第七讲 功率谱密度
随机振动--第7章-功率谱密度
Cx
2 x
2 Rx x 2 x
2 2 Rx x x
0时， 1随机变量与它自身是完全相关的
2 2 2 Rx 0 x x x
时，两个随机变量之间将不再相关 前提：不是周期函数
8
自相关函数Rx(τ)描述“平均功率”随时差τ的变化 →“平均功率”的时间结构。 功率谱密度S x(f)：描述“平均功率”在频域（谱 域）的分布→频率结构。 二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计 特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。
一、自功率谱密度函数 二、互功率谱密度函数
9
自相关函数的傅里叶变换
对于平稳过程：
1 * sxy lim E X Y T T T T
S ( f ) R ( )e i 2f d yx yx R yx ( ) S yx ( f )e i 2f df
31
定义：
S xy f Rxy e j 2 f d
S yx Ryx e j d
2
25
7.3 窄带随机过程与宽带随机过程
窄带过程是功率谱Sx(ω)具有尖峰特性 ,并且只 在该尖峰附近的一个窄频带内 Sx(ω) 才取有意 义的量级。
典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得到的结 果。窄带过程最极端的情形是相位随机变化的正弦 波，他的谱线是对称分布的两个δ函数。
26
宽带过程是指功率谱Sx(ω)在相当宽的频带上取有意义的 量级。
22
例如。。。
例 2 ：如图的自功率 谱函数，求其自相关 函数。
功率谱密度转换为功率
功率谱密度转换为功率功率谱密度是指信号的功率在频域上的分布情况。
在信号分析中，功率谱密度是一个重要的概念，它能够帮助我们了解信号的频率和能量分布状况。
本文将简要介绍功率谱密度的定义、计算方法以及如何将功率谱密度转换为功率。
首先，我们来了解一下功率谱密度的定义。
功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是一个表示信号在频域上功率分布情况的函数。
它是信号的能量在单位频率内的分布情况，单位通常是每赫兹（Hz）或每雷诺（R）。
功率谱密度可以用来描述信号的频率特征，比如信号中包含的频率成分以及各个频率成分的能量大小。
计算功率谱密度有多种方法，其中常用的有非周期信号的傅里叶变换方法和周期信号的自相关函数法。
在非周期信号的傅里叶变换方法中，我们可以通过对信号进行傅里叶变换，然后计算得到的频谱的模的平方来得到功率谱密度。
在周期信号的自相关函数法中，我们可以通过计算信号的自相关函数，然后对自相关函数进行傅里叶变换，最终得到功率谱密度。
将功率谱密度转换为功率的过程相对简单。
根据功率谱密度的定义，我们可以得到信号的总功率等于功率谱密度在整个频率范围内的积分。
换句话说，功率等于功率谱密度的积分。
具体而言，将功率谱密度转换为功率的步骤如下：1.根据采样频率，将功率谱密度的单位从每赫兹（Hz）转换为每个采样点的功率。
2.对功率谱密度进行积分，即将每个频率分量的功率相加。
这个步骤可以通过数值积分方法，如梯形法则或辛普森法则来进行。
3.最后得到的结果即为信号的总功率，单位为瓦特（W）或分贝瓦特（dBW）。
需要注意的是，功率谱密度是一个连续函数，而功率是一个离散量。
因此，在进行功率谱密度的积分时，需要将频率范围离散化，并使用数值方法对功率谱密度进行近似积分。
此外，还有一种常用的方法将功率谱密度转换为功率，即利用Wiener-Khinchin定理。
Wiener-Khinchin定理表明功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，因此可以通过对功率谱密度进行逆傅里叶变换来得到信号的自相关函数。
功率谱密度psd计算公式
功率谱密度psd计算公式功率谱密度（Power Spectral Density，简称 PSD）是在信号处理领域中一个非常重要的概念，它用于描述信号在不同频率上的功率分布情况。
那咱就来好好聊聊功率谱密度 PSD 的计算公式。
咱先从一个简单的例子说起哈。
就比如说，你在操场上跑步，你跑的速度不是一直不变的，有时候快，有时候慢。
那如果我们想知道你在不同“速度频率”下的能量消耗情况，这时候功率谱密度的概念就派上用场啦。
功率谱密度 PSD 的计算公式呢，通常可以通过傅里叶变换来推导。
对于一个连续的随机信号 x(t) ，它的自相关函数R(τ) 定义为R(τ) =E[x(t)x(t + τ)] ，其中 E 表示数学期望。
然后通过傅里叶变换，把自相关函数R(τ) 变换到频域，就得到了功率谱密度 S(f) 。
具体的公式就是S(f) = ∫_{-∞}^{+∞} R(τ) e^{-j2πfτ} dτ 。
这里面涉及到的傅里叶变换可能听起来有点复杂，但其实咱们可以把它想象成一个魔法工具，能把一个在时间域里看起来很复杂的信号，变到频率域里，让我们更清楚地看到不同频率成分的“力量”有多大。
再比如说，想象一下你听音乐的时候，那些高音低音，其实就相当于不同的频率成分。
功率谱密度就是告诉我们高音和低音分别有多大的“能量”。
在实际应用中，比如在通信系统里，我们需要知道信号在不同频率上的功率分布，来评估系统的性能。
如果功率谱密度在某些频率上太高，可能就会造成干扰；如果太低，可能信号就传不远。
还有在地震学中，通过分析地震波的功率谱密度，我们可以了解地震的能量在不同频率上的分布，从而更好地研究地震的特性和预测可能的危害。
对于工程师们来说，计算功率谱密度就像是在解谜。
他们得处理一堆复杂的数据，运用各种数学工具和算法，才能得到准确的结果。
总之，功率谱密度 PSD 的计算公式虽然有点复杂，但它在很多领域都有着极其重要的作用，帮助我们更好地理解和处理各种信号。
通信原理第七版功率谱密度计算公式
通信原理第七版功率谱密度计算公式功率谱密度（=power spectral/spectrum density）
计算方法有多种。
第一种是维纳辛钦定理(a.k.a Wiener-Khinchin theorem)，要求是广义平稳的随机过程，其功率谱密度和自相关函数是一对傅里叶变换。
离散写法类似。
第二种是帕斯瓦尔定理(Parseval's theorem)
其功率谱密度为一般实信号在时域频域积分的积分和自相关函数在=0的时候值是一样的，这个是常用性质之一。
功率谱密度计算公式：p=(g2/Hz)。
在物理学中，信号通常是波的形式表示，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的功率频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度。
物理学是研究物质运动最一般规律和物质基本结构的学科。
作为自然科学的带头学科，物理学研究大至宇宙，小至基本粒子等一切物质最基本的运动形式和规律，因此成为其他各自然科学学科的研究基础。
物理学的理论结构充分地运用数学作为自己的工作语言，以实验作为检验理论正确性的唯一标准，它是当今最精密的一门自然科学学科。
第七讲 功率谱密度分解
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1
的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0
性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
功率谱密度
功率谱密度功率谱密度是信号处理中的重要概念，它描述了信号的频率成分在功率上的分布。
在工程领域中，功率谱密度广泛应用于信号分析、通信系统设计以及噪声分析等方面。
本文将介绍功率谱密度的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的重要性。
1. 定义功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号功率在频域上的分布情况的密度函数。
在时域中，信号的功率通常被定义为信号的能量在单位时间内的平均值，而功率谱密度则描述了信号功率在不同频率上的分布。
功率谱密度通常用单位频率范围内的功率值表示，是信号频谱特性的重要指标之一。
2. 性质功率谱密度具有以下几个重要性质：•非负性：功率谱密度始终大于等于零，表示信号中的功率都是非负的。
•互相关函数和功率谱密度之间的关系：两个信号的自相关函数的傅里叶变换是它们的功率谱密度的乘积。
•窄带信号：窄带信号的功率谱密度在窄频段内集中，而宽带信号的功率谱密度分布更广。
3. 计算方法计算功率谱密度可以通过信号的自相关函数或者信号的傅里叶变换来实现。
常用的计算方法包括：•周期图法：通过对信号进行周期图分析，可以得到信号的功率谱密度。
•傅里叶变换法：对信号进行傅里叶变换，然后计算幅度谱的平方即可得到功率谱密度。
•Welch方法：对信号进行分段处理，然后对各段信号的功率谱密度进行平均，可以获得更加准确的估计。
4. 应用功率谱密度在通信系统、雷达系统、生物医学工程等领域具有重要应用价值，例如：•在通信系统中，功率谱密度可以帮助分析信道的频率选择性，设计滤波器以及优化调制方案。
•在雷达系统中，功率谱密度可以帮助分析雷达回波信号的频率特性，识别目标特征。
•在生物医学工程中，功率谱密度可用于分析生物信号的频率特征，帮助诊断疾病。
5. 总结功率谱密度作为描述信号频率特性的重要参数，在信号处理和通信系统设计中扮演着重要角色。
了解功率谱密度的定义、性质、计算方法以及应用领域，有助于更深入地理解信号处理中的功率谱密度的重要性和作用。
功率谱密度(PSD)
功率谱密度类似于频谱（Spectrum），但在使用上一定要注意区分，否则容易闹笑话。
在了解PSD之前，首先回顾一下信号的分类。
信号分为能量信号和功率信号。
能量信号全名：能量有限信号。
顾名思义，它是指在负无穷到正无穷时间上总能量不为零且有限的信号。
典型例子：脉冲信号。
功率信号全名：功率有限信号。
它是指在在负无穷到正无穷时间上功率不为零且有限的信号。
典型例子：正弦波信号，噪声信号。
一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。
能量信号在无穷大时间上功率为0，不满足功率信号功率不为0的定义；而功率信号在无穷大时间上能量为无穷大，不满足能量有限的定义。
一个信号可以既不是能量信号也不是功率信号，如下面这个信号，其功率无限能量也无限。
能量信号和功率信号的范围不包括所有的信号类型，这是因为工程上一般就是这两种，足以满足描述的需要了。
功率信号还可以细分为周期信号（如正弦波信号）和随机信号（如噪声信号）。
随机信号的定义：幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号，又称不确定信号。
综上，上文提到的信号分类如下图所示：对能量信号和周期信号，其傅里叶变换收敛，因此可以用频谱（Spectrum）来描述；对于随机信号（实际的信号基本上是随机信号），傅里叶变换不收敛，因此不能用频谱来描述，而应当使用功率谱密度（PSD）。
能量信号和周期信号通常在教学仿真中用得比较多，而工程上的信号通常都是随机信号，即使原始信号是周期信号，由于数据采集过程中存在噪声，实际获得的信号仍然会是随机信号。
如果在工程应用上用“频谱”而不是“功率谱密度”来表述，会稍显不专业，但是我感觉好像很多工程人员会把这两者混淆起来……在实际应用中，一个信号我们不可能获得无穷长时间段内的点，对于数字信号，只能通过采样的方式获得N个离散的点。
上文提到，实际信号基本上是随机信号，由于不可能对所有点进行考察，我们也就不可能获得其精确的功率谱密度，而只能利用谱估计的方法来“估计”功率谱密度。
功率谱密度求解过程
功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是信号在频率域上的表示，它描述了信号在不同频率上的功率分布。
求解功率谱密度的过程通常涉及傅里叶变换或自相关函数的计算，具体步骤如下：1. **获取信号：** 首先，获得要分析的信号。
这可以是时域上的连续信号或离散信号。
2. **预处理：** 对信号进行必要的预处理，例如去除噪声或趋势。
这有助于确保得到准确的功率谱密度估计。
3. **傅里叶变换：** 对信号进行傅里叶变换，将其从时域转换到频率域。
傅里叶变换的公式如下：对于连续信号：\[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot e^{-j2\pi ft} \, dt \]对于离散信号：\[ X(f) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j2\pi fn/N} \]其中，\(x(t)\)或\(x[n]\)是输入信号，\(X(f)\)是频域上的表示。
4. **计算自相关函数：** 如果傅里叶变换不容易直接得到，可以通过信号的自相关函数计算功率谱密度。
自相关函数的定义如下：\[ R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot x(t-\tau) \, dt \]或对于离散信号：\[ R(\tau) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot x[n-\tau] \]5. **傅里叶变换自相关函数：** 对自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱密度。
功率谱密度（S(f)）与自相关函数（R(\tau)）之间的关系由傅里叶变换对的性质给出：\[ S(f) = \mathcal{F}[R(\tau)] \]这里，\(\mathcal{F}\)表示傅里叶变换。
6. **估算和图示：** 最终，对功率谱密度进行估算，并根据需要制作图表。
这可以包括绘制频谱图，显示信号在不同频率上的功率分布。
功率谱密度
功率谱密度什么是功率谱密度？功率谱密度是用来描述信号频域特性的一个重要概念。
在信号处理中，信号可以理解为一个随时间变化的函数。
而这个信号的频域特性，即频率成分的分布情况，可以通过信号的功率谱密度来描述。
在时域中，我们可以通过观察信号的波形，了解信号的振幅、波形变化等特征。
而频域中则提供了另一种视角，可以看到信号中各个频率成分的强度、相位等信息。
功率谱密度就是用来表示信号在不同频率上的功率强度的函数。
如何计算功率谱密度？计算功率谱密度可以使用离散傅里叶变换（DFT）来实现。
DFT是将时域信号转换到频域的一种方法。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息。
首先，我们需要将信号进行采样，得到离散的时域信号序列。
然后，对这个序列进行DFT变换，得到信号的频域表示。
在计算功率谱密度时，我们还需要注意信号的长度和采样率。
信号的长度会影响功率谱密度的分辨率，而采样率则决定了能够表示的最高频率。
通常情况下，我们会在计算功率谱密度时进行一些预处理，以确保得到准确的结果。
功率谱密度的应用功率谱密度在很多领域都有广泛的应用，尤其是在信号处理、通信和控制系统中。
下面介绍几个常见的应用场景：1. 音频信号处理在音频信号处理中，功率谱密度可以用来分析音频信号的频率成分和频谱特性。
通过分析音频信号的功率谱密度，我们可以了解音频信号的频带分布情况，从而对音频信号进行处理，如均衡、编码和解码等。
2. 数字调制在通信系统中，功率谱密度可以用来分析数字调制信号的频谱特性。
数字调制是一种常用的调制技术，通过将数字信号转换成模拟信号，实现信号的传输和接收。
功率谱密度可以用来评估数字调制信号在频域上的带宽占用情况，从而对调制方案进行选择和优化。
3. 控制系统在控制系统中，功率谱密度可以用来分析系统的稳定性和响应特性。
通过分析系统的功率谱密度，我们可以了解系统的频率响应，从而控制系统的参数进行调整和优化。
总结功率谱密度是描述信号频域特性的重要概念。
功率谱密度计算公式的推导过程
一、引言功率谱密度是信号处理领域一个重要的概念，它描述了一个信号在频域内的能量分布情况，是信号谱分析的重要工具。
功率谱密度计算公式的推导过程，是深入理解信号处理原理和方法的关键。
二、基本概念1. 信号的功率谱密度是在频域内描述信号功率分布的指标，通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
2. 信号的功率谱密度可以用来描述信号的频谱特性，包括信号的频率成分和能量分布情况。
3. 对于一个信号x(t)，其功率谱密度S(f)的计算公式可以采用傅里叶变换来推导。
三、傅里叶变换1. 对于一个信号x(t)，其傅里叶变换可以表示为X(f) = ∫x(t)e^(-j2πft)dt，其中X(f)为信号在频域内的表示。
2. 傅里叶变换将信号从时域转换到频域，描述了信号在频率上的分布情况。
四、功率谱密度的推导1. 为了推导信号x(t)的功率谱密度S(f)，首先可以计算信号x(t)的自相关函数R(τ)。
2. 自相关函数R(τ)可以描述信号在不同时刻下的相关性，即信号在延迟τ下的相似程度。
3. 根据傅里叶变换的性质，信号x(t)的功率谱密度S(f)可以表示为S(f) = ∫R(τ)e^(-j2πfτ)dτ。
4. 通过对自相关函数R(τ)进行傅里叶变换，可以得到信号x(t)的功率谱密度S(f)的表达式。
五、应用举例1. 通过功率谱密度的计算公式，可以对信号进行频谱分析，了解信号在频域内的特性。
2. 功率谱密度的计算可以应用于多种信号处理场景，包括通信系统、雷达系统、生物医学信号处理等领域。
3. 信号的功率谱密度分析可以帮助工程师和研究人员更深入地理解信号的频率特性，为系统设计和优化提供重要参考。
六、结论功率谱密度计算公式的推导过程是信号处理领域中的重要内容，它涉及信号的频谱分析方法和原理，具有重要的理论和应用价值。
深刻理解功率谱密度的计算公式及推导过程，对于工程师和研究人员具有重要的意义，可以帮助他们更好地理解信号处理的基本原理，并应用于实际工程和研究项目中。
功率谱密度psd
功率谱密度psd
功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是一种分析工具，用于研究信号的时域表征里的能量展开，它的结果可以展示信号内部的能量分布情况。
PSD可用于评估由动态系统产生的信号所携带的能量，它可以提供关于特定频率段的功率响应信息，从而使得我们能够更加清楚地了解某一系统的特性。
通常情况下，从实际信号计算PSD是一个多阶段的过程，常用的步骤包括预处理，信号加窗，频谱估计，有关参数估计等。
首先，对于非平稳的非线性时域信号，可以采用高斯噪声作为获取的外部的预处理信号。
然后，将获取的信号经过窗函数处理，使其然能量得到有效的抑制。
最后，依据频率域估计方法，可以实现以信号中特定频率段内的功率估计，以获得平坦的PSD密度曲线。
PSD有着重要的实际技术应用，它被应用于非平稳系统分析，以便得到系统特性以及参数估计，例如电机驱动系统。
同时，它也用于衰减器设计，通过使用PSD显示可以更好地得到衰减器的特性，从而更好的设计衰减系统以便实现更有效的设计。
另外，PSD也可以实现无线通讯系统的频谱估计，如无线电技术，传波卫星系统等技术中使用，为其传输质量和系统衰减的评估提供了便利。
总而言之，功率谱密度（PSD）是一种重要的信号分析手段，它可以提供有关特定频率段的功率响应信息，从而使得我们能够更加清楚地了解一个系统的特性，目前已在电机控制、衰减器设计、无线通讯等技术领域得到广泛应用。
谱密度,功率谱密度,能量谱密度
谱密度,功率谱密度,能量谱密度谱密度, 功率谱密度, 能量谱密度在应⽤数学和物理学中，谱密度、功率谱密度和能量谱密度是⼀个⽤于信号的通⽤概念，它表⽰每赫兹的功率、每赫兹的能量这样的物理量纲。
解释在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的频谱密度乘以⼀个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。
功率谱密度的单位通常⽤每赫兹的⽡特数（W/Hz）表⽰，或者使⽤波长⽽不是频率，即每纳⽶的⽡特数（W/nm）来表⽰。
尽管并⾮⼀定要为信号或者它的变量赋予⼀定的物理量纲，下⾯的讨论中假设信号在时域内变化。
定义能量谱密度能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着频率分布。
如果是⼀个有限能量信号，即平⽅可积，那么信号的谱密度就是信号连续傅⾥叶变换幅度的平⽅。
其中是⾓频率（循环频率的倍），是的连续傅⾥叶变换。
是的共轭函数。
如果信号是离散的，经过有限的元素之后，仍然得到能量谱密度：其中是的离散时间傅⾥叶变换。
如果所定义的数值个数是有限的，这个序列可以看作是周期性的，使⽤离散傅⾥叶变换得到离散频谱，或者⽤零值进⾏扩充从⽽可以作为⽆限序列的情况计算谱密度。
乘数因⼦经常不是绝对的，它随着不同傅⾥叶变换定义的归⼀化常数的不同⽽不同。
功率谱密度上⾯能量谱密度的定义要求信号的傅⾥叶变换必须存在，也就是说信号平⽅可积或者平⽅可加。
⼀个经常更加有⽤的替换表⽰是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这⾥功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表⽰抽象的信号被定义为信号数值的平⽅，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
此瞬时功率（平均功率的中间值）可表⽰为：由于平均值不为零的信号不是平⽅可积的，所以在这种情况下就没有傅⾥叶变换。
功率谱密度谱
功率谱密度谱功率谱密度谱是一种信号分析工具，它描述了一个信号在各个频率上的能量分布。
它在信号处理、通信系统设计、控制系统等领域有广泛的应用。
本文将介绍功率谱密度谱的定义、计算方法以及其在实际应用中的意义。
功率谱密度谱是一种描述信号在频率域上能量分布的工具。
在时域上，我们可以通过观察信号的波形来获得一些信息，比如信号的振幅、频率等。
但是，这种方法并不能准确地描述信号在频率域上的特性。
因此，我们引入了功率谱密度谱的概念。
功率谱密度谱可以用来描述信号在不同频率上的能量占比。
我们可以将信号分解成不同频率的正弦波分量，每个频率分量对应的能量可以通过计算其幅值的平方来得到。
然后，我们将每个频率分量对应的能量占比绘制在频率轴上，就得到了功率谱密度谱。
计算功率谱密度谱的方法有多种，其中最常用的是傅里叶变换。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，并得到信号在不同频率上的频谱。
然后，我们可以对频谱进行平方运算，得到各个频率对应的能量分布。
这样，就得到了功率谱密度谱。
功率谱密度谱在实际应用中有着广泛的应用。
首先，它可以用于信号识别和分类。
不同的信号在频域上有不同的能量分布特征，通过对信号的功率谱密度谱进行分析，我们可以将信号分为不同的类别，从而实现信号的自动识别和分类。
功率谱密度谱可以用于信号去噪。
在实际应用中，信号通常会受到噪声的干扰，这会影响信号的质量和可靠性。
通过对信号的功率谱密度谱进行分析，我们可以选择性地过滤掉噪声信号，并提高信号的质量。
功率谱密度谱还可以用于信号的调制和解调。
在通信系统中，信号通常需要进行调制和解调过程，以在不同的频率上进行传输。
通过对信号的功率谱密度谱进行分析，我们可以确定最合适的调制和解调方式，以提高信号的传输效率和可靠性。
总之，功率谱密度谱是一种重要的信号分析工具，它可以用来描述信号在不同频率上的能量分布。
它在信号处理、通信系统设计、控制系统等领域有着广泛的应用。
功率谱与功率谱密度
功率谱与功率谱密度
功率谱与功率谱密度是信号处理理论中两个重要的概念。
下面将分
别介绍它们的含义和作用。
1.功率谱
功率谱是指信号在频率域上的能量分布，它表示了信号在不同频率对
应的功率大小。
对于一个周期信号，其功率谱为离散的，譬如正弦波
的功率谱只在其频率处有功率。
功率谱常常被用来描述随机信号。
随机信号通常无法通过时域方法直
接分析，因此需要通过功率谱来分析其特征。
功率谱可以用于描述信
号的频带宽度、信号的峰值等特性。
2.功率谱密度
功率谱密度是指单位带宽内的信号功率密度，是功率谱的归一化形式。
功率谱密度与功率谱之间的关系可以用积分形式表示。
功率谱密度通常被用来描述连续信号。
在向离散信号过渡时，需要使
用柯西-施瓦茨不等式来对功率谱密度进行积分，从而得到离散信号的
功率谱密度。
功率谱密度可以用来描述信号的频谱分布，因为在单位带宽内，功率
谱密度越大，表示在该频率上的信噪比越高。
综上所述，功率谱和功率谱密度是描述信号特性的重要概念，它们可以用来分析各种信号的特性，从而实现信号处理和应用。
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西,常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的（能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息,所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别： 1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数;而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列） 2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛;而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析),是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线,可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F（ω）。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的.功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号,不具备可积分条件,因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲.所以标准叫法是功率谱密度。
功率谱密度的性质
性质 1 : 宽平稳高斯过程一定是 严平稳高斯过程
11
性质2 : 若平稳高斯过程在任意 两个不同时刻 是不相关的 , 那么也一定是互相独立 的
两个高斯变量 X 1和X 2的联合概率密度 f X ( x1 , x2 ) 1 21 2 1 r 2
2
2
e
( x1 m1 ) 2 2 r ( x1 m1 )( x2 m2 ) ( x2 m2 ) 2 1 [ ] 2 2 2 2 (1 r ) 1 2 1 2
( )
2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
RX () 0, 且呈振荡形式, 也可引入 函数解决
1 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ (1 cos 0 )] 2 1 1 FT [ ] FT [ cos 0 ] 2 2 1 1 2 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2
2.3.2 功率谱密度的性质
1 、S X ()为非负实函数, 即 : S X () 0
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () X (t ), Y (t )互相正交, 互谱密度为零.
RXY ( ) 0 S XY () FT[ RXY ( )] 0
功率谱密度定义
功率谱密度定义
功率谱密度定义
1.功率谱密度卡片RANDPS
①定义随机分析中使用的功率谱密度因子，频率相关形式为：
)
()()(F G iY X F S jk +=RANDPS 数据卡格式：
其中：SID 是RANDPS 数据卡的编号，J 和K 是激励载荷的子工况编号，且J≤K ；X 和Y 是复数的实部和虚部；TID 是功率谱密度表TABRND1数据卡的编号，确定G(F)。
注：RANDPS 由工况控制卡RANDOM=SID 选取；
自谱密度，J=K ，X 为大于0的整数，Y 为0；
TID=0，G(F)=0。
2.功率谱密度表输入卡片TABRND1
TABRND1数据卡格式：
其中：TID 是TABRND1数据卡的编号，XAXIS 和YAXIS 确定表的横坐标或纵坐标是线性刻度（LINEAR ）还是对数刻度（LOG ），默认为线性刻度；f i 是用单位时间内的转数表示的频率；g i 是功率谱密度的值；ENDT 是结束标示符。
第七章 谱密度
lim
1 2T
T
T
x ( t ) dt
2
(4)
x (t ) e
T 2
i t
定义
F , T :
T
T
dt
(3) 式Parseval’等式变为
T
x ( t ) dt
1 2
1 2
F , T
2
d
2
T
lim
1 2T
T
T
x ( t ) dt
| | 2T
） R X ( ) e
i
d
2
S X ( ) lim lim
1 2T
2T
T
E
T
T
X (t )e
i t
dt
i
T
2T
（1
| | 2T
） R X ( ) e
d
R X ( ) e
i
d
例1. 求相关函数
E F X , T F Y , T
(0.1)
为它们的互谱密度，这里，
F X , T :
T
T
X (t ) e
i t
dt
(上节课的公式(12))
互谱密度的一些性质：
性质
S XY
R XY
R XY e
i
R e
a
,
a 0为常数
所对应的功率谱密度 S 解.根据维纳-辛钦公式，
S
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2T
X
T
1 2
即：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值，
或等于它的谱密度在频域上的积分。
{ X ( t )}在 1 , 2 内的平均功率为: 所以，
S
( )d
2 X
1 2
2
1
S X d
在工程中，由于只在正的频率范围内进行 测量，根据平稳过程的功率谱密度的偶函数 性质，可将负的频率范围内的值折算到正频 率范围内，得到所谓“单边功率谱”。 单边功率谱 G X ( ) 定义为：
所以此平稳过程具有均值各态历经性；
2 2 （3） 平均功率 X R X ( 0)
由表12.1之7知： （4） S X ( ) RX ( )e
2
i
d
2 cos 0 e i d
[ ( 0 ) ( 0 )]
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
[ A cos 0 ( t ) B sin 0 ( t )]}
2 cos 0 仅与 有关。
故 { X ( t )}是平稳过程。
（ 2） 1 2T 2 lim 0 (1 ) cos( 0 )d T T 2T
2 1 cos 2 0T lim 0 2 T T 2T 0
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
是随机过程。当外界条件基本不变时，又可认 为这种噪声的主要统计特性不随时间的推移而 改变，所以它又是平稳过程;从功率角度看，这 种噪声对不同频率的输入都能进行干扰，所以 它的谱在各个频率分量上都广泛地存在。一种 常用的抽象是把这类噪声假定为在各个频率分 量都有同样的功率。类似白光的能谱在各种频 率上是均匀分布，我们把这类噪声称为“白噪 声”。所以白噪声是功率谱密度为常数的零均 值平稳过程。即：
[ ( 0 ) ( 0 )]
2
今天作业
p87：1，2
P89：1-9 ；
定义
一个均值为零，功率谱密度在整个
频率轴上为正常数：
S X S0 0
的平稳过程 { X ( t )}，称为白噪声过程，简
称白噪声。
其相关函数为： RX S0 ( )
例5 设 X ( t ) A cos 0 t B sin 0 t ( t ) , 0 为常数，A、B为相互 独立的随机变量，且
2 功率谱密度的性质
从前面的讨论我们可以看到，相关函数是从时 间角度描述过程统计规律的最主要数字特征，而功 率谱密度则是从频率角度描述过程统计规律的数字
特征，二者描述的对象是一个，所以它们必定存在
某种关系。下面通过对 S X 的性质的研究得到： 相关函数与功率谱密度构成一个傅氏变换对。
性质1
2n 2 n 2
以必须满足 m n，且分母应该无实根。
若干相关函数及其对应的谱密度见书P255 表11.1(尤其是第一、五、七组）
例1 已知平稳过程的相关函数为： a2 2 a RX cos 0 b e 2 (a 0, b 0) 求功率谱密度 S X
S X 2 0 RX cos d 1 RX 0 S X cos d
{ X t } 的相关函 维纳-辛钦公式又称为平稳过程 数的谱表示式或谱分解式.它表达了从时间角度 （即用相关函数 RX ( ) )和从频率角度（即用谱 密度 S X ）分别描述平稳过程的统计规律性 之间的联系。有很大的理论和实用价值。在具体 应用上我们可以根据实际情况选择时间域或等价 的频率域方法去解决问题。 性质2 S X 是的实的、非负偶函数。
S X 和自相关函数 RX 是
一傅氏变换对。即
i S X d RX e 称为维纳-辛钦公式。 1 i d RX S X e 2
特别，当X t 为实平稳过程时，上述公式为：
A ~ N (0, 2 ) , B ~ N (0, 2 ) （1）证明{ X ( t )}是平稳过程；
（2）证明{ X ( t )}具有均值各态历经性； （3）求 { X ( t )} 的平均功率； （4）求 { X ( t )}的谱密度。
解：(1) E[ X ( t )] E ( A) cos 0 t E ( B ) sin 0 t 为常数； 0 RX ( t , t ) E{[ A cos 0 t B sin 0 t ]
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1
n
的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
它实际上刻画的是随机过程的强度。
称
S X
为平稳过程 { X t } 的功率谱密度，简称自谱 密度或者谱密度。 谱密度 S X 是从频率这个角度描述 X t
RX e
i
d
的统计规律的主要数字特征,它是 X t 的平均
功率关于频率的分布.具体看下面的性质。
实际上
2 1 S X lim E FX , T T 2T
其中 FX ( , T )
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
X t e i t dt
性质3 平稳过程的平均功率可由谱密度的积分 表出： 1 T 2 2 平均功率 lim E X (t )dt RX (0) X
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0
性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所