指数函数ppt课件演示文稿
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第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
解析： 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴 上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
《指数函数的概念》课件
2023
REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础，而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中，人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数，可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中，放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数，可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$，其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$，其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$，则 $x = log_a y$
对数函数的性质
REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础，而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中，人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数，可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中，放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数，可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$，其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$，其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$，则 $x = log_a y$
对数函数的性质
指数函数ppt课件
04
指数函数的应用
在金融领域的应用
复利计算
股票和期货价格预测
在金融领域，复利计算是评估投资回 报的重要方式。指数函数用于计算复 利，通过复利公式，可以计算出投资 的未来价值。
在股票和期货市场中，指数函数常用 于价格预测模型。通过分析历史数据 ，利用指数函数可以预测未来的价格 走势。
保险精算
在保险行业中，指数函数用于精算模 型，例如生命表和风险评估。通过指 数函数，保险公司可以预测未来的风 险和损失。
指数函数和三角函数在某些方面具有 相似性，例如在周期性和对称性方面 。
三角函数的图像具有对称性，例如正 弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称 ，而指数函数的图像则关于y=1对称 。
三角函数具有周期性，而指数函数在 形式上也可以表示为具有周期性的形 式。
06
练习题与答案解析
基础练习题
定义域和值域
指数函数的定Leabharlann 域和值域分别是什么？指数函数的起源与历史
起源
指数概念最早可以追溯到古代数学家和天文学家的著作中，但现代意义上的指 数函数则是在17世纪由数学家约翰·纳皮斯和费马等人提出。
历史发展
随着数学和科学技术的不断发展，指数函数的概念和应用范围也在不断扩展和 深化。在复数、微积分、线性代数等领域中，指数函数都扮演着重要的角色。
02
指数函数与幂函数的关系
指数函数和幂函数具有相似的 形式，即y=a^x和y=x^a。
当a>0时，指数函数和幂函数 的图像都是单调递增的；当 a<0时，指数函数和幂函数的 图像都是单调递减的。
指数函数和幂函数的定义域都 是全体实数集R，值域都是正 实数集(0,+infty)。
指数函数与三角函数的关系
指数函数的概念PPT课件.ppt
4.截距:在 x 轴上没有,在y 轴上为1.
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
高中数学《指数函数》ppt课件
课件•指数函数基本概念与性质•指数函数运算规则与技巧•指数函数在生活中的应用举例•指数函数与对数函数关系探讨目录•指数方程和不等式求解技巧•总结回顾与拓展延伸01指数函数基本概念与性质指数函数定义及图像特点指数函数定义形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
指数函数图像特点当a>1时，图像上升；当0<a<1时，图像下降。
图像均经过点(0,1)，且y轴为渐近线。
指数函数性质分析指数函数的值域为(0,+∞)。
当a>1时，指数函数在R上单调递增；当0<a<1时，指数函数在R上单调递减。
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
指数函数没有周期性。
值域单调性奇偶性周期性常见指数函数类型及其特点自然指数函数底数为e（约等于2.71828）的指数函数，记为y=e^x。
其图像上升速度最快，常用于描述自然增长或衰减现象。
幂指数函数形如y=x^n（n为实数）的函数，当n>0时图像上升，当n<0时图像下降。
特别地，当n=1时，幂指数函数退化为线性函数y=x。
对数指数函数底数为a（a>0且a≠1）的对数函数和指数函数的复合函数，记为y=log_a(a^x)=x。
其图像为一条直线，斜率为1，表示输入与输出之间呈线性关系。
复合指数函数由多个基本指数函数通过四则运算组合而成的复杂函数。
其性质取决于各基本函数的性质及组合方式。
02指数函数运算规则与技巧$a^m times a^n =a^{m+n}$，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
乘法法则除法法则幂的乘方法则$a^m div a^n =a^{m-n}$，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
$(a^m)^n =a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
030201同底数指数运算法则$a^m times b^m =(a times b)^m$，不同底数幂相乘，指数不变，底数相乘。
乘法法则$a^m div b^m =(a div b)^m$，不同底数幂相除，指数不变，底数相除。
《指数函数及其性质》课件
指数函数中的底数 a 必须为正 实数且 a ≠ 1，自变量 x 可以 是实数或复数。
当 a > 1 时，函数是增函数； 当 0 < a < 1 时，函数是减函 数。
指数函数的基本形式
指数函数的基本形式为 y = a^x，其 中 a 为底数，x 为自变量。
指数函数的定义域和值域分别为全体 实数和正实数集。
CATALOGUE
指数函数与其他函数的比较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，其图像为直线 。指数函数与线性函数在 某些特性上存在显著差异 ，例如增长速度和斜率。
增长速度
线性函数在x增大时，y以 固定斜率增长；而指数函 数在x增大时，y的增长速 度会越来越快。
斜率
线性函数的斜率是固定的 ，而指数函数的斜率（即 函数的导数）会随着x的增 大而减小。
和第三象限。
指数函数的图像是连续的，但在 x = 0 处存在垂直渐近线。
02
CATALOGUE
指数函数的性质
增减性
总结词
指数函数的增减性取决于底数a的取 值范围。
详细描述
当a>1时，指数函数是增函数，即随 着x的增大，y的值也增大；当0<a<1 时，指数函数是减函数，即随着x的增 大，y的值减小。
奇偶性
总结词
奇函数和偶函数的性质可以通过指数函数的定义来判断。
详细描述
如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则它是奇函数；如果满足f(-x)=f(x)，则它是偶 函数。对于形如f(x)=a^x的指数函数，当a>0且a≠1时，它是非奇非偶函数； 当a=1时，它是偶函数；当a=-1时，它是奇函数。
值域和定义域
与幂函数的比较
指数函数课件(共16张PPT)
问题情境： 一种放射性物质不断变化为其他物质，毎经过一
年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩 留量随时间变化的函数解析式。
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
我们设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y．则 经过1年，y=1×84%=0.84； 经过2年，y=1×0.84×0.84=0.84； 经过3年，y=1×0.84×0.84×0.84=0.84； …… 一般地，经过x年，
y=0.84x.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
用描点法画出图象（图4-2).
从这个函数的对应值表和图象，可看到
y=2x在（-
,+
）上是增函数，y
1 2
x
在（-,+ ）上是减函数．这两个函数
的任意函数值y都大于0，且它们的图象
都经过点（0,1）.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
1.02365≈? 1.01365≈? 0.99365≈? 借助计算器，我们可以算得： 1.02365≈1377.41 1.01365≈37.78 0.99365≈0.03 1.02365×1.01365≈52043.22 1.01365×0.99365≈0.96 对比上述计算结果，你能感受到指数运算的“威力”吗？
年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩 留量随时间变化的函数解析式。
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
我们设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y．则 经过1年，y=1×84%=0.84； 经过2年，y=1×0.84×0.84=0.84； 经过3年，y=1×0.84×0.84×0.84=0.84； …… 一般地，经过x年，
y=0.84x.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
用描点法画出图象（图4-2).
从这个函数的对应值表和图象，可看到
y=2x在（-
,+
）上是增函数，y
1 2
x
在（-,+ ）上是减函数．这两个函数
的任意函数值y都大于0，且它们的图象
都经过点（0,1）.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
1.02365≈? 1.01365≈? 0.99365≈? 借助计算器，我们可以算得： 1.02365≈1377.41 1.01365≈37.78 0.99365≈0.03 1.02365×1.01365≈52043.22 1.01365×0.99365≈0.96 对比上述计算结果，你能感受到指数运算的“威力”吗？
指数函数课件演示文稿
指数函数课件演示文稿
第一页，共21页。
优选指数函数课件ppt
第二页，共21页。
教学目标 : （一）教学目标
1、指数函数
2、指数函数的图象、性质
（二）能力要求：
1、理解指数函数的概念 2、掌握指数函数的图象、性质 3、通过数形结合，利用图象来认识指数函数的性质。
教学重点:
指数函数的定义、性质和图象
①、 1.72.5 ,1.73
②、
3 4
1
6
,
4 3
1 5
解：① 函数y 1.7x 在(, )是增函数，
又 2.5 3，
②
4
1 5
3
1
3 5 4
又 1 1， 65
1.72.5 1.73
函数y
3 4
x
在R是减函数，
1
3 6 4
4
1 5
3
第十七页，共21页。
11
③、 a3和a2，（a 0, a 1)
一般地，函数
y ax (a 0, a 1)
叫做指数函数（exponential function),它的定义 域 为R。
第七页，共21页。
探究1：为什么要a>o，a≠1呢？
0
1
a
当a0时，a x
有些会没有意义，如
1
22
, 02
等都没有意义；
而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.
关于指数函数的定义域：
3.自左向右图象
象 逐渐上升
3.自左向右图象逐
渐下降
1.定义域为R，值域为(0,+).
2.当x=0时，y=1
性 3.在R上是增函 3.在R上是减
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优选指数函数课件ppt
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教学目标 : （一）教学目标
1、指数函数
2、指数函数的图象、性质
（二）能力要求：
1、理解指数函数的概念 2、掌握指数函数的图象、性质 3、通过数形结合，利用图象来认识指数函数的性质。
教学重点:
指数函数的定义、性质和图象
①、 1.72.5 ,1.73
②、
3 4
1
6
,
4 3
1 5
解：① 函数y 1.7x 在(, )是增函数，
又 2.5 3，
②
4
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3
1
3 5 4
又 1 1， 65
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函数y
3 4
x
在R是减函数，
1
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4
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11
③、 a3和a2，（a 0, a 1)
一般地，函数
y ax (a 0, a 1)
叫做指数函数（exponential function),它的定义 域 为R。
第七页，共21页。
探究1：为什么要a>o，a≠1呢？
0
1
a
当a0时，a x
有些会没有意义，如
1
22
, 02
等都没有意义；
而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.
关于指数函数的定义域：
3.自左向右图象
象 逐渐上升
3.自左向右图象逐
渐下降
1.定义域为R，值域为(0,+).
2.当x=0时，y=1
性 3.在R上是增函 3.在R上是减
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＝2
·[(2
)2－3]＝10
.
【答案】 B
2．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是(
A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
D．以上都不对 【解析】 ∵y＝3－x＝ (0，＋∞) ∴f(x)＝3－x－1的定义域为R，值域为(－1，＋∞)． 【答案】 C ，其定义域为R，值域为
【答案】 (－2 009,2 011) 5．已知f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)，若对于m<n<0，有f(m)>f(n) 成立，则a的取值范围是________．
【解析】 ∵f(x)＝a|x|，f(m)>f(n)，
∴a|m|>a|n|① 又∵m<n<0∴－m>－n>0，即|m|>|n|②
由①②知a>1. 【答案】 a>1
b，c，d与1之间的大小关系．
提示：在图中作直线x＝1，与它们图象交点的纵坐标即为它们 各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，∴c>d>1>a>b.即无论在y轴的左
侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
1．若x＋x－1＝2 A．14 C．8
，则x3＋x－3的值等于( B．10 D．10
)
【解析】 ∵x3＋x－3＝(x＋x－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x2－1＋x－2) ＝(x＋x－1)[(x＋x－1)2－2x·x－1－1]
3．下列四种说法中，正确的是( A．y＝2x＋1和y＝ 都是指数函数
)
B．指数函数y＝ax的最小值是0 C．对任意的x∈R，都有3x>2x D．函数y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称
【解析】 依指数函数定义知y＝2x＋1＝2·2x，它不是指数 函数，∴A选项错误；y＝ax>0，∴B选项错误；从y＝2x与y＝3x
【方法点评】 带有绝对值的图象作图，一般分为两种情
况，一种是去掉绝对值作图，一种是不去绝对值，如y=f(|x|) 可依据函数是偶函数，先作出y=f(x)(x≥0)的图象，x<0时的
图象只需将y=f(x)(x≥0)图象关于y轴对折过去即可，又知
y=|f(x)|的图象，可作出y=f(x)的图象，保留x轴上方图象， 将下方图象关于x轴对称过去即可得y=|f(x)|的图象．
(1)化简原则 ①化负指数为正指数；
②化根式为分数指数幂；
③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序；
【特别提醒】
有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用 性质来运算．
(2)结果要求
①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； ②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂
表示；
③结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母 又有负指数幂．
第五节
指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意
考纲 义，掌握幂的运算. 点击 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，
掌握指数函数图象通过的特殊点.
4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 1.本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性 质及简单的应用，但幂的运算是解决与指数有关问
指数函数的性质
如果函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0且a≠1)在区间
[0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 【思路点拨】 先化简f(x)的表达式，利用复合函数的单
调性的方法求解，或利用求导的方法来解． 【自主探究】 由题意得f(x)＝(ax)2－(3a2＋1)ax，
指数冪的化简与求值
化简下列各式(其中各字母均为正数)：
【思路点拨】 (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数 幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；(2)题目中给出的是分数
指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下
去，如不符合应再创设条件去求．
【自主探究】
【方法点评】
指数幂的化简与求值的原则及结果要求
1．化简下列各式：
【解析】
指数函数的图象及应用 已知函数y＝
(1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间；
(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值．
【思路点拨】
【自主探究】 (1)由已知可得
其图象由两部分组成：
y=3x+1(x<-1)． 图象如图： (2)由图象知函数在(-∞，-1)上是增函数，在(-1 ， +∞)上是减函数． (3)由图象知当x=-1时，函数有最大值1，无最小值．
2．若由线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取 值范围是________． 【解析】 分别作出曲线和直
线的图象，通过图象的交
点个数来判断参数的取值 范围． 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示，由图象可得 |y|=2x+1与直线y=b没有公共点，则b应满足的条件是 b∈[1,1]． 【答案】 [-1,1]
的图象中可以看出
当x>0时，3x>2x； 当x＝0时，3x＝2x；
当x<0时，3x＜2x，∴C选项错误．
【答案】 D
4．函数y＝ax＋2
009＋2
010(a>0且a≠1)的图象恒过定点______．
【解析】 ∵y＝ax(a>0，且a≠1)恒过定点(0,1)， ∴y＝ax＋2
009＋2
010恒过定点(－2 009,2 011)．
(1)幂的有关概念
⑥ 0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 ．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ ar＋s (a＞0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r、s∈Q)；
③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
热点
题的基础，也要引起重视，另外分类讨论思想也是
1．根式 (1)根式的概念
根式的概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n 次方根 当n为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的
符号表 示
备注 n＞1且 n∈N* 零的n次方 根是零
n次方根是一个负数
当n为偶数时，正数的n ±
(2)两个重要公式
2．有理数指数幂
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
(1)过定点(0,1)
性 质
(2)当x>0时，y>1； (2)当x>0时，0<y<1； x<0时，0<y<1 x<0时，y>1
(3)在(－∞，＋∞) (3)在(－∞＋∞)上
如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx， (4)y＝dx的图象，如何确定底数a，