平行四边形面积计算公式推导过程及其原理

八、四边形朱建良太仓市实验中学【课标要求】（1）能探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念．（2）能掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、判定及其性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性．（3）能掌握梯形的概念，探索并了解等腰梯形的有关性质，并会运用将梯形分解为平行四边形与三角形的方法来解决一些简单问题．（4）能通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．【课时分布】四边形部分在第一轮复习时大约需要6个课时，其中包括单元测试．下表为内容及课时安排（仅供参考）．【知识回顾】1、知识脉络2、基础知识（1）平行四边形是中心对称图形，具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互补、两条对角线互相平分等特征．（2）平行四边形的识别方法有：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的所有特征外，还具有以下性质：矩形：四个角都是直角、对角线互相平分且相等．菱形：四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角．正方形：四条边都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角（具有矩形、菱形的所有特征）．（4）矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形、菱形都有两条对称轴，而正方形有四条对称轴，它们的对称中心都是对角线的交点．（5）矩形、菱形、正方形的识别方法有：①有三个角是直角的四边形是矩形；②有一个角是直角的平行四边形是矩形；③两条对角线相等的平行四边形是矩形；④有四条边相等的四边形是菱形；⑤有一组邻边相等的平行四边形是菱形；⑥两条对角线垂直的平行四边形是菱形；⑦有一组邻边相等的矩形是正方形；⑧有一个角是直角的菱形是正方形．（6）有且只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这组平行的边叫做梯形的上底与下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（7）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的直线，它有以下特征：①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形的两条对角线相等．（8）等腰梯形的识别方法有：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形．3、能力要求例1 下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和（ ）A ．260°B ．1980°C ．600°D ．2180°【分析】（1）多边形问题一般可转化为三角形问题来解决，从n 边形的一个顶点出发可以连结（n －3）条对角线，可将n 边形分割成（n －2）个三角形，内角和为(2)180n -⋅︒，因此，n 边形的内角和必为180°的整数倍．（2）求正多边形的内角和，可先求其每个外角的度数，因为多边形的外角和是一个常量，即360°．正n 边形的每个外角为n ︒360，其每个内角即为)360180(n︒-︒． 【解】1980°是180°的整数倍，故选B ．【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式，也可以利用公式求出多边形的边数，教师在复习时要引导学生掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个数等变化规律．例2 如图（8-1）ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ． （1）试说明：AE ⊥BF ；（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明． 【分析】要证AE ⊥BF ，可探求△ABM 中∠BAE 与∠ABF 和的度数，通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化．判断线段DF 与CE 的大小关系时，先探求DE 与CF 的大小关系，可在△ADE 、△BCF 中寻求相等的数量关系，再依据ABCD 对边相等的性质过渡求证．【解】（1）方法一：如图（8-2）， ∵在ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°， ∵AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ， ∴∠DAB ＝2∠BAE ，∠ABC ＝2∠ABF ．∴2∠BAE ＋2∠ABF ＝180°，即∠BAE ＋∠ABF ＝90°． ∴∠ABM ＝90°． ∴AE ⊥BF ．方法二：如图（8-3），延长BC 、AE 相交于点P ， ∵在ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAP ＝∠APB ． ∵AE 平分∠DAB ， ∴∠DAP ＝∠P AB ． ∴∠APB ＝∠P AB ． ∴AB ＝BP ．. ∵BF 平分∠ABC ， ∴AP ⊥BF ，即AE ⊥BF ．（2）线段DF 与CE 是相等关系，即DF ＝CE ， ∵在ABCD 中，CD ∥A B ，∴∠DEA ＝∠EAB ．又AE 平分∠DAB ， ∴∠DAE ＝∠EAB ． ∴∠DEA ＝∠DAE ．∴DE ＝AD ．同理可得 ∴CF ＝BC ． 又∴在ABCD 中，AD ＝BC ，∴DE ＝CF ．∴DE －EF ＝CF －EF ，即DF ＝CE ．【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的性质等知识的综合应用，同时本题的第（2）问也是一道开放性试题．例3 已知如图（8-4），在△ABC 中，AB ＝AC ，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC ．（1）猜想AE 与BF 有何关系？说明理由； （2）若△ABC 面积为3cm 2，求四边形ABFE 的面积；（3）当∠ACB 为多少度时，四边形ABFE 为矩形？说明理由．【分析】根据图形旋转的性质可证△ACE ≌△FCB ，其实旋转变换后，△ABC 与△FEC 关于点C 成中心对称；欲判断ABFE 为矩形，可考虑证明对角线AF ＝BE ，再探求∠ACB 的度数．【解】（1）旋转可知，AC ＝CF ，BC ＝CE ，∠ACE ＝∠BCF ，∴△ACE ≌△FCB ， ∴AE ＝BF ，∠EAF ＝∠BF A ．8-3A B C E F M D P 8-2D A B C E F M 8-1M F E D C B A∴AE ∥BF ． 即AE 与BF 的关系为平行且相等．（2）由（1）知：ACE BCF SS =．又∵BC ＝CE ，∴ABC ACE S S =． 同理，CEF BCF S S =．∴23412()ABFES cm =⨯=四边形． （3）当∠ACB ＝60°时，四边形ABFE 为矩形．理由：∵BC ＝CE ，AC ＝CF ，∴四边形ABFE 为平行四边形．当∠ACB ＝60°时，△ABC 为等边三角形．∴BC ＝AC ，∴AF ＝BE ，∴四边形ABFE 为矩形．【说明】《新课标》在四边形内容中加强了与对称、平移、旋转几何变换的联系．本题以两图形成对中心对称的特性为背景设计，结合三角形全等、特殊四边形的性质与判断进行考查．教师在复习时要加强几何变换中识图能力的训练．例4 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图（8-5）所示的四边形ABCD ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果两张纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由． 【分析】第（1）题寻求AD 、AB 的数量关系，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判别；第（2）题，动手实验操作寻求两矩形纸片的特殊位置关系．①互相垂直；②对角线重合时，探求菱形ABCD 周长的最大值、最小值．【解】（1）如图（8-6），∵AD ∥BC ，∴AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．分别过点B 、D 作BF ⊥AD ，DE ⊥AB ，垂足为点F 、E ，则DE ＝BF ． ∵∠DAE ＝∠BAF ，∴Rt △DAE ≌Rt △BAF ，∴AD ＝AB ．∴四边形ABCD 是菱形．（2）存在最大值和最小值． ①当∠DAB ＝90°时，菱形ABCD 为正方形，周长最小值为8；②当AC 为矩形纸片的对角线时，设AB ＝x ，如图（8-7），在Rt △BCG 中，222(8)2x x =-+，174x =． ∴周长最大值为17．【说明】本题涉及了菱形的判断、矩形的性质、三角形的全等、勾股定理及函数的综合应用，考查了学生灵活运用四边形知识识别图形、动手操作探究的能力．例5 如图（8-8），已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC于点E ，DE ＝a ，∠DBC ＝45°，∠ACB ＝30°．求梯形ABCD的面积．【分析】梯形问题一般通过添加辅助线转化为平行四边形和8-5D B A C 8-7GD C B A 8-6C A B DEF 8-8FEA B D特殊的三角形问题解决．【解】方法一：过D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于点F ．易知：ABD DCF S S =，即BDF ABCD S S =梯形．∵∠DBC ＝45°，∴∠DBE ＝45°，∴BE ＝DE ＝a ．又DE ＝EF ·tan ∠F ，∴EF =．∴211()(122BDF ABCD S S BE EF DE a ==+=+梯形． 方法二：如图（8-9），过点A 作AH ⊥BC 于H ，则AH ＝DE ＝a ，HC =， ∵∠DBC ＝45°，∴∠DBE ＝45°，∴BE ＝DE ＝a ． []21()21()211()(122ABCD S AD BC DE HE BH HE EC DE BE HC DE a =+⋅=⋅+++⋅=+⋅=+∴梯形 【说明】方法一：平移腰是研究梯形问题常用方法；方法二：通过作梯形高转化已知条件求解；上述两种解法同样运用了梯形中常见的辅助线的添加方法，渗透了转化的思想． 例6 已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＜CD ，AB ＝10，BC ＝3．（1）如果M 为AB 上一点，如图（8-10），且满足∠DMC ＝∠A ，求AM 的长．（2）如果点M 在AB 边上移动（点M 与A ，B 不重合），且满足∠DMN ＝∠A ，MN 交BC 延长线于点N ，如图（8-11），设AM ＝x ，CN ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围（写x 的取值范围时，不写推理过程）．8-118-10A D N BCM M DC B A321【分析】点M 在AB 边上移动，运动变化中寻求基本图形，探究出蕴含不变的关系：△ADM ∽△BMC 、△ADM ∽△BMN ，通过相似比的转化找出y 与x 的数量关系．解题应注意点M 在AB 上的两个特殊位置与自变量取值范围的联系．【解】（1）在等腰梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠B ，又∵∠A ＝∠DMC ，∠1+∠A +∠2＝∠2+∠DMC +∠3＝180°，∴∠1＝∠3，∴△ADM ∽△BMC ．8-9HD B AE ．设AM ＝x ，则3310x x=-，∴21090x x -+=． ∴1x =或9x =，经检验都是原分式方程的根．∴AM 的长为1或9． （2）同理可证△ADM ∽△BMN ．可得3310x y x=+-， ∴2110333y x x =-+-（1＜x ＜9）． 【说明】这是一道集等腰梯形、方程、函数、相似形于一体的综合性试题，三角形相似的性质、方程的思想方法是解决该类问题的重要途经．【复习建议】1．关注中考热点，聚焦考查难点四边形这部分内容中考中常以填空题、选择题、证明题、计算综合题、探究操作题的形式呈现，重点考查平行四边形及特殊平行四边形的性质在实际中的应用、梯形问题及多边形问题的研究方法，还会考查学生的动手操作和实践创新能力，识图、分析、灵活运用几何知识解决实际问题的能力及探索、发现问题的能力，本章内容复习时重点关注一类通过实验、操作探究出简单的几何结论后，再加以证明的新题型，寓意在于揭示四边形在运动状态下几何关系的不变性．2．加强知识间的相互联系，提高综合应用能力平行四边形的性质与判断是本章内容的重点，它是菱形、矩形、正方形的基础和铺垫．复习时要注意梳理知识间的衔接与过渡，掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的之间的区别与联系，基础知识不能忽视，复习训练时注意运用特殊四边形的面积公式解决图形的面积计算问题（含应用问题），注意结合平移、翻折、旋转等几何变换，并能根据现实几何情境的需要能进行恰当的操作、说明和逻辑推理，并通过用文字语言的表述进一步深化对四边形的理解，进一步提高学生的综合能力和数学素养．3．注重数学思想方法渗透，发展合情推理能力四边形与三角形都是平面几何的基本图形，复习时可通过将多边形分割，将四边形问题转化为三角形问题，运用平移、对称的有关知识将梯形分割成三角形、平行四边形等熟悉图形，启迪学生在实际问题的转化过程中要善于多角度寻求解决问题的途经，筛选简捷的解法、积累解决问题的策略．复习中多关注生活中四边形与特殊四边形图案在实际问题情境中的应用，培养学生从现实生活中抽象为数学模型的本质特征，体验数学建模思想．多关注中考中不断出现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、函数等相结合的综合题，通过解题要善于总结反思，正确认识特殊与一般的关系，注意方程思想、对称思想以及转化思想的渗透，形成知识间的网络结构，达到融会贯通，明了通性通法，进一步学会多角度分析、探索问题的本质、学会思考、学会思维，进一步发展学生的合情推理能力．。