南开大学数学分析考研试卷答案
南开大学数学分析考研试题及解答
20XX 年南开大学数学分析考研试题及解答1、求极限2463lim.x x x ex -→-+解 原极限46464262660[1()][1()]690263limx x x x x x x o x x o x x →-+-+--+-++=11906=-+ 7.45= 2、 计算22,4L ydx xdy I x y -+=+⎰L 为221,x y +=取逆时针方向。
解 记2222,,44y xP Q x y x y-==++ 则222224,(,)(0,0),(4)P x y Qx y y x y x∂-+∂==≠∂+∂ 而由Green 公式知LI Pdx Qdy =+⎰222224(01,4x y ydx xdyx y εε+=-+=<<<+⎰取逆时针方向）222241x y ydx xdy εε+==-+⎰2201sin cos =(sin cos )22t tt t dt πεεεεε--⋅+⋅⎰ .π=3、 计算333,1Sx y z I dS z++=-⎰⎰S 为222=1),0 1.x y z z +-≤≤（解22x y I +≤=⎰⎰22x y +≤=22x y +≤=(对称性)31(1)rrdrr-=⋅⎰.4=4、求函数22(,)27f x y x y=-在闭区域22{(,);2413}D x y x xy y=++≤上的最大值与最小值。
解由414xyf xf y=⎧⎪⎨=-⎪⎩，知f的极值点为(0,0),且(0,0)0.f=往求f在22{(,);(,)24130}D x y x y x xy yϕ∂=≡++-=上的最大值与最小值。
为此，利用Lagrange乘数法，记(,,)(,)(,)L x y f x y x yλλϕ=+222227(2413).x y x xy yλ=-+++-则由224(22)014(28)024130xyL x x yL y x yL x xy yλλλ⎧=++=⎪=-++=⎨⎪=++-=⎩(1)知373xyλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩或122xyλ=±⎧⎪=⎨⎪=⎩直接计算有91(,),(1,2)26.333f f±=±=-故91min26,max.3D Df f=-=______________________________________由1,2(1)知(42)202(148)0.x yx yλλλλ++=⎧⎨+-+=⎩而其有非零解(否则与3(1)矛盾)。
2008年南开大学数学分析考研试题及解答
南开大学2008年数学分析考研试题.一．计算题1．求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞-+。
2．求和()()∑∞=-+-1121n n n n 。
3．已知()()()1f x x f x ''-=-，求()x f ？ 4．设2ln 261txdt e π=-⎰，则x =？5．设区域()[][]{}1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求Dx y dxdy -⎰⎰。
二．设61-≥x 61+=+n n x x ，(1,2,)n = ，证明数列{}n x 收敛，并求其极限。
三．设()[]b a C x f ,∈，并且[]b a x ,∈∀，[]b a y ,∈∃，使()()x f y f 21≤，证明[]b a ,∈∃ξ，使得()0=ξf .四．设()x f 在[)+∞,a 一致连续，且广义积分()af x dx +∞⎰收敛，求证()0lim =+∞→x f x 。
五．设()x f 在(,)-∞+∞上可微，对任意(,)x ∈-∞+∞，()0f x >， ()()f x mf x '≤， 其中10<<m ，任取实数0a ，1ln ()n n a f a -=，(1,2,)n = ，证明级数11||n n n a a ∞-=-∑收敛。
六．证明函数项级数()1nxn f x ne∞-==∑，（1）在()+∞,0上收敛，但不一致收敛；（2）和函数()x f 在()+∞,0上任意次可导。
七．作变换xy u =，x v =，w xz y =-，将方程2222z z yyyx∂∂+=∂∂变换为w 关于自变量(),u v 方程。
八．求由曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分的体积之比。
九、设()f x 是(0,)+∞上具有二阶连续导数的正函数，且()0f x '≤，(0,)x ∈+∞，()f x ''在(0,)+∞上有界，则lim ()0x f x →+∞'=。
南开大学2000年和2001年数学分析考研试题及解答
南开大学2000年数学分析考研试题.1. 设()()()()()()()22sin ,,0,0,0,0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，， 证明(),f x y 在点()0,0处连续，但不可微.2. 设()f u 具有连续的导函数，且()lim 0u f u A →+∞'=>，，(){}222,:,,0D x y x y R x y =+≤≥，()0R >， （1）证明 ()lim u f u →+∞=+∞；（2）求()22R DdI f x y dxdy '=+⎰⎰；（3）求2limRR I R →+∞.3.（1）叙述()f x 于区间I 上一致连续的定义； （2）设()f x ，()g x 都于区间I 上一致连续且有界， 证明()()()F x f x g x =也于I 上一致连续，4.设函数列(){}n f x 于区间I 上一致收敛于()f x ，且存在数列{}n a ，使得当x I ∈时，总有()n n f x a ≤，证明()f x 于I 上有界.5.设0n a >，()1,2,n =L ，1nn k k S a ==∑，证明（1）若1nn na S ∞=∑收敛，则1n n a ∞=∑也收敛.（2)如果1λ>，1nn na S λ∞=∑收敛，问1n n a ∞=∑是否也收敛？说明理由.6.设(),f x t 于[)[],,a c d +∞⨯上连续，(),af x t dx +∞⎰于[),c d 上一致收敛，证明(),af x d dx +∞⎰收敛.南开大学2000年数学分析考研试题解答1.解：()0,00f =，()22,x y xyf x y x y+⋅≤+ ()222212x y x y x y +⋅+≤+()12x y ≤+， ()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=，于是(),f x y 在点()0,0处连续.显然()0,00x f =，()0,00y f =，0→时，,0,00,0f x y f x f y ⎡⎤∆∆-∆+∆sin x y x y ∆+∆∆⋅∆=的极限不存在，所以(),f x y 在点()0,0处不可微. 2.（1）证明 由()lim 0u f u A →+∞'=>，存在0M >，当u M ≥时，有()2A f u '≥， ()()()()f u f u f M f M =-+ ()()()f u M f M ξ'=-+ ()()2Au M f M ≥-+， 由此，可知()lim u f u →+∞=+∞； （2）解 ()22R DI f x y dxdy '=+⎰⎰()220Rd f r rdr πθ'=⎰⎰()()21022f R f π⎡⎤=⋅-⎣⎦； （3）解 ()()2220lim lim 4R R R f R f I R R π→+∞→+∞-=()22lim 42R f R R Rπ→+∞'⋅=()2lim 44R f R A ππ→+∞'==.3、简略。
2006年南开大学数学分析考研试题及解答
南开大学2006年数学分析考研试题及解答1.求极限()204sin limtt tx dx t→⎰.2.设123222212311111231111nn n n n n nx x x x u x x x x x x x x ----=，试证()112ni i in n u x u x =-∂=∂∑.3.设()f x 在[]0,2上有界可积，()20f x dx =⎰，求证存在[]0,1a ∈,使得()10a af x dx +=⎰.4.若幂级数0n n n a x ∞=∑在()1,1-内收敛于()f x ，设()01,1n x ≠∈-，满足lim 0n n x →∞=和()0n f x =，1,2n = ，则()0f x =，对所有()1,1x ∈-.5.设函数()f x 在(),-∞+∞有任意阶导数，且导数数列()()n f x 在(),-∞+∞一致收敛于()x ϕ，()01ϕ=，求证()x x e ϕ=.6.设(),,f x y z 在球(){}222,,:1x y z x y z ++≤上连续，令()(){}2222,,:B r x y z x y z r =++≤，()(){}2222,,:S r x y z x y z r =++=,0r >，求证()()()(),,,,B r S r df x y z dxdydz f x y z dS dr =⎰⎰⎰⎰⎰,()0,1r ∈. 7.设(),,f x y z 在全空间上具有连续的偏导数，且关于,,x y z 都是周期的，即对任意点(),,x y z ，成立()()()()1,,,1,,,1,,f x y z f x y z f x y z f x y z +=+=+=，则对任意实数,,αβγ，有0f f f dxdydz x y z αβγΩ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，这里[][][]0,10,10,1Ω=⨯⨯是单位方体.8.设A 为三阶实对称方阵，定义函数()(),,,,x h x y z x y z A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求证(),,h x y z 在条件2221x y z ++=下的最大值为矩阵A 的最大特征值.9.（1）设数列0n a ≠，满足0n a →，()n →+∞，定义集合{}:,i P ka k Z i N =∈∈,Z 为整数集，N 为自然数集，求证对任何实数b ，存在数列k b P ∈，使得lim k k b b →∞=；(2)试证 一个非常数的周期连续函数必有最小正周期.10.设()x ϕ是(),-∞+∞上的周期连续函数，周期为1，且()10x dx ϕ=⎰，令()1xn a e nx dx ϕ=⎰，()1,2,n = ，求证级数21n n a ∞=∑收敛.南开大学2006年数学分析考研试题解答1、解 当0t +→时， 令2tx y =，12dx dy yt=， 原式341sin 2lim t t y dyy tt+→⋅=⎰3902sin 2lim t t ydy y t+→=⎰323702sin 32lim 92t t t t t +→⋅=330sin 1lim 33t t t +→==. 当0t -→时，同理()204sin 1lim 3tt tx dx t -→=⎰故()240sin 1lim3tt tx dx t →=⎰. 2、证明 将行列式按第一列展开11112111n n u A x A x A -=+++ ， 所以()111211111n n ux x A n x A x -∂=++-∂ ，同理将行列式按第i 列展开，得()121n ii i i ni iux x A n x A x -∂=++-∂ ，1,2,,i n = ， 于是()12122221nin n i iux x A x A x A x =∂=+++∂∑ ()22213123232n n x A x A x A ++++)()11111221n n n n n n nn n x A x A x A ---+-+++ ()()1212n n u u n u u -=+++-= . 3、证明 构造函数()()1x xF x f t dt +=⎰，[]0,1x ∈，()()()()()1221010F F f t dt f t dt f t dt +=+==⎰⎰⎰，由()f x 在[]0,2上有界可积，知()F x 在[]0,1上连续，存在[]0,1α∈，使得()()()0102F F F α+==， 即()10f x dx αα+=⎰.4、证明 设()()()n n g x f x =，由于()(){}nf x 一致收敛于()x ϕ，()()()()()()1lim lim n n n n f x f x x ϕ+→∞→∞'==，则有(){}n g x 一致收敛于()x ϕ，(){}n g x '一致收敛于()x ϕ， 于是()()x x ϕϕ'=，()x x Ce ϕ=， 又因为()01ϕ=，故()x x e ϕ=.5、证明 令sin cos x t ϕθ=，sin sin y t ϕθ=，cos z t ϕ=0t r ≤≤，0ϕπ≤≤，02θπ≤≤，则()(),,B r df x y z dxdydz dr ⎰⎰⎰ ()22000sin cos ,sin sin ,cos sin r d dt d f t t t t d drππθϕθϕθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰ ()220sin cos ,sin sin ,cos sin d f r r r r d ππθϕθϕθϕϕϕ=⋅⎰⎰，在()S r 中：sin cos x r ϕθ=，sin sin y r ϕθ=，cos z r ϕ=，0ϕπ≤≤，02θπ≤≤，2dS EG F d d ϕθ=-2sin r d d ϕϕθ=，()()()220,,sin cos ,sin sin ,cos sin S r f x y z dS d f r r r r d ππθϕθϕθϕϕϕ=⋅⎰⎰⎰⎰.故结论得证.6、证明 由偏导数连续，()()()1,,,,0yzD fdxdydz f x y z f x y z dydz x ααΩ∂=+-=∂⎰⎰⎰⎰⎰， 同理()()(),1,,,0xzD fdxdydz f x y z f x y z dxdz y ββΩ∂=+-=∂⎰⎰⎰⎰⎰， ()()(),,1,,0xyD fdxdydz f x y z f x y z dydz z γγΩ∂=+-=∂⎰⎰⎰⎰⎰， 故有0f f f dxdydz x y z αβγΩ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰.7、证明 由幂级数的收敛性知()f x 连续， 于是()()0lim 0n n f f x →∞==，由幂级数的性质()()k f x 都在()1,1-上连续，()1,2,k = 由()0n f x =，()1,2,n = ，存在n ξ在n x 与0之间，使得()0n f ξ'=，显然有lim 0n n ξ→∞=，0n ξ≠，()()0lim 0n n f f ξ→∞''==，由()0n f ξ'=，()1,2,n = ，存在n η在n ξ与0之间，使得()0n f η''=， 显然有lim 0n n η→∞=，0n η≠，()()0lim 0n n f f ξ→∞''''==，同理这样继续下去，可得()()00k f =，()0,1,2,3,k = ，由于()f x 已展开成收敛的幂级数 ()0n n n f x a x ∞==∑，所以()()00!n n f a n ==，()0,1,2,3,n = ，故()0f x =，()1,1x ∈-.8、设A 为n 阶实对称方阵，定义函数()T f x x Ax =，其中()12,,,Tn x x x x = ，求证：()f x 在条件12211ni i x x =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑下的最大值和最小值分别为矩阵A 的最大特征值和最小特征值.证明 因为{}:1n S x R x =∈=是有界闭集，()f x 在S 上连续，所以()f x 在S 上存在最大值和最小值. 设0x S ∈，使得()()0max x Sf x f x M ∈==，0y S ∈，使得()()0min x Sf y f x m ∈==，则对任意的实数t ，n h R ∈都有，00x thf M x th⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭， ()()00201Tx th A x th M x th++≤+，()()2000Tx th A x th M x th ++≤+，2200000022T T T TT T x Ax th Ax t h Ah Mx x Mth x t h h ++≤++，220022T T T T th Ax t h Ah Mth x t h h +≤+， 对0t >时，有0022T T T T h Ax th Ah Mh x th h +≤+， 令0t +→，得00T T h Ax Mh x ≤，对于0t <时，有0022T T T T h Ax th Ah Mh x th h +≥+， 令0t -→，得00T T h Ax Mh x ≥， 故有00T T h Ax Mh x =，（任意n h R ∈）从而00Ax Mx =，M 是A 的特征值， 同理可证m 也是A 的特征值，设λ为A 的特征值，对应的特征向量为n R ξ∈，1ξ=，A ξλξ=，T A ξξλ=，于是m M λ≤≤，所以M 是A 的最大特征值，m 是A 的最小特征值.8、证明 因为A 是实对称矩阵，所以存在正交阵T ，使得12300000T AT λλλ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,λλλ为实数， 于是()()12300,,,,0000x h x y z x y z T T y z λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()111,,,,x y z T x y z =， 则()()111,,,,x y z x y z T '=，又因为111x x y T y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()2221x x y z xyz y z ⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭()111111,,x x y z T T y z ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭222111x y z =++， 即2221111x y z ++=，()222112131,,h x y z x y z λλλ=++， 不妨设123λλλ≤≤，则有()()()22222211113111,,x y z h x y z x y z λλ++≤≤++， 显然(),,h x y z 有最大值3λ.9、证明（1）对任意固定实数b ，存在11b a ，使得()1111,1b b a b a ∈+⎡⎤⎣⎦，1b 为整数， 将闭区间进一步缩小，存在i ka ， 使得()()1111,1,1i i b ka k a b a b a ∈+⊂+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，记i ka 为22n n b a ，一直进行下去，得到一列闭区间套，使得()()1111,1,1k k k k k k k k n n n n n n n n b b a b a b a b a ----⎡⎤⎡⎤∈+⊂+⎣⎦⎣⎦，因为lim 0n n a →∞=，所以{}n a 的任何子列比收敛于零，则()lim 1lim 0k k k k k n n n n n k k b a b a a →∞→∞⎡⎤+-==⎣⎦， 利用闭区间套定理，存在(),1k k k k n n n n b a b a ξ⎡⎤∈+⎣⎦， 使得lim k k n n k b a ξ→∞=，由ξ是唯一公共点，知b ξ=. 令k k n n k b a b P =∈，则有lim k k b b →∞=.（2） （a ）因为集合{}f 的正周期有下界0， 有确界存在定理，{}0inf f T =的正周期存在， （b ）现证明{}0inf f T ∈的周期，根据下确界的性质，存在{}inf f n T ∈的正周期，1,2,n = ， 使得0lim n n T T →∞=，对任意x R ∈，由()f x 得连续性，得()()()()0lim lim n n n f x T f x T f x f x →∞→∞+=+==，所以0T 是f 的周期.（c ）因为0n T >，0lim n n T T →∞=，所以00T ≥，若00T =，则lim 0n n T →∞=，于是f 得周期网点（指等于周期整数倍的点）在实数轴R 上稠密，从而，任意x R ∈，存在{}n x ，{}n y 是有一些周期网点所组成的序列，lim n n x x →∞=，由此()()()()lim lim 00n n n n f x f x f x f →∞→∞==+=，即()()0f x f ≡（为常数），矛盾， 故00T >，结论得证.10、 证明 设()()0xx t dt ϕΦ=⎰，由于()t ϕ是周期为1的连续函数，且()10t dt ϕ=⎰，易知()x Φ亦是周期为1的连续函数，且()()x x ϕ'Φ=，()00Φ=，()0n Φ=，()1,2,n =()()1n a f x nx dx ϕ=⎰()01n u f u du n n ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰()01n x f x dx n n ⎛⎫'=Φ ⎪⎝⎭⎰()()00111nn x x x f f x dx nn n nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰()011n x f x dx n nn ⎛⎫'=-Φ ⎪⎝⎭⎰，()011n n x a f x dx n n n ⎛⎫'≤Φ ⎪⎝⎭⎰()00111max n x x x f dx n n n≤≤⎛⎫'≤Φ⋅ ⎪⎝⎭⎰()()10011max x x f t dt n ≤≤'=Φ⋅⎰1K n=， 其中K 为常数，()()101max x K x f t dt ≤≤'=Φ⋅⎰，22210na K n ≤≤，而2211n K n ∞=∑收敛，所以21n n a ∞=∑收敛.。
南开大学2003、2004年数学分析试题及答案
2
2n x4 n −1 x lim x ln(1 + x ) = lim x [ x − + L + (−1) + o( x 2 n )] 极 x →0 x →0 2 n
α
2
+
+
限存在则 2+ α (2)因为
≥ 0 知α ≥ − 2
−
x → 0
lim
f ( x )
=0=f(0)所以要使 f(x)在 0 连续则 α
f +' ( x0 ) = lim
x → x0 +
∀x1 < x 2 < x3 < x 4 ， 由题设可得
即
f ( x3 ) − f ( x 4 ) f ( x3 ) − f ( x 4 ) f ( x1 ) − f ( x 2 ) f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ 从而 xlim ≤ lim ， x 4 → x3 2 → x1 x1 − x 2 x3 − x 4 x1 − x 2 x3 − x 4
∈ [0,+∞), ∃α , β ≥ 0使t 0 ∈ [α , β ] 由上题知，F（t）在 [α , β ] 一致收敛，
sin x 在（x,t）∈ [1,+∞ ) × [α , β ] 上连续知 F（t）在 [α , β ] 连续所以在 t 0 连 x
续，由 t 0 的任意性得证 八、命{ f n ( x )} 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意 x 0 ∈ [ a , b ] { f n ( x0 )} 是一个有界数列 （ 2 ） 对 任 意
2003 年南开大学数学分析试题答案
一、设 w 解
= f ( x + y, x − y, x) 其中 f ( x, y, z ) 有二阶连续偏导数，求 wxy
南开大学701数学分析考研真题及解析
南开大学考研历年真题解析——701数学分析主编：弘毅考研弘毅教育出品【资料说明】1.命题风格与试题难易南开大学数学分析试题一直很基础，比高代要简单一些，高等代数偶尔还出个压轴题，数学分析最近几年也不出压轴题了，都是常规题，基础题就要占到70%，其它也就算中档题。
例如2012的数学分析试题最后一题也不属于难题，做过裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》再做这题十分简单，利用定义就可以了。
常规一直是南开大学数学分析的风格，没有什么偏题怪题，并且中低档题足够考个110分以上（数学专业的分数线一直不高），这估计大家很喜欢报考。
2.考试题型与分值南开数学分析考试题型全是解答题，没有其它题型。
解答题也就计算题和证明题，计算题比重占的比重也很大，例如2012年就要占到大概50%，其它也不能说全是证明，会有一部分判断，对的证明之，不对的举出反例。
证明题的难度要比计算题相对大一些。
3.各章节的出题比重南开大学数学分析真题的出的变换比较大，每年考的知识点都在变化，这一点和其它一些大学很不一样。
数学分析本来变化就很大，这和其它学科很不一样。
但有一些重要的知识点一定会在某一年考到。
例如，一致连续（2012年考到），一致收敛（2011年考到），广义积分的敛散性判别（2011年考到），重积分曲线积分和曲面积分（每年几乎必考到，例如2008,2009,2010两个题，2011,2012两题），和函数的计算（几乎必考，重中之重）等等。
但其他知识点也绝对不能忽略。
这主要是因为南开试题变换大，今年考的明年不一定不考，今年不考的明年还可能考。
4.重要的已考知识点特别重要的只是点就是求和函数（很重要，经常出，例如2012,2010,2009年等），曲线积分和曲面积分（几乎每年必出），一致连续（2012年考到），一致收敛（重中之重！而且也十分容易考到，这也是数学分析中的重中之重，考到分值就会很大。
例如2011年），求极限（虽然简单，但也几乎每年必出，2003-2012只有2009年没出极限其它年份每年必出极限）。
南开大学(已有09试题)
南开大学陈省身数学研究所数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年数学物理主意2003——2023年年数学科学学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002第 1 页/共22 页微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000数学物理主意2003——2023年年物理科学学院材料化学2023年年材料物理2004——2023年年热力学统计物理2003——2004统计物理1999——2000理论力学1999——2000，2003——2004固体物理（基础部分）2004——2023年年大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004晶体物理2004激光物理2003——2004光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年光物理学2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年电动光学1999晶体管原理1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年量子物理概论2003——2004细胞生物学1999——2000高等数学1999——2000高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年电磁学2003——2023年年电力电子学基础2003——2004经典物理学2023年年普通生物化学2003——2023年年生物物理学2003——2023年年数学物理主意2003——2023年年泰达生物技术学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）微生物学1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年信息技术科学学院高等数学1999——2000第 3 页/共22 页高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年信号与系统1999——2023年年控制原理1999——2000自动控制2023年年自动控制原理2003——2004现代控制论基础1999——2000，2003——2004综合基础课（光学、电路与系统、通信与信息系统、信号与信息系统、物理电子学、微电子学与固体电子学、光学工程专业）1999——2000，2002——2023年年编译原理1998数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000软件基础1999——2000计算机软硬件基础2023年年C语言与数据结构2004计算机原理1999——2000，2003综合基础课（模拟电路、数字电路、计算机原理）1999——2000大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004晶体管原理2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004通信原理2003——2023年年物理学2023年年运筹学2003——2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年环境科学与工程学院水污染控制工程2004——2023年年安全学导论2004——2023年年环境监测1999——2000，2002——2023年年环境经济学2003——2023年年环境微生物学1999——2000环境生物学2003——2023年年环境学导论2004——2023年年环境管理1999——2000，2003——2023年年动物生理学1999——2000环境化学1999——2000，2002，2023年年环境化学与分析化学2003——2004（注：2004年试卷缺页，惟独“环境化学”内容）环境质量评价1999——2000环境工程1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000环境科学概论1999——2000，2002——2003化学学院综合化学2023年年——2023年年无机化学1999——2000，2003——2023年年分析化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年有机化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年物理化学2000，2003，2023年年——2023年年第 5 页/共22 页药物化学2004——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000固体物理（基础部分）2004——2023年年普通生物化学2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004生命科学学院微生物学1999——2000，2003——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）遗传学1999——2000，2003，2023年年真菌学1999——2000普通植物生理学1999——2000，2003——2023年年植物学1999——2000，2003动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年分子遗传学1999——2000植物生理学2000，2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004植物解剖学2023年年普通生态学1999——2000，2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年普通微生物学2003——2023年年普通物理1999——2000，2003——2004数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000医学院病理学2004——2023年年人体解剖学2004——2023年年生理学2004——2023年年生物化学（医）2004——2023年年药理学2004——2023年年汉语言文化学院汉语2023年年古代汉语2002现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2002——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 语言学理论2023年年文学院文学基础2023年年中国古代文学2023年年人文社科基础2004——2023年年世界文学2023年年综合考试（文学）1999——2000文学综合1999——2000文艺理论1999——2000，2004——2023年年文艺评论2004——2023年年文艺写作2023年年文艺评论写作1999——2000中国文学史1998——2002第7 页/共22 页中国文学批评史1998——2001古代汉语2002现代汉语与古代汉语2003——2023年年古典文学文献学2004——2023年年语言学概论2023年年现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2003——2004语言理论基础（文学院）2003——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 汉语基础知识2004汉语知识2004中国文学史2003——2023年年人文地理学1999——2000传扬学2003传扬学原理2004——2023年年绘画基础与创作2004——2023年年美学原理2003——2023年年书法技法2003——2004书法史论2003——2004新闻学原理2004——2023年年艺术史论2004——2023年年艺术与设计史论2003——2023年年中外美术史论2003——2023年年专业设计（环境设计）2003专业设计（设计艺术学、环境设计专业）2004专业设计（设计艺术学、视觉设计）2023年年历史学院古代汉语2003——2023年年古代文献2003——2004古典文献学2004——2023年年拉丁美洲史2003——2004历史地理2004——2023年年历史文献学2004——2023年年历史学基础理论2023年年美国史2003——2004美国学综论2023年年明清史2003——2004史学史2023年年世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年世界上古中古史2003——2023年年世界通史2003——2023年年文物博物馆学2003——2023年年中国古代史2003——2023年年中国近现代史2003——2023年年中国史学史与史学理论2003——2004中国思想史2003——2023年年中国通史1994——1997，2003——2023年年中国文献学基础2003——2004中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年哲学系马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年宗教学概论2004——2023年年伦理学原理2004——2023年年美学概论2023年年第9 页/共22 页欧美哲学通史2003——2023年年西方哲学通史2023年年形式逻辑2003——2023年年中国哲学史2023年年中外哲学史2003——2023年年外国语学院二外日语2001——2023年年二外德语2001——2023年年二外法语2001——2023年年二外俄语2003——2023年年专业英语2000——2003，2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）（注：2023年年答案惟独英美文学部分，2023年年答案有英美文学部分和语言学部分）基础英语1997，2000——2023年年（1997，2004——2023年年，2023年年有答案）语言学基础2023年年（2023年年有答案）翻译2004（2004有答案）双语翻译与文学2004英美文学2004（2004有答案）语言学2004——2023年年（2004——2023年年有答案）二外英语2001，2003——2023年年，2023年年基础日语2001，2003——2023年年专业日语2001，2003——2023年年基础俄语2004——2023年年法学院刑法学2023年年法学综合（含法理学、宪法、民法、刑法、刑诉、民诉）2000——2023年年（2023年年试题有答案）民法与商法2003——2023年年，2023年年民法（民商法专业）2002民法（经济法专业）2002民法2000——2001（法理学）法学理论2023年年法学理论2003法制史（含中国法制史、外国法制史）2003——2023年年，2023年年国际法学（含国际经济法、国际公法、国际私法）2003——2023年年，2023年年国际经济法概论2000经济法与商法2003——2023年年，2023年年经济法1999诉讼法学（含行政诉讼法、刑事诉讼法、民事诉讼法）2004——2023年年，2023年年宪法学、行政法与行政诉讼法2003——2023年年，2023年年（2004有答案）环境法2023年年周恩来政府管理学院行政管理学2003——2023年年政策原理与政策分析2003——2023年年（2004有答案）国际关系史1999——2000，2003——2023年年国际关系学2003——2023年年国际关系概论1999——2000外交学概论与当代中国外交2004——2023年年外国政治制度史1999——2000政治学原理1999——2023年年中国政治制度史1999——2000中国通史1994——1997第11 页/共22 页中外政治思想史2003——2023年年中国政治思想史1999——2000，2002西方政治思想史1999——2000中外经济地理1999——2000世界近现代历史2002社会保障学2004——2023年年社会学理论2023年年社会学概论1995——2001，2003——2004社会调查主意与社会统计1995——2023年年社会工作2001环境学与环境法2004——2023年年西方经济学流派2004——2023年年（2004——2023年年有答案）心理学主意2004——2023年年（2004有答案）心理学基础2004——2023年年（2004有答案）马克思主义教诲学院马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年科学社会主义原理2004——2023年年专业综合基础理论（科学社会主义与国际共产主义运动理论专业）2004——2023年年思想政治教诲原理2003——2023年年中共党史2003——2023年年中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年中外哲学史2003——2023年年经济学院微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年第13 页/共22 页有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000综合基础课（保险）1999——2000金融学基础（联考）2002——2023年年（2002——2023年年有答案）商学院会计学综合2023年年——2023年年会计学综合考试1999——2000，2003——2023年年（2000，2003——2023年年有答案）财务管理1999——2000财务管理与管理会计1999——2000（1999——2000有答案）公司治理2023年年技术经济学2003——2023年年市场学1999——2000管理综合（含管理学、微观经济学）2003——2023年年（2003——2023年年有答案）（注：2023年年——2023年年的答案惟独管理学部分的答案，无微观经济学部分的答案）管理学概论2002信息系统技术1999——2000管理信息系统2003——2023年年旅游管理1999旅游学综合（旅游概论和旅游经济学）2001——2023年年旅游学概论1997企业人力资源开辟与管理1999——2000（1999——2000有答案）人文地理学1999——2000中外经济地理1999——2000计算机应用（设计程序、数据库系统）2004——2023年年编辑学2001出版学2001网络技术基础2001档案管理学2004——2023年年档案学概论2004——2023年年目录学（含目录学概论、中西文工具书）2003——2004文献目录学2023年年情报学（含情报学概论、科技文献检索、计算机情报检索）2003情报学（含情报学概论、信息检索）2004第15 页/共22 页情报学综合2023年年图书馆学理论2003——2023年年高等教诲研究所高等教诲原理2003——2023年年（2023年年有答案）经济学原理2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）高等教诲管理学2003——2023年年教诲社会学2004——2023年年教诲学原理2004——2023年年（2004有答案）普通心理学2003——2023年年（2004有答案）中国高等教诲史2003——2023年年经济与社会发展研究院专业综合（含微观经济学、区域经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）专业综合（宏观经济学、产业经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000第17 页/共22 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页/共22 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页/共22 页中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000。
南开大学2000-2010年数学分析考研试题解答
．
a
6
南开大学 2001 年数学分析考研试题解答
( ) ∫∫∫ 1.计算三重积分 x2 + y2 dxdydz ，其中 Ω 为由曲面 x2 + y2 = z 与平面 z = 4 为界
Ω
面的区域.
∫ ∫ 2.计算
π
2 dx
π 2
x
sin
y
dy
.
0
x
y
∫ 3.计算 I
=
L
x2
y +
y2
−
y dx −
证明：
（1）当α > 1时，
∞ an
∑ 收敛； Sα
n=1 n
（2）
当α
≤
1
，
且
lim
n→∞
Sn
=
+∞
时，
∞ an
∑ 发 Sα
n=1 n
散。
（3）
当α
≤ 1 ，且 ∑∞ an
n =1
∞ an
收敛时， ∑ Sα n=1 n
收
敛。
证明 对任意正整数 n ， an = Sn − Sn−1 ，
（ S0 = 0 ）， 因为 an > 0 ，所以 Sn−1 < Sn ， （ 1 ） 当 α >1 时 ， 利 用 不 等 式
∫ +∞
都收敛，但积分
∫ f (x, β )dx 发散，证明 +∞
f (x,u)dx 在[α , β ) 上非一致收敛
．
a
a
证明 用反证法
∫ 假若 +∞ f (x,u)dx 在[α , β ) 上一致收敛， a
所以 ∀ε
南开大学数学分析考研真题资料含答案解析
南开大学数学分析考研真题资料含答案解析南开大学数学分析考研复习都是有依据可循的,考研学子关注事项流程为：考研报录比-大纲-参考书-资料-真题-复习经验-辅导-复试-导师，缺一不可。
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南开大学2016年数学分析考研试题解答
南开大学2016年数学分析考研试题解答1.(15分)求定积分xdx en x ln 1⎰,Z n ∈.解:令t x =ln ,则[]1,0,∈=t x e t 且.则原积分化为dt t etn )1(10+⎰=11+n )()1(1etn d t +⎰=11+n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰++10)1(1dt e e t n n =11+n . 2.(20分)求曲线积分,2yzds L x -⎰其中L 是0=++z y x 和1222=++z y x 的交线.解:首先,根据对称性可知,=⎰ds Lx 2ds zy x L 22231++⎰=32π又有⎰-Lyzds =61-⎰++Lzxds yz xy 222=61-ds zy x z y x L2222)(---⎰++=3π 故原积分=-⎰yzds L x 23π+32π=π. 3.(15分)求)2(120121x xn n n +∑+∞=+的收敛域及和函数. 解:命()=x a n)2(12121x x n n +++,则()=+x a n 1)2(32321xx n n +++.故 ()()x x a a nn n 1lim +∞→=)2()2(lim 12323212x x x x n n n n n ++++∞→++=)2(2xx +, 故由Alembert d '判别法可知, 当)2(2xx +<1时所给的广义幂级数绝对收敛;当xx+2=-1时,由Leibnitz 判别法易知级数收敛.解上述关于x 的不等式即得此广义幂级数的收敛域为)[∞+-,1. 记()=x S )2(120121xxn n n +∑+∞=+,则易验证其在)(∞+-,1内一致收敛.因而()∑+∞=='02)2(n nxx x S =xx x 444442+++,)(∞+-∈∀,1x .两边对x 积分及结合()00=S 即可得到())1ln(4181432x x x S x +++=,)(∞+-∈∀,1x . 又由于()41π=-S ,即得()x S 表达式. 4.(15分)求)(y xy y x f y x 12469,22-++=在闭域D :)({}3669,22≤+y x y x 内的最大值.5.(15分)设()x f n 在I 上一致连续,且()x f n 一致收敛于()x f .证明:()x f 在I上一致连续.证明:由()x f n 一致连续知,0>∀ε,0>∃δ只要δ<-x x 21就有()()321ε<-x f x f nn.又由()x f n一致收敛于()x f 知,对上述,0>εN N ,+∈∃当N n >时,()()3ε<-x f x f n 对I x ∈成立.则有()()≤-x x f f 21()()+-x f x nf 11()()x f x f nn21-()()x x f f n22-+3ε<εεε=++33.由此知()x f 在I上一致连续.6.(15分)设()x f 在)(∞+,0上非负,对,0>∀A ()x xf 在][A ,0上可积,且()dx x f ⎰+∞收敛.证明:().01lim 0=⎰+∞→dx x xf A AA证明:()dx x f ⎰+∞0收敛知:,0>∀ε..,0t s M >∃()ε<⎰+∞dx x f M.取A,..M A t s >ε则()=⎰dx x xf A A1()=⎰dx x f AxA()()dx x f A x dx x f AxA A A ⎰⎰+εε()()dx x f dx x f AA A ⎰⎰+<εεε0()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎰+∞01dx x f ε 由此即可得证. 7.(20分)求极限+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx 解:注意到+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→e e x x x x x x 11ln 111ln 12lim ,则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→ee xx x x x x 11ln 111ln 12lim=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-+++∞→++e xxx x x x xx )111ln()1()11ln(211lim )111(=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→)11ln(111ln 1lim 21)111(x x x x x xxx , ()1 又有()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++)(21111111ln 1)11()11(22x x o x x x x ,as +∞→x ,及 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=+)1()1(21)11ln(22x x o x x x x ,as +∞→x .代入()1中即可得,+∞→x lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++)11()111(12x x x xx =2e .8.(20分)设二元函数)(y x f ,二阶可偏导，)({}1,22≤+=y x y x D 且.12222=∂+∂∂∂y xf f求证:dxdy y fy x f x D)(∂∂+∂∂⎰⎰=4π.证:先引进Laplacian f ∆,则.1=∆f我们只要考虑fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22即可.根据第二Green 公式可知,fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22=-dxdy y f y x f xD)(∂∂+∂∂⎰⎰+ds n Ly x ∂+⎰2(22, 其中L 方向为单位圆周沿逆时针方向，n 为外法向量.故dxdy y f y x f xD)(∂∂+∂∂⎰⎰=n L y x ∂+⎰2(22-fdxdy Dy x ∆+⎰⎰)2(22=ds n L ⎰∂21-dxdy Dy x ⎰⎰+)2(22=)(21dx y fdy x f L ∂∂-∂∂⎰-rdr d r ⎰⎰102202πθ =4π,证毕!9.(15分)已知()x f 在][1,0上连续,在)(1,0上可导.且()x f =()1+x f ,()0f =0,()x f '单调递减,对x ∀和Z n ∈∀,求证:()nx f ≤()x nf .证:)1由于()0f =0,故当0=x 时,()()x nf nx f =(Z n ∈∀).又()x f =()1+x f ,故()()1nf n f =也易验证.)2[]1,0∈∀x 注意到()nx f =()dtt f nx⎰'0=()dt t f nk kxx k ∑⎰=-'1)1(以及()x nf =()dt t f nk x∑⎰='1，因此只要证()dt t f kxxk ⎰-')1(≤()dt t f x⎰'0即可.N k +∈∀,若][][1,0,)1(⊂-kx x k ,根据()01≥-x k ,0≥kx 以及()x f '的递减性,上述不等式显然成立.若()x k 1-1<2<<kx (the case where1=kxis trivial),则有()dt t f kxxk ⎰-')1(=()()dt t f dt t f kxxk ⎰⎰'+'-11)1(=()()dt t f dt t f kx xk ⎰⎰--'+'101)1(将上述不等式左边减去右边,有()()dt t f dt t f kx xk ⎰⎰--'+'11)1(-()dt t f x⎰'0=()dt t f xk ⎰-'1)1(-()01≤'⎰-dt t f xkx ,此即所要证明的命题成立.。
2010年南开大学数学分析试题回忆版及解答
2010年南开大学数学分析考研试题(回忆版)1、求极限：)]11(ln )21[(242lim xx x x +--∞→（15分）2、求曲面积分⎰⎰+SdS z x )( ，其中S 是曲面az z x 222=+被22yx z +=截得的有限曲面。
（20分）3、求重积分⎰⎰⎰Dxyzdxdydz，其中D 是b xy a xy y x q z y x p z ==+=+=,),(),(2222x y x y βα==, (0<p<q,0<a<b, 0αβ<<) (20分)4、求级数和:∑∞=+13)2(n nn n (15分)5、判断级数12ln (1)np n nn∞+=-∑的敛散性和绝对收敛性.(15分)6 、(1)已知f(x)在闭区间[a,b]上连续，[,],x a b ∀∈对成立()[,],f x a b ∈求证：[a,b]内存在一点c ，使得f(c)=c(2)判断是否存在这样一个R 上的连续函数f （x ），使有理数的函数值为无理数，无理数的函数值为有理数。
(共20分) 7、已知f （x ）在[0,1]内二阶可导，且f(0)=0,f(1)=3，1)(min ]1,0[-=∈x f x ,求证：存在一点c 属于(0,1)，满足()18f c ''≥ (15分) 8、已知f(x)在[a,b]内二阶连续可导，且满足()|()|b b aaf x dx f x dx <⎰⎰设12[,][,]max |()|,max |()|x a b x a b f x M f x M ∈∈'''==,求证：2312()()()26b aM M f x dx b a b a ≤-+-⎰(15分)9、设)(x f 对一切b （+∞<<b 0）在],0[b 上可积，且α=+∞→)(lim x f x ，证明：α=⎰+∞-→+0)(lim dx x f et txt 。
南开大学701数学分析2014年考研专业课真题试卷
。
六、(20分·)求 证 : (1) 苎凵丝在 (0,+∞)不 一致收敛;
客
￡号竺在3;cD,连
;乒
七、(20分 )已 知r←)在 【O,+∞ )二 阶可导。
(1)设 Ⅱm r←)〓 1, ⒒m/″←)=0,求 证: Ⅱm/′Cjr)〓 0。
⒓)试 构造一个函数/【jr),使 得 lim/←)〓 1,但 Ⅱm/′←)不 存在。
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南开大学 zO14年硕士研究生入学考试试题
学 院:012数 学科学学院、011陈 省身数学研究所、010组合中心 考试科 目:701数 学分析 专 业:数 学学科下除数理经济外的各专业、统计学学科下各专业
豳 R谑膨 馅 箨 鸵 咖
止,筝创 龆 叻 脚
一、 (1① 分 )求极 限:Ⅱ里(蛎 -1)sh″ h刀 。
二、(10分 )求证: /(苈 ,`)〓
十三’
是二二维王 上自勺j连续函数。
{e^〃 ∶
∶[∶
Fl面
=、 (20分 )设 0(3(臼 c)0。 求点(0,0,c)到 曲面子=丢 +若:的 最/l、 距离。
四、(zO分
)设
曰,D,c)0,∑
是单位球面
`+/+'〓
1,取 外侧。求曲面积分:
吒
五、(20分 )计 算: 晷 黠
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南开大学年数学分析考研试卷答案
一、
设),,(x y x y x f w -+=
其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w .
解：令u =x +y ，v =x -y ，z =x ，则z v u x f f f w ++=；
)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w
二、
设数列}{n a 非负单增且a a n
n =∞
→lim ，证明
a a a a n
n n n n n =+++∞
→1
21][lim .
解：因为a n 非负单增，故有n
n n n
n
n n n n na a a a a 11
21)(][≤+++≤ .
由a a n
n =∞
→lim ；据两边夹定理有极限成立。
三、
设⎩
⎨⎧≤>+=0
,00),1ln()(2
x x x x x f α,试确定α的取值范围，使f (x )分别满足：
（1） 极限)(lim 0x f x +
→存在
（2） f (x )在x=0连续 （3） f (x )在x=0可导 解：（1）因为
)(lim 0x f x +
→=)1ln(lim
2
0x
x x ++
→α=)]()1(2[lim 221420n n
n x x o n
x x x x +-++-
-→+
α极限存在，则 2+α0≥知α2-≥.
(2)因为)(lim 0
x f x -
→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α
.
（3）0)0(='-
f 所以要使f(x)在0可导则1->α.
四、设f (x )在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关.
解；令U =22
y x
+，则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=2
1du u f l )(⎰又f (x )在R 上连续，故存
在F （u ）使d F (u )=f (u )du=ydy xdx y x f ++)(22. 所以积分与路径无关。
五、 设f(x)在[a,b]上可导，
0)2
(
=+b
a f 且
M
x f ≤')(,证明
2)
(4)(a b M
dx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
)2
)(()2(
)(),(b
a x f
b a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有
dx b
a x f dx x f b
a
b
a
)2
)(()(+-
'=
⎰
⎰
ξ2
2
2)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f b
b a b
a a
b a
-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。
∑n a n sin 发散
a) 证明∑收敛n an sin
b) 证明1l i m =∞→n
n
n v u 其中
1
(
s i n
s i n )
n
n k k
k u a k a k ==+∑；1(sin sin )n
n k k k v a k a k ==-∑.
证：（1）因为2
1sin 1sin ≤
∑k 而}{n a 单减而且收敛于0，根据狄利克莱判别法
知sin n a n ∑收敛
（2）因为正项级数∑n a n sin 发散则sin ()k a k n →∞→∞∑又由上题知
1
sin n
k k a k =∑有界，故有1lim
=∞→n
n
n v u
七、设dx x
x
e
t F tx
sin )(1⎰∞
+-= 证明
（1）dx x
x
e tx
sin 1
⎰
∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续
证：（1）因dx x
x
⎰∞+1
sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；
又tx
e
-在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥∀≤≤-t x e
tx
由阿贝尔判别
法知一致收敛
（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥∃+∞∈∀t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致
收敛，且由x
x
e
tx
sin -在（x,t ）],[),1[βα⨯+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连
续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证。