北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量小结与复习
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规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b
(1) a
b , 则四边形是什么图形
? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律
6
(6)平面向量数量积的性质 ①垂直的充要条件
②求夹角 ③求距离
7
三、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式: 向量垂直充要条件的两种形式:
向量垂直充要条件的两种形式:
(1) a b a b 0 ( 2) a b a b x1 x2 y1 y 2 0
19
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的
坐标相等.
, 即: a ( x1 y1 ),
那么 a b x1 x2且 y1 y 2
9
向 量 几何表示 : 有向线段 的 字母表示 : a 、 等 AB 表 坐标表示 : (x，y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =
B(x2,y2)
(x2 － x1 , = ( x , y ), 则 a
x y
2
2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0
作业布置：完成教材P126---127中A组习题 第11---15题.（选做）复习题2的C组试题. 教后反思：
25
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB
x1 x2
2
y1 y 2
2
11
平面向量复习 1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC OA+OB= OC
A
B O A
C
平行四边形法则
B
C
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
∴AB=2 BD AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
22
3、若向量AB=（-3，4），则 AB 按向量 a =（2，-1）平移后的坐标 为
23
) 例 已知直线 l 经过点 P1 ( x1 , y1和 用向量方法求 l 的方程。 P2 ( x2 , y2 )
，
解
P P2 ( x2 x1 , y2 y1 ), P P ( x x1 , y y1 ) 1 1
注意： 数量积不满足结合律
即 : ( a b ) c a (b c )
17
平面向量数量积的重要性质
ab为非零向量，e为单位向量
（1）e· a
= a · =| a | cosθ e （2）a ⊥ b的充要条件是 a ·b =0 (3) 当 a与b同向时， a ·b = |a | | b | ; 当 a 与b 反向时，a ·b = - |a | | b |
三、平面向量的基本定理
b ( x2 , y 2 )
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a，有且只有一对实数1 , 2 ,使 a 1 e1 2 e2
20
1.若 a 0， 0，则 a b 0 b ( × 2.若 a b 0，则 a 0或 b 0 ( × 3.若 a b a c，且 a 0，则b c ( × 2 2 ( √ ） 4. a a a a ( √ ） 5. a b a b ，则a // b ( √ ） 6. a b a b ，则a b
设P（x，y）是直线l上任意一点，则
因为 P , P , P2 1
三点都在直线 l 上，
所以 ( x2 x1 )( y y1 ) ( y2 y1 )( x x1 ) 这就是直线 l 的方程
24
思考 已知两点 A( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 )试用向量的方 B 法证明以AB为直径的圆的方程为
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量 的坐标相等.
四、平面向量的基本定理
注:满足什么条件的向量可作为基底?
8
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.
（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
北师大版高中数学必修 4第二章《平面向量》
1
一、教学目标：1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向 量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边 形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。 4. 了解向量形式的三角形不等式 和向量形式的平行四边形定理； 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向 量的坐标概念和坐标表示法；7. 向量的坐标运算 （加.减.实数和向量的乘法.数量积）；8. 数量积（点 乘或内积）的概念， 注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”。 二、教学过程
13
平面向量 复习
实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个
向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|； 它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向
与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
2
平 面 向 量 小结与 复 习
表示 向量的三种表示 向量加法 与减法 三 角 形 法 则 平行四边形法则 向量平行的 充要条件
平 面 向 量
运 算
实数与向量的 积
平面向量的 基本定理 向量的数量积
3
一、向量的相关概念:1)定义 2)重要概念：
（1）零向量： （2）单位向量： （3）平行向量： （4）相等向量： （5）相反向量：
12
平面向量复习
2.向量的减法运算 1）减法法则： OA－OB = BA 2）坐标运算: 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法减法运算率 1）交换律： 2）结合律：
O
B
A
a+b=b+a （a+b)+c=a+(b+c)
特别地：a ·a=| a | 2 或 | a | = （4）cosθ= （5）| a· | ≤ | a | | b | b
18
二、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1) a // b (b 0) a b; ( 2) a // b ( a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ), b 0) x1 y 2 x2 y1 0
练习1：判断正误，并简述理由。
） ） ）
21
平面向量复习 2. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。 分析
要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
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A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
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B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b
(1) a
b , 则四边形是什么图形
? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律
6
(6)平面向量数量积的性质 ①垂直的充要条件
②求夹角 ③求距离
7
三、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式: 向量垂直充要条件的两种形式:
向量垂直充要条件的两种形式:
(1) a b a b 0 ( 2) a b a b x1 x2 y1 y 2 0
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（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的
坐标相等.
, 即: a ( x1 y1 ),
那么 a b x1 x2且 y1 y 2
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向 量 几何表示 : 有向线段 的 字母表示 : a 、 等 AB 表 坐标表示 : (x，y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =
B(x2,y2)
(x2 － x1 , = ( x , y ), 则 a
x y
2
2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0
作业布置：完成教材P126---127中A组习题 第11---15题.（选做）复习题2的C组试题. 教后反思：
25
为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB
x1 x2
2
y1 y 2
2
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平面向量复习 1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC OA+OB= OC
A
B O A
C
平行四边形法则
B
C
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
∴AB=2 BD AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
22
3、若向量AB=（-3，4），则 AB 按向量 a =（2，-1）平移后的坐标 为
23
) 例 已知直线 l 经过点 P1 ( x1 , y1和 用向量方法求 l 的方程。 P2 ( x2 , y2 )
，
解
P P2 ( x2 x1 , y2 y1 ), P P ( x x1 , y y1 ) 1 1
注意： 数量积不满足结合律
即 : ( a b ) c a (b c )
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平面向量数量积的重要性质
ab为非零向量，e为单位向量
（1）e· a
= a · =| a | cosθ e （2）a ⊥ b的充要条件是 a ·b =0 (3) 当 a与b同向时， a ·b = |a | | b | ; 当 a 与b 反向时，a ·b = - |a | | b |
三、平面向量的基本定理
b ( x2 , y 2 )
如果e1 , e2 是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向 量 a，有且只有一对实数1 , 2 ,使 a 1 e1 2 e2
20
1.若 a 0， 0，则 a b 0 b ( × 2.若 a b 0，则 a 0或 b 0 ( × 3.若 a b a c，且 a 0，则b c ( × 2 2 ( √ ） 4. a a a a ( √ ） 5. a b a b ，则a // b ( √ ） 6. a b a b ，则a b
设P（x，y）是直线l上任意一点，则
因为 P , P , P2 1
三点都在直线 l 上，
所以 ( x2 x1 )( y y1 ) ( y2 y1 )( x x1 ) 这就是直线 l 的方程
24
思考 已知两点 A( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 )试用向量的方 B 法证明以AB为直径的圆的方程为
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量 的坐标相等.
四、平面向量的基本定理
注:满足什么条件的向量可作为基底?
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向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.
（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
北师大版高中数学必修 4第二章《平面向量》
1
一、教学目标：1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向 量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边 形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。 4. 了解向量形式的三角形不等式 和向量形式的平行四边形定理； 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向 量的坐标概念和坐标表示法；7. 向量的坐标运算 （加.减.实数和向量的乘法.数量积）；8. 数量积（点 乘或内积）的概念， 注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”。 二、教学过程
13
平面向量 复习
实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个
向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|； 它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向
与a方向相同；
(2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
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平 面 向 量 小结与 复 习
表示 向量的三种表示 向量加法 与减法 三 角 形 法 则 平行四边形法则 向量平行的 充要条件
平 面 向 量
运 算
实数与向量的 积
平面向量的 基本定理 向量的数量积
3
一、向量的相关概念:1)定义 2)重要概念：
（1）零向量： （2）单位向量： （3）平行向量： （4）相等向量： （5）相反向量：
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平面向量复习
2.向量的减法运算 1）减法法则： OA－OB = BA 2）坐标运算: 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法减法运算率 1）交换律： 2）结合律：
O
B
A
a+b=b+a （a+b)+c=a+(b+c)
特别地：a ·a=| a | 2 或 | a | = （4）cosθ= （5）| a· | ≤ | a | | b | b
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二、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1) a // b (b 0) a b; ( 2) a // b ( a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ), b 0) x1 y 2 x2 y1 0
练习1：判断正误，并简述理由。
） ） ）
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平面向量复习 2. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。 分析
要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b