稳定判据和裕度

R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G(s)
K (T1s 1)(T2s 1) (Tms 1) s (T1s 1)(T2s 1) (Tn s 1)
图5-21单位反馈控制系统
G(
j)
(
K (T1 j 1)(T2 j 1) (Tm j j) (T1 j 1)(T2 j 1) (Tn
在伯德图上 log 1 log 3 log 3 log 2
8
3 点恰好是2 点与 1 点的中点
静态加速度误
dB
差常数的确定
斜率为 40dB / dec
的起始线段/或其
Biblioteka Baidu
0
延长线，与 1
的直线的交点具 有的幅值为
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
a Ka
1
( 对数坐标 )
对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有 意义。
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常 值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
3
静态位置误差常数的确定
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
20 log Ka
证明
G(
j)
(
Ka
j)2
,
1
20 log
(
Ka
j)2
1
20 log
Ka
9
dB
斜率为 40dB / dec
的起始线段/或其延长线与 0分贝线的交点的频率为
0
a 在数值上等于 Ka
的平方根 证明
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特频性域研分究析线法性系统的经典方法称为频域分析法。
频率特性及其表示法 典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
1
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数
15
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
5
(s 1)(0.2s 1)
静态速度误差常数的确定
图5-23为一个1型系统对 数幅值曲线的例子。
斜率为 20dB / dec的起始线段/或其延长线，与 1
的直线的交点具有的幅值为 20 log Kv 证明 在1型系统中G( j) Kv , 1
1)
j 1)
G( j) 在低频段等于 K p ，即
lim
0
G(
j)
K
p
4
30 20logK cf1_dB=23.5218252
20 -20dB/dec
10
cf2_dB=9.5424251
0
-10
-40dB/dec
-20
-30
cf3_dB=-30.4575749
-40
10-1
100
101
G(s)
-2
2
3 ()
Re
Im[G( j)]
-3
-4
1
0
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
但它不能清楚地表明开环传递函 图5-25 极坐标图
数中每个因子对系统的具体影响
12
5.3.1积分与
微分因子
0
G( j) 1 j 1 j
-0.5 -1
-1.5
1
90
-2
Imaginary Axis
-2.5
G( j) j
-3
90
-3.5
-4
所以
G( j)
1
j
-4.5
-5
的极坐标图是
-3
负虚轴。
G( j) j
的极坐标图是正虚轴。
Nyquist Diagram
0
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-26 积分因子极坐标图
13
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 5
4.5
30
-20dB/dec
20
2
转，角频率为 2 斜率为 10
0
40dB / dec 的直线
与，/或其延长线与0分
-10
贝线的交点为 3
-20
由此得到 1 Kv K
-30
2
1 T
32
K T
-40
0
10
2 -40dB/dec
1
3
1
2
10
10
12 32
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线
1 3 3 2
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数
在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数
最小相位系统 具有最小相位传递函数的系统
非最小相位系统 具有非最小相位传递函数的系统
请看例子
2
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差 常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。
a Ka
1
( 对数坐标 )
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
20
log
(
Ka
ja
)2
20log1 0
a Ka
10
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
G( j)可用幅值 G( j) 和相角()
的向量表示。当输入信号的频率
由零变化到无穷大时，向量 G( j)
j
斜率为 20dB / dec 的起始线段/或
20 log
Kv
j
1 1
20 log
Kv
其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 K v
证明 设交点上的频率为1
Kv 1
j1
Kv 1
6
30
-20dB/dec
20
2
10
0
2 -40dB/dec
1
-10
3
-20
-30
-40
0
1
2
10
10
10
7
G(s) K s(Ts 1)
的幅值和相位也随之作相应的变化， 其端点在复平面上移动的轨迹称为极 坐标图。 在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开 始，以逆时针/顺时针旋转来定义的
11
采用极坐 标图的优 点是它能 在一幅图 上表示出 系统在整 个频率范 围内的频 率响应特 性。
Imag Axis
2
Im
1
Re[G( j)]
0
-1 G( j)
-0.5
0
-1
1
-1.5
T
-2
-2.5
-3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
图5-28
一阶因子
G( j) 1 1 j
极坐标图
G( j)
15
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-27 微分因子极坐标图
14
5.3.2一阶因子
G( j) 1 1 jT
1
arctgT
1 (T )2
G( j0) 1 0
G( j 1 ) 1 45 T2
G( j) 0 180
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 0