北京市人大附中2021届高三上学期10月月考数学试题含答案

人大附中2021届高三第一学期10月月考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

01.已知集合{}{1,0,1},1A B x N x=-=∈<，则A B=A. {-1，0}B. {0，1}C. {0}D. Φ02.已知命题:(0,),ln0P x x x∃∈+∞+<，则P⌝为A.(0,),ln0x x x∀∈+∞+< B. (0,),ln0x x x∃∉+∞+≥C.(0,),ln0x x x∀∈+∞+≥ D. (0,),ln0x x x∀∉+∞+≥03.已知点5(2cos1)6Pπ，是角α终边上一点，则sinα=A.12 B.2C.12-D.22-04.已知向量a=(1,1),b(2,-1),若（λa+2b）∥(a-b)，则实数λ=A. 8B. -8C. 2D. -205.以下选项中，满足log2log2a b>的是A. a=2,b=4B. a=8,b=4C.1,84a b ==D.11,24a b ==06.下列函数中，既是奇函数又在区间（-1，1）内是增函数的是A.()33f x x x=- B. f (x )=sin xC.1()ln1xf x x -=+D.()x xf x e e -=+07.已知方程210x ax +-=在区间[0,1]上有解，则实数a 的取值范围是A. [0,+∞)B.（-∞，0]C. （-∞，-2]D. [-2,0]08.已知a 是非零向量，m 为实数，则“a m=”是“22a m =”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件09.已知a >0,若函数31,1()1,1x ax x x f x a x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围是 A. （1，+∞）B. [1，+∞）C. （12，+∞）D. [12，+∞）10.定义在[1，+∞）上的函数f (x )满足，当0≤x ≤π时，f (x )=sin x ;当x ≥π时，f (x )=2f (x -π)若方程f (x )-x +m =0在区间[0,5π]上恰有3个不同的实根，则m 的所有可能取值集合是A.4[0,3πB.4(0,3πC.4[0,[343πππ，）D.4[0,(343πππ，）二、填空题共5小题每小题5分，共25分。

请将答案全部填写在答题卡上。

11.已知1cos()23πα+=，则sin α= .12.在△ABC 中，已知2,,cos cos cos a b ca A B C ===则△ABC 的面积为.13.已知点P (1,1),O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，且满足PA ⊥PB ，则()PA PB PO +⋅=，PA PB+的最小值为 .14.已知函数()(1)xf x e a x =+-，若f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 .15.将函数y =sin x 图象上各点横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，再向左平移5π个单位，得到函数f (x )的图象，已知f (x )在[0,2π]上有且只有5个零点，在下列命题中：①f (x )的图象关于点(,0)5π-对称；②f (x )在(0,2π)内恰有5个极值点；③f (x )在区间(0,)5π内单调递减； ④ω的取值范围是2530[,)1111，所有真命题的序号是.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，每小题均包含1分的卷面分，请注意答题卡卷面的工整和整洁。

16（本题13分）在△ABC 中，已知a +2b =2c cos A . （1）求C ； （2）若a =5,c =7,求b.17（本题13分）已知函数()()22cos sin0f x x xωω=+>,若，写出f(x)的最小正周期，并求函数f(x)在区间5(,]66ππ内的最小值.请从①ω=1，②ω=2这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.若选择多个条件分别作答，按第一个判分.18.（本题14分）已知函数1(),()11f x g x x x ==-+.求正实数a 的取值范围；（1）任意()10,x a ∈,存在()20,x a ∈，使得12()()f xg x =成立；（2）存在[]211,x a x a ∈+，使得12()()f xg x <成立19（本题15分）研究表明：在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数f (x )与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示.当x ∈(0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x ∈[16,40]时，曲线是函数0.8log ()80y x a =++图象的一部分.（1）求函数f (x )的解析式；（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到2分钟，参考数据：554102453125==，）20.（本题15分）已知函数f(x)=(x+a)ln x-(a+1)(x-1)（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）是否存在实数a，使得f(x)在(0,+∞)具有单调性？若存在，求所有a的取值构成的集合；若不存在，请说明理由.21.（本题15分）对非空数集A，B，定义{},A B x y x A y B-=-∈∈，记有限集T的元素个数为T.（1）A={1,3,5},B={1,2,4}，求,,.A AB B A B ---（2）若*4,{1,2,3,4},A A N B=⊆=当A B-最大时，求A中最大元素的最小值.（3）若5,21,A B A A B B==-=-=求A B-的最小值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分11.13-14.2[0,]e15.①④三、解答题共6小题，共85分，每小题均包含1分的卷面分. 16.（本题13分）解：（1）法1：因为a +2b =2c cos A ,由正弦定理，得sin A +2sin B =2sin C cos A ,················2分 又sin B =sin （A +C ）=sin A cos C +cos A sin C ， 所以，sin A +2sin A cos C +2cos A sin C=2sin C cos A ， 整理得：sin A·（1+2cos C ）=0················4分 又A ,B ,C ∈(0,π)，故sin A >0,所以1223cosC C π=-=，···············7分法2：因为a +2b =2c cos A ,由余弦定理，知222cos 2b c a A bc +-=， 所以222222b c a a b c bc +-+=⋅，··············2分整理得：222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-·············5分又A ，B ，C ∈(0,π)，所以23C π=···············7分（II ）法1：由正弦定理，知sin sin a cA C =，即：572sin sin 3A π=，所以，sin 14A =··············8分因为C 为钝角所以11cos 14A =，··············9分所以sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sinC111()214=-+=··············11分由正弦定理，得7sin 3sin c Bb C===·············12分法2：由余弦定理，知2222cos c a b ab C =+-,即：22492510cos3b b π=+-⋅，·············10分整理得：25240b b +-=解得：b =3或-8（舍）·············12分17.（本题13分）解：选择①：()22cos sin f x x x=+，最小正周期为2π·············4分令t =sin x ,则1[,1]2t ∈，·············6分22117()2(1)2()48f x t t t =-+=--+，·············9分由于上述关于t 的二次函数在区间1[,1]2上单调递减，因此，当t =1,即2x π=时，f （x ）取得最小值1·············12分选择②：()22cos sin 2f x x x=+，最小正周期为π·············4分因为f (x )=1+cos2x +sin2x ·············6分)14x π=++·············8分当5(,]66x ππ∈时，7232(,]41212x πππ+∈，·············9分又函数y =sin x 在73(,]122ππ上单调递减，在323[,]212ππ上单调递增，所以，当3242x ππ+=，即58x π=时，f (x )取得最小值1············12分 18.（本题14分）解：（1）因为f (x )在区间（0，+∞）单调递减，所以10x a ∈（，）时，11()(,1)1f x a ∈+············1分因为g (x )在区间（0，+∞）内单调递增，所以20x a ∈（，）时，2()(1,1)g x a ∈--············2分依题意，1(,1)(1,1)1a a ⊆--+，所以11111a a -≤<≤-+············5分因为a >0,所以a ≥2即正实数a 的取值范围为[2,+∞) ············7分（II ）当[]()12,,10x x a a a ∈+>时1211()[,],()[1,]21f x g x a a a a ∈∈-++············9分依题意，12aa <+因为a >0,所以1a >，即正实数a的取值范围为1,)+∞············13分 19.（本题15分）解：（1）当x ∈(0,16]时，设2()(12)84(0)f x b x b =-+<， 因为2(16)(1612)8480f b =-+=， 所以14b =-，故21()(12)844f x x =--+············3分当x ∈[16,40]时，0.8()log ()80f x x a =++，由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得a =-15,故0.8()log (15)80f x x =-+············5分所以20.81(12)84,(0,16],()4log (15)80,(16,40].x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩············6分（II ）x ∈(0,16]时，令21()(12)84754f x x =--+<解得，x ∈(0,6) ············9分当x ∈[16,40]时，令0.8()log (15)8075f x x =-+<所以55553125150.8341024x -->==≈所以x ∈(18,40] ············12分因为，在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有 （6-0）+（40-18）=28分钟············14分 20.（本题15分）解：（1）因为f (x )=(x +a )ln x -(a +1)(x -1), 所以f (1)=0············1分()’ln (1)ln x a a f x x a x a x x +=++=+-············3分所以f ’(1)=0············4分所以所求切线方程为y =0············5分（II ）令()'()(0)g x f x x =>，则221'()a x ag x x x x -=-=············6分（1）当a ≤0时，g ’(x )>0所以g(x)=f’(x)在(0,+∞)单调递增············7分又因为f’(1)=0·，所以当x∈（0，1）时，f’(x)<0, f(x)单调递减；当x∈（1，+∞）时，f’(x)>0, f(x)单调递增············8分（2）当a>0时，令g’(x)=0,得x=a.x,g’(x),g(x)的变化情况列表如下：所以f(x)在（0，+∞）内单调递增，具有单调性②当0<a<1时，x,f’(x),f(x)的变化情况列表如下：③当a>1时，x,f’(x),f(x)的变化情况列表如下：13分综上所述，存在实数a使得f(x)在（0，+∞）具有单调性，所有a的取值所构成的集合为{1}············14分21.（本题15分）解：（I）因为A={1，3，5}，B={1，2，4}所以A-A={-4，-2，0，2，4}，A-A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A-B={-3，-1，0，1，2，3，4}所以5,7,7,A AB B A B-=-=-=············6分（II）设*{,,,},A a b c d N a b c d =⊆<<<①因为4 A B==，所以2416 A B-≤=当A={1，5，9，13}时，因为B={1，2，3，4}所以{3,2,1,0,1,2,,1112}16 A B A B-=---⋅⋅⋅-=，，所以A B-最大为16.②当16A B-=时，A中元素与B中元素的差均不相同.所以()(){0} A A B B--=又因为B-B={-3,-2,-1,0,1,2,3} 所以b-a,c-b,d-c≥4所以d-a≥12,d≥13综上，当A B-最大时，A中最大元素的最小值为13···········10分（III）对非空数集T，定义运算{} *,,T x y x y T x y =-∈≠①因为5 A=，所以5(51)121A A-≤⨯-+=，当且仅当*5(51)20A=⨯-=时取等号又因为21 A A-=所以A中不同元素的差均不相同同理，B中不同元素的差均不相同又因为''''''a b a b a a b b a a b b -=-⇔-=-⇔-=-所以**1155201522A B A B A B -≥⋅-⋅≥⨯-⨯=②令A ={1,2,4,8,16},B ={-1,-2,-4,-8,-16}所以5,A B A==中不同元素的差均不相同，B 中不同元素的差均不相同所以21A AB B -=-=经检验，15A B -=，符合题意综上，A B-的最小值为15···········14分。