平行四边形面积计算公式推导过程及其原理

八、四边形

朱建良太仓市实验中学

【课标要求】

（1）能探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念．

（2）能掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、判定及其性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性．

（3）能掌握梯形的概念，探索并了解等腰梯形的有关性质，并会运用将梯形分解为平行四边形与三角形的方法来解决一些简单问题．

（4）能通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．

【课时分布】

四边形部分在第一轮复习时大约需要6个课时，其中包括单元测试．下表为内容及课时安排（仅供参考）．

【知识回顾】

1、知识脉络

2、基础知识

（1）平行四边形是中心对称图形，具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互补、两条对角线互相平分等特征．

（2）平行四边形的识别方法有：

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

③对角线互相平分的四边形是平行四边形；

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（3）矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的所有特征外，还具有以下性质：

矩形：四个角都是直角、对角线互相平分且相等．

菱形：四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角．

正方形：四条边都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角（具有矩形、菱形的所有特征）．

（4）矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；矩形、菱形都有两条对称轴，而正方形有四条对称轴，它们的对称中心都是对角线的交点．

（5）矩形、菱形、正方形的识别方法有：

①有三个角是直角的四边形是矩形；

②有一个角是直角的平行四边形是矩形；

③两条对角线相等的平行四边形是矩形；

④有四条边相等的四边形是菱形；

⑤有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

⑥两条对角线垂直的平行四边形是菱形；

⑦有一组邻边相等的矩形是正方形；

⑧有一个角是直角的菱形是正方形．

（6）有且只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这组平行的边叫做梯形的上底与下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

（7）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是过两底中点的直线，它有以下特征：

①等腰梯形同一底上的两个内角相等；

②等腰梯形的两条对角线相等．

（8）等腰梯形的识别方法有：

①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

②两条对角线相等的梯形是等腰梯形．

3、能力要求

例1 下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和（ ）

A ．260°

B ．1980°

C ．600°

D ．2180°

【分析】（1）多边形问题一般可转化为三角形问题来解决，从n 边形的一个顶点出发可以连结（n －3）条对角线，可将n 边形分割成（n －2）个三角形，内角和为(2)180n -⋅︒，因此，n 边形的内角和必为180°的整数倍．

（2）求正多边形的内角和，可先求其每个外角的度数，因为多边形的外角和是一个常量，即360°．正n 边形的每个外角为n ︒360，其每个内角即为)360180(n

︒-︒． 【解】1980°是180°的整数倍，故选B ．

【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式，也可以利用公式求出多边形

的边数，教师在复习时要引导学生掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个数等变化规律．

例2 如图（8-1）ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ． （1）试说明：AE ⊥BF ；

（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明． 【分析】要证AE ⊥BF ，可探求△ABM 中∠BAE 与∠ABF 和

的度数，通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化．判断线段DF 与CE 的大小关系时，先探求DE 与CF 的大小关系，可在△ADE 、△BCF 中寻求相等的数量关系，再依据ABCD 对边相等的性质过渡求证．

【解】（1）方法一：如图（8-2）， ∵在ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°， ∵AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ， ∴∠DAB ＝2∠BAE ，∠ABC ＝2∠ABF ．

∴2∠BAE ＋2∠ABF ＝180°，即∠BAE ＋∠ABF ＝90°． ∴∠ABM ＝90°． ∴AE ⊥BF ．

方法二：如图（8-3），延长BC 、AE 相交于点P ， ∵在ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAP ＝∠APB ． ∵AE 平分∠DAB ， ∴∠DAP ＝∠P AB ． ∴∠APB ＝∠P AB ． ∴AB ＝BP ．. ∵BF 平分∠ABC ， ∴AP ⊥BF ，即AE ⊥BF ．

（2）线段DF 与CE 是相等关系，即DF ＝CE ， ∵在ABCD 中，CD ∥A B ，∴∠DEA ＝∠EAB ．

又AE 平分∠DAB ， ∴∠DAE ＝∠EAB ． ∴∠DEA ＝∠DAE ．

∴DE ＝AD ．同理可得 ∴CF ＝BC ． 又∴在ABCD 中，AD ＝BC ，∴DE ＝CF ．

∴DE －EF ＝CF －EF ，即DF ＝CE ．

【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的性质等知识的综合应用，同时本题的第（2）问也是一道开放性试题．

例3 已知如图（8-4），在△ABC 中，AB ＝AC ，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC ．

（1）猜想AE 与BF 有何关系？说明理由； （2）若△ABC 面积为3cm 2，求四边形ABFE 的面积；

（3）当∠ACB 为多少度时，四边形ABFE 为矩形？说明理由．

【分析】根据图形旋转的性质可证△ACE ≌△FCB ，其实旋转变

换后，△ABC 与△FEC 关于点C 成中心对称；欲判断ABFE 为矩形，可考虑证明对角线AF ＝BE ，再探求∠ACB 的度数．

【解】（1）旋转可知，AC ＝CF ，BC ＝CE ，∠ACE ＝∠BCF ，

∴△ACE ≌△FCB ， ∴AE ＝BF ，∠EAF ＝∠BF A ．

8-3

A B C E F M D P 8-2D A B C E F M 8-1

M F E D C B A