人教中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4

m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=1 6

-x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为

17

2

m.

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=

1

6

-x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；

(2)两排灯的水平距离最小是3．

【解析】

【详解】

试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．

试题解析：（1）由题知点

17

(0,4),3,

2

B C

⎛⎫

⎪

⎝⎭

在抛物线上

所以

4

171

93

26

c

b c

=

⎧

⎪

⎨

=-⨯++

⎪⎩

，解得

2

4

b

c

=

⎧

⎨

=

⎩

，所以2

1

24

6

y x x

=-++

所以，当6

2

b

x

a

=-=时，10

t

y=

≦

答：2

1

24

6

y x x

=-++，拱顶D到地面OA的距离为10米

（2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，22

63

y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即2

12486

x x -

++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=- 1243x x -=

答：两排灯的水平距离最小是43 考点：二次函数的实际应用．

2．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-

21x 2+3

2

x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，1

2

. 【解析】 【分析】

（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-

1），

①当A1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是1；

当O1、C1在抛物线上时，A1的横坐标是2；

【详解】

解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

将点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴

0a b c

016a4b c 2c

=-+

⎧

⎪

=++

⎨

⎪=

⎩

，

∴

1 a

2

3 b

2

⎧

=-

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

，

∴y=-2

1

x

2

+

3

2

x+2；

（2）∵点C与点D关于x轴对称，

∴D（0，-2）．

设直线BD的解析式为y=kx-2．

∵将（4，0）代入得：4k-2=0，

∴k=1

2

．

∴直线BD的解析式为y=1

2

x-2．

当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；

当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，

则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，

∴-2x+8=-2

1

x

2

+

3

2

x+2，可求x=3或x=4（舍）