减的对位产生负迁移.在整数时，所得的和或差的末尾的“0”不能去掉，而在小数时，则需要将和或差的末尾的“0”去掉，这也是容易疏忽的地方.不过，这个末尾的“0”不划去也不能评为错误，正如分数没有约简一样，只能说是不符合要求，因为它的数值大小没有变.整数加法的交换律、结合律以与加减法的运算性质，对小数加减法仍然适用.教学时，要注意讲明算理.在选编例题与练习题时，要从小数位数相同的加减法开始，与时过渡到小数位数不相同的加减法.对于后者，开始时可用末尾添“0”的办法，把位数不等的小数变成位数相等的小数.对于整数与小数相加、减，尤其是整数减小数，学生容易算错.可引导学生把整数看作是小数部分为任意个零的小数.组织练习，除了小数加、减法各种情况的基本题，还可以设计有针对性的习题.例如：（1）找出下面有错误的题目，并说一说错误的原因.（2）用简便方法运算.1.75+0.34+0.25+0.66，4.76-2.8-1.2，5.98-4.5+6.02.[小数乘法]小数乘法的意义跟分数乘法的意义相同，当乘数是整数时，表示几个相同的数连加，当乘数是小数时，表示求一个数的十分之几、百分之几、……是多少.由于小学里大多把小数的系统知识放在分数的系统知识之前教学，还不能用分数乘法的意义解释小数乘法的意义.但是，小数乘法的计算方法与整数乘法相同，所以小数乘法可以安排在整数后进行教学.关于小数乘法的意义，在学习分数乘法后再作进一步的理解.小数乘法一般按如下三个层次进行教学：（1）小数乘以整数，（2）整数乘以小数，（3）小数乘以小数与乘法的运算定律在小数乘法中的运用.教学中还要介绍截取积的近似值的方法.[小数乘以整数]小数乘以整数的意义与整数乘法相同.计算时，先按整数乘法的法则算出积，再看被乘数有几位小数，积就有几位小数.教学时可以先用同数连加得出计算结果，如1.2×4=1.2+1.2+1.2+1.2=4.8，然后用积的变化规律来说明计算方法，得出：被乘数有几位小数，积就有几位小数.还可以让学生练习被乘数是小数、乘数是多位数的乘法，使学生加深理解.在学习小数加减法时，强调了小数点对齐.在此则要指出乘法竖式中要把最右边的数字对齐.在学生掌握了“先按整数乘法的法则算”的含义后，对此就较易理解.教学中还要注意培养“先想好积有几位小数，再动手计算”的习惯.当乘积末尾有0时，要强调先点上积的小数点，再去掉小数部分末尾的0.事实上，不先点上小数点，积还不是一个小数，因此就不能用小数基本性质去掉末尾的0.练习时，着重训练根据被乘数的小数位数，确定积的小数点的位置.如：（1）说出下面各题的积是几位小数.0.32×7， 2.043×35，50.08×4， 7.7×7.（2）根据23×15=345，说出下面各题的积.2.3×15，0.23×15，0.023×15.（3）口算.4.2×2，0.23×3，0.007×6等.[一个数乘以小数]一个数乘以小数时，先按整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点.当积的小数位数不够时，要在前面补0占位，再点上小数点.当积的末尾有0时，点上小数点后，再把小数部分末尾的0划去.一个数乘以小数的意义已不同于整数乘法.教学时可从学生熟知的数量关系中，用类比法导入乘数是小数的乘法.如：“……每千克价24元，买2千克应付几元？买0.5千克呢？买0.1千克呢？”学生由“总价=单价×数量”可解决列式问题.然后再比较求得的积与被乘数的大小，让学生初步了解用乘法不仅可以求24的二倍是多少，还可以求24的一半是多少，24的十分之一是多少.所以，乘数是纯小数时，积比被乘数小；乘数是带小数时，乘得的积比被乘数大.教学时，一般先讲整数乘以小数，再讲小数乘以小数.讲小数乘以小数的计算方法时，可让学生思考：“把被乘数和乘数都变成整数，分别要扩大多少倍？这样乘积同原来两个小数的积相比扩大了多少倍？要得到原来的积，该怎么办？”然后比较被乘数、乘数和积的小数位数，归纳出小数乘法的法则.学生在学习时，往往认为被乘数扩大100倍，乘数扩大10倍，一共扩大了110倍，可以用如下的方法进行分析：整数乘法的交换律、结合律、分配律在小数乘法里同样适用，可使一些计算简便.练习组织：（1）下面各题的积最小的是（）a.36×0.24b.3.6×0.24c.0.036×240（2）在下面空格里填上适当的数.257×（）＜257，（）×0.8＞0.8.3.口算：8×0.125，4×0.25，2×0.05，2.5×0.4，0.8×12.5，……等，并要求学生在理解的基础上熟记.（4）用简便方法运算.① 2.5×0.7×0.8×4×12.5，②31.5×0.2+0.8×31.5等.[小数除法]小数除法的教学以计算方法为主要容，一般分三种情况讨论：（1）小数除以整数，（2）整数除以整数，商是小数，（3）一个数除以小数.小数除法是以整数除法中被除数和除数同时扩大相同的倍数商不变的性质和小数点位置移动的规律为基础的.小数除法在计算步骤和试商方法上与整数除法基本相同，所不同的是小数点的处理问题，所以教学中，既要重视复习和运用整数除法的知识，又要突出计算中的新特点，在除法计算中，当除不尽时就出现商是无限循环小数的情况.因此无限循环小数的认识也是小数除法教学中的一个重要容.此外，还要介绍商的近似值截取法.[除数是整数的小数除法]除数是整数的小数除法在意义上与整数除法相同.计算法则是：按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0，再继续除.教学时，先出被除数是小数，后出被除数是整数而商是小数的除法.从商的情况看，先出商是带小数的，后出商是纯小数的，因为商是纯小数时，要先写0再点小数点，对此，学生不易理解.教学时，还要注意讲清每一次除得的余数的意义，让学生理解商的小数点要与被除数的小数点对齐的道理.例如，21.45÷15=1.43，着重讨论商1后，余6，再和十分位上的4合在一起，一共是64个十分之一.所以，15除64个十分之一，商是4个十分之一，要写在十分位上，从而引出商的小数点的位置，在商的个位和十分位之间，也就是和被除数的小数点对齐.然后继续这样分析演算下去，得商1.43.在整数除法里，如果除到被除数的末尾仍有余数，就不能再除，作为有余数的除法处理.而在小数除法里可以在余数后面添0，再继续除，这与学生的原有认识不一致，所以是学习的难点.组织练习时，可按下表排列的情况配备题目：[除数是小数的除法]一个数除以小数时，先右移除数的小数点使它变成整数，再把被除数的小数点右移同样的位数（位数不够时补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算.其依据是，除数和被除数扩样的倍数，商不变.这一容是小数除法教学中的难点.教学时，先复习“商不变”的规律，然后由应用题引出除数的小数位数小于（或等于）被除数的小数位数的实例，如10.25÷12.5，引导学生将除数的小数点右移一位，使它变成整数，然后因为要使商不变.所以被除数的小数点也要右移一位.这样就变成：102.5÷125.通过适当练习后，再引导学生做除数的小数位数大于被除数的小数位数的题目，说明在位数不够时要在被除数末尾补“0”.在得出计算法则后，应向学生指出：小数点移动的位数取决于除数的小数位数，而不是根据被除数的小数位数.练习组织：（1）专门训练将除数是小数的除法化成除数是整数的除法（只移动小数点）.如：4.76÷2.8=□÷28（填方框），等.（2）求商.（3）口算.如：1.6÷0.4，0.16÷0.4，0.16÷0.04，16÷0.004等.此外，要注意小数除法里余数的数值.如使学生认识下式余下的“68”是0.68，而不是68.说明的途径有：（1）55.28由5528个0.01组成，余下的是68个0.01，即 0.68.（2）添上单位名称.如：55.28元÷7.8元→552.8角÷78角，余数是6.8角.即0.68元.（3）根据“被除数=商×除数+余数”来验证.[循环小数]一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数.循环小数是无限小数，它的位数是无限的，所以，也叫做无限循环小数.循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字，叫做它的一个循环节.如“3”是2.333……的一个循环节；“432”是0.1432432……的一个循环节.循环小数的简便写法是：只写出它的不循环部分和第一个循环节，并在这个循环节的首、末两个数字上面各记一个圆点.循环节只有一个数字，就只在其上记一圆点.如：（读作：零点一四三二，四三二循环）.小学教材里，循环小数常常安排在小数除法部分.教学时，先让学生从“永远除不尽”的计算实践中（如2÷3、25÷22等），认识到商的位数是无限的，随后要求学生观察循环小数的小数部分，得出纯循环小数和混循环小数的概念.应帮助学生正确地判定循环节，指出只看商的小数部分.例如：2.142142……的循环节是“142”.在认识循环小数的基础上，再让学生学习循环小数的简便写法和读法，并进而学习取循环小数的近似值的方法。
小数的知识点总结
小数的知识点总结小数是指以实数的形式表示的一个数字，即它由一个整数部分和一个有限或无限的小数部分组成。
在数学中，定义一个数字为小数，它必须包括两个元素：整数部分和分数部分。
例如，7.5就是一个小数，它由整数7和分数5组成。
二、小数的分类小数可以按照分数的位置，分为纯小数、有理数和无理数三种，具体如下：1、纯小数是指小数的整数部分为0，如：0.7、0.25、0.012等；2、有理数是指小数的小数部分有限的数字，如：4.7、3.14、5.2333等；3、无理数是指小数的小数部分是无限的数字，如：π、e等。
三、小数的运算（1）小数相加小数相加，也就是把两个或多个小数的整数部分和小数部分相加，或者把小数与整数相加。
如：3.2＋4.6＝7.8。
（2）小数相减小数相减，也就是把两个或多个小数的整数部分和小数部分相减，或者把小数与整数相减。
如：3.24.6＝－1.4。
（3）小数相乘小数相乘，也就是将两个或多个小数的乘积，也就是把小数与整数相乘。
如：3.2×3.3＝10.56。
（4）小数相除小数相除，也就是把两个小数的除积，也就是把小数与整数相除。
如：3.2÷8＝0.4。
（5）小数乘方小数乘方，即把小数乘以自身，也就是把小数的幂次提升，可以使小数的位数增加。
如：3.2的2次方是10.24。
（6）小数约分小数约分，即把小数的分数部分看作分子和分母，把小数化为最简式。
如：3.2的约分是8/5。
四、小数的计算方法（1）把小数转化为分数把小数转化为分数，是把小数根据它的小数部分的位数，把小数部分提取出来，然后把小数部分转化为真分数。
如：3.2分数形式是32/10。
（2）把分数转化为小数把分数转化为小数，是把分数分子除以分母，然后合并分子和分母，把运算结果记为小数。
如：32/10小数形式是3.2。
（3）小数的四舍五入小数的四舍五入，是指把小数中小数点后的部分，按照一定的规则进行取舍，把小数保留到满足要求的有效位数上。
《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
无理数的整数部分与小数部分
无理数的整数部分与小数部分专项训练
1、已知无理数x=+2的小数部分是y，则xy的值是（）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
2、若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b-4）的值______ ．
3、若a，b分别是6-的整数部分和小数部分，则b-a的值是______ ．
4、的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值为______ ．
5、阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此，的小数部分不可能全部地写出来，但可以用-1来表示的小数部分．理由：因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
已知：2+的小数部分为a，5-的小数部分为b，计算a+b的值．
6、阅读理解：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小张用-1来表示的小数部分，你同意小张的表示方法吗？事实上，小张的表示方法是正确的，因为1＜＜2，所以的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：
（1）填空：的整数部分是______ ，小数部分是______ ．
（2）已知10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．
7、阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用-1来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为＜＜，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请据此解答：
（1）的整数部分是______ ，小数部分是______
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b-的值；
（3）若设2+的整数部分为x，小数部分为y，求y-x的值．。
八年级数学第二章 无理数的估算
估算一个无理数的大小
1. a 是10的整数部分，b 是5的小数部分，则22b a += .
2. a 是-10的整数部分,b 是-10的小数部分，则a= ;b= .
3. 2-5的整数部分是 ，小数部分是 ；5-2的整数部分是 ， 小数部分是 .
4. 若a,b 均为正整数，且a>7,b<37,则a+b 的最小值是 .
解析：举例：
（1）数字2.3的整数部分为2，小数部分为0.3，
即整数部分2+小数部分0.3=原数2.3
（2）数字-2.3的整数部分为-3，小数部分为0.7，
即整数部分（-3）+小数部分0.7=原数（-2.3）
1. 我们要熟记常用平方数，知道与10相邻的平方数是9和16，与5相邻的 平方数是4和9 9<10<16，4<5<9，
∴3<10<4，2<5<3 ∴a=3，b=5-2 ∴22b a +=18-45
2. -4<-10<-3 ∴a=-4,b=(-10)-(-4)=4-10
3. 2<5<3 ∴ 0<5-2<1 ∴2-5的整数部分是0 ，小数部分是2-5 -1<2-5<0 ∴5-2的整数部分是-1,小数部分是3-5
4.a 的最小值为3，b 的最小值为1，a+b 的最小值是3
总结：整数部分+小数部分=原数
整数部分可以是正数，也可以是负数，而小数部分一定是正数。
七年级数学下册实数--无理数的整数部分和小数部分问题
七年级数学下册实数--无理数的整数部分和小数部分问题一．选择题1.估计√6+1的值在( )A. 2 到3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到5 之间D. 5 到6 之间2.估计68 的立方根的大小在( )A. 2 到3 之间B. 3 到4 之间C. 4 到5 之间D. 5 到6 之间介于( )3.估计√5−12A. 0.4 到0.5 之间B. 0.5 到0.6 之间C. 0.6 到0.7 之间D. 0.7 到0.8 之间4.在数轴上标注了四段范围，如图，则表示√8的点落在( )A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④5.如图，数轴上点P 表示的数可能是( )A. √10B. √5C. √3D. √26.在如图所示的数轴上，AB=AC，A，B 两点对应的实数分别是√3和-1，则点C 所对应的实数是( )A. 1+√3B. 2+√3C. 2√3−1D. 2√3+17.如图数轴上有A 、B 、C 、D 四点，根据图中各点的位置，判断那一点所表示的数与11−2√39最接近( )A. AB. BC. CD. D二．填空题8.大于√2且小于√5的整数是____．9.已知a 、b 为两个连续整数，且a<√17<b，则a+b= ____．10.若两个连续整数x，y，满足x<√15+1<y，则x+y 的值是____．3，b 是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____．11.设a=√312.规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．[√3]=1，按此规定，[√13−1]=____．13.已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示5−√7的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a + b ____．14.任何实数a，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72 进行如下操作：，这样对72 只需进行3 次操作后变为1，类似的，①对81 只需进行____ 次操作后变为1；②只需进行3 次操作后变为1 的所有正整数中，最大的是____．三．解答题的最大整数，15.已知M 是大于−√3但小于√6的所有整数的和，N 是小于√37−22求M+N 的平方根．16.因为√4<√7<√9，2<√7<3，所以√7的整数部分为2，小数部分为(√7−2)．(1)如果√29的整数部分为a，那a= ____．如果3+√3=b+c，其中b 是整数，且0 < c < 1，那么b= ____，c= ____．(2)将（1）中的a，b 作为直角三角形的两条边长，请你计算第三边的长度．17.阅读下列材料：因为√9<√11<√16，3<√11<4，√11的整数部分为3，小数部分为√11−3．请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果9π的整数3的小数部分为b，求a+b 的值．部分为a，√2818.大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不能全部写出来，于是，小平用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上，小平的表示方法是有道理的，因为√2的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：已知5+√5的小数部分是a，5−√5的整数部分是b，求a+b 的值．19.数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：√2≈1.414……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用√2−1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：已知8+√3=x+y，其中x 是一个整数，0<y<1，求3x+ (y−√3)2015的值．20.阅读材料：学习了无理数后，小明用这样的方法估算√7的近似值：因为√4<√7<√9，所以2<√7<3，所以设√7=2+k，（其中0<k<1），所以(√7)2= (2+k)2，7=4+4k+k2，因为0<k<1，所以0<k2<1，可见k2是一个很小的数，舍去k2，所以7≈4+4k，k≈0.75，√7≈2+k≈2.75．依照小明的方法解决下列问题：(1) 估算√11（精确到0.01）；(2) 已知：a，b，m 是非负整数，若a<√m<a+1，且m=a2+b，则√m≈____．（用含a，b 的代数式表示）(3) 请用（2）中的结论估算√37的近似值．。
无理数的性质及运算规律
无理数的性质及运算规律一、无理数的定义1.无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。
2.无理数不能精确地表示为分数形式，其小数部分既不会终止也不会无限重复。
二、无理数的性质1.transcendental number：无法表示为任何一种函数的根，如π和e。
2.不可数性：无理数集合中的元素无法与自然数一一对应，即无法数清无理数的个数。
3.均匀分布性：无理数在小数点后的每一位出现的概率是相等的。
4.无法表示为有限或无限循环小数：与有理数相区别的根本特征。
三、无理数的运算规律1.加减法：无理数加减无理数仍为无理数。
示例：√2−√2=02.乘除法：无理数乘以无理数仍为无理数。
示例：√2×√2=23.乘方：一个无理数的平方仍为无理数。
示例：(√2)2=24.无理数与有理数的运算：结果为无理数或是有理数，取决于运算方式。
示例：√2+1（无理数与有理数和为无理数）5.根号的性质：只有非负实数的平方根才是无理数。
示例：√(−2)没有实数解四、无理数在日常生活中的应用1.测量与工程：角度、几何尺寸的精确度等。
2.物理科学：自然界的许多现象与数学常数相关，如π在圆的周长与直径的比值中。
3.计算机科学：算法中的随机数生成、加密等领域。
五、无理数的估算与近似1.逼近法：使用有理数逼近无理数的值，如用分数近似π。
2.近似值：在需要的精度范围内，对无理数进行近似取值。
示例：π≈3.14六、无理数在数学中的地位1.实数体系：无理数与有理数共同构成实数集，是数学分析、微积分等高级数学分支的基础。
2.数论：无理数在数论中有着广泛的应用，如素数的分布等。
3.几何学：无理数在几何形状的计算和理论分析中不可或缺。
总结：无理数是实数的重要组成部分，其独特的性质和运算规律在数学、科学及日常生活中具有广泛的应用。
习题及方法：1.习题：判断以下哪个数是无理数？方法：无理数是不能表示为两个整数比例的实数，即无限不循环小数。
整数与小数的联系和区别
整数与小数的联系和区别
整数和小数都是数学中的基本概念，它们之间有着联系和区别。
首先，整数和小数都是实数的一种。
实数是包括有理数和无理
数的数的集合，而有理数包括整数和分数，而分数又可以表示为小数。
整数是不带小数部分的数，包括正整数、负整数和零。
它们用
来表示计数或编号，例如1、2、3等。
整数在数轴上是均匀分布的，相邻的整数之间的间隔都是1。
小数是带有小数部分的数，可以是有限的，也可以是无限循环的。
小数在数轴上则是不均匀分布的，相邻的小数之间的间隔是不
固定的，例如0.1和0.2之间的间隔比1.1和1.2之间的间隔要小。
小数通常用于表示测量、精确值或分数的近似值。
联系方面，整数和小数都是实数的一部分，它们都可以进行加
减乘除等基本运算。
在实际问题中，整数和小数常常会同时出现，
例如在货币计算中，会涉及到整数部分的货币单位和小数部分的分数。
区别方面，整数和小数在表示形式和数值精度上有明显的区别。
整数没有小数部分，而小数则包括小数点后的部分。
另外，整数的
精度是精确的，而小数的精度是有限的或者是无限循环的。
这意味
着在实际计算中，小数可能存在误差，而整数则不会出现这种情况。
总的来说，整数和小数在数学中都有着重要的作用，它们之间
既有联系又有区别，我们在实际问题中需要根据具体情况灵活运用
整数和小数的概念和性质。
小数的知识点总结大全
小数的知识点总结大全小数的概念最早可以追溯到古希腊的数学家，当时人们已经发现了一些小数，并且对其进行了研究。
在中世纪，人们开始使用小数符号和小数点来表示小数，小数的运算也逐渐得到了发展。
小数有很多种类，包括有限小数、无限循环小数、无限不循环小数等。
小数在数学中有着丰富的性质和运算规律，下面我们就来了解一下小数的相关知识点。
一、有理数与无理数1. 有理数有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和小数。
有理数包括正整数、负整数、零，以及它们的各种组合。
有理数的特点是可以写成分数的形式，且有限小数和循环小数都是有理数。
2. 无理数无理数是不能表示为两个整数之比的数，通常是无限不循环小数。
无理数是无限不循环小数的一种特殊形式，它们无法用分数表示，并且有着无穷多的小数位。
常见的无理数包括圆周率π、自然对数e等。
二、小数的表示与读法1. 小数点的表示小数点是用来表示小数和整数部分的分界线，通常写在整数部分和小数部分之间。
小数点右边的数字表示小数部分，小数点左边的数字表示整数部分。
小数点可以用横线或点表示，在数学中一般用点来表示。
2. 小数的读法小数的读法与整数的读法相似，只是在读小数点时要加上“点”或“点零”，如0.5读作“零点五”，3.14读作“三点一四”。
对于循环小数，可以用“……”来表示循环节，如0.3333……可以读作“三分之一循环节”。
三、有限小数与循环小数1. 有限小数有限小数是指小数部分有着有限位数的小数，可以在有限次内被终止。
例如0.25、0.75等都是有限小数，它们可以写成分数的形式。
有限小数的特点是小数部分有着确定的位数，可以写成分数形式，且能够终止。
有限小数的运算规律与整数和分数的运算规律相似。
2. 循环小数循环小数是指小数部分有着无限循环的小数，即小数部分的数字无限重复出现。
例如0.3333……、0.6666……等都是循环小数。
循环小数可以写成带括号的分数形式，如0.3(3)表示0.3333……。
无理数小数部分表示方法的思维策略
13 的小数部分是 13 - 3
无理数 5 13 的整数部分是多少？ 小数部分是多少？
问题解决
是多少？
13是无限不循环小数，它的整数部分
∵32<13<42
∴3< 13 <4 因此 13 的整数部分是3.
5 13 的整数部分是 ，小数部分是 13 - 3. 8
无理数 8 - 13 的整数部分是多少？ 小数部分ห้องสมุดไป่ตู้多少？
问题解决
是多少？
13是无限不循环小数，它的整数部分
∵32<13<42
∴3< 13 <4
∴4< 8 - 13 <5
8 - 13 的整数部分是 ，小数部分是 - 13. 4 4
20 的整数部分是多少？ 无理数 小数部分是多少？
3
问题解决
3
无理数 a=
13 的小数部分是a,则
.
进位制记数法是怎样记数的？各个数位 上的数字是用什么运算连接的？请举例说明. 例如：4362是采用十进位制简便 记数的方法 ，各个数位上的数字本质4 个千、3个百、6个十和2个一相加构成 的. 即4362=4×103+3×102+6×10+2×1
一个小数是有几部分组成的？它们之 间是由什么运算连接的？ 一个小数包括整数部分和小数部分， 是由加法连接组成.
是多少？
20是无限不循环小数，它的整数部分
∵23<20<33
∴2< 3 20 <3
3 3 20的整数部分是 ，小数部分是 20 - 2. 2
小数=整数部分+小数部分 例如：4.32=4+0.32
《实数》易错题和典型题
《实数》易错题和典型题一、平方根、算术平方根、立方根的基本概念和区别1.25的平方根是士5的数学表达式是( )A. 25 = 士5B. 25 = 5C. 士 25 = 士5D. 25 = 52. 81 的算数平方根是；16 的平方根是， 3 - 83 = ，- 64 的立方根是。
3.如果x是( - 3)2 的算数平方根， y是16 的算数平方根，则x2 + xy +1 = 。
4.若x2 =729，则x= ；若x2 = ( - 4)2 ，则x= 。
5.已知 2x- 1 的负的平方根是-3， 3x+y- 1 的算数平方根是 4，求 x+2y 的平方根。
6.一个数的平方根等于这个数，那么这个数是。
7.下列语句及写成的式子正确的是( )A.8是64的平方根，即64 = 8B. 士 8是64的平方根，即 64 = 8C. 士 8是64的平方根，即 64 = 士8D. 8是 ( - 8)2的算数平方根，即 ( - 8)2 = 89.已知有理数m的两个平方根是方程4x+2y=6的一组解，则m= 。
10.已知3 (2x - 1)2 的平方根是士1，则x = 。
二、对(a - 1)2 的化简：去绝对值符号1.化解(1- 2)2 = ；( 2 - 3)2 = ；( 3 - 2)2 = 。
2.如果m2 = 4 ，则 m= ；如果(a - 1)2 = a - 1，则 a 的取值范围是。
3.已知a = 6， b2 = 10且a - b = b - a，则 a + b = 。
4.实数 a， b， c 在数轴上的对应点如图所示，化解a + 3 (c - b)3 - a + b + (a - c)2三、被开方数的小数位移动与结果的关系1.已知2 = 1.414，那么 200 = ；0.02 = 。
2.已知0.236 = 0.4858，那么 2360 = ( )A.4858B.485.8C.48.58D.4.8583 5720 = ； 3 572 。
有理数与无理数 知识讲解
（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数． 【典型例题】 类型一、有理数
1．下列说法正确的是（ ）
A．整数就是正整数和负整数
B．分数包括正分数、负分数
C．正有理数和负有理数统称有理数
D．无限小数叫做无理数
【答案】B
【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和 0；C 选项正有理数、负有理数和 0 统称有理数；
2
7
整数集合：
分数集合：
负有理数集合：
无理数集合：
【答案与解析】
整数集合： -2， 0，-（-2），2012
分数集合： - 1 ， 22 ，- 0.23
27
负有理数集合： -2， - 1 ，- 0.23
2
无理数集合： 3 ，3．020020002…，
【总结升华】本题考查了对有理数的有关概念的理解和应用，关键是能区分有关定义，注意： 整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、0、负有理数；无理数是指无限不循环 小数． 类型三、循环小数化分数
有理数与无理数 知识讲解
【学习目标】 1、 理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念． 2、 会判断一个数是有理数还是无理数． 【要点梳理】 要点一、有理数
我们把能够写成分数形式 m （m,n 是整数，n≠0）的数叫做有理数． n
要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数． （2）所有整数都可以写成分母是 1 的分数，因此可以理解为整数和分数统称为 有理数．
要点二、无理数 1．定义：
无限不循环小数叫做无理数． 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式．
无理数和有理数的性质对比
无理数和有理数的性质对比一、无理数的性质1.无理数不能表示为两个整数的比例，即无理数不是分数的形式。
2.无理数的小数部分是无限不循环的，即小数点后的数字没有规律地重复。
3.无理数的平方根不一定是整数或分数，例如√2和√3都是无理数。
4.无理数可以用近似值表示，但近似值无法完全等于无理数。
5.无理数在数轴上对应的是无限不循环的小数点后的点。
二、有理数的性质1.有理数可以表示为两个整数的比例，即有理数是分数的形式。
2.有理数的小数部分是有限或循环的，即小数点后的数字在某一位开始重复。
3.有理数的平方根一定是整数或分数，例如√4=2和√9=3都是整数。
4.有理数可以用精确值表示，因为它们是分数的形式。
5.有理数在数轴上对应的是有限或循环小数点后的点。
三、无理数和有理数的对比1.表示形式：无理数不能表示为分数，有理数可以表示为分数。
2.小数部分：无理数的小数部分是无限不循环的，有理数的小数部分是有限或循环的。
3.平方根：无理数的平方根不一定是整数或分数，有理数的平方根一定是整数或分数。
4.近似值：无理数只能用近似值表示，有理数可以用精确值表示。
5.数轴上的位置：无理数在数轴上对应的是无限不循环的小数点后的点，有理数在数轴上对应的是有限或循环小数点后的点。
四、无理数和有理数的实际应用1.几何学：无理数在几何学中有着广泛的应用，例如计算圆的周长和面积、三角形的边长等。
2.物理学：无理数在物理学中也有重要作用，例如计算声音的频率、光的速度等。
3.工程学：无理数在工程学中用于计算各种尺寸和角度，例如建筑物的尺寸、机械零件的配合等。
4.日常生活：无理数也存在于我们的日常生活中，例如计算食物的营养成分比例、身高的比例等。
通过以上对比，我们可以更好地理解无理数和有理数的性质，以及它们在各个领域的应用。
希望这份知识归纳能帮助您更好地掌握无理数和有理数的相关知识。
习题及方法：1.习题：判断以下哪个数是无理数？答案：c) √20是无理数。
六年级数学教学备课教案认识有理数和无理数
六年级数学教学备课教案认识有理数和无理数认识有理数和无理数正文：在六年级数学教学中，有理数和无理数是一个重要的概念，它们是数学中的两类数。
本文将围绕着认识有理数和无理数展开讨论，介绍它们的定义、特点以及应用。
一、有理数的定义和特点有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正有理数、负有理数和零。
有理数可以用分数形式或者小数形式来表示。
在数轴上，有理数可以找到对应的点。
例如，1/2、3、-4/5都是有理数。
它们可以写成分数形式，也可以写成小数形式。
有理数的特点是可以进行加减乘除运算。
两个有理数的和、差、积、商也一定是有理数。
这一特点让有理数在数学运算中具有重要的应用。
二、无理数的定义和特点无理数是无限不循环小数，不能用两个整数的比值来表示。
无理数可以用根号表达，如根号2、根号3等。
在数轴上，无理数对应的点是无限不循环的。
无理数的特点是它们的小数形式是无限不循环的，即小数部分无限不重复。
无理数不能进行精确的运算，但可以近似计算。
三、有理数和无理数的比较有理数和无理数在数学上有一些明显的差异。
首先，有理数可以精确表示，而无理数只能近似表示。
其次，有理数的小数部分是有限循环或有限不循环的，而无理数的小数部分是无限不循环的。
另外，有理数和无理数在数轴上的位置也不同。
有理数和无理数之间没有重叠。
无理数可以在任意两个有理数之间找到一个无理数。
四、有理数和无理数的应用有理数和无理数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
在数学中，有理数和无理数是实数的重要组成部分。
实数是数轴上的所有点，包括有理数和无理数。
在解方程、进行数学推理时，有理数和无理数都扮演着重要的角色。
在现实生活中，有理数和无理数也有很多应用。
例如，无理数的近似计算在工程测量中非常常见。
在理财规划中，计算利息和投资回报率也需要用到有理数。
结论：通过对六年级数学教学备课教案中有理数和无理数的认识，我们可以清晰地理解它们的定义、特点以及应用。
有理数和无理数在数学中扮演着重要的角色，并且在现实生活中也有着广泛的应用。
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无理数的整数部分与小数部分
我们知道1,4,9,16,25,36,49，64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441，484,529, 576, 625,676,729,784,841,900,961,1024,1089,1156,1225,1369等这样的数叫完全平方数……，而2,3,5,6,7，8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24……等这样的数叫非完全平方数，那么怎样求被开平方数是非完全平方数的整数部分与小数部分呢？比如求a （a 是非完全平方数）的整数部分与小数部分，我们先确定a 最接近的两个完全平方数，即比a 稍小一点的完全平方数M ，比a 稍大一点的完全平方数N ，然后M ＜a ＜N ，即x （M =x ）＜a ＜y （N =y ），那么（令x 就是a 的整数部分，a 的小数部分就等于a -x 例1 已知15的整数部分是a ，小数部分是b ，求（15+a ）b 的值
解：∵9＜15＜16，∴9＜15＜16，即3＜15＜4，∴15的整数部分是a=3，小数部分是b=15-3， ,∴（15+a ）b=（15+3）（15-3）=（15）2-32
=15-9=6 例2 5+7的小数部分是a ，5-7的小数部分是b ，求ab+5b 的值
解：∵4＜7＜9，∴4＜7＜9，即2＜7＜3，∵2+5＜7+5＜3+5，即7＜5+7＜8，5+7的整数部分是7，小数部分是a=5+7-7=7-2，∵2＜7＜3，-2＞-7＞-3，∴-2+5＞-7+5＞-3+5,3＞-7+5＞2，即2＜5-7＜3，∴5-7的整数部分是2，小数部分是b=（5-7）-2=3-7，∴ab+5b=b （a+5）=（3-7）（7-2+5）=（3-7）（3+7）=32-（7）2=9-7=2
例3 若5+11的小数部分为a ，5﹣11的小数部分为b ，求a+b
解：∵3＜11＜4，∴3+5＜11+5＜4+4，即8＜5+11＜8，∴5+11的整数部分为8，小数部分a=5+11-8=11-3； ∵3＜11＜4，∴-3＞﹣11＞-4，∴-3+5＞﹣11+5＞-4+5，2＞﹣11+5＞1，即1＜5-11＜2，∴5-11的整数部分为1，小数部分b=5-11-1=4-11，所以a+b=11﹣3+4﹣11=1
例4 如果
731-的整数部分是a ，小数部分是b ，求b
a 的值 解：731
-=()()()7373731+-+⨯=()
22737
3-+=7973-+=273+，∵4＜7＜9，∴4＜7＜9，即2＜7＜3，∵2+3＜7+3＜3+3，即5＜3+7＜6，∴25＜273+＜26，即212＜273+＜3，∴273+的整数部分是 a=2，小数部分是b=273+-2=217-，b a =21
72-=174-=()()()1717174+-+⨯=()2217474-+=6474+=732+3
2 例5 求-189+6的整数部分与小数部分
解：因为-189+6＜0,所以要求-189+6的整数部分与小数部分，需要求（-189+6）的相反数（189-6）的整数部分与小数部分，然后取（189-6）的整数部分与小数部分的相反数即可得到-189+6的整数部分与小数部分.∵169＜189＜196，∴169＜189＜196，即13＜189＜14，∴13-6＜189-6＜14-6，即7＜189-6＜8，所以（189-6）的整数部分是7，小数部分是（189-6）-7=189-13，所以-189+6的整数部分是-7，小数部分是13-189
练习题：
1.已知35-2的整数部分是a ，小数部分是b ，求a 2-b 的值
2.已知6的整数部分是a ，小数部分是b ，求a+
b
1的值
3.已知9+13与9-13的小数部分分别为a ，b ，求ab-4a+3b-2的值
4.若6+10的整数部分为a ，小数部分为b ，求2a ﹣（10+3）b+2015的值
5.已知5−7的整数部分是a ，小数部分是b ，求a 2+(3+7)b 的值
6.若
1541-的整数部分是a ，小数部分是b ，求a 2
-（3+15）ab 的值
7.已知（3+1）÷（3-1）的整数部分是a ，小数部分是b ，求代数式a 2+ab+b 2
的值
8.已知19-2的整数部分是a ，小数部分是b ，求
()24b 3+ +2a 的值
9.若8-11的整数部分是a ，小数部分是b ，求2ab-b 2
的值
10.已知
2
73+的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+ 7）ab 的值
11.已知9+13的小数部分是a ，9-13的整数部分是b ，求ab-3a+4b+8的值
12.数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：2≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用 2-1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）5的小数部分是a ，37的整数部分是b ，求a+b-5的值；（2）已知8+3=x+y ，其中x 是一个整数，
0＜y ＜1，求3x+（y-3）2015的值。