二项分布、数学期望与方差专题复习word有详解重点中学用

第十讲二项分布及应用随机变量的均值与方差

知识要点

1.事件的相互独立性(概率的乘法公式)

设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．

3.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．

4.条件概率的加法公式：若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)

5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．

注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点

(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生．

6.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点

(1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．

7.离散型随机变量的均值与方差及其性质

定义：若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n.

(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望．

n

(2)方差：D(X)＝∑

(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，其算术平方根D?X?为随机变量X的标准差．i＝1

(3)均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

8.两点分布与二项分布的均值、方差

变量X服从两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；X～B(n，p)： E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)典例精析

例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.

例2．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为、、，则系统正常工作的概率为 ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

例3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2

3

，假设各局比赛结果相互独立．

(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．

(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得

2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．

例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为2

3

.

(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；

(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

例5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：

①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．

(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客

所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：

方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；

方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．

如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案

例6．(13分)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月

均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．

(1)求直方图中x的值；

(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有

放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、

数学期望与方差．

例7．(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现

从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分

数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

(1)指出这组数据的众数和中位数；

(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是

“极幸福”的概率；

(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽

到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．