稳定判据和裕度
稳定裕度
最小相位系统的极坐标图与(-1,j0)点的接近程度可以分别用 极坐标图穿过负实轴的幅值和极坐标图幅值为1时的相角来表示。
j G(s平面
Ag
-1 g
c
→∞ 0
c
→0
定义极坐标图穿过负实轴(此时
()=－180° )对应的频率为相角穿 越频率,用g表示；
定义幅值A()=1对应的频率为幅 值穿越频率，用c表示。
-6.0
0.33
0
0.67
0.7
-3.1
0.96
0
1.37
0.8
-1.9
1.78
0
2.22
1.0
0
∞
0
∞
1.2
1.6
-3.327
0
2.73
1.4
2.9
-2.40
0
1.46
1.6
4.1
-1.64
0
1.03
1.8
5.1
-1.46
0
0.80
2.0
6.0
-1.33
0
0.67
3.0
9.6
-1.13
0
0.38
M=1.2
定的，除非－60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率
大于－40dB/dec，此时即使稳定，相位裕度 也是非常小的。
5.6 闭环系统的频率特性
5.6.1 用向量法求闭环频率特性 5.6.2 等幅值轨迹(等M圆)和等相角轨迹 (等N圆)
5.6.1 用向量法求闭环频率特性
对于单位反馈系统，闭环系统的频率特性F(j)和开环系统 的频率特性G(j)的关系为
2
2
若M≠1,上式变为:
稳定裕度
Nyquist稳定性判据是根据开环传递函数 G(jw)H(jw) 曲线是否包围GH平面 上的临界点( -1, 0 ) 判断闭环稳定性的。那末，能否根据函数 G(jw)H(jw) 曲 线离开( -1, 0 ) 判断闭环系统的相对稳定性呢？这就是本节的内容。 s 平面上的等 s 线和等 w 线在GH 平面上的映象见图。S 平面上，s = 0线 在 GH 平面的映象若穿过( -1, 0 ) ，意味着闭环有极点在虚轴上。若某–s 线穿过( -1, 0 ) 点，则意味着闭环有极点在–s 线上。用同样方法，也可以 解释等 w 线映象的意义。因此，GH平面上， ( -1, 0 ) 点在“映象网格”中 的位置就反映了闭环极点在s 平面上的位置，体现了其相对稳定性。 为了简便，实际中不进行等 s 线和等 w 线的网格映射，而直接采用GH平 面上( -1, 0 )到 G(jw)H(jw) 曲线的距离来判断闭环的相对稳定性。
习题5、 系统的开环传递函数为 KTT K G( s) H ( s) = , 1 2 1 s(T1s 1)(T2 s 1) T1 T2 试用乃奎斯特稳定判据判断系统的稳定性 K (T1 T2 ) G( jw) H ( jw) = 1 w 2 (T12 T22 ) w 4T12T22
)(1 j ) 0.01 5
w
) 0.1
w
w
20lg K 20lg 1 (
K 10 =1 100 1
1 2 1 2 1 ) 20lg 1 ( ) 20lg 1 ( ) 2 = 20lg1 0.1 0.01 5 10(1 10s) G ( s ) = K = 10 s(1 100s)(1 0.2s)
（3）幅值裕度在Bode 图中的等价表述
5.3-5.4奈氏判据和稳定裕度
如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s 平面右半部的所有零点和极点。
3. Nyquist稳定判据
• 设复变函数F(s) 在s平面的右半部有Z个零点和P个 极点。根据映射定理，当s 沿着s平面上的乃氏回 线移动一周时，在F(s) 平面上的映射曲线CF将按 逆时针方向围绕坐标原点旋转R = P－Z周。
• 如果开环稳定，即P=0，则闭环系统稳定的条件是： 映射曲线CF 围绕坐标原点的圈数为R=0。
• 根据系统闭环特征方程有
G( s) H ( s ) F ( s ) 1
F(s) 的 映 射 曲 线 CF 围 绕 原 点 运 动 情 况 ， 相 当 于 G(s)H(s)的封闭曲线CGH 围绕(－1，j0)点的运动情况 。
s lim e j
0
当ω从0- 沿小半圆变到0+ 时，s按逆时针方向旋转了 180°。
G(s)H(s)在其平面上的映射为
G(s) H (s)
s lim ei
0
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) s ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
s平面 q2
j
j1
jV
F(s) 0 U
p2
z1
0 p1 z2
q1 j2 s
封闭曲线包围z1时的映射情况
• 若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s) 的Z个零点，则 在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着 坐标原点旋转Z周； • 用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线Γs 包围了F(s) 的P个极点，则当s沿着Γs顺时针移动一 周时，在F(s) 平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向 围绕着原点旋转P周。
伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度
NdB20 lgN18 N7.94
这个结果接近于先前分析的结果 K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。
伯德图中的增益裕度和相角裕度
伯德图中的增益裕度
增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值 与增益K的分贝值之差。
GM Kc K
G d B M 2lK 0 g c 2lK 0 g
2型系统
GHsK s2b
GH jjK a2
如果 ka=1。对数幅频特性在当 ω =1时，其低频段或它的延长线会以 –40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。
Ka 的值可以通过测量ω = 1 处 的增益值来获得。
M db
40db/decad
e
20log10Ka
1
图.16.7 2 型系统的伯德图
获得最大值 Kmax=NK
1 1 2 0 l o g 1 0 N N 3 . 5 5 K 4 5 3 . 5 5 1 6 0
用劳斯阵列来验证结果： 特征方程为
( s 2 ) ( s 3 ) 2 K s 3 8 s 2 2 1 s 1 8 K 0
s3 :
1
21
s2 :
改进的奈奎斯特判据： 根据沿着频率增 加方向的频率特性，观察临界点是在 其左边还是右边通过，是由极坐标图 判断稳定性的唯一可靠的方法。
当 k > k1时， 系统是稳定的
Im
0
-1 Re
图.16.14 稳定系统的奈奎斯特图
例题 16.1
问题: 如图所示的系统， 画出当K=45时 的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 计算使系统稳定的最大K值， 并用劳斯阵 列验证其结果。
从根轨迹得到证实， 系统是条件稳定 的。
自动控制理论知识点总结
1.自控系统的基本要求：稳定性、快速性、准确性（P13）稳定性是由系统结构和参数决定的，与外界因素无关，这是因为控制系统一般含有储能元件或者惯性元件，其储能元件的能量不能突变。
因此系统收到扰动或者输入量时，控制过程不会立即完成，有一定的延缓，这就使被控量恢复期望值或有输入量有一个时间过程，称为过渡过程。
快速性对过渡过程的形式和快慢提出要求，一般称为动态性能。
准确性过渡过程结束后，被控量达到的稳态值（即平衡状态）应与期望值一致。
但由于系统结构，外作用形式及摩擦，间隙等非线性因素的影响，被控量的稳态值与期望值之间会有误差的存在，称为稳态误差。
+2.选作典型外作用的函数应具备的条件：1）这种函数在现场或试验室中容易得到2）控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能。
3）这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。
常用典型函数：阶跃函数，幅值为1的阶跃称为单位阶跃函数斜坡函数脉冲函数，其强度通常用其面积表示，面积为1的称为单位脉冲函数或δ函数正弦函数，f(t)=Asin(ωt-φ)，A角频率，ω角频率，φ初相角3.控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。
（P21）静态数学模型：在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程建立数学模型的方法：分析法根据系统运动机理、物理规律列写运动方程实验法人为给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用合适的数学模型去逼近，也称为系统辨识。
时域中的数学模型有：微分方程、差分方程、状态方程复域中的数学模型有：传递函数、结构图频域中的数学模型有：频率特性4.非线性微分方程的线性化：切线法或称为小偏差法（P27）小偏差法其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。
连续变化的非线性函数y=f（x），取平衡状态A为工作点，在A点处用泰勒级数展开，当增量很小时略去高次幂可得函数y=f（x）在A点附近的增量线性化方程y=Kx，其中K是函数f（x）在A 点的切线斜率。
自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨讲诉
图5－47绘出了K>1 和 K<1的两条闭合曲线，可见：
当K>1 时，曲线逆时针包围了（－1，j0）点1圈即R=1 闭环系统稳定；当K<1时，曲线未包围（－1，j0）点，即 R=0，闭环系统不稳定。
在本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而使闭环系 统不稳定，这是与常见的最小相位系统截然不同之处。
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：
1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式 之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数相同，均 为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是 GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。
负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及
其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω 从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
例5-8 设系统开环传递函数为
5.2 G(s)H (s) (s 2)(s2 2s 5)
图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像
例5-9 系统结构图如图5-46所示，试判断系统的稳定性并 讨论K值对闭环系统稳定性的影响。
图5-46 解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传递函数在 S平面右半部分有一个极点P＝1，频率特性曲线如图5－ 47所示。当ω ＝0时，曲线从负实轴（－K，j0）出发；当 ω→∞时，曲线以－90°渐近角趋于坐标原点；当ω从－∞ 变化到＋∞，频率特性（图中实线部分）及其镜像（虚线 部分）包围（－1，j0）点的圈数R与K值有关。
控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。
在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。
另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
控制工程基础第4版孔祥东课后习题答案
控制工程基础第4版孔祥东课后习题答案第一章控制系统概述1. 在控制系统中，反馈是什么？在控制系统中，反馈是指从输出端采集到的信息再反馈给输入端，用于校正系统输出与期望输出之间的误差。
通过反馈，控制系统可以对输出进行调整，以达到期望的控制效果。
2. 什么是开环和闭环系统？开环系统是指输出不会对系统的输入产生反馈影响的系统。
开环系统的控制过程是单向的，只能由输入来决定输出。
闭环系统是指输出会对系统的输入产生反馈影响的系统。
闭环系统的控制过程是双向的，可以通过输出的反馈来调整输入。
3. 开环控制和闭环控制有什么区别？开环控制和闭环控制的区别在于是否存在输出的反馈。
开环控制没有输出的反馈，输入和输出之间的关系是固定的，依赖于系统的数学模型。
闭环控制有输出的反馈，可以不断根据输出的反馈信息来调整输入，使输出更接近期望值。
开环控制的优点是简单、快速，但容易受到外界干扰的影响，稳定性较差。
闭环控制可以更精确地控制输出，具有较好的稳定性和鲁棒性。
4. 什么是控制对象和控制器？控制对象是指需要控制的物理系统或过程，它是待控制的主体。
控制对象可以是机械系统、电气系统、化工过程等等。
控制器是指用来控制控制对象的设备或算法。
控制器可以根据输入和反馈信息来计算出适当的输出，以实现对控制对象的控制。
5. 什么是开环传递函数和闭环传递函数？开环传递函数是指在开环控制下，从控制器的输入到控制对象输出之间的传递函数关系。
它反映了输入和输出之间的数学关系。
闭环传递函数是指在闭环控制下，从控制器的输入到控制对象输出之间的传递函数关系。
闭环传递函数考虑了输出的反馈，更准确地描述了控制系统的动态特性。
第二章传递函数与系统稳定性1. 什么是传递函数？传递函数是指输入和输出之间的数学关系函数，可以用来描述线性时不变系统的动态特性。
传递函数通常用符号G(s)表示，其中s为复变量。
传递函数可以通过对系统进行数学建模和信号处理等方法得到。
它可以表示系统的频率响应和时域响应等信息。
控制系统稳定性控制
控制系统稳定性控制控制系统的稳定性是指在系统输入和干扰的作用下，系统输出能够保持在一定范围内，并且不会发生剧烈的波动或不稳定的情况。
稳定性是控制系统设计和优化中的重要考虑因素，它直接关系到系统的性能和可靠性。
一、稳定性的基本概念在控制系统中，稳定性可以分为两类：绝对稳定性和相对稳定性。
绝对稳定性是指当系统的任何初始条件和参数变化都不会引起系统的输出超出一定范围，系统始终保持稳定。
相对稳定性是指系统在参数变化或干扰作用下，虽然会有一定的波动或震荡，但最终输出会趋于稳定。
二、稳定性判断的方法常用的判断控制系统稳定性的方法有两种：时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的状态方程或差分方程来判断系统的稳定性。
常用的判断方法有：极点位置判据、Nyquist稳定性判据、Hurwitz 稳定性判据等。
极点位置判据是指通过分析系统极点的位置来判断系统的稳定性。
当系统的所有极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
Nyquist稳定性判据是将控制系统的开环传递函数绘制在复平面上，通过分析曲线的轨迹来判断系统的稳定性。
Hurwitz稳定性判据是通过分析系统特征方程的Jacobi矩阵行列式来判断系统的稳定性。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率响应来判断系统的稳定性。
常用的判断方法有：Bode稳定性判据、Nyquist稳定性判据等。
Bode稳定性判据是通过分析系统的频率响应曲线的相角和幅值来判断系统的稳定性。
当系统幅值曲线超过0dB的频率点相角为-180°时，系统是稳定的。
三、控制系统稳定性的控制方法为了保证控制系统的稳定性，通常采取以下方法进行控制：1. 增加稳定裕度稳定裕度是指系统在保持稳定的前提下，对参数变化或负载波动的容忍能力。
通过增加稳定裕度，可以提高系统的鲁棒性和可靠性。
常用的方法有：采用PID控制器、增加系统正反馈等。
2. 优化控制器参数优化控制器参数是通过对系统的传递函数进行分析和调节，使系统的性能指标达到最优。
河南理工大学自动控制原理第5章 第3讲 Nyquist稳定性判据及稳定裕度2012
R= F(s)|开环右半极点数 −F(s)|右半零点数 =P-Z
K
试判断闭环系统的稳定性。
s(T1s + 1)(T2 s + 1)
解 系统的开环频率特性为
G ( jω )H ( jω ) =
K
jω (1 + jω T1 )(1 + jω T2 )
[解]：显然这是I型系统。先根据奈
氏路径画出完整的映射曲线。
ω = 0−
从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以R=1-1=0，而P = 0 ， 故 Z = P − R = 0 ，闭环系统是稳 定的。
ω = +∞ −1 ω = −∞
ω = 0+
21
[例5]某最小相位系统的开环频率特性 如下图所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定性。
（3）若R≠P，则系统闭环不稳定，在右半平面的极点数 Z=P-R
（4）若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L 个极点分布在s平面的虚轴上。
13
[例1] 设单位反馈系统的开环传递函数如下如示，试
用奈氏判据判定闭环系统的稳定性。G ( s) =
K
(T1 s + 1)(T 2 s + 1)
容易看出： δ ∠(s－z1)＝－2π
δ ∠(s－zi )＝0 (i＝2,3)
δ ∠(s－pj )＝0 ( j＝1,2,3)
控制系统的频率特性分析
【实验名称】控制系统的频率特性分析【实验目的】1) 掌握运用MATLAB 软件绘制控制系统波特图的方法； 2) 掌握MATLAB 软件绘制奈奎斯特图的方法； 3) 利用波特图和奈奎斯特图对控制系统性能进行分析。
【实验仪器】1) PC 机一台 2) MATLAB 软件【实验原理】1. 奈奎斯特稳定判据及稳定裕量（1）奈氏（Nyquist ）判据：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈数R 等于开环传递函数右半s 平面的极点数P , 即R=P ;否则闭环系统不稳定, 闭环正实部特征根个数Z 可按下式确定Z=P-R=P-2N （2）稳定裕量利用)()(ωωj H j G 轨迹上两个特殊点的位置来度量相角裕度和增益裕度。
其中)()(ωωj H j G 与单位圆的交点处的频率为c ω（截止频率）；)()(ωωj H j G 与负实轴的交点频率为x ω（穿越频率）。
则相角裕度：)(180)()(180c c c j H j G ωϕωωγ+=∠+= 增益裕度：)(1)()(1x x x A j H j G h ωωω==（对数形式：)(lg 20)()(lg 20x x x A j H j G h ωωω-=-= 2. 对数频率稳定判据将系统开环频率特性曲线分为幅频特性和相频特性，分别画在两个坐标上，横轴都用频率ω，纵轴一个用对数幅值和相角，这两条曲线画成的图就是Bode 图，即对数频率特性图。
因为Bode 图与奈氏图有一一对应关系，因此，奈氏稳定判据就可描述为基于Bode 图的对数频率稳定判据：（1）开环系统稳定，即开环系统没有极点在正右半根平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对180-线正负穿越次数相等，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
（2）开环系统不稳定，有P 个极点在正右半平面，如果其对数幅频曲线大于0dB 的区域内，相频曲线对180-线正穿越次数大于负穿越次数P/2，闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。
系统的稳定性nyquist判据以及bode判据资料
g
-
负相位裕度
g
L )
Im
L )
正幅值裕度
负幅值裕度
负相位裕度
c
Kg
Kg
c
Re G(j) -1
)
1
Re
)
1 Kg
负幅值裕度
不稳定系统
1 1 Kg
-
g
-
负相位裕度
g
正相位裕度
0
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
s
Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
闭环系统稳定的充要条件是，当 从0变到 ﹢∞时，在[GH]平面上系统的开环频率特性逆 时针包围（-1，j0）点N 圈 , 计算Z=P-2N，若Z=0 说明闭环特征根不在复平 面右半侧，则系统稳定
若Z≠0，说明闭环系统有Z个特征根在复平面右 半侧，系统不稳定。
负幅值裕度
Im
Kg相同但稳定程度不同的两 条开环Nyquist曲线 它们具有相同的幅值裕度，但 系统I的稳定性不如系统II的稳 定性。因此需要增加稳定性的 性能指标，即相位裕度
(-1,j0)
0
0
Re
II
2. 相位裕度
定义为π 加上Nyquist曲线上幅值为1这一点的相角 ，此 时ω=ωc 称为幅值穿越频率。
自动控制原理
对比
• 劳斯判据
闭环传递函数
• nyquist判据 开环传递函数判断对应的闭 环系统的稳定性
Nyquist 稳定判据
• 利用系统的开环传递函数绘制的nyquist图，判断相应的闭 环系统的稳定性。
稳定性分析与稳定裕度
稳定性分析与稳定裕度稳定性是指系统在受到内外部扰动时能否回到平衡状态的能力。
稳定裕度则是指系统能够容忍的扰动大小。
在工程领域中，稳定性分析和稳定裕度的研究对于保障系统的安全可靠性至关重要。
本文将介绍稳定性分析与稳定裕度的概念、计算方法以及其在不同领域的应用。
一、稳定性分析的概念稳定性分析是一种评估系统稳定性的方法。
它可以通过分析系统的特性和参数来判断系统在遭受外界扰动时是否能够保持平衡。
在稳定性分析中，常用的方法包括等效线性化、Bifurcation分析、Lyapunov稳定性分析等。
等效线性化是一种常见的稳定性分析方法。
它通过将非线性系统在某一特定工作点附近进行线性化处理，得到等效线性系统，并通过研究其特征根来判断系统的稳定性。
Bifurcation分析则是研究系统在参数变化过程中平衡点的分岔情况，以此来判断系统是否存在稳定性转变。
而Lyapunov稳定性分析则是利用Lyapunov函数的性质来评估系统的稳定性。
二、稳定裕度的计算稳定裕度是评估系统稳定性的指标之一。
它是指系统在遭受一定范围内的扰动时能够保持稳定的能力。
稳定裕度的计算通常涉及到系统的摄动响应和性能指标的定义。
摄动响应是指系统在受到扰动时的响应情况。
常见的稳定裕度指标包括幅值裕度和相位裕度。
幅值裕度是指系统在受到特定幅值的扰动时，输出信号的幅值与输入信号幅值之间的差值。
相位裕度则是指系统在受到特定相位的扰动时，输出信号相位与输入信号相位之间的差值。
稳定裕度的计算与系统的数学模型和特性密切相关。
在实际工程中，可以通过仿真实验或实际测试来获取系统的摄动响应，从而计算稳定裕度。
此外，还可以通过建立数学模型，利用控制理论和信号处理方法来计算稳定裕度。
三、稳定性分析与稳定裕度的应用稳定性分析与稳定裕度的研究在众多领域中都有广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：1.电力系统稳定性分析：电力系统中存在较大的复杂性和不确定性，稳定性分析可以帮助评估系统的动态响应和抗干扰能力，为电力系统的设计和运行提供指导。
乃奎斯特稳定判据对数稳定判据和稳定裕度
在右半s平面内有一个极点 s 1
4K
1 K
Re
P 1 因此开环系统是不稳定的
图5-45表明 H (s)G(s)
轨迹逆时针方向包围-1+j0一次
0
R 1 Z RP0
图5-45 H ( j)G( j) 极坐标图 没有零点位于右半s平面内，闭环系统是
说明 1 H (s)G(s) 稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是 回路闭合后，变成稳定系统的例子。 27
例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)
(T1T2 s 2
K T2s 1)(T3s
1)
式中 K ,T1,T 2和T3
均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数
T1,T 2和T3 之间满足什么关系？
解 ： G( j)
K
[T1T2 ( j)2 T2 j 1](T3 j 1)
4
5.5.2影射定理 设 F(s) 为两个s的多项式之比，并设P为 F(s) 的极点数，Z为
F(s) 的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内， 且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过
F(s) 的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到 F(s) 平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时 在 F(s) 平面上，相应的轨迹顺时针包围F(s) 原点的总次数R等于Z-P。
5
若R为正数，表示 F(s) 的零点数超过了极点数； 若R为负数，表示 F(s) 的极点数超过了零点数。 在控制系统应用中，由 H (s)G(s) 很容易确定
F(s) 1 H (s)G(s) 的P数。因此，如果， F(s) 的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数 很容易确定。
自动控制原理稳定边界知识点总结
自动控制原理稳定边界知识点总结自动控制原理是现代控制工程学中最重要的一门课程之一，它研究的是系统的稳定性和稳定性边界。
稳定性边界是指系统在稳定与不稳定之间的边界，也是系统在不同参数设置下的临界点。
了解和掌握稳定边界知识点对于理解和设计控制系统至关重要。
本文将对自动控制原理稳定边界的相关知识点进行总结。
一、稳定性概念与判据在自动控制系统中，稳定性是指系统在任何初始状态下，经过一段时间的调整后，能够达到平衡状态或者在有限范围内波动。
稳定性判据有两种常见的方法：时域法和频域法。
1. 时域法时域法是根据系统输出的响应来判断系统的稳定性。
根据系统的传递函数，可以通过判断系统的极点位置来得出稳定性的结论。
稳定的系统应该具有所有极点的实部为负的特性。
2. 频域法频域法是通过分析系统函数在复平面上的极点和零点的位置来判断系统的稳定性。
常用的频域法有奈奎斯特准则和Nyquist图。
二、稳定边界的相关概念稳定边界是指系统在参数变化的过程中，从稳定到不稳定的过程中的临界点。
与稳定性判据相比，稳定边界更能揭示系统的稳定性特性。
1. 临界稳定系统临界稳定系统是指系统的稳定边界上一种特殊的情况，此时系统刚好处于稳定与不稳定之间。
临界稳定系统的特点是系统的相角频率特性在临界点处有90°的相移。
2. 相角裕度和增益裕度相角裕度和增益裕度是用来衡量系统稳定边界的两个重要指标。
相角裕度是指系统阶跃响应曲线的相位与稳定边界的相位差，增益裕度是指系统在稳定边界上下降3dB时的增益余量。
三、改善系统稳定性的方法为了提高系统的稳定性和降低稳定边界，可以采取一些改善措施。
1. 增加系统的阻尼通过增加系统的阻尼，可以减小系统的振荡幅值，提高系统的稳定性。
常用的增加阻尼的方法有增加阻尼器和减小系统的增益等。
2. 设计合适的控制器合理的控制器设计是提高系统稳定性的关键。
可以采用比例控制器、积分控制器和微分控制器等来控制系统的响应特性，进而改善系统的稳定性。
第13讲稳定判据和裕度
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常 值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
4
静态位置误差常数的确定
1
图5-32 j(1 jT ) 极坐标图
29
5.3.4 传递延迟 G( j) e jT G( j) 1 cosT j sin T
Im
e jT
Im
1 00Re当 1T时，
1
1 jT
0
Re
低频区
e jT 1 jT 低频时传递延迟与一阶环节的特性相似
1 1 jT 1 jT
当 1 时 两者存在本质的差别 30
1 1型系统：在总的相角中 90 的相角是 j 项产生的
0 极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段
幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个 坐标轴相切。
31
2 2型系统：
nm2 在总相角中180 的相角是由 ( j)2 项产生的
nm3
Re 0
如果 G( j) 的分母多项式阶次
极坐标图上，距原 点最远的频率点，
相应于谐振频率 r
这时 G( j) 的峰值
-3
-4
-5
n
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
可以用谐振频率 r
处的向量幅值，与 0 处向量幅值之比来确定。
19
过阻尼情况
当 增加到远大于1时，
G( j) 的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻
系统的稳定性常见判据
例4
(4s 1) G(s)H (s) s2(s 1)(2s 1)
P=1
P=0
稳定
1 22
G( j)H( j)
10.6
1/ 2 2
不稳定
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例1 P=0
G(s)H(s)
K
(T1s 1)(T2 s 1)
不论K取任何正值，系统总是稳定的
2. 不稳定现象的存在是由于反馈作用 3. 稳定性是指自由响应的收敛性
定义：
无输入时的初态
系统在初始状态作用下
输入引起的初态
输出
收敛（回复平衡位置）
（响应） 发散（偏离越来越大）
系统稳定 系统不稳定
2. 系统稳定条件
线性定常系统：
anxo(n) (t )
an
1
x ( n1) o
(
t
)
a1
x o(
➢ 减小K值，使G(j)H(j)减小，曲线①有可能因模减小， 相位不变，而不包围(－1，j0），因而系统趋于稳定。
➢ 若K不变，亦可增加导前环节的时间常数T4、T5使相位减 小，曲线①变成曲线②。由于曲线②不包围点(－1，j0),故 系统稳定。
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例4
G(s)H(s)
sn
an1 an
sn1 a1 an
s
a0 an
(s s1 )( s s2 )(s sn )
s1,s2,…,sn：特征根
n
n
n
因为
(s s1 )( s s2 )(s sn ) sn ( si )sn1 ( si s j )sn2 (1)n si
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图5-24 某2型系统对数幅值曲线
20 log Ka
证明
G(
j)
(
Ka
j)2
,
1
20 log
(
Ka
j)2
1
20 log
Ka
9
dB
斜率为 40dB / dec
的起始线段/或其延长线与 0分贝线的交点的频率为
0
a 在数值上等于 Ka
的平方根 证明
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
G( j) j
-3
90
-3.5
-4
所以
G( j)
1
j
-4.5
-5
的极坐标图是
-3
负虚轴。
G( j) j
的极坐标图是正虚轴。
Nyquist Diagram
0
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-26 积分因子极坐标图
13
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 5
4.5
j
斜率为 20dB / dec 的起始线段/或
20 log
Kv
j
1 1
20 log
Kv
其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 K v
证明 设交点上的频率为1
Kv 1
j1
Kv 1
6
30
-20dB/dec
20
2
10
0
2 -40dB/dec
1
-10
3
-20
-30
-40
0
1
2
10
10
10
7
G(s) K s(Ts 1)
a Ka
1
( 对数坐标 )
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
20
log
(
Ka
ja
)2
20log1 0
a Ka
10
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
G( j)可用幅值 G( j) 和相角()
的向量表示。当输入信号的频率
由零变化到无穷大时，向量 G( j)
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数
在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数
最小相位系统 具有最小相位传递函数的系统
非最小相位系统 具有非最小相位传递函数的系统
请看例子
2
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差 常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。
对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有 意义。
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常 值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
3
静态位置误差常数的确定
的幅值和相位也随之作相应的变化， 其端点在复平面上移动的轨迹称为极 坐标图。 在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开 始，以逆时针/顺时针旋转来定义的
11
采用极坐 标图的优 点是它能 在一幅图 上表示出 系统在整 个频率范 围内的频 率响应特 性。
Imag Axis
2
Im
1
Re[G( j)]
0
-1 G( j)
1)
j 1)
G( j) 在低频段等于 K p ，即
lim
0
G(
j)
K
p
4
30 20logK cf1_dB=23.5218252
20 -20dB/dec
10
cf2_dB=9.5424251
0
-10
-40dB/dec
-20
-30
cf3_dB=-30.4575749
-40
10-1
100
101
G(s)
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特频性域研分究析线法性系统的经典方法称为频域分析法。
频率特性及其表示法 典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
1
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数
-0.5
0
-1
1
-1.5
T
-2
-2.5
-3
-1.5
-1
.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
图5-28
一阶因子
G( j) 1 1 j
极坐标图
G( j)
15
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
在伯德图上 log 1 log 3 log 3 log 2
8
3 点恰好是2 点与 1 点的中点
静态加速度误
dB
差常数的确定
斜率为 40dB / dec
的起始线段/或其
0
延长线，与 1
的直线的交点具 有的幅值为
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
a Ka
1
( 对数坐标 )
15
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
5
(s 1)(0.2s 1)
静态速度误差常数的确定
图5-23为一个1型系统对 数幅值曲线的例子。
斜率为 20dB / dec的起始线段/或其延长线，与 1
的直线的交点具有的幅值为 20 log Kv 证明 在1型系统中G( j) Kv , 1
30
-20dB/dec
20
2
转，角频率为 2 斜率为 10
0
40dB / dec 的直线
与，/或其延长线与0分
-10
贝线的交点为 3
-20
由此得到 1 Kv K
-30
2
1 T
32
K T
-40
0
10
2 -40dB/dec
1
3
1
2
10
10
12 32
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线
1 3 3 2
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-27 微分因子极坐标图
14
5.3.2一阶因子
G( j) 1 1 jT
1
arctgT
1 (T )2
G( j0) 1 0
G( j 1 ) 1 45 T2
G( j) 0 180
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 0
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G(s)
K (T1s 1)(T2s 1) (Tms 1) s (T1s 1)(T2s 1) (Tn s 1)
图5-21单位反馈控制系统
G(
j)
(
K (T1 j 1)(T2 j 1) (Tm j j) (T1 j 1)(T2 j 1) (Tn
-2
2
3 ()
Re
Im[G( j)]
-3
-4
1
0
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
但它不能清楚地表明开环传递函 图5-25 极坐标图
数中每个因子对系统的具体影响
12
5.3.1积分与
微分因子
0
G( j) 1 j 1 j
-0.5 -1
-1.5
1
90
-2
Imaginary Axis
-2.5