南开大学数学分析考研试卷答案

南开大学年数学分析考研试卷答案

一、

设),,(x y x y x f w -+=

其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w .

解：令u =x +y ，v =x -y ，z =x ，则z v u x f f f w ++=；

)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w

二、

设数列}{n a 非负单增且a a n

n =∞

→lim ，证明

a a a a n

n n n n n =+++∞

→1

21][lim .

解：因为a n 非负单增，故有n

n n n

n

n n n n na a a a a 11

21)(][≤+++≤ .

由a a n

n =∞

→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、

设⎩

⎨⎧≤>+=0

,00),1ln()(2

x x x x x f α,试确定α的取值范围，使f (x )分别满足：

（1） 极限)(lim 0x f x +

→存在

（2） f (x )在x=0连续 （3） f (x )在x=0可导 解：（1）因为

)(lim 0x f x +

→=)1ln(lim

2

0x

x x ++

→α=)]()1(2[lim 221420n n

n x x o n

x x x x +-++-

-→+

α极限存在，则 2+α0≥知α2-≥.

(2)因为)(lim 0

x f x -

→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α

.

（3）0)0(='-

f 所以要使f(x)在0可导则1->α.

四、设f (x )在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关.

解；令U =22

y x

+，则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=2

1du u f l )(⎰又f (x )在R 上连续，故存

在F （u ）使d F (u )=f (u )du=ydy xdx y x f ++)(22. 所以积分与路径无关。

五、 设f(x)在[a,b]上可导，

0)2

(

=+b

a f 且

M

x f ≤')(,证明

2)

(4)(a b M

dx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在

)2

)(()2(

)(),(b

a x f

b a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有

dx b

a x f dx x f b

a

b

a

)2

)(()(+-

'=

⎰

⎰

ξ2

2

2)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f b

b a b

a a

b a

-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。∑n a n sin 发散

a) 证明∑收敛n an sin

b) 证明1l i m =∞→n

n

n v u 其中

1

(

s i n

s i n )

n

n k k

k u a k a k ==+∑；1(sin sin )n

n k k k v a k a k ==-∑.

证：（1）因为2

1sin 1sin ≤

∑k 而}{n a 单减而且收敛于0，根据狄利克莱判别法

知sin n a n ∑收敛

（2）因为正项级数∑n a n sin 发散则sin ()k a k n →∞→∞∑又由上题知

1

sin n

k k a k =∑有界，故有1lim

=∞→n

n

n v u

七、设dx x

x

e

t F tx

sin )(1⎰∞

+-= 证明

（1）dx x

x

e tx

sin 1

⎰

∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续

证：（1）因dx x

x

⎰∞+1

sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；

又tx

e

-在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥∀≤≤-t x e

tx

由阿贝尔判别

法知一致收敛

（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥∃+∞∈∀t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致

收敛，且由x

x

e

tx

sin -在（x,t ）],[),1[βα⨯+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连

续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证