2017年中考专题复习—辅助圆教学设计
5初中数学最值系列之辅助圆教案
5初中数学最值系列之辅助圆教案教学目标：1.熟练掌握辅助圆在数学中的概念和性质；2.能够运用辅助圆解决初中数学中的最值问题；3.培养学生观察问题、提出问题和解决问题的能力。
教学重难点：1.学习掌握辅助圆在求解最值问题中的应用方法；2.培养学生运用辅助圆解决问题的思维能力。
教学准备：1.教师准备好黑板、彩色粉笔和辅助圆的相关课件；2.提前准备好一些与辅助圆相关的练习题。
教学过程：一、引入新知1.教师简单介绍辅助圆的概念和作用，提出辅助圆在数学中的应用意义。
2.教师通过示意图向学生展示辅助圆的基本构造，帮助学生理解辅助圆的含义和作用。
二、辅助圆的性质1.教师向学生介绍辅助圆的性质，如辅助圆的半径等于问题中的其中一边的一半，辅助圆上的弦等于问题中的其中一边等等。
2.教师通过具体例子向学生展示辅助圆的性质，在黑板上进行解释和分析。
三、辅助圆在求解最值问题中的应用1.教师给学生出几个最值问题，如一张长方形纸片的四个角各剪去一块正方形纸片，求剩下的纸片所能构成的最大面积。
2.教师引导学生观察问题，提出问题，并运用辅助圆解决问题。
3.学生们根据教师的引导，利用辅助圆来求解最值问题。
四、练习巩固1.教师提供一些与辅助圆相关的练习题，让学生独立解答并进行讨论。
2.学生们互相交流，共同解决练习题，教师及时给予指导和帮助。
3.教师对学生的答题情况进行点评和总结，对错误的解答进行纠正和解释。
五、拓展思考1.教师鼓励学生进一步思考，提出一个新的问题，如圆的直径与圆的面积有何关系？2.学生们积极思考，讨论并提出自己的见解。
3.学生们将自己的思考结果与其他同学进行分享和讨论。
六、课堂总结1.教师帮助学生总结今天学到的知识和方法，强调辅助圆在求解最值问题中的重要作用。
2.学生们对今天的学习进行总结，并主动回答教师提出的问题，巩固所学知识。
七、作业布置1.教师布置一些与辅助圆相关的作业，例如写一篇关于辅助圆在求解最值问题中的应用方法的小短文。
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第六单元 圆 小专题5 辅助圆问题
2．圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形 ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之 和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图3， 在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°， 可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意 一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直 平分线的交点)．
【经典母题】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内 一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度 的最小值为_______.
[解析] ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2. ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC＋∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，
[思维方法] 根据线段BA与线段BQ关于线段BP所 在的直线对称可知，点Q在以点B为圆心，AB长为 半径的圆上运动，即点Q的运动轨迹是一段圆弧， 然后画出草图，再矩形的性质求出∠ABQ＝120°， 再由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC， 最后根据S阴影部分＝S四边形ABQD－S扇形ABQ ＝S四边形ABOD＋S△BOQ－S扇形ABQ可求出答 案．
小专题5辅助圆问题
类型一 定点定长作圆 方法解
读 平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上 (如图1)．依据的是圆的定义：圆是所有到定点的 距离等于定长的点的集合．
推广：如图2，点E为定点，点F为线段BD上的动 点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点 B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的 一段圆弧．若遇到求最值问题，可利用两点间线段 最短或垂线段最短解决。
12．如图，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内 接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD， BC上，若AE＝3，求EF的长．
初中辅助圆模型教案
初中辅助圆模型教案教学目标：1. 理解辅助圆的概念和作用；2. 学会运用辅助圆模型解决初中数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 辅助圆的概念和作用；2. 辅助圆模型的运用方法和技巧。
教学难点：1. 辅助圆模型的运用方法和技巧；2. 解决实际问题时，如何正确选择辅助圆模型。
教学准备：1. 教师准备相关例题和练习题；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的相关知识，如圆的性质、圆的周长和面积等；2. 提问：同学们，你们知道什么是辅助圆吗？辅助圆在解题中有何作用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解辅助圆的概念：辅助圆是指在解题过程中，为了方便分析和解决问题而构造的圆；2. 讲解辅助圆的作用：辅助圆可以帮助我们发现题目中的隐含条件，从而解决问题；3. 讲解辅助圆模型的运用方法和技巧：a. 当题目中出现四点共圆的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；b. 当题目中出现动点到定点等于定长的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；c. 当题目中出现直角所对的是直径的情况时，可以考虑使用辅助圆模型；d. 当题目中出现定弦对定角的情况时，可以考虑使用辅助圆模型。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题1：四点共圆的问题；2. 讲解例题2：动点到定点等于定长的问题；3. 讲解例题3：直角所对的是直径的问题；4. 讲解例题4：定弦对定角的问题。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题1：四点共圆的问题；2. 布置练习题2：动点到定点等于定长的问题；3. 布置练习题3：直角所对的是直径的问题；4. 布置练习题4：定弦对定角的问题。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结辅助圆的概念和作用；2. 让学生分享自己在解题中运用辅助圆模型的经验和感受；3. 教师进行课堂小结，强调辅助圆模型在解题中的应用价值和技巧。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习辅助圆模型的拓展应用；2. 鼓励学生参加数学竞赛和相关活动，提高解题能力。
探究辅助圆的基本模型教学设计及点评(获奖版)
《“圆”来如此简单—探究辅助圆的基本模型》教学设计【一、内容和内容解析】（一）内容探究辅助圆的基本模型（二）内容解析在初中数学中，圆是我们常见的一个数学问题，也是初中教材中一个重要内容，但是有些题目明明题中和图中都没有圆的出现，但是在解题的过程中却要借助圆，这样的圆就是“辅助圆”。
这类“辅助圆”的出现也是有迹可循的：第一类当出现定点和定长时，可根据圆的定义构造圆；第二类当出现定线和定角时，可根据同弧（弦）所对的圆周角构造圆，或是90o的圆周角所对的弦是直径构造圆；第三类对角互补的四边形可构造圆。
三类模型的出现都需要进行探究，而这个探究过程是从特殊到一般的过程。
通过模型的探究，便可以利用圆的性质解决问题。
基于以上的分析，确定本节课的教学重点是：探究辅助圆的基本模型。
【二、教学目标及解析】（一）目标1.利用所学的知识对辅助圆模型进行探究.并在探究的过程中培养学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界.2.能将所探究的辅助圆模型应用到生活实际问题和数学问题中，并进一步体会数学建模思想、分类讨论思想、化归思想和数形结合思想，养成良好的数学学习习惯.（二）目标解析达成目标1的标志是:能够通过小组讨论得到辅助圆出现的条件，并通过小组合作的形式利用图像、几何语言及文字语言总结出模型的特点，以及模型出现所需要具备的条件。
达成目标2的标志是：能够利用所探究的模型应用到生活实际问题和数学问题中去，并独立找到生活实际问题和数学问题的解决办法。
【三、教学问题诊断分析】九年级的学生抽象思维趋于成熟，而且具有独立思考，合作交流，逻辑推理，归纳概括的能力。
本节课是探究辅助圆的基本模型，在已有知识的基础之上，利用条件得到辅助圆并不困难，但是根据条件确定圆心和半径，进一步画出辅助圆对于学生会有一定的困难。
因此在本节课的教学中，可以让学生从已有的知识出发，通过实践操作，自主探究、合作交流，归纳总结等数学活动中，理解和掌握数学知识技能，形成数学思想方法。
九年级数学《辅助圆》
张湾中学快乐课堂116导学案课题：九年级数学学科《辅助圆》课型：新授 主讲人： 审核人： 数学组 时间： 【学习目标】1、进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆解决有关问题；2、通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决问题，进而掌握利用作圆解决问题的方法；【学习过程】：一、 目标导学：如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ=90，EF 交正方形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。
求证：ＡＥ=E Ｆ。
（人教版八年级下册第69页14题）A B C DE FG你能否不用构造全等三角形来解决这个问题吗？二、 自主探究：1、圆的“集合”定义是什么？圆是所有到________等于______的点的集合2、圆周角定理：___________________________________________3、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角___________直径所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是_______三、 合作交流：探究1:如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，∠BAC=20°∠CAD=80°，则 ∠BDC=______度，∠DBC=______度什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？条件1:_________________________________________________依据：_________________________________________________小结1:当遇有_______________________ 时，通常以____________为圆心，_______________ 为半径，构造辅助圆。
探究2:已知等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,D 为BC 中点,E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且满足∠EDF=90°。
求证：DE=DF可构造圆的条件2什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？条件2：_______________________________________________依据：________________________________________________小结2：当遇有_________ 时，通常以_______________ ，构造辅助圆.四、 当堂检测：1、（2011湖北鄂州中考）如下图OA=OB=OC 且∠ACB=30°，则∠AOB 的大小是（ ）A.40°B.50° C .60° D.70° 2、（2012青海中考） 如图，四边形ＡＢＣＤ是正方形，点Ｅ是边ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ=90，EF 交正方形外角的平分线ＣＦ于 Ｆ。
辅助圆公开课教案
尝试1：如图所示，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD, ，
则 的度数为.
问题2：若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的外接圆半径
为_____.
什么条件让你想到可以构造圆，可以构造圆的依据是什么？
(1)∠APB=；
(2)当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；
(3)连结CP，CP长度的最小值为。
五、总结提升
1．数学方法：构造辅助圆
（1）当遇有公共端点的等线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.
（2）可以利用直径所对的圆周角是直角，以斜边为直径，构造辅助圆.
2.数学思想：转化思想
利用构造辅助圆解决分类讨论问题，可以很快找到符合条件的点，并可以将问题转化为圆中求线段、求角度的问题.
3.辅助线的构造可以是直线形，也可以是曲线形.
六、布置作业
课题：《构造辅助圆》（简案）
教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用
作圆解决分类讨论问题的方法；
3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质.
教学重点：利用辅助圆解决有关问题
三、学以致用
问题3：如图，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G， EF⊥BD于F。
四、拓展提升
问题4：如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG>AE，则DI的最小值等于
初三辅助圆教学设计
构造辅助圆教学设计一、教学内容分析：对于平面几何问题，学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形的知识来解决问题，但辅助线的添加就被局限在直线形，而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，利用圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，通过对构造辅助圆方法的分类，典型题的讲解.二、学情分析：1. 教学对象：初三学生；2. 已具备知识和技能：掌握了圆的相关性质和应用，并对辅助圆有了初步认识.三、教学目标：1. 知识目标：（1）进一步巩固圆的定义和性质；（2）体会利用圆解决点的轨迹问题；（3）初步形成从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物.2. 能力目标：（1）提升转化能力，分类讨论能力；（2）同类型题目的总结归纳能力.3. 情感目标：（1）学生通过观察，发现构造辅助圆的条件，并且选择适合的方法做出辅助圆；（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识.四、教学重难点：1.教学重点：利用辅助圆解决有关问题.2.教学难点：初步形成用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件.五、教学策略：教学内容在公校少有涉及，但在很多时候是个实用工具和方法，所以本堂课采用讲练结合进行教学，注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程.六、课时安排：2小时七、教学过程：类型一：有公共端点的等线段（如下图）例1.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=25°，∠CAD=75°，求∠BDC的度数．变式练习：1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将∠AMN沿MN所在的直线翻折得到∠A′MN，连结A′C，求A′C长度的最小值.2.问题探究(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使∠APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形∠APD，并求出此时BP的长；(2)如图②，在∠ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M 安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由。
中考数学几何最值模型 专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
辅助圆的应用—专题课
深圳中考针对性专题复习（5）辅助圆的应用授课教师：张 振 课型：专题复习 授课时间：5月11日【学习目标】1、熟练掌握利用圆构造等腰三角形和直角三角形；2、学会在恰当的时候利用圆为辅助线解决实际问题.【重点难点】利用圆为辅助线解决实际问题.【学习过程】一、 利用“两圆一中垂线”构造等腰三角形如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)与y 轴交于点C ．(1)抛物线的解析式为 ；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CAP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．二、 利用“两垂线一圆”构造直角三角形如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CBQ 是直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．三、 利用圆求线段的最值1. 如图①，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，点E 是AD 边的中点，F 是CD 上的动点，将△DEF 沿EF 折叠，点D 落在P 处,则线段BP 最短时的长度为 .2. 如图②，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AC=AB=1，以AC 上动点O 为圆心，以AO 为半径作圆O ，交AC 于点D ，连接BD 交圆O 于点E ，则CE 的最小值为3.如图③，⊙O 的半径为5，OP=3，经过点P 的最长弦为 ，最短弦为 .B P E D A 图① O P 图③图② E D A B O四、 三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆如图，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=2，AB=AC=AD=4．则BD 的长为.五、 四点共圆时作辅助圆1. 如图①，在△ABC 中， BE 和CD 分别是AC 和AB 边上的高，连接DE ，△ADE 与四边形DBCE 的面积比为1:8，则sinA= .2.如图②，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°,∠ACB=30°,在Rt △ADC 中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，若BD=8，则AB= .思考：如何判断四点共圆？六、 利用圆的切线性质作辅助圆如图，在平面直角坐标系内A （8,0），B （0,6），若直线L 与AB 平行，且在直线L 上有且只有一点P 使∠OPA=90°，求满足条件的直线L 的解析式.七、 利用圆构造相等角（课后拓展）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴交于A （1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于C （0，2），连接AC 、BC ．（1）BC 的垂直平分线交抛物线于D 、E 两点，则直线DE 的解析式为 ；（2）若点P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB ，求出所有满足条件的P 点坐标．E D B C 图① DA B C 图②。
中考总复习专题六辅助圆
例题解析
300 1.如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=60o,则∠BDC=_______.
思路点拨：
A
600
本题用一般的方法较难解决， 注意到已知条件AB=AC=AD ，可以点A为圆心，AB长为半 D 径作圆，则点C、D都在此圆 上，从而运用圆周角定理求解 .
练习
B
Q
20 ②当 CQ 12时，圆O与直线AB 3 有两个交点，当点 P运动到这两个交
M(P)
20 3
12
O
点时，CP Q为直角三角形 .
C
5
A
20 ③当0 CQ 时，圆O与直线AB 3 相离，点P在圆O外，CPQ小于90， CPQ不可能为直角三角形 .
20 综上所述，当 CQ 12时, CPQ 可能为直角三角形 . 3
可以点E为圆心，AO长为直径 作圆，如果圆E与直线x=b有交
O
C x=b
x
点，则存在四边形DEFB为矩
形.反之，则不存在.
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由.
解：能。以点E为圆心，AO长为直
y
径作圆，则半径为EO=4.
F B (b,t) D
(2)S=2b
O
C x=b
x
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由. 思路点拨：
y
因为四边形DEFB是平行四边 形，所以四边形DEFB要成为
F B (b,t) D
(0,8) A
专题3、中考辅助圆问题之定弦定角最值问题
隐圆再现--定弦定角问题【知识要点】若固定线段AB所对动角∠P为定值，则点P运动轨迹为过A、B、P三点的圆。
备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可。
原理：同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
请在上方后面的图形中找到圆心。
【解题技巧】解题技巧：构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。
定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【例题讲解】例题1、如图，∠O的半径为1，弦AB﹦1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的最大面积为．例题2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA﹦45°，点C的坐标为．训练2、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y 83 x2 3x 6 3 的顶点为A，并与x 轴正半轴交于点B，在y 轴上存在点C，使∠ACB＝30°. 则点C 的坐标是______例题3、如图，∠ABC，∠EFG均是边长为2的等边三角形，当D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当∠EFG绕点D旋转时，线段BM长的最大值为．训练3、如图，以G （0，1）为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，点E 为∠G 上一动点，CF ∠AE 于F ．若点E 从在圆周上运动一周，则点F 所经过的路径长为 ．【及时训练】1、如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，直线BD 交⊙O 于P 点，交BC 于E 点，弧AE ＝CP ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2441-2、如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝24，∠ACB ＝45°，AM ∥BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交△APC 的外接圆于D ，则AD 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．324-3、如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为32，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是（ ）A ．3612+B ．336+C ．3312+D ．346+【课堂总结】1.2.3.4.【课上练习】1、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________2、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________3、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________4．如图，已知以BC 为直径的⊙O ，A 为BC 中点，P 为AC 上任意一点，AD ⊥AP 交BP 于D ，连CD ．若BC ＝8，则CD 的最小值为___________【真题再现】1．如图，在动点C 与定长线段AB 组成的△ABC 中，AB ＝6，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，连接DE ．当点C 在运动过程中，始终有22 AB DE ，则点C 到AB 的距离的最大值是_________2.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上运动，且形状和大小保持不变，其中AB ＝4，BC ＝3．（1）当∠OAB ＝45°时，OA 的长为 ；（2）连接AC ，当AC ∥ON 时，求OA 的长；（3）设AB 边的中点为E ，分别求出OA 、OB 、OC 、OD 、OE 在运动过程中的长度变化范围．A C3.如图，已知∠MON＝45°，矩形ABCD的顶点A、D分别是边OM、ON边上的动点，且AD＝4，AB＝2，则OB长的最大值为．2，以DE为边4,如图，点D和点E是等腰直角三角形ABC的边AC和AB上的点，且DE=2向外作正方形DEFG，则AF的最大值是。
人教版初三数学上册圆周角定理中角度问题的辅助圆构造教学说明
《九年级上半期专题课——角度问题中的辅助圆构造》教案说明一、授课内容的数学本质与教学目标定位教学内容：本节课是人教版九年级上半期专题课——角度问题中的辅助圆构造，主要内容是经历从课本习题开始进行变式，探索在复杂的角度问题中，发现基本模型，从而构造辅助圆以此利用圆周角定理进行角度的转化，旨在帮助学生提炼思维以及在建立解决复杂几何问题时的寻找模型的意识。
教学目标：1、知识与技能：①、进一步巩固对于圆的“集合”定义以及圆周角定理的认识；②、能够利用辅助圆进行角度的转化；③、提炼模型意识，能够在图形中发现构造辅助圆的基本模型；2、过程与方法：①、在探索辅助圆的构造过程中，培养学生提炼基本模型的能力；②、在问题变式的探索过程中，培养学生语言转化，动手操作，代数计算的能力；③、通过学习培养学生分类讨论思想，化归转化思想；3、情感态度价值观①、让学生逐步建立多方位看问题的意识，能够多角度的认识事物，还原事物的本质；②、感受数学优秀思路中的简洁美。
二、本课时知识结构以及处理教材的个人思考本节课建构在完整学习了圆这个章节之后，学生对于圆的定义定理以及基本解题思路有了框架之上，但是绝大部分的学生对于知识体系的完整性缺乏一个总体的把握的情况下，圆是初中几何知识大融合的一个章节，伴随着圆所产生的几何问题需要学生对初中几何知识有较强的综合能力才能解决，而实际上本课时所教授的“含有公共端点的三条相等线段相等”的构造辅助圆模型是从圆的集合定义：“到定点的距离等于到定长的点的集合”是圆出发，将图形的本质还原出来，即线段的另外三个顶点是在一个“隐藏”的圆上，而利用圆周角定理进行角度的转化既是这个章节的核心要求之一，也是平面几何中角度问题的难点之一，所以在学习完圆这个章节之后，引入这个专题学习，对于提升学生看问题的视野和培养学生在图形中探究基本模型的思路都是很有帮助的，同时在选择例题时也遵循教学的螺旋式阶梯上升的方式，从学生熟悉的课本习题，理解原理→还原模型，比较使用圆与不使用圆两种解法的优劣→动手操作，学会发现模型→自主探究模型并应用模型→综合提升掌握模型，另外例题的实效性也能让学生在学习的过程中感受模型的价值，最终为让学生从更高层面感受模型意识以及对于圆的认识。
初中数学-构造辅助圆解题教法解析
教法解析
内容简介
Contents
教学内容分析 学生情况分析 教学设计思想 知识点回顾 典例分析
教学内容分析
【教学内容分析】
本节课的授课内容是学完《圆》后, 作为对学生能力提升的一个引申和补充的 内容，也属于构造辅助线的一种。
直线形 直线型辅助线
曲线形
圆 辅助圆
学生情况分析
教学设计思想
例题 Example
一、利用圆的定义添补辅助圆 1.直接用定义 2.间接用定义：共斜边的等腰直角三角形
例题 Example
一、利用圆的定义构造辅助圆 总结：需要多条共端点等线段时，
可以利用圆定义构造辅助圆
在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数
y
k x
的图象的一个交点为A（-1，n）.
如图，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且
∠BHC=135°，G为△ABC内的一点，且GB=GC，
∠BGC＝3∠A，连结HG，求证：HG平分∠BHF．
思路：经计算可得∠A=45°，△ABE， △BFH皆为等腰直角三角形，只需证 ∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠BHC，得B、G、 H、C四点共圆，由∠ sin∠B
二、作三角形的外接圆
总结：三角形中涉及到倒角的题目， 可以考虑构造三角形外接圆
在△ABC中，AD是BC边的中线，且∠B+∠CAD=90°.
试判断△ABC的形状，并加以证明.
思路：由需要倒角而想到构造外接 圆，根据90°进而确定直径，结合 垂径定理推论，分类讨论后即可得 到答案
BC
(3) 在图 2 中，固定 △AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出 PM 的最大值.
5初中数学最值系列之辅助圆教案
第5讲最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【例题1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【例题2】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．【练习3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．【练习4】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF即可．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．【例题5】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．【练习6】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．【2016安徽中考】【练习7】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．【寻找定边】【练习8】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．【例题9】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．【2019南京中考】【练习10】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．【2019武汉中考】【练习11】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。
定边定角辅助圆教学设计
定边定角辅助圆教学设计引言：几何学是数学中的一个重要分支，包含了很多基本概念和定理，对于学生的数学学习和思维发展具有重要的作用。
在几何学中，定边定角辅助圆是一个重要的概念，通过辅助圆的构造可以更好地理解和应用定边定角定理。
本文将介绍一个针对定边定角辅助圆的教学设计，旨在帮助学生更好地理解定边定角辅助圆的概念、性质和应用。
一、教学目标1. 理解定边定角辅助圆的概念和性质；2. 掌握辅助圆的构造方法；3. 能够应用定边定角辅助圆解决几何问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：定边定角辅助圆的概念和性质。
2. 教学难点：辅助圆的构造方法和如何应用辅助圆解决问题。
三、教学过程1. 导入通过提问或简单的几何问题引入定边定角辅助圆的概念。
例如，“在平面直角坐标系中，如何构造一个辅助圆来辅助已知线段的平分和角的平分？”让学生思考并尝试给出答案。
2. 概念解释和性质探究a. 给出定边定角辅助圆的定义：在平面直角坐标系中，已知线段的平分和角的平分可以通过构造一个以线段中点或角的顶点为圆心的圆来实现。
b. 说明辅助圆的构造方法：对于已知线段的平分，以线段的中点为圆心，以线段的长度的一半为半径作圆；对于已知角的平分，以角的顶点为圆心，以角的一半的正弦或余弦值作半径作圆。
c. 探究辅助圆的性质：分别讨论定边定角的辅助圆的性质，包括圆的切线与角的关系、切线长度与角度的关系等。
3. 示例演示通过几个具体的示例来展示辅助圆的应用。
例如，“已知线段AB，如何通过辅助圆构造出线段AB的平分线？”，让学生通过构造辅助圆并观察圆与线段的交点来找到线段的平分线。
4. 练习和总结让学生自主完成几道练习题，巩固和应用所学的定边定角辅助圆的知识。
然后通过总结，让学生总结定边定角辅助圆的重要性和应用。
四、教学评价根据学生在课堂上的表现以及完成的练习和总结来进行教学评价。
评价内容包括对定边定角辅助圆的概念、性质和应用的理解，辅助圆的构造方法掌握程度以及解决几何问题的能力。
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2017年中考专题复习—辅助圆教学设计
学生情况分析：作为专题复习，初三的学生已经学习了圆的基本知识,掌握了圆的一些有关性质,并对辅助圆有了初步的认识.对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造曲线形辅助线的意识. 设计意图：对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件,从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形,而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下,更有利于条件的集中,辅助圆是曲线形辅助线的代表,利用圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，来感受辅助圆的独特.本节课想以一种学生探究，老师引领学生作归纳总结的形式呈现，通过学生思想的碰撞，最终达成共识.
教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置；
2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法；
3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质.
教学重点：利用辅助圆解决有关问题
教学难点：建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件
教学过程：
画辅助圆即“四点共圆”这类问题一般有两形式：一是要证明某四点共圆（；二是通过某四点共圆来得到一些重要的结果，进而解决问题，下面是与画辅助圆有关的一些基本知识。
1、若干个点与某定点的距离相等，则这些点在同一圆周上（证明多个点到同一个定点的距离相等即可）
2、在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆。
（共斜边的两个直角三角形顶点共圆）
3、若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆
4、若点C，D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB，则A，B，C，D四点共圆
探究1
1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=20°∠
CAD=80°，则∠BDC=______度，∠DBC=______度
练习：如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A、错误!未找到引用源。
B、错误!未找到引用源。
C、
3错误!未找到引用源。
D、2错误!未找到引用源。
探究2.
2、如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等，并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使∠APE 为直角的点P的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
练习：如图，矩形ABCD中，延长CB到E。
使CE=CA。
F为AE
中点，求证BF ⊥ FD
探究3
3. 在平面直角坐标系中，已知：点A(4,0),B(-6,0),点C是y轴上一个动点，当∠BCA=45º时,点C的坐标是__________.
C
A
B
4、如图，已知抛物线1
a
y与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y
=x
-
(2+
)2
轴交于点C，点B的坐标为)0,3(，连结AC、BC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连结PA、PB、PC，试探究:在P点的运动过程中，APB
∠相等？若能，请求出P点
∠能否与ACB
的坐标；若不能，请说明理由.
（备用图）
（第26题图）
学案设计：
2017年中考专题复习—辅助圆
班级: 姓名：座号：
画辅助圆即“四点共圆”这类问题一般有两形式：一是要证明某四点共圆（；二是通过某四点共圆来得到一些重要的结果，进而解决问题，下面是与画辅助圆有关的一些基本知识。
1、若干个点与某定点的距离相等，则这些点在同一圆周上（证明多个点到同一个定点的距离相等即可）
2、在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆。
（共斜边的两个直角三角形顶点共圆）
3、若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆
4、若点C，D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB，则A，B，C，D四点共圆教学过程：
探究1
2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=20°∠
CAD=80°，则∠BDC=______度，∠DBC=______度
练习：如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A、错误!未找到引用源。
B、错误!未找到引用源。
C、
3错误!未找到引用源。
D、2错误!未找到引用源。
探究2.
2、如图，矩形ABCG的与矩形CDEF全等，并且AB=1，BC=3，点B、C、D在同一条直线上，∠APE 的顶点P在线段BD上移动，使∠APE 为直角的点P的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
练习：如图，矩形ABCD中，延长CB到E。
使CE=CA。
F为AE
中点，求证BF ⊥ FD
探究3
3. 在平面直角坐标系中，已知：点A(4,0),B(-6,0),点C 是y 轴上一个动点，当∠BCA=45º时,点C 的坐标是__________.
4、如图，已知抛物线1)2(2+-=x a y 与x 轴从左到右依次交于A 、B 两点，与y
轴交于点C ，点B 的坐标为)0,3(，连结AC 、BC ． （1）求此抛物线的解析式；
（2）若P 为此抛物线的对称轴上的一个动点，连结PA 、PB 、
PC ， 试探
究:在P 点的运动过程中，APB ∠能否与ACB ∠相等？若能，请求出P 点的坐标；若不能，请说明理由
.
（第26题图）
（备用图）
课后练习1、如图，A （0，8），B （0，2），点E 为X
轴正半轴上一动点，设m AEB =∠tan ，则m 的取值范围是（ ）
A 、430≤<m
B 、540≤<m
C 、43
21<<m
D 、5
30<<m 2、如图，ABC 中，∠A ＝60°，AB ≠AC ，BE 、CF 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，且相交于点0，求证：0E ＝0F 。
3、如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG AP ⊥于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG=GE ，连接BE ，CE （1）求证：BE=BC
（2）CBE ∠的平分线交AE 于N 点，连接DN ，求证：∠AND=45°；(提示：证明A 、D 、C 、N 四点共圆)
4、如图，△ABC 和△ADE 均是等腰直角三角形，E 在AB 上，∠ACB=∠ADE=90°，∠CDF=45°，交AB 于F ，若BC=8，AD=6，求DF 。
A C
D
B
E
F A B E B
A
C
F
E
o
5、已知直线b x y +=
4
3
与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，点D 在x 轴正半 轴上，且6=OD ，点C 、M 是线段OD 的三等分点（点C 在点M 的左侧）. (1)若直线AB 经过点()6,4，①求直线AB 的解析式；②求点M 到直线AB 的距离；
(2)若点．．Q 在．x 轴上方的直线．．．．．．AB 上．，且CQD ∠是 锐角，试探究：在直线AB 上是否存在符合条件的点Q ，使得5
4
sin =∠CQD ；若存在，求出b 的取值范围，若不存在，请说明理由.
6、如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P 有 个；
（2）若点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；
（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．
x
A B
O
C D M
y
(第26题图)。