2-4已知单调性求参数取值范围(可编辑修改word版)

合集下载

已知函数单调性求参数取值范围

已知函数单调性求参数取值范围

技法点拨已知函数单调性求参数取值范围■欧阳丽丽摘要:利用导数根据函数单调性(区间)求参数的取值范围,是高考考查函数单调性的一个重要考点,下面将这类问题举例分析。

关键词:导数;单调性;参数取值范围一、转化为不等式的恒成立问题求参数取值范围若函数f (x )在(a ,b )上单调递增,则f′(x )≥0;若函数f (x )在(a ,b )上单调递减,则f′(x )≤0,将问题转化为函数最值问题求解。

一般地,分离变量后,若得到a ≥h (x ),则只需a ≥h (x )max ;若得到a ≤h (x ),则只需a ≤h (x )min 。

注意:f (x )在(a ,b )上为增函数(减函数)的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上f′(x )≠0。

例1,已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x (a ≠0)在[1,]4上单调递减,求a 的取值范围。

解:因为f (x )在[1,]4上单调递减,所以当x ∈[1,]4时,f′(x )=1x -ax -2≤0恒成立,即a ≥1x 2-2x 恒成立。

设h (x )=1x2-2x ,x ∈[1,]4所以只要a ≥h (x )max 。

而h′(x )=2(x +1)(x +1)x 4。

当x ∈[1,]4,h′(x )>0,所以h (x )在[1,]4上单调递增。

所以当h (x )max =h (4)=-716,所以a ≥-716,即a 的取值范围是éëêöø÷-716,+∞。

评析:由f (x )在[1,]4上单调递增,得到f′(x )≤0,进而分离参数a ,构造新的函数h (x ),本题转化为求h (x )max 。

例2,已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+)∞内单调递减,求实数a 的取值范围。

利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)

利用函数的单调性求参数的取值范围(使用)

例1:已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数, 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
: 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法:(分离参数)2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时,f '(x) 2 x x
所以f (x)在(0,2)上递增,在(2, )上递减。
(2)当a
0时,令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在(0,2)上递增;
在(2, )递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法:(分离参数)
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在(0,2)内单调递减, 2: 求实数a的取值范围.
解析: f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在(0,2)上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:

如果在(a,b)内,f
(x)>0,则f
(x)在此区间是增函数;
如果在(a,b)内,f (x)<0,则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间,令f'(x)<0, 求出减区间。

函数单调性求参数范围

函数单调性求参数范围

上单调递增
变式1:设函数f ( x) 2x3 (3 a 1)x2 6x 7, 若f ( x)在(- ,0)上为增函数,求a的取值范围
变式2:设函数f ( x) 2x3 ( 3 a 1)x2 6ax 7, 若f ( x)在(- ,0)上为增函数,求a的取值范围
f ( x) 0在区间D上有解
例1:求函数f ( x) 2x3 3x2 6x 7 的增区间
解:f ( x) 6x2 6x 6 0
x 1 5 或x 1 5
2
2

f
(
x)在

,
1
2
5


1
2
5



高考二轮复习专题
——已知函数单调性,求参数范围
骆驼中学 劳冠钧
导数与函数单调性之间的关系:
f ( x) 0
f ( x)单调递增
f ( x) 0
f ( x)单调递减
f ( x) 0
f ( x) 0
f ( x) 0在区间D上无解
函数f ( x)在区间D上单调
反之不成立
函数f ( x)在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ间D上不单调
变式3:设函数f ( x) 2x3 ( 3 a 1)x2 6(a2 1)x 7, 若f ( x)在(- ,0)上为增函数,求a的取值范围
已知函数f ( x) x3 ax2 x 1,a R, 若f ( x)在区间(- 2, 1)内为减函数,求a的取值范围
33
已知函数f ( x) x3 1 a x2 a(a 2)x b,a,b R,
若函数f ( x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围

利用函数的单调性求参数的取值范围

利用函数的单调性求参数的取值范围

利用函数的单调性求参数的取值范围函数的单调性是指在一定范围内,函数的增减性质的统一性。

对于有单调性的函数,可以通过研究函数的导数来判断参数的取值范围。

首先,我们来回顾一下导数的定义和性质。

对于函数f(x),其导数可以表示为f'(x),导数表示函数在其中一点的变化率。

导数的正负号可以告诉我们函数的单调性。

1.若在[a,b]上f'(x)≥0,则函数在[a,b]上为单调递增函数。

2.若在[a,b]上f'(x)≤0,则函数在[a,b]上为单调递减函数。

3.若在[a,b]上f'(x)>0,则函数在[a,b]上为严格递增函数。

4.若在[a,b]上f'(x)<0,则函数在[a,b]上为严格递减函数。

步骤1:确定函数的定义域,即参数的取值范围。

步骤2:求出函数的导函数。

步骤3:利用导函数的性质来判断函数的单调性。

步骤4:结合定义域和单调性判断,确定参数的取值范围。

步骤5:验证参数的取值范围是否符合要求。

下面我们通过具体例子来说明求解参数取值范围的方法。

例子:求函数f(x) = ax^2 + bx + c 在定义域上的参数a、b、c的取值范围。

步骤1:确定函数的定义域。

对于二次函数,其定义域是整个实数集R。

步骤2:求出函数的导函数。

对f(x)求导得到f'(x) = 2ax + b。

步骤3:利用f'(x)的性质来判断函数的单调性。

-若2a>0,则函数在整个定义域上递增。

-若2a<0,则函数在整个定义域上递减。

步骤4:结合定义域和单调性判断,确定参数的取值范围。

-若2a>0,则函数在整个定义域上递增,所以a>0。

-若2a<0,则函数在整个定义域上递减,所以a<0。

然后,我们可以根据b和c的取值范围来进一步限定a的取值范围。

当a>0时:根据二次函数的几何性质,对于抛物线开口朝上的情况,函数的最小值出现在顶点处,顶点的x坐标为 -b/2a,对应的y坐标为 c - b^2/4a。

由单调性求参数范围的几种方法

由单调性求参数范围的几种方法
(1)若 f(x)是 一 次 函 数 。由 f(x)在 区 间 m,n]上 大 于 (小
一 般 地 ,根 据 函数 在某 一 区 间 上 的 单 调 性 ,可 以得 到 一 个 区 间 上 的 不 等式 。若 能 从 这 个 不 等 式 中 比 较 容 易 的解 得 参 数
可 得不 等 式 组
2d-g.所 以 a
3 分 类 讨 论 法
本 题 虽然 给 出 的 是 开 区 间 ,解 题 时 仍 可 参 照 闭 区 向 的 解
若 前 面 两种 方 法 都 不 能 或 不 易 求 解 的 话 ,则 可 以用 分 类
2010年 8月 第 8期
新 教 师 教 学
N ew Teacher Teaching
2010年 8月 第 8期
新 教 师 教 学
N ew Teacher T eaching
A ug,2010 N o.8
由单 调 性 求 参 数 范 围 的 几 种 方 法
【中 图 分 类 号 ]G623.5
张 爱 久 黄 玉 成
(南 京 市 雨花 台 中学 ,江 苏 ,南 京 ,210012)
解 :第 一 步 :求 导 数 f (x)一 x-a+
2)若号 o,即a≥o时,g(x)的最小值为g(号)一一手
第 二 步 :写 不 等 式
解 :第 一 步 :求 导 数 f (x)一2a+
解 :第 一 步 :求 导 数 f (x)一3k + 6(k一1)x
第 二 步 :写 不 等 式 函数 ,
因 为 f(x)在 区 间 [1,3]上 是 减
第 二 步 :写 不 等 式 因为 f(x)在 区 间 (0,4)内 是 减 函数 , 所 以 3kx。+6(k一1)x<O在 区 间 (O,4)内 恒 成 立 ,又 因 为

(完整版)2-4已知单调性求参数取值范围

(完整版)2-4已知单调性求参数取值范围

【知识点4】已知单调性求参数取值范围1•思路提示:⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题,转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题,进而转化为导数在该区间上的最值问题•⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题,转化为导函数在此区间无实根,可结合导函数的图像给出此问题的充要条件,从而求解⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题(如在给定区间上恒为正或负以及根的分布等),往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解例1:已知函数f(x) 3ax42(3a 1)x22(3a 1)x24x1(I )当a 时,求f (x)的极值;6(ll )若f (x)在1,1上是增函数,求a的取值范围3 2例2:已知函数f (x) x ax x 1(a R)(I )讨论函数f (x)的单调区间;3 1(ll)设函数f(x)在区间(—,-)内是减函数,求a的取值范围2 3例3:已知函数f (x) (2ax x2)e ax,其中a为常数,且a 0.(l )若a 1,求函数f (x)的极值点;(ll )若f (x)在区间C 2,2)内单调递增,求a的取值范围•3 2例4:已知函数f(x) ax bx (x R)的图像过点P( 1,2),且在点P处的切线恰好与直线x 3y 0垂直•(I )求函数f (x)的解析式;(ll)若函数f (x)在区间m,m 1上单调递增,求实数m的取值范围•例5:已知函数f(x) x3(1 a)x2a(a 2)x b(a,b R).(I )若函数f (x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率是3,求a,b的值; (II)若函数f (x)在区间(1,1)上不单调,求a的取值范围•e x例6:设f (x) ,其中a为正实数1 ax4(I)当a 时,求f (x)的极值点;3(n)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围xe例7:设f(x)—,其中a为正实数•2「3(I )当a —时,求f (x)的极值点;4(n )若f (x)为R上的单调函数,求a的取值范围1 3 12 例& 设f(x) x3 x22ax3 22(I)若f(x)在(-,)上存在单调递增区间,求3 a的取值范围.(II )当0 a 2时,f (x)在[1,4]的最小值为,求f(x)在该区间上的最大值.例9:已知a,b是实数,函数f (x) x3ax,g(x) x2bx, (x)和g (x)是f (x), g(x) 的导函数,若 f (x)g(x) 0在区间I上恒成立,则称 f (x)和g(x)在区间I上单调性一3(I)设a 0,若函数f (x)和g(x)在区间[1,)上单调性一致,求实数b 的取值范围; b ,若函数f (x)和g(x)在以a ,b 为端点的开区间上单调性一致,求a b 的最大值. 1例10 :已知函数f X -x 3 x 2 ax b 的图像在点P(0,f 0 )处的切线方程为 y 3x 2(i )求实数a,b 的值;(n )设g(x) f x — 是[21,]上的增函数。

已知函数的单调性求参数的取值范围

已知函数的单调性求参数的取值范围


f f
'(a) 0 '(a 1)
0
1 2
a a
3 2
1
a
2
故实数a的取值范围为-1, 2
2021/8/14
8
变式:已知函数f (x) ln x 在区间(2a,a+1)上单调递增, x
求实数a的取值范围。
解:由已知得f
'( x)
1 ln x2
x
令f '( x) 0 f ( x)的单调递增区间为(0,e)
求实数a的取值范围。
答案:(1)a 3或a 9 (2)a 1
2
课后作业:课时作业
2021/8/14
16
个人观点供参考,欢迎讨论
个人观点供参考,欢迎讨论
部分资料从网络收集整 理而来,供大家参考,
感谢您的关注!
3
1
a
2
故实数a的取值范围为-1, 2
2021/8/14
6
函数y f (x)为可导函数:
1.如果在(a,b)内,f (x)>0 f(x)在此区间是增函数; 如果在(a,b)内,f (x) 0 f(x)在此区间是减函数。
2.若函数f (x)在(a,b)上单调递增, 则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立 若函数f (x)在(a,b)上单调递减, 则f (x) 0在区间(a,b)上恒成立
2021/8/14
3
题1:已知函数f (x)=x3-3x2 -9x在区间(a,a+1)上单调递减, 求实数a的取值范围。 题2:若函数f (x) x3 ax2 1在(0, 2)内单调递减, 求实数a的取值范围。
那有什么不同点呢?
2021/放在区间上:
例1.已知函数f (x)=x3-3x2-9x在区间(a,a+1)上单调递减,

(学习指导) 函数的单调性与导数Word版含解析

(学习指导) 函数的单调性与导数Word版含解析

3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学习目标核心素养1.理解函数的单调性与导数的关系.(重点) 2.能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点)1.通过学习函数单调性与导数的关系,培养学生数学抽象与直观想象的素养.2.借助导数求函数的单调性,培养逻辑推理和数学运算的素养.(1)在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系:导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)=0常函数(2)在区间(a,b)函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)=0思考:在区间(a,b)内,函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件?[提示]必要不充分条件.2.函数的变化快慢与导数的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.1.函数y=x3+x的单调递增区间为()A.(0,+∞) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(-∞,+∞)D[y′=3x2+1>0,故选D.]2.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增A[∵f(x)=2x-sin x,∴f′(x)=2-cos x>0,∴f(x)在R上是增函数.]3.若函数f(x)的导数f′(x)=x(x-2),则f(x)在区间________上单调递减.[0,2][∵f′(x)=x(x-2),由f′(x)≤0得,0≤x≤2,∴f(x)在[0,2]上单调递减.]导数与函数图象的关系y=f(x)的图象可能是()(2)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f′(x)的图象可能是图中的()(1)D(2)C[(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负,f(x)的增减变化情况如下表所示:x (-∞,0)(0,2)(2,+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(-∞,0)内递增,在(0,2)内递减,在(2,+∞)内递增,满足条件的只有D,故选D.(2)由函数y=f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y=f′(x)的正、负情况如下表:x (-1,b)(b,a)(a,1)f(x)↘↗↘f ′(x )- + -由表可知函数y =f ′(x )的图象,当x ∈(-1,b )时,函数图象在x 轴下方;当x ∈(b ,a )时,函数图象在x 轴上方;当x ∈(a,1)时,函数图象在x 轴下方.故选C .]对于原函数图象,要看其在哪个区间内单调递增,则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减,则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.[跟进训练]1.函数y =f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,3内可导,其图象如图所示,记y =f (x )的导函数为y =f ′(x ),则不等式f ′(x )<0的解集为__________.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,1∪(2,3)[根据导数和图象单调性的关系知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,1∪(2,3)时f ′(x )<0.]利用导数求函数的单调区间(1)f (x )=3x 2-ln x ;(2)f (x )=-13ax 3+x 2+1(a ≤0). [思路点拨]求定义域―→求导数―→ 解不等式f ′(x )<0或f ′(x )>0―→写单调区间 [解](1)函数的定义域为(0,+∞),f ′(x )=6x -1x =6x 2-1x ,令f ′(x )>0,则6x 2-1x >0.又x >0,则6x 2-1>0,解得x >66.所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫66,+∞.令f ′(x )<0,则6x 2-1x <0,解得0<x <66, 所以函数的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,66.(2)因为f ′(x )=-ax 2+2x (a ≤0),当a =0时,f ′(x )=2x ,函数在(-∞,0)上是递减的,在(0,+∞)上是递增的, 当a <0时,令f ′(x )>0,则-ax 2+2x >0,解得x >0或x <2a ,所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,2a ,(0,+∞).令f ′(x )<0,则-ax 2+2x <0,解得2a <x <0, 所以函数的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ,0.综上,当a =0时,函数在(-∞,0)上是递减的,在(0,+∞)上是递增的; 当a <0时,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,2a 和(0,+∞)上是递增的,在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ,0上是递减的.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域; (2)求导数f ′(x );(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0; (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.提醒:如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.[跟进训练]2.求下列函数的单调区间:(1)f(x)=ln x x;(2)f(x)=xx2+4;(3)f(x)=e x-x.[解](1)函数定义域为(0,+∞),f′(x)=1-ln xx2.令f′(x)>0,即1-ln x>0,解得0<x<e;令f′(x)<0,即1-ln x<0,解得x>e.所以函数的单调递增区间是(0,e),递减区间是(e,+∞).(2)函数定义域为R,f′(x)=(x)′·(x2+4)-x·(x2+4)′(x2+4)2=4-x2(x2+4)2.令f′(x)>0,即4-x2>0,解得-2<x<2;令f′(x)<0,即4-x2<0,解得x<-2或x>2;所以函数的单调递增区间是(-2,2),递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞).(3)函数定义域为R,f′(x)=e x-1.令f′(x)>0,即e x-1>0,解得x>0;令f′(x)<0,即e x-1<0,解得x<0;所以函数的单调递增区间是(0,+∞),递减区间是(-∞,0).已知函数的单调性求参数的取值范围1.在区间(a,b)内,若f′(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?提示:不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f′(x)>0是y=f(x)在某个区间上递增的充分条件.2.一般地,在区间(a ,b )内函数的单调性与导数有什么关系? 提示:【例3】 (1)若f (x )在区间(1,+∞)内为增函数,求a 的取值范围; (2)若f (x )的递减区间为(-1,1),求a 的取值范围; (3)若f (x )在区间(-1,1)上不单调,求a 的取值范围.[解](1)因为f ′(x )=3x 2-a ,且f (x )在区间(1,+∞)上为增函数,所以f ′(x )≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x 2-a ≥0在(1,+∞)上恒成立, 所以a ≤3x 2在(1,+∞)上恒成立,即a ≤3. (2)f ′(x )=3x 2-a .①当a ≤0时,f ′(x )≥0,无减区间,不满足条件. ②当a >0时,令3x 2-a =0,得x =±3a3; 当-3a 3<x <3a3时,f ′(x )<0.因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-3a 3,3a 3上为减函数. 所以3a3=1,即a =3, 综上a 的取值范围为{a |a =3}. (3)f ′(x )=3x 2-a ,当a ≤0时,-a ≥0,f ′(x )≥0恒成立,满足在区间(-1,1)上是递增的,不符合题意,舍去;当a>0时,由f′(x)=0,得x=±3a3(a>0).因为f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以0<3a3<1,即0<a<3.综上a的取值范围为(0,3).1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.2.恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.[跟进训练]3.已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增加的,求t的取值范围.[解]由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,∴f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增加的,则在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.即t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.考虑函数g (x )=3x 2-2x =3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -132-13,x ∈(-1,1)显然g (x )<g (-1),故t ≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立⇔t ≥g (-1),即t ≥5.而当t ≥5时,f ′(x )在(-1,1)上满足f ′(x )>0,即f (x )在(-1,1)上是增加的.故t 的取值范围是[5,+∞).1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.在利用导数讨论函数的单调性时,首先要确定函数的定义域,在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调性.3.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间中间不能用“∪”连接,可用“,”隔开或用“和”连接.特别提醒:(1)在对函数划分单调区间时,除了注意使导数等于零的点,还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点.(2)当不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0不易求解时,可通过列表的方法求函数f (x )的单调区间.(3)区间的端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间,对结论没有影响. 1.判断正误(1)“在区间I 上,f ′(x )<0”是“f (x )在I 上单调递减”的充分不必要条件. ( )(2)若函数f (x )在(a ,b )上单调递增,则f (x )在(a ,b )上各点处的切线的倾斜角都是锐角.( )(3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数.( ) (4)如果函数f (x )在(a ,b )上变化得越快,其导数就越大. ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.函数f (x )=x +ln x 在(0,6)上是( ) A .增函数 B .减函数C .在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上是减函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,6上是增函数D .在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,6上是减函数 A [∵f (x )=x +ln x 的定义域为(0,+∞), 又f ′(x )=1+1x >0,∴f (x )在(0,6)上是增函数.]3.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示,则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为( )A .(-∞,-1)∪(0,1)B .(-1,0)∪(1,+∞)C .(-2,-1)∪(1,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞) A [当x >0时,f ′(x )<0,此时0<x <1, 当x <0时,f ′(x )>0,此时x <-1,因此xf ′(x )<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).]4.若函数f (x )=ax 3-x 2+x -5在(-∞,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围.[解]因为f ′(x )=3ax 2-2x +1, 由题意可知f (x )在R 上是增加的, 所以f ′(x )≥0对x ∈R 恒成立, 即3ax 2-2x +1≥0在R 上恒成立. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=4-12a ≤0,解得a ≥13.当a =13时,f ′(x )=x 2-2x +1=0,有且只有f ′(1)=0. 所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13,+∞.。

求参数的取值范围的两种思路

求参数的取值范围的两种思路

伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍方法集锦求参数的取值范围问题比较常见,常出现在函数、不等式、三角函数、解析几何、解三角形等试题中.解答这类问题的常用技巧有:分离参数和分类讨论.下面主要谈一谈如何运用这两种技巧来求参数的取值范围.一、分离参数分离参数是求参数的取值范围的常用技巧.运用该技巧解题,需先根据题意建立含有参数的关系式;然后对含有参数的关系式进行合理的变形,使参数位于等号或不等号的一侧;最后利用函数的性质、基本不等式、导数法等求得关系式另一侧式子的最值,即可求出参数的取值范围.例1.如果函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在区间[-2,1]上为增函数,求实数b 的取值.解:因为函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在[-2,1]上为增函数,所以对于∀x ∈[-2,1],都有f ′()x =3x 2-bx +b ≥0,当x =1时,3x 2-bx +b ≥0,当x ∈[-2,1)时,要使3x 2-bx +b ≥0,就需使b ≥3x 2x -1,即b ≥(3x 2x -1)max ,又因为(3x 2x -1)max =0,所以b ≥0,即实数b 的取值范围为[0,+∞).当遇到含参不等式问题时,运用分离参数法求解比较有效,只需将不等式中的参数与变量分离,把含参不等式变成形如a ≥h ()x 或a ≤h ()x 的式子,即可将问题转化为函数最值问题来求解.二、分类讨论由于问题中含有参数,所以往往需要运用分类讨论思想对参数进行分类讨论,以逐步确定参数的取值范围.在运用分类讨论法求参数的取值范围时,要先根据题意确定分类讨论的对象和标准,如根据抛物线的开口方向对二次函数的二次项的系数进行讨论,根据函数的单调性对指数函数的底数进行分类讨论;然后逐层逐级进行讨论;最后综合所得的结果.例2.已知函数f ()x =ln ()x +1-x x +1,若当x ≥0时,f ()x ≤ax 2恒成立,求实数a 的取值范围.解:要使当x ≥0时,ln ()x +1-x x +1≤ax 2恒成立,需使当x ≥0时,ln ()x +1-x x +1-ax 2≤0恒成立,令g ()x =ln ()x +1-x x +1-ax 2,x ≥0,可得g ′()x =x [1-2a (x +1)2](x +1)2.(i )当a ≤0时,1-2a (x +1)2>0,则g ′()x ≥0,则g ()x 在区间[0,+∞)上单调递增,所以当x >0时,g ()x >g ()0=0,与题意不相符.(ii )当a ≥12时,2a ≥1,可得(x +1)2≥1,则1-2a (x +1)2≤0,所以g ′()x ≤0,则g ()x 在区间[0,+∞)上单调递减,所以g ()x ≤g ()0=0,满足题意.(iii )当0<a <12时,1-2a (x +1)2>0,当x ∈(0,12a-1)时,g ′()x >0,所以g ()x 在区间(01)上单调递增,可得g ()x >g ()0=0,与题意不相符合.故实数a 的取值范围为[12,+∞).因为分离参数后的式子较为复杂,所以本题需采用分类讨论法求解.由于参数a 对函数的单调性和最值影响较大,于是将a 分为a ≤0、a ≥12、0<a <12三种情况,并在每一种情况下讨论函数的单调性;然后根据导函数与函数单调性之间的关系,判断出函数的单调性,求得其最值,就能确定不等式恒成立时a 的取值范围.相比较而言,分类讨论法的适用范围较广,而分离参数法的适用范围较窄,但较为简单.所以在解题时,要首先尝试将参数分离,运用分离参数法求解,若行不通,再考虑运用分类讨论法.(作者单位:江苏省如东县马塘中学)43。

文档:已知单调性求参数范围问题

文档:已知单调性求参数范围问题

已知单调性求参数范围问题在高中选修内容中:某函数()x f y =在指定区间上可导,如果()0x f ',则函数()x f y =在区间单调递增,如果()0x f ',则函数()x f y =在区间单调递减,如果()0x f =',则函数()x f y =在区间是常值函数。

对这个定理的理解和使用给学生造成一些麻烦。

下面我们先看几个例题:例1:(清华附中学月考试题)已知函数0)1(,ln 2)(=--=f x x b ax x f . 若函数f (x )在其定义域内为单调函数。

求a 的取值范围 解:x xa ax x fb a b a f ln 2)(,0)1(--=∴=⇒=-=, xx a a x f 2)(2-+='∴. 要使函数f (x )在定义域),0(+∞内为单调函数,则由我们課本上的定理:在),0(+∞内)(x f '恒大于0或恒小于0, 当02)(0<-='=xx f a 时,在),0(+∞内恒成立; 当时,0>a 要使01)11()(2>-+-='a a a x a x f 在),0(+∞恒成立,则01>-a a ,解得,当时,0<a 要使01)11()(2<-+-='aa a x a x f 在),0(+∞恒成立,则 所以的取值范围为或但事实上当:a=1时,()1x 2x 1x f 2+-='=21x 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-,显然,命题成立 综上可知:的取值范围为或例2:(05年全国高考Ⅱ(22))题 已知,函数x e ax x x f )2()(2-=. (Ⅰ)当x 为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;(Ⅱ)设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a 的取值范围.我们只分析(Ⅱ)()[]2a x )a 1(2x e x f 2x --+='因此设()=x h 2a x )a 1(2x 2--+,由我们课本定理可知:只要使或在[-1,1]上恒成立,因为,所以只可能在[-1,1]上恒成立即单调减成立则必须使()01h -且()01h解得:43a 但事实上当:43a =时,()()()32x 1x 2123x 21x x h 2+-=-+=显然成立 综上可知:43a ≥ 从上面的两个例题看出:我们在处理已知单调性求参数问题时:如果直接用课本上的定理,一定要注意验证端点值是否成立,否则将陋掉端点值的情况。

已知函数的单调性,怎样求参数的取值范围

已知函数的单调性,怎样求参数的取值范围

难 点 剖 析
已 矢 啮数 的 单 调 性, 怎 样 求 参 数 的 取 值 范
一 刘朝 辉
函数的单调性是 函数的重要性质 ,在每年的高 考 中常考不衰 ,对于 函数的单调性我们除了要掌握 如何判断并证 明函数的单调性 、求 函数的单调区间 以外 ,还要会逆 向思考掌握应用 函数单调性求参数 的取值范围问题 的解题策略。处理该问题的关键是 使用转化与化归思想 , 将未知转化为已知 , 将 复杂转 化为简单 ,从 而建立关于参数的不 等关系使问题 得 解 。下面通过实例说 明几种基本的求解方法 。
V 3
变式 : 如果 函数 ) = 2 x 2 — 1 眦在定义域 的一个 子 区间( k - 1 , k + 1 ) 上不是单调 函数 , 则 实数k 的取值 范
围是
, ( ) 在( O , 1 ) 上是增函数, Na 的取值范围是— —
解题关键分析 : 由导数知识可知, , ( ) > O H - , j , 函数

上恒成立 ,  ̄ P a I3 > x Z : ( i 4 . ( 0 , 1 ) 上 恒成立 , 而3 x 2 < 3 , 所 以
0≥ 3。
变式: 若函数 ) - l 。
, ( , 且n ≠1 ) 在( 一 ,
0 ) 内单调递增 , 则。 的取值范围— — 。 解: 当a > l 时, 知t = , 一 似为单调递增 的 函数才能 满足题意 , 但此 时在 ( 一 , 0 ) 上真数小于0 , 所 以
若已知函数 的单调区间容易求得 ,此时可先解 出单调区间 , 然后利用所给区间是单调 区间 的子集 , 根据集合之 间的包含关系建立不等式组解 得参 数的 取值范围即可 。 例3 已知函娄 ) = 似, 其中n ∈ R, 若函数 ) 在( 0 , 1 ) 上是增函数 , 则。 的取值范 围是— — 。 解题关键分析 : 此 函数是高次 函数 , 因为导数形 式简单 , 所 以利用导数很容易解出单调增区间 , 即所 得结果 , 只需( 0 , 1 ) 是解出单调增 区间的子集 即可 。

2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书:第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案

2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书:第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案

1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.利用导数研究函数的单调性.(重点)2.含有字母参数的函数单调性的讨论,单调区间的求解.(难点)3.由单调性求参数的取值范围.(易错点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分,完成下列问题.1.函数的单调性与其导数的关系(1)一般地,在某区间上函数y=f(x)的单调性与导数有如下关系:(2)2.导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间,导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间.(2)一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”;反之,函数的图象就“平缓”一些.1.判断正误:(1)若函数f(x)在(a,b)上是增函数,则对任意x∈(a,b),都有f′(x)>0.( )(2)函数f(x)=1x在其定义域上是单调减函数.( )(3)函数f(x)=x3-2x在(1,+∞)上单调递增.( )(4)若存在x∈(a,b)有f′(x)=0成立,则函数f(x)为常数函数.( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是________.【解析】f′(x)=(x-3)′e x+(x-3)(e x)′=(x-2)e x,令f′(x)>0,解得x>2.【答案】(2,+∞)[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_______________________________________________解惑:_______________________________________________疑问2:_______________________________________________解惑:_______________________________________________疑问3:_______________________________________________解惑:_______________________________________________[小组合作型](1)0)内是减函数.(2)判断函数f(x)=ln xx在区间(0,2)上的单调性.【精彩点拨】求出导数f′(x),然后判断导数的符号即可.【自主解答】(1)证明:由于f(x)=e x-x-1,所以f′(x)=e x-1,当x∈(0,+∞)时,e x>1,即f′(x)=e x-1>0.故函数f(x)在(0,+∞)内为增函数,当x∈(-∞,0)时,e x<1,即f′(x)=e x-1<0. 故函数f(x)在(-∞,0)内为减函数.(2)由于f(x)=ln x x,所以f′(x)=1x·x-ln xx2=1-ln xx2.由于0<x<2,所以ln x<ln 2<1,x2>0.故f′(x)=1-ln xx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数.1.利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性,实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立.2.利用导数判断可导函数f(x)在(a,b)内的单调性,步骤是:(1)求f′(x);(2)确定f′(x)在( a,b)内的符号;(3)得出结论.[再练一题]1.证明:函数y=ln x+x在其定义域内为增函数.【证明】显然函数的定义域为{x|x>0},又f′(x)=(ln x+x)′=1x+1,当x>0时,f′(x)>1>0,故y=ln x+x在其定义域内为增函数.(1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)=exx-2;(3)f (x )=-x 3+3x 2.【精彩点拨】 首先确定函数的定义域,再求导数,进而解不等式得单调区间. 【自主解答】 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞). f ′(x )=2x -1x=错误!.因为x >0,所以2x +1>0,由f ′(x )>0,解得x >22,所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22,+∞; 由f ′(x )<0,解得x <22,又x ∈(0,+∞),所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0,22. (2)函数f (x )的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). f ′(x )=错误!=错误!.因为x ∈(-∞,2)∪(2,+∞), 所以e x >0,(x -2)2>0.由f ′(x )>0,解得x >3,所以函数f (x )的单调递增区间为(3,+∞);由f ′(x )<0,解得x <3,又x ∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数f (x )的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).(3)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )=-3x 2+6x =-3x (x -2).当0<x <2时,f ′(x )>0,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2);当x <0或x >2时,f ′(x )<0,所以函数f (x )的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞).利用导数求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f (x )的定义域; (2)求导数f ′(x );(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0),解出相应的x 的范围;当f ′(x )>0时,f (x )在相应的区间上是增函数;当f ′(x )<0时,f (x )在相应区间上是减函数.(4)结合定义域写出单调区间.[再练一题]2.若函数f (x )=x 2-2x -4ln x ,则函数f (x )的单调递增区间为________.【导学号:01580011】【解析】 由已知f (x )的定义域为(0,+∞), f ′(x )=2x -2-4x =2x2-2x -4x,由f ′(x )>0得x 2-x -2>0,解得x <-1或x >2, 又x >0,所以函数f (x )的单调递增区间为(2,+∞). 【答案】 (2,+∞)[探究共研型]探究【提示】 由已知得f ′(x )=3x 2-a , 因为f (x )在(-∞,+∞)上是单调增函数, 所以f ′(x )=3x 2-a ≥0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立,因为3x 2≥0,所以只需a ≤0. 又因为a =0时,f ′(x )=3x 2≥0, f (x )=x 3-1在R 上是增函数,所以a ≤0.探究2 若函数f (x )=x +ax +ln x (a ∈R )在(1,+∞)上单调递增,求a 的取值范围.【提示】 函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-ax2+1x =x2+x -ax由题意知,f ′(x )≥0在(1,+∞)上恒成立, 即x 2+x -a ≥0在(1,+∞)上恒成立, 令g (x )=x 2+x -a =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +122-14-a ,则g (x )>2-a ,从而2-a ≥0,∴a ≤2. 当a =2时,f ′(x )>0在(1,+∞)上恒成立, 因此实数a 的取值范围是(-∞,2].已知关于x 的函数y =x 3-ax +b .(1)若函数y 在(1,+∞)内是增函数,求a 的取值范围; (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1,+∞),求a 的值.【精彩点拨】 (1)函数在区间(1,+∞)内是增函数,则必有y ′≥0在(1,+∞)上恒成立,由此即可求出a 的取值范围.(2)函数y 的一个单调递增区间为(1,+∞),即函数单调区间的端点值为1,由此可解得a 的值.【自主解答】 y ′=3x 2-a .(1)若函数y =x 3-ax +b 在(1,+∞)内是增函数. 则y ′=3x 2-a ≥0在x ∈(1,+∞)时恒成立, 即a ≤3x 2在x ∈(1,+∞)时恒成立, 则a ≤(3x 2)最小值. 因为x >1,所以3x 2>3.所以a ≤3,即a 的取值范围是(-∞,3]. (2)令y ′>0,得x 2>a3.若a ≤0,则x 2>a3恒成立,即y ′>0恒成立,此时,函数y =x 3-ax +b 在R 上是增函数,与题意不符. 若a >0,令y ′>0,得x >a 3或x <-a 3.因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,所以a3=1,即a =3.1.解答本题注意:可导函数f (x )在(a ,b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ,b )上恒成立,且f ′(x )在(a ,b )的任何子区间内都不恒等于0.2.已知f (x )在区间(a ,b )上的单调性,求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ,b )上单调递增(减)的问题,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集;(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ,b )上单调递增(减)的问题,则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.[再练一题]3.将上例(1)改为“若函数y在(1,+∞)上不单调”,则a的取值范围又如何?【解】y′=3x2-a,当a<0时,y′=3x2-a>0,函数在(1,+∞)上单调递增,不符合题意.当a>0时,函数y在(1,+∞)上不单调,即y′=3x2-a=0在区间(1,+∞)上有根.由3x2-a=0可得x=a3或x=-a3(舍去).依题意,有a3>1,∴a>3,所以a的取值范围是(3,+∞).[构建·体系]1.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图1-3-1所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是( )图1-3-1【解析】当x<0时,f(x)为增函数,f′(x)>0,排除①,③;当x>0时,f(x)先增后减再增,对应f ′(x )先正后负再正.故选④.【答案】 ④2.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的有________(填序号). ①y =2-3x 2;②y =ln x ;③y =1x -2;④y =sin x .【解析】 显然,函数y =2-3x 2在区间(-1,1)上是不单调的; 函数y =ln x 的定义域为(0,+∞),不满足题目要求; 对于函数y =1x -2,其导数y ′=错误!<0,且函数在区间(-1,1)上有意义,所以函数y =错误!在区间(-1,1)上是减函数;函数y =sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-π2,π2上是增函数,所以函数y =sin x 在区间(-1,1)上也是增函数.【答案】 ③3.函数f (x )=2x 3-9x 2+12x +1的单调减区间是________.【解析】 f ′(x )=6x 2-18x +12,令f ′(x )<0,即6x 2-18x +12<0,解得1<x <2. 【答案】 (1,2)4.已知函数f (x )=ax +1x +2在(-2,+∞)内单调递减,则实数a 的取值范围为________.【解析】 f ′(x )=错误!,由题意得f ′(x )≤0在(-2,+∞)内恒成立,∴解不等式得a ≤12,但当a =12时,f ′(x )=0恒成立,不合题意,应舍去,所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-∞,12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫-∞,125.已知函数f (x )=ln x ,g (x )=12ax 2+2x ,a ≠0.若函数h (x )=f (x )-g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围. 【解】 h (x )=ln x -12ax 2-2x ,x ∈(0,+∞),所以h ′(x )=1x -ax -2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )=1x -ax -2≤0恒成立,即a ≥1x2-2x恒成立,所以a ≥G (x )最大值,而G (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x -12-1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14,1,所以G (x )最大值=-716(此时x =4), 所以a ≥-716. 当a =-716时,h ′(x )=1x +716x -2=16+7x2-32x16x=错误!.因为x ∈[1,4],所以h ′(x )=错误!≤0, 即h (x )在[1,4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫-716,+∞.我还有这些不足:(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________我的课下提升方案:(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。

专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)

专题03 利用函数的单调性求参数取值范围(解析版)

专题03利用函数的单调性求参数取值范围一、单选题1.已知函数()321f x x x ax =+-+在R 上为单调递增函数,则实数a 的取值范围为()A .1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B .1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C .1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()232f x x x a '=+-,因为()f x 在R 上为单调递增函数,故()0f x ¢³在R 上恒成立,所以4120a ∆=+≤即13a ≤-,故选:A.2.若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增,则a 的取值范围是()A .(),2-∞-B .(),1-∞-C .[)2,-+∞D .[)1,-+∞【解析】由ln 1a y x a x y x'=+⇒=+,因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增,所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立,即10a x +≥在[)1,+∞上恒成立,因为[)1,x ∞∈+,所以由100a x a a x x +≥⇒+≥⇒≥-,因为[)1,x ∞∈+,所以(,x -∈-∞-,于是有1a ≥-,故选:D3.若函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是()A .(-1,1)B .[)1,+∞C .(-1,+∞)D .(-1,0)【解析】()sin f x a x '=-,由题意得:()sin 0f x a x '=-≥,即sin a x ≥在(),-∞+∞上恒成立,因为[]sin 1,1y x =∈-,所以1a ≥恒成立,故实数a 的取值范围是[)1,+∞.故选:B4.若函数()2sin f x bx x =+在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增,则实数b 的取值范围是()A .0b ≥B .0b >C .b ≥D .b >【解析】由题意()2cos 0f x b x '=+≥在ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上恒成立,2cos b x ≥-,ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2cos y x =-是增函数,max 0y =(π2x =时取得),所以0b ≥.故选:A .5.若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间,则实数a 的取值范围是()A .(,2)-∞-B .1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C .(2,)-+∞D .(8,)-+∞【解析】由2()ln 2f x x ax =+-可得:1()2f x ax x'=+.因为函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间,所以()0f x '>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解,即212a x >-在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解.设()21,1124,g x x x ⎛⎫∈-⎝=⎪⎭,由()30g x x -'=>在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立,所以()g x 在1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增,所以()()114g g x g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.所以184a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭.故选:D 6.已知函数32()132x ax f x ax =+++存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是()A .(0,4)B .[0,4]C .(,0)(4,)-∞+∞ D .(,0][4,)-∞+∞ 【解析】由题意,函数32()132x ax f x ax =+++,可得2()f x x ax a '=++,因为函数()f x 存在三个单调区间,可得()'f x 有两个不相等的实数根,则满足240a a ∆=->,解得0a <或4a >,即实数a 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞ .故选:C.7.若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,a a -上单调递减,则实数a 的取值范围是()A .13a <£B .4a ≥C .23a -≤≤D .14a <≤【解析】函数()219ln 2f x x x =-,()0x >.则()299x f x x x x-'=-=,因为()f x 在区间[1]a a -,上单调递减,则()0f x '≤在区间[1]a a -,上恒成立,即290x -≤,所以03x <≤在区间[1]a a -,上恒成立,所以103a a ->⎧⎨≤⎩,解得13a <£,故选:A.8.已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增,则a 的取值范围为()A .0a ≥B .22a -≤≤C .2a ≥-D .0a ≥或2a ≤-【解析】因为函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()cos 2sin 0f x a x x '=-≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立,即2tan a x ≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立,由2tan y x =在π(,0)2-上单调递增知,max π2tan()24y =-=-,所以2a ≥-,故选:C9.若()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是()A .5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .(],1-∞-C .5,4⎛⎤-∞ ⎝⎦D .[)1,+∞【解析】由1sin 2()()cos 24x f x a x x =--+,得1cos 2()sin 22xf x a x '=---,因为()1sin 2cos 24x f x a x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭是R 上的减函数,所以1cos 2()sin 022x f x a x '=---≤在R 上恒成立,即221cos2sin cos sin 1sin sin 22x a x x x x x ≤++=+=-+=215(sin )24x --+在R 上恒成立,由于1sin 1x -≤≤,所以215(1124a ---+=-≤.故选:B.10.若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在区间7,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则实数a 的取值范围为()A .10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .16,09⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .(],0-∞【解析】函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-()()1cos 23sin cos 412x a x x a x =+-+-()()()()2'sin 23cos sin 41cos sin 3cos sin 40f x x a x x a x x a x x a ∴=-+++-=-++++≤,对7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈恒成立.πcos sin sin 4x x x ⎛⎫ ⎪⎝++⎭ ,∴当7π,2π4x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈时,0cos sin 1x ≤+≤.令()()23401g t t at a t =-++≤≤,欲使()0g t ≤恒成立,只需满足231t a t ≤+,当01t ≤≤时,恒成立,即2min31t a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭,设[]311,4t m +=∈,13m t -=,222112203199999t m m m t m m -+==+-≥=+,当199m m =时,等号成立,即0a ≤.故选:D 11.若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则实数a 的取值范围为A .11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D .(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-,且f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立,∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-,∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦,,t ∈[−1,1],即−1≤cosx −sinx ≤1,令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1],原式等价于t 2+3at +2a −2≤0,当t ∈[−1,1]时恒成立,令g (t )=t 2+3at +2a −2,只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩,解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤,综上,可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故选:A .二、多选题12.若函数21()9ln 2f x x x =-,在区间[]1,1m m -+上单调,则实数m 的取值范围可以是()A .4m =B .2m ≤C .12m <≤D .03m <≤【解析】定义域为()0,∞+,299()x f x x x x'-=-=;由()0f x '≥得函数()f x 的增区间为[)3,+∞;由()0f x '≤得函数()f x 的减区间为(]0,3;因为()f x 在区间[]1,1m m -+上单调,所以1013m m ->⎧⎨+≤⎩或13m -≥解得12m <≤或4m ≥;结合选项可得A,C 正确.故选:AC.三、填空题13.若函数()313f x x ax =-+有三个单调区间,则实数a 的取值范围是________.【解析】()'2f x x a =-+,由于函数()313f x x ax =-+有三个单调区间,所以()'20f x x a =-+=有两个不相等的实数根,所以0a >.故答案为:()0,∞+14.已知函数322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>,若()f x 的单调递减区间是(0,4),则实数k 的值为________.【解析】由322()3(1)1(0)f x kx k x k k =+--+>,得'2()36(1)f x kx k x =+-,因为()f x 的单调递减区间是(0,4),所以'()0f x <的解集为(0,4),所以4x =是方程236(1)0kx k x +-=的一个根,所以126(1)0k k +-=,解得13k =15.若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增,则实数m 的取值范围为________.【解析】由()2sin x f x e mx x =+-,得()'2cos xf x e mx x =+-,若函数()2sin x f x e mx x =+-在[)0,∞+单调递增,则()'2cos 0xf x e mx x =+-在[)0,∞+上恒成立,令()2cos xg x e mx x =+-,0x,则()'2sin x g x e m x =++,再令()2sin xh x e m x =++,0x,则()'cos x h x e x =+,因为0x ,所以01x e e = ,所以()'cos 0xh x e x =+在[)0,∞+上恒成立,则()h x 在[)0,∞+上单调递增,故()min ()012h x h m ==+;当120m +时,得12m - ,此时()()'0g x h x = ,则()g x 在[)0,∞+上单调递增,则()()00g x g =,此时符合()'2cos 0x f x e mx x =+- 在[)0,∞+上恒成立;当120m +<时,得12m <-,()00,x ∃∈+∞,使得0()0h x =,故[)00,x x ∈时,()0h x <,即()'0g x <,()0,x x ∈+∞时,()0h x >,即()'0g x >,故()g x 在[)00,x 上单调递减,则当[)00,x x ∈时,()()00g x g =,此时()'2cos 0x f x e mx x =+- ,不合题意;综上,实数m 的取值范围为12m - .16.已知函数1()2ln f x x x x=--,21()(1)2x g x x e ax =--,R a ∈.对于任意12,(1,)x x ∈+∞,且12x x ≠,必有()()()()12120f x f x g x g x ->-,则a 的取值范围是___________.【解析】()f x 定义城为(0,)+∞.22212(1)()10x f x x x x-'=+-=≥.故()f x 在(1,)+∞内单调递增.对于任意12,(1,)x x ∈+∞,不妨设12x x <,则()()120f x f x -<.故()()120g x g x -<,()()12g x g x <,()g x 在(1,)+∞内单调递增.故()()0x xg x xe ax a e x '=-=-≥在(1,)+∞恒成立,即x a e ≤恒成立,可知a e ≤.∴a 的取值范围为(,]e -∞.17.已知函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调,则k 的取值范围是______.【解析】22()341f x x kx '=-+,因为函数32()23f x x kx x =-+-在R 上不单调,所以223410x kx -+=必有解,当223410x kx -+=只有一个解时,22()3410f x x kx '=-+≥得出函数()f x 在R 上单调递增,与题干矛盾,故223410x kx -+=必有两个不等实根则()2044310k ∆>⇒--⨯⨯>,解得k <或k >18.若实数()0,2a ∈,()0,2b ∈,则函数()232211432f x a x b x x =+-在区间()1,+∞单调递增的概率为___________.【解析】由题意222()40f x a x b x ¢=+-³在(1,)+∞上恒成立,二次函数的对称轴是2202bx a=-<,因此()'f x 在(1,)+∞上单调递增,所以22(1)40f a b ¢=+-³,易知满足02,02a b <<<<的点(,)a b 据区域为图中正方形OABC ,面积为224⨯=,又满足2240a b +-³的(,)a b 在正方形OABC 在圆224x y +=外部的部分,面积为214244p p -´=-,所以概率为44P π-=.19.若函数()324132x a f x x x =-++在区间(1,4)上不单调,则实数a 的取值范围是___________.【解析】 函数()324132x af x x x =-++,'2()4f x x ax ∴=-+,若函数()f x 在区间(1,4)上不单调,则()'240f x x ax =-+=在(1,4)上存在变号零点,由240x ax -+=得4a x x =+,令4()g x x x =+,(1,4)x ∈,'2(2)(2)()x x g x x +-=,()g x ∴在()1,2递减,在()2,4递增,而()422+42g ==,()411+51g ==,()444+54g ==,所以45a <<.故答案为:()45,.四、解答题20.已知函数()31f x x ax =--.(1)若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数,求a 的取值范围.(2)若()f x 的单调递减区间为(1,1)-,求a 的值.【解析】(1)因为()23f x x a '=-,且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数,所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立,即230x a -≥在(1,+∞)上恒成立,所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立,所以3a ≤,即a 的取值范围是(],3-∞(2)由题意知0a >.因为()31f x x ax =--,所以()23f x x a '=-.由()0f x '<,得x <()f x 的单调递减区间为(,又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-,所以(=(1,1)-1=,即3a =.21.已知函数()ln af x x x=-.(1)若3a =-,求函数()f x 的极值;(2)若函数()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增,求a 的取值范围.【解析】(1)当3a =-时,3()ln (0)f x x x x =+>,则'22133()x f x x x x-=-=,令'()0f x =,得3x =,x ,'()f x 和()f x 的变化情况如下表x(0,3)3(3,)+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增所以当3x =时,()f x 取得极小值(3)ln 31f =+,无极大值(2)由()ln a f x x x =-(0x >),得()'221a x a f x x x x+=+=(0x >),当0a ≥时,'()0f x >,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增,当0a <时,由'()0f x =,得x a =-,x ,'()f x 和()f x 的变化情况如下表x (0,)a -a-(,)a -+∞'()f x -0+()f x 递减极小值递增因为()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增,所以a e -≤,得0e a -≤<,综上,a 的取值范围为[,)e -+∞22.已知a R ∈,函数2()()e (xf x x ax x R =-+∈,e 为自然对数的底数).(1)当2a =时,求函数()f x 的单调递增区间;(2)若函数()f x 在(1,1)-上单调递增,求a 的取值范围;【解析】(1)当2a =时,2()(2)e x f x x x =-+,2()(2)e x f x x '=--令()0f x '>,得220x -<,∴x <()f x ∴的单调递增区间是(;(2)2()[(2)]e x f x x a x a '=-+-+,若()f x 在(1,1)-内单调递增,即当11x -<<时,()0f x ',即2(2)0x a x a -+-+对(1,1)x ∈-恒成立,即111a x x +-+ 对(1,1)x ∈-恒成立,令111y x x =+-+,则2110(1)y x '=+>+,111y x x ∴=+-+在(1,1)-上单调递增,1311112y ∴<+-=+,32a ∴ ,当32a =时,当且仅当0x =时,()0f x '=,a ∴的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.23.已知函数1()xxf x ax e +=-.(1)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+,求实数a ,b 的值;(2)若函数()f x 在区间(0,2)上存在..单调增区间,求实数a 的取值范围;(3)若()f x 在区间(0,2)上存在极大值,求实数a 的取值范围(直接写出结果).【解析】(1)因为1(1)()x x x xf x a a e e'-+=-=+,所以(0)f a '=,因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =+,所以切线斜率为1,即1a =,(0)1f b =-=,所以1,1a b ==-.(2)因为函数()f x 在区间(0,2)上存在单调增区间,所以()0x xf x a e='+>在(0,2)上有解,即只需()'f x 在(0,2)上的最大值大于0即可.令1()(),()x x x xh x f x a h x e e-==+='',当(0,1)x ∈时,()0,()h x h x '>为增函数,当(1,2)x ∈时,()0,()h x h x '<为减函数,所以,当1x =时,()h x 取最大值1a e +,故只需10a e +>,即1a e >-.所以实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.(3)212,⎛⎫-- ⎪⎝⎭e e 24.1.已知函数()()31R f x x ax a =--∈.(1)若函数()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 的单调递减区间是)-,求实数a 的值;(3)若函数()f x 在区间()1,1-上单调递减,求实数a 的取值范围.【解析】(1)易知()23f x x a '=-.因为()f x 在R 上单调递增,所以()0f x '≥恒成立,即23a x ≤恒成立,故()2min30a x≤=.经检验,当0a =时,符合题意,故实数a 的取值范围是(],0-∞.(2)由(1),得()23f x x a '=-.因为()f x 的单调递减区间是()1,1-,所以不等式230x a -<的解集为()1,1-,所以-1和1是方程230x a -=的两个实根,所以3a =.(3)由(1),得()23f x x a '=-.因为函数()f x 在区间()1,1-上单调递减,所以()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立,即23a x ≥在()1,1x ∈-上恒成立.又函数23y x =在()1,1-上的值域为[)0,3,所以3a ≥.故实数a 的取值范围是[)3,+∞.25.已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈.(1)当1a =时,求函数()f x 的最值(2)若函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当1a =时,2()ln f x x x x =-+,则()()2211121()21x x x x f x x x x x+---'=-+=-=-,当01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<,所以当1x =时,()f x 有最大值0,无最小值;(2)21()2f x a x a x-'=+,因为函数()f x 在区间[1,)+∞上是减函数,所以21()20f x a x a x=-+≤'在区间[1,)+∞上恒成立,令()212g x a x a x =-+,则()22120g x a x'=--<,所以()g x 在区间[1,)+∞上递减,所以()()2max 121g x g a a ==-++,则2210a a -++≤,即2210≥--a a ,即()()2110a a +-≥,解得12a ≤-或1a ≥,所以实数a 的取值范围1(,[1,)2-∞-⋃+∞.26.已知函数()22f x x a x x =⋅-+.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程;(2)若()22f x x a x x =⋅-+在区间[0,1]上单调递增,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当1a =时,()22·21||()1f x x x x x x =+=--,则2()341'=-+f x x x ,所以()(252,2)f f '==,所以,所求切线方程为25(2)y x -=-,即580x y --=.(2)设()()2201g x x x a x =+≤≤-,则()2(1)0g x x '=-≤,所以()g x 在[]0,1上单调递减,从而()()()10g g x g ≤≤,即()1a g x a ≤≤-.(i )当1a ≥时,()10g x a ≥≥-,则()22()f x x x x a -=+,则2()34f x x x a '=-+,若()f x 在[]0,1上单调递增,则2()340f x x x a '=-+≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立,即234a x x ≥-+.因为2224343(33x x x -+=--+,所以当23x =时,2434()3max x x +=-,所以43a ≥,又1a ≥,此时a 的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(ii )当0a ≤时,()0g x ≤,则()2()2f x x x x a =-+-,则2()34f x x x a '=-+-,若()f x 在[]0,1上单调递增,则2()340f x x x a '=-+-≥对于任意的[]0,1x ∈恒成立,即234a x x ≤-+.因为2224343(33x x x -+=--+,所以当0x =时,2min 340()x x +=-,所以0a ≤,此时a 的取值范围为(,0]-∞.(iii )当01a <<时,则存在唯一的()00,1x ∈,使得()00g x =.当()100,x x ∈时,()10g x >,即存在()010,1x x ∈,且10x x <,使得()()10g x g x >,从而()()1100x g x x g x >,即()()10f x f x >,这与“()f x 在[]0,1上为增函数”矛盾,此时不合题意.综上,实数a 的取值范围(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭27.已知函数()ln f x ax x =-,()e 2ax g x x =+,其中a ∈R .(1)当2a =时,求函数()f x 的极值;(2)若存在区间(0,)D ⊆+∞,使得()f x 与()g x 在区间D 上具有相同的单调性,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当2a =时,()2ln f x x x =-,定义域为(0,)+∞,则1()2f x x'=-,故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减;当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增.所以()f x 在12x =处取得极小值,且11ln 22f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,无极大值.(2)由题意知,1()f x a x'=-,()e 2ax g x a '=+.当0a >时,()0g x '>,即()g x 在R 上单调递增,而()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,故必存在区间(0,)D ⊆+∞,使得()f x 与()g x 在区间D 上单调递增;当0a =时,1()0f x x '=-<,故()f x 在(0,)+∞上单调递减,而()g x 在(0,)+∞上单调递增,故不存在满足条件的区间D ;当0a <时,1()0f x a x '=-<,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,而()g x 在12,ln a a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,在12ln ,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增,若存在区间(0,)D ⊆+∞,使得()f x 与()g x 在区间D 上有相同的单调性,则有12ln 0a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,解得2a <-.综上可知,a 的取值范围为(,2)(0,)-∞-+∞ .。

利用函数的单调性求参数的取值范围使用

利用函数的单调性求参数的取值范围使用

利用函数的单调性求参数的取值范围使用在数学中,单调性指的是函数图像在定义域内的增减趋势是否保持一致。

具体而言,如果函数f(x)在一些区间上是递增的,则称它在该区间上是单调递增的;如果函数f(x)在一些区间上是递减的,则称它在该区间上是单调递减的。

假设我们面对的问题为求使函数f(x)大于等于一些给定值的参数x 的取值范围。

我们可以通过以下步骤来解决这个问题:1.首先,我们需要确定函数f(x)的单调性。

可以通过函数的导数来判断函数的增减性。

如果f'(x)大于零,那么函数f(x)在该区间上是单调递增的;如果f'(x)小于零,那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。

2.其次,我们可以将函数f(x)大于等于给定值转化为不等式f(x)-C>=0的形式,其中C表示给定值。

例如,如果我们需要求函数f(x)大于等于0的参数x的取值范围,可以将不等式f(x)>=0转化为f(x)-0>=0。

3.接下来,我们可以利用不等式的性质来求解参数的取值范围。

对于单调递增的函数,我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x>=g(C)的形式,其中g(C)表示函数f(x)-C=0的解。

对于单调递减的函数,我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x<=g(C)的形式。

4.最后,我们可以利用函数f(x)的定义域来进一步限制参数x的取值范围。

函数f(x)的定义域表示函数f(x)的取值范围,此范围也是参数x的取值范围的一部分。

因此,我们需要将函数f(x)的定义域与参数x的取值范围进行交集运算,以得到最终的参数取值范围。

需要注意的是,在利用函数的单调性求参数的取值范围时,我们需要确保函数f(x)存在单调性。

如果函数f(x)在一些区间上既不是递增的也不是递减的,那么我们无法利用单调性来求解参数的取值范围。

举例说明:假设我们需要求函数f(x)=x^2+3x+2大于等于5的参数x的取值范围。

专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(解析版)

专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(解析版)

专题15 已知函数的单调区间求参数的范围一、单选题 1.若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A .1a ≤-B .2a ≤C .1a ≥-D .1a ≤【答案】C 【分析】利用导函数研究原函数的单调性,利用单调性求解实数a 的取值范围. 【详解】 解:函数sin ()cos x af x x+=则2cos cos sin (sin )()x x x x a f x cos x++'=(0,)2x π∈上,2cos 0x ∴>要使函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增,22cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,)2x π∈上恒成立,即:sin 10a x +≥在(0,)2x π∈上恒成立, (0,)2x π∈上,sin (0,1)x ∈1a ∴-故选:C . 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.2.已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->,函数2x b y +=的图象过定点0,1(),对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>,有()()1221f x f x x x ->-,则实数a 的范围为( )A .15a <≤B .25a <≤C .25a ≤≤D .35a <≤【答案】A 【分析】由图象过定点可得0b =,设()()F x f x x =+,结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增,求()F x 的导数,令()()211g x x a x a =--+-,由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥⎪⎝⎭,从而可求出实数a 的范围. 【详解】解:因为2x b y +=的图象过定点0,1(),所以21b =,解得0b =,所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->,因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>, 有()()1221f x f x x x ->-,则()()1122f x x x f x +>+,设()()F x f x x =+, 即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-, 所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=,令()()211g x x a x a =--+-, 因为1a >,则102a x -=>,所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立,只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得()()150a a --≤,解得15a <≤,故选:A. 【点睛】 关键点睛:本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+,并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.3.已知函数()()2xf x x a e =-在区间[]1,2上单调递增,则a 的取值范围是( )A .(]3,-∞B .(],8-∞C .[)3,+∞D .[)8,+∞【答案】A【分析】由函数的单调性与导数的关系得出220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立,将问题转化为求()2min2x x+,即可得出答案. 【详解】()()220x f x x x a e '=+-≥在区间[]1,2上恒成立,则220x x a +-≥在区间[]1,2上恒成立即()22min2123a x x≤+=+=故选:A 4.函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数,则m 的范围是( ) A .(,1)-∞ B .(,1]-∞C .(1,)+∞D .[1,)+∞【答案】D 【分析】函数在R 上时单调函数,等价于导函数大于等于0或小于等于0恒成立,列不等式求出m 的范围即可. 【详解】 函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数,即220y x x m '=++≥或220y x x m '=++≤(舍)在R 上恒成立440m ∴∆=-≤,解得m 1≥故选:D 【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题,考查二次函数的性质,属于基础题. 5.已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞,(3,)+∞上为增函数,在()1,2上为减函数,则实数a 的取值范围为( ) A .(,1]-∞- B .55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C .5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D .55,34⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【分析】求导得到2()21'=++f x x ax ,然后根据()f x 在(,0)-∞,(3,)+∞上为增函数,在()1,2上为减函数,由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解. 【详解】 已知函数321()13f x x ax x =+++, 则2()21'=++f x x ax ,因为()f x 在(,0)-∞,(3,)+∞上为增函数,在()1,2上为减函数,所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩,即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩,解得 5534a -≤≤-, 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选:B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布,还考查了逻辑推理和运算求解的能力,属于中档题.6.函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .[1,)+∞ B .(,0)(0,1]-∞ C .(0,1] D .(,0)[1,)-∞⋃+∞【答案】D 【分析】 函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增,所以()'0f x ≥在(,1)-∞-上恒成立,求函数()f x 的导函数,参变分离求最值即可. 【详解】解:因为函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增,所以()'0f x ≥在(,1)-∞-上恒成立,即21'()10f x ax=-≥在(,1)-∞-上恒成立. 即2min 1()x a ≤,即11a≤,解得:1a ≥或0a <. 检验,当1a =时,()f x 不是常函数,所以1a =成立. 故选:D 【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的范围,属于中档题. 方法点睛:(1)已知在区间上单调递增,则导函数大于等于0恒成立; (2)分类讨论或参变分离,求出最值即可. 易错点睛:必须检验等号成立的条件,有可能取等号的时候是常函数,所以需要检验取等时是否是常函数. 7.对任意的0a b t <<<,都有ln ln b a a b <,则t 的最大值为( ) A .1 B .eC .2eD .1e【答案】B 【分析】 令ln xy x=,问题转化为函数在(0,)t 递增,求出函数的导数,求出函数的单调区间,从而求出t 的最大值即可. 【详解】0a b t <<<,ln ln b a a b <,∴ln ln a ba b <,()a b <, 令ln x y x=,则函数在(0,)t 递增,故21ln 0xy x -'=>, 解得:0x e <<,所以(0,)t 是(0,)e 的子集, 可得0t e <≤,故t 的最大值是e , 故选:B . 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法:① 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ① 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 8.函数()()2122ln 2f x ax a x x =-++单调递增的必要不充分条件有( ) A .2a ≥ B .2a =C .1a ≥D .2a >【答案】A 【分析】求导,把问题转化为()2220ax a x -++≥在区间()0,∞+恒成立,a 分三种情况讨论即可得出结论。

函数单调性的七类经典题型(可编辑修改word版)

函数单调性的七类经典题型(可编辑修改word版)

3 单调性类型一:三角函数单调区间⎛ ⎫1. 函数 y = tan x - ⎪ 的单调增区间为.⎝ ⎭⎛5⎫ 【答案】 k - 6 , k + 6 ⎪ , k ∈ Z⎝⎭【解析】试题分析: 因为 k - < x - 2 < k + 3 ,所以 k - 2 < x < k + 6 5, k ∈ Z ,故应填答 6⎛5⎫ 案 k - 6 , k + 6 ⎪ , k ∈ Z .⎝⎭2. 已知函数 f (x )= x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为()A .(-∞,1]B .[3,+∞)C .(-∞,-1]D .[1,+∞)解析:选 B 设 t =x 2-2x -3, 由 t ≥0, 即 x 2-2x -3≥0, 解 得 x ≤-1 或 x ≥3. 所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数 t =x 2-2x -3 的图象的对称轴为 x =1,所以函数 t 在(-∞,-1]上单调递减, 在[3,+∞)上单调递增.所以函数 f (x )的单调递增区间为[3,+∞).3. 设函数 f (x )=Error!g (x )=x 2f (x -1),则函数 g (x )的递减区间是.g (x )=Error!如图所示,其递减区间是[0,1). 答案:[0,1)22 2 2 2类型二:对数函数单调区间1. 函数 f(x)=ln(4+3x -x2)的单调递减区间是()A.(-∞,3] B.[3,+∞) C.(-1,3] D.[3,4)解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x +4=-(x -3)2+25的减区间为[3,4), ∵e >1,∴函数 f(x)的单调减区间为[3,4).2 4 22. 函数 f (x )=|x -2|x 的单调减区间是( )A .[1,2]B .[-1,0]C .[0,2]D .[2,+∞)解析:选 A 由于 f (x )=|x -2|x =Error! 结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].类型三:分段函数单调性⎧(a - 2)x -1, x ≤ 11.已知函数 f(x)= ⎨⎩ log a x , x >1 ,若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范 围为( ) A .(1,2)B .(2,3)C .(2,3]D .(2,+∞)解析:要保证函数 f (x)在(-∞,+∞)上单调递增,则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.2 2 2 2 3若 f(x)=(a -2)x -1 在区间(-∞,1]上单调递增,则 a -2>0,即 a >2.若 f(x)=logax 在区间(1,+∞)上单调递增,则 a >1.另外,要保证函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增还必须满足(a -2)×1-1≤loga1=0,即 a≤3. 故实数 a 的取值范围为 2<a≤3.答案:C类型四:利用单调性求参数范围1. 已知函数 f( x ) 为定义[2 - a , 3] 在上的偶函数,在[0, 3] 上单调递减,并且f ⎛-m 2 - a ⎫ > f (-m 2 + 2m - 2) ,则 m 的取值范围是 .5 ⎪ ⎝⎭【答案】1- ≤ m < 12【解析】试题分析: 由偶函数的定义可得2 - a + 3 = 0 ,则 a = 5 ,因为m 2 + 1 > 0, m 2 - 2m + 2 = (m - 1)2 + 1 > 0 ,且f (-m 2 - 1) = f (m 2 + 1), f (-m 2 + 2m - 2) = f (m 2 - 2m + 2) ,所以m 2 + 1 < m 2 - 2m + 2 ≤ 3 ,解之得1- ≤ m < 1 .故应填答案1- ≤ m < 1 .2 22. 已知 y =f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m -1)<f(1-2m),则 m 的取值范围是.1 2解析:依题意,原不等式等价于Error!⇒Error!⇒- <m < .2 3答案:(-1,2)3. 已知函数 f (x )=|x +a |在(-∞,-1)上是单调函数,则 a 的取值范围是.10 10 102 2解析:因为函数 f (x )在(-∞,-a )上是单调函数,所以-a ≥-1,解得 a ≤1.答案:(-∞,1]a 4.若 f (x )=-x 2+2ax 与 g (x )= +在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是 .x 1解析:∵函数 f (x )=-x 2+2ax 在区间[1,2]上是减函数,∴a ≤1.a 又∵函数 g (x )= +在区间[1,2]上也是减函数,x1∴a >0.∴a 的取值范围是(0,1].5.若函数 f (x )=|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a -1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是.1 2解析:由于 f (x )=|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1],所以有 0<a <3a -1≤1,解得 <a ≤ .2 3答案:(1,2]2 3类型五:范围问题1. 设函数 f (x )是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式 f (1)<f (lgx )的 x 的取值范围是 .10押题依据 利用函数的单调性、奇偶性求解不等式是高考中的热点,较好地考查学生思维的灵活性.答案 (0,1)∪(100,+∞)xx x x解析 由题意得,f (1)<f (|lg 10|)⇒1<|lg |⇒lg >1 或 lg <-1⇒x >100 或 0<x <1.2. 已知 f (x )是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数 a 满足 f (2|a -1|)>f (-2),则 a 的取值范围是 .答案(1,3)解析 ∵f (x )是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,22 ∴在(0,+∞)上单调递减,f(-2)=f( 2),∴f(2|a-1|)>f( 2),∴2|a-1|< 2=1,21 1 1 1 3 ∴|a-1|< ,即-<a-1< ,即<a< .2 2 2 2 23.设函数f(x)=x|x-a|,若对∀x1,x2∈[3,+∞),x1≠x2,不等式实数a 的取值范围是.答案(-∞,3] f(x1)-f(x2)x1-x2>0 恒成立,则解析由题意分析可知条件等价于f(x)在[3,+∞)上单调递增,又因为f(x)=x|x-a|,所以(a)(a )当a≤0 时,结论显然成立,当a>0 时,f(x)=Error!所以f(x)在-∞,上单调递增,在,a2上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以0<a≤3.综上,实数a 的取值范围是(-∞,3].类型六:综合题1.(作图)已知f(x)是定义在实数集R 上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}等于( )A.{x|x≤0或1≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}C.{x|x≤4}D.{x|0≤x≤1 或x≥4}解析:画出函数f(x)和g(x)的草图如图,由图可知当f(x)g(x)≥0 时,x 的取值范围是x≤0 或1≤x≤4,即{x|f(x)g(x)≥0}={x|x≤0 或1≤x≤4},故选A.1+1722.函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是增函数,若f(1)=0,求不等式f x(x-1)<0若f x(x-1)<0=f(1),∴Error!2 2 4 4f x(x-1)<0=f(-1),∴Error!( 2 )的解集.(数形结合)解:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=0.又∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴y=f(x)在(-∞,0)上是增函数,( 2 )1 1 1-17即0<x(x-)<1,解得<x< 或<x<0.( 2 )∴x(x-1)<-1,解得x∈∅.∴原不等式的解集是Error!.3.已知函数f(x)=Error!则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为( )A.(2,6) B.(-1,4)C.(1,4) D.(-3,5)解析:作出函数f(x)的图象如,图所示则,函数f(x)在R 上是单调递减的由.f(a2-4)>f(3a),可得a2-4<3a,整理得a2-3a-4<0,即(a+1)(a-4)<0,解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4).答案:Bf(x)4.如果函数y=f(x)在区间I 上是增函数,且函数y=x在区间I 上是减函数,那么称函数y=3 3 1 3f (x )是区间 I 上的“缓增函数”,区间 I 叫作“缓增区间”.若函数 f (x )= x 2-x + 是区间 I 上2 2 的“缓增函数”,则“缓增区间”I 为() A .[1,+∞) B .[0, 3] C .[0,1]D .[1, 3]1 3解析:因为函数 f (x )= x 2-x + 的对称轴为 x =1,所以函数 y =f (x )在区间[1,+∞)上2 2 f (x ) 13 1 3 1 3是增函数,又当 x ≥1 时, = x -1+ ,令 g (x )= x -1+ (x ≥1),则 g ′(x )= - =x 2-3x 2 2x 2 2x f (x ) 1 3 2 2x 22x 2 ,由 g ′(x )≤0 得 1≤x ≤ ,即函数 x =2x -1+2x 在区间[1, ]上单调递减,故“缓增区间”I 为[1, 3].答案:D6. 若函数 f (x )=Error!(a >0,且 a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值范围是.解析:因为 f (x )=Error!所以当 x ≤2 时,f (x )≥4;又函数 f (x )的值域为[4,+∞),所以Error! 解得 1<a ≤2,所以实数 a 的取值范围为(1,2].答案:(1,2]7. 已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数,且当 x >0 时,f (x )=|x -a |-a (a ∈R ).若∀x ∈R ,f (x +2016)>f (x ),则实数 a 的取值范围是 . 数形结合当 a =0 时,f (x )=x ,x ∈R ,满足条件;当 a <0 时,f (x )=Error!为 R 上的单调递增函数,也满足条件;当 a >0 时,f (x )=Error!要满足条件,需 4a <2 016 ,即 0<a <504, 综上实数 a 的取值范围是 a <504.。

由单调性求参数范围的几种方法

由单调性求参数范围的几种方法

由单调性求参数范围的几种方法1、定义法:①任取x1、x2∈d,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2),并适度变形(“水解因式”、配方Z917号项的和等);③依据差式的符号确定其增减性。

2、导数法:设函数y=f(x)在某区间d内可导。

如果f′(x)>0,则f(x)在区间d内为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)在区间d内为减函数。

特别注意:(补足)(1)若使得f′(x)=0的x的值只有有限个,则如果f ′(x)≥0,则f(x)在区间d内为增函数;如果f′(x) ≤0,则f(x)在区间d内为减函数。

定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、(补足)单调性的有关结论1、若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)仍为减(减至)函数。

2、若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减至(减)函数,如果同时存有f(x)>0,则为减至(减)函数,为增(减)函数3、互为反函数的两个函数存有相同的单调性。

4、y=f[g(x)]是定义在m上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则其复合函数f[g(x)]为增函数;若f(x)、g(x)的单调性恰好相反,则其复合函数f[g(x)]为减函数。

简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点等距的.两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

(1)谋某些函数的值域或最值。

(2)比较函数值或自变量值的大小。

(3)求解、证不等式。

(4)求参数的取值范围或值。

(5)并作函数图象。

已知函数的单调性求参数的范围

已知函数的单调性求参数的范围

若x (0,2],ex ax 0 a ex =y[注意a的系数是x哦] x
y=
ex x
在区间(-,0)和(0,1]单调递增,在(1,2]单调递减,
ymax
e,a
e
若x [2,0),ex
ax
0
a
ex x
=y[注意a的系数是x哦] a
ymin
e2 2
综上,a的范围为[ e, e2 ] 2
2.函数的最值问题 (1)采用导数求单调性,进而求得最值 (2)常见函数(如二次函数、反比例函数、指对数函数、三角 函数)图象法,看高低
(1)已知f
(x)在(m,
n)上单调递增
思路一:f (x) 0在(m, n)上恒成立
思路二:(m, n) f (x)的增区间
(2)已知f
(x)在(m,
n)上单调递减
思路一:f (x) 0在(m, n)上恒成立
思路二:(m, n) f (x)的减区间
[恒成立法与子集法处理参数范围问题]
思路一:f (x) 0或f (x) 0在(m, n)上恒成立 (3)已知f (x)在(m, n)上单调 思路二:(m, n) f (x)的减区间或者减区间
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要
B (2) f (x) 0( 0)是函数f (x)在区间(a,b)内单调递增(减)的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要
(1)的反例增函数f (x)=x3,其导函数f (x)=3x2 0,而非f (x) 0 (2) f (x) 0( 0),如常函数f (x)=3,满足f (x)=0 0,而非单调函数
A.[1, ) B.(1, ) C.(,1] D.(,1)
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

【知识点 4】已知单调性求参数取值范围
1. 思路提示:⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题,转化为导函数在此区
间上恒为非负或非正的问题,进而转化为导数在该区间上的最值问题.
⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题,转化为导函数在此区间无实根,可结
合导函数的图像给出此问题的充要条件,从而求解.
⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题(如在给定区间上恒为正或负以
及根的分布等),往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解.
例 1:已知函数f (x) = 3ax4- 2(3a + 1)x2- 2(3a + 1)x2+ 4x
1
(I)当a = 时,求f (x) 的极值;
6
(II)若f (x) 在(-1,1)上是增函数,求a 的取值范围
例 2:已知函数f (x) =x3+ax2+x +1(a ∈R)
(I)讨论函数f (x) 的单调区间;
3 1
(II)设函数f (x) 在区间(- , - ) 内是减函数,求a 的取值范围.
2 3
例 3:已知函数f (x) = (2ax -x2 )e ax,其中a 为常数,且a ≥ 0 .
(I)若a =1 ,求函数f (x) 的极值点;
(II)若f (x) 在区间( 2, 2) 内单调递增,求a 的取值范围.
例 4:已知函数f (x) =ax3+bx2 (x ∈R) 的图像过点P(-1, 2) ,且在点P 处的切线恰好与直线x - 3y = 0 垂直.
(Ⅰ)求函数f (x) 的解析式;
(II)若函数f (x) 在区间[m, m +1]上单调递增,求实数m 的取值范围.
2
例 5:已知函数 f (x ) = x 3 + (1- a )x 2 - a (a + 2)x + b (a , b ∈ R ) .
(Ⅰ)若函数 f (x ) 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3 ,求 a , b 的值;
(II )若函数 f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调,求 a 的取值范围.
例 6:设 f (x ) = e x 1+ ax
,其中a 为正实数 (Ⅰ)当a = 4 时,求 f (x ) 的极值点;
3
(Ⅱ)若 f (x ) 为 R 上的单调函数,求a 的取值范围.
例 7:设 f (x ) = e x
,其中a 为正实数. 2
(Ⅰ)当 a = 3 时,求 f (x ) 的极值点;
4
(Ⅱ)若 f (x ) 为 R 上的单调函数,求a 的取值范围.
例 8:设 f (x ) = - 1 x 3 + 1
x 2 + 2ax 3 2
(I) 若 f (x ) 在( , +∞) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围. 3
(II )当0 < a < 2 时, f (x ) 在[1, 4] 的最小值为- 16 3
,求 f (x ) 在该区间上的最大值.
例 9:已知 a ,b 是实数,函数 f (x ) = x 3 + ax , g (x ) = x 2 + bx , f '(x ) 和 g '(x ) 是 f (x ), g (x )
的导函数,若 f '(x )g '(x ) ≥ 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x ) 和 g (x ) 在区间 I 上单调性一致
(I)设 a > 0 ,若函数 f (x ) 和 g (x ) 在区间[-1,+∞) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围;
(II )设 a < 0, 且 a ≠ b ,若函数 f (x ) 和 g (x ) 在以 a ,b 为端点的开区间上单调性一致,求
a -
b 的最大值.
例 10: 已知函数 y = 3x - 2
f ( x ) = 1 x 3 - x 2 + ax + b 的图像在点 P (0, f (0))处 的切线方程为 3
(Ⅰ)求实数 a , b 的值;
m
(Ⅱ)设 g (x )= f ( x ) + x -1 是[21, +∞] 上的增函数。

(i )求实数 m 的最大值;
(ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q ,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y = g ( x ) 围成两个
封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.
例 11:设函数 f ( x ) = 6x 3 + 3(a + 2) x 2 + 2ax .
(I) 若 f ( x ) 的两个极值点为 x 1 , x 2 ,且 x 1x 2 = 1 ,求实数 a 的值;
(II )是否存在实数 a ,使得 f ( x ) 是(-∞, +∞) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不
存在,说明理由.
例 12:设定函数 f (x ) = a
x 3 + bx 2 + cx + d (a 0) ,且方程 f ' (x ) - 9x = 0 的两个根分别为3
1, 4 .
(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y = f (x ) 过原点时,求 f (x ) 的解析式;
(Ⅱ)若 f (x ) 在(-∞, +∞) 无极值点,求 a 的取值范围。

a g ( x ) =
例 13:已知函数 f (x ) = + x + (a -1) ln x +15a , 其中 a<0,且 a≠-1.
x
(Ⅰ)讨论函数 f (x ) 的单调性; ⎧⎪(-2x 3 + 3ax 3 + 6ax - 4a 2 - 6a )e x , (Ⅱ)设函数 ⎨ x ≤ 1
( e 是自然数的底数)。

⎩⎪ e ⋅ f ( x ), x > 1 是否存在 a ,使 g (x ) 在[a , -a ]上为减函数?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明
理由。

例 14:已知函数 f (x ) = 3ax 4 - 2(3a +1)x 2 + 4x
1
(I ) 当 a = 时,求 f (x ) 的极值;
6 (II )
若 f (x ) 在(-1,1) 上是增函数,求 a 的取值范围.
例 15: 已知函数 f ( x )=(ax 2+bx +c )e x 在[0,1]上单调递减且满足 f (0)=1,f (1)=0.
(I) 求 a 的取值范围;
(II) 设 g ( x )=f ( x )-f '( x ) ,求 g ( x ) 在[0,1]上的最大值和最小值.
例 16:已知函数 f (x ) = x - ax 2 - ln x (a > 0)
(I) 若曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线斜率为-2 ,求 a 的值以及切线方程;
(II) 若 f (x ) 是单调函数,求 a 的取值范围.
例 17:已知函数f (x) =a ln x - 2ax + 3(a ≠ 0).
(I)设a =-1 ,求函数f (x) 的极值;
(II)在(I)的条件下,若函数g(x) =1
x3+x2f '(x) +m](其中f '(x) 为f (x) 的导3
数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m 的取值范围.。

相关文档
最新文档