数字信号处理第3章 离散傅里叶变换

和32点DFT。调用fft函数求解本例的程序ep312.m如下:
Fra Baidu bibliotek
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
% 例3.1.2程序ep312.m % DFT的MATLB计算 xn=［1 1 1 1］; Xk16=fft(xn, 16); %输入时域序列向量xn=R4(n) %计算xn的16点DFT
Xk32=fft(xn, 32);
的傅里叶变换
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采样。这就 是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N 不同，表示对X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采 样点数不同，所以DFT的变换结果不同。上例中，
x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时，X(ejω)
kn X ( k ) W N k 0 N 1
n 0, 1, , N 1
WN e
j
2π N
N称为DFT变换区间长度，N≥M。
常常用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示N点离 散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
唯一性：
由于
k 0,1,, N 1
(3.1.3)

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X (k ) X (e j ) |
2π k N
k 0,1,, N 1
(3.1.4)
(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在
单位圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)式则说明X(k)为x(n)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
【例3.1.2】 设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别计
算X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，
并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。 解 由DFT与傅里叶变换的关系知道，X(ejω)在频率区间
［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，分别是x(n)的16点

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.2.1 x(n)及其循环移位过程
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
显然，y(n)是长度为N的有限长序列。观察图 3.2.1可见，循环移位的实质是将x(n)左移m位，而移
出主值区(0≤n≤N－1)的序列值又依次从右侧进入主值
区。“循环移位”就是由此得名的。 由循环移位的定义可知，对同一序列x(n)和相同 的位移m，当延拓周期N不同时，y(n)=x((n+m))NRn(n) 则不同。
N 1
(3.1.8)
N 1 1 N 1 1 kn kn (n) X (k )WN x X (k )WN N k 0 N k 0
(3.1.9)
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式中

(k )R (k ) X (k ) X N
(3.1.10)
(k ) 的主值序列。 即X(k)为 X 有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n) (k ) 的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数 X ~ 的主值序列，即 X (k ) X (k ) R N (k )。 (k ) 周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数 X 确定，因此，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的
~ x (n) 如图3.1.2（c）所示。
写出 ~ x (n) 的离散傅里叶级数表示式
(k ) x (n)W X
n 0 N 1 kn N
如果x(n)的长度为M，且 ~ x (n) x((n))N ，N≥M，则可
x((n)) N W
n 0
N 1
kn N
kn x(n)WN n 0
7
3
j
2π kn 8
e

3 j πk 8
π sin( k ) 2 π sin( k ) 8
k 0, 1, , 7
由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换 区间长度N的取值有关。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(N≥M) 点DFT分别为
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1.4 用MATLAB计算序列的DFT
MATLAB提供了用快速傅里叶变换算法FFT(算法 见第4章介绍)计算DFT的函数fft，其调用格式如下: Xk = fft (xn, N)；
Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同，可
参考help文件。
1．序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为M，M≤N，则x(n)的循环 移位定义为 y(n)=x((n+m)) NRn(n) (3.2.2) (3.2.2)式表明，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到 ~ x (n m) ，最后 x (n) 左移m得到 ~ x (n) x((n))N ，再将 ~ x (n m) 的主值序列则得到有限长序列x(n)的循环移位序 取~ 列y(n)。 M=6, N=8, m=2时，x(n)及其循环移位过程如图 3.2.1所示。
X (k ) DFT[ x(n)] x(n)WNkn
n 0 N 1
k 0, 1, , N 1
(3.1.1)
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X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT)为
1 x(n) IDFT[ X (k )] N
x (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ x (n) 的主 序列 ~
值区间，而主值区间上的序列称为 ~ x (n) 的主值序列。
因此x(n)与 ~ x (n) 的上述关系可叙述为： ~ x (n) 是x(n) 的周期延拓序列，x(n)是 ~ x (n) 的主值序列。
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图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
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当N大于等于序列x(n)的长度时，用如下形式表示：
(n) x((n)) N x

式中x((n)) N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N
表示模N对n求余，即如果
n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M为整数 则 ((n))N=n1 例如， N 8, x (n) x((n))8 , 则有 (8) x((8))8 x(0) x
m n iN， i为整数 m n iN， i为整数
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所以，在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1
由此可见，离散傅里叶逆变换是唯一的。 【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例
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3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为
频谱特性，这就是N点DFT的第二种物理解释（物理意 义）。
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现在解释DFT［R4(n)］4=4δ(k)。根据DFT第二种物 理解释可知，DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期
延拓序列R4((n))4的频谱特性，因为R4((n))4是一个直流
序列，只有直流成分（即零频率成分）。
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2． 时域循环移位定理 设x(n)是长度为M（M≤N）的有限长序列，y(n)为 x(n)的循环移位，即 y(n)=x((n+m))NRn(n) 则 km (3.2.3) Y (k ) DFT[ y(n)]N WN X (k ) 其中 X(k)=DFT［x(n)］N 0≤k≤N－1
M 1 X ( z ) ZT[ x( n)] x( n) z n n 0

kn X (k ) DFT[ x( n)]N x( n)WN n 0
M 1
k 0,1, , N 1
比较上面二式可得关系式 或
X (k ) X ( z) ze
j
2π k N
(9) x((9))8 x(1) x
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应当说明，若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当 N<M时，(3.1.5)式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6) 和 (3.1.7)式仅对N≥M时成立。图3.1.2（a）中x(n)实际长度 M=6，当延拓周期N=4时，
式中，a、b为常数，取N=max［N1, N2］, 则y(n)的N点
DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］N=aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1
(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.2.2 循环移位性质
%计算xn的32点DFT
%以下为绘图部分（省略，程序集中有） 程序运行结果如图3.1.3所示。
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图3.1.3 程序ep312.m 运行结果
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3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1 和N2，且 y(n)=ax1(n)+bx2(n)
和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。 由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFT ［x(n)］4=4δ(k)。why?
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图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
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3.1.3 DFT的隐含周期性
X (k ) x(n)W4kn e
n 0 n 0
3
3
j
2π kn 4

1 e j2πk 1 e
j 2π k 4
k 0 4 0 k 1, 2,3
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设变换区间N=8，则
X (k ) x(n)W8kn e
n 0 n 0
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证明

Y (k ) DFT[ y(n)]N x((n m)) N RN (n)W
n 0 N 1 kn N kn x((n m)) N WN n 0 N 1
令n+m=n′，则有
N 1 m N 1 m k ( n m ) km kn ' Y (k ) x((n)) N WN WN x (( n )) W N N n m n m
1 N 1 N 1 mk kn IDFT[ X (k )]N [ x(m)WN ]WN N k 0 m0 N 1 1 N 1 k ( mn ) x(m) WN N k 0 m 0
1 N 1 k ( m n) 1， WN N k 0 0，
前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长
kn 的周期性，使X(k)隐含周期性，且周 序列，但由于 WN
期均为N。对任意整数m，总有
W k W ( k mN )， N N
即，X（k)满足：
N 1
k , m为整数,N为自然数
N 1
X (k mN ) x(n)W ( k mN ) n x(n)W kn X (k ) N N n 0 n 0
x (n) 都可以看做 实际上，任何周期为N的周期序列 ~
长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期，即
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(n) x
m
x(n mN )

(3.1.5) (3.1.6)
(n) RN (n) x(n) x
上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期