专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究考点一 一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【知识点睛】❖ 求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高； 类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题步骤：①求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长； ②利用三角形面积公式求出三角形的面积 【类题训练】1．已知一次函数图象经过A （﹣4，﹣10）和B （3，4）两点，与x 轴的交于点C ，与y 轴的交于点D ． （1）求该一次函数解析式；（2）点C 坐标为 ，点D 坐标为 ；（3）画出该一次函数图象，并求该直线和坐标轴围成的图形面积．【分析】（1）用待定系数法求直线AB 的解析式； （2）令y ＝0求得点C 的坐标，令x ＝0求得点D 的坐标；（3）利用已知的点A 和点B 画出一次函数的图象，然后利用求得的点C 和点D 求出OC 和OD 的长度，最后求得直线和坐标轴围成的图形面积．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣2．（2）当x ＝0时，y ＝﹣2，当y ＝0时，x ＝1， ∴C （1，0），D （0，﹣2）． 故答案为：（1，0），（0，﹣2）．（3）由点A和点B，可以画出一次函数的图象，如下如所示，∵C（1，0），D（0，﹣2），∴OC＝1，OD＝2，∴S△OCD＝＝1，∴一次函数与坐标轴围成的图形的面积为1．2．在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（2）联立方程，解方程即可．【解答】（1）解：设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点代入得，解得，∴直线解析式为y＝﹣2x+3，将x＝0代入得y＝3，∴与y轴交于点（0，3），将y=0代入得x＝，∴与x轴交于点（，0），∴S＝×3×＝．（2）解得，∴点C的坐标是（2，﹣1）．变式．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是．【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），∴2k+b＝0，b＝﹣2k，∴y＝kx﹣2k，令x＝0，则y＝﹣2k，∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，解得：k＝±，则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．类型二两条直线与坐标轴围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，若直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B（﹣1，m），且两条直线与y轴分别交于点C、点A；那么△ABC 的面积为．【分析】根据B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，求出B点的坐标，再根据直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4解析式，即可求出答案，根据已知得出B点的坐标，再根据直线y＝﹣2x+1和直线y＝x+4求得与y轴交点A和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC．【解答】解：∵B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即B点的坐标为（﹣1，3）又直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；∴直线AB的解析式为y＝x+4，∴直线AB与y轴交点A的坐标为（0，4），∵直线y＝﹣2x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），∴AC＝4﹣1＝3，∴S△ABC＝AC•|x B|＝×3×1＝．故答案为．2．如图，直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），直线l1交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为．【分析】利用一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）可得直线l1与直线l2：与y轴交点，然后可求出△PAB 的面积．【解答】解：∵直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），∴﹣1＝﹣2×1+b，解得：b＝1，∴A点坐标为（0，1），∵直线l2：y＝kx﹣2交y轴于B，∴B（0，﹣2），∴AB＝3，∴△PAB的面积为：3×1＝，故答案为：．变式．已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（）A．y＝﹣x﹣4 B．y＝﹣2x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4【分析】首先求出直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积等于4，得到一个关于k 的方程，求出此方程的解，即可得到直线的解析式．【解答】解：直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣4）（，0），∵直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，∴4×（﹣）×0.5＝4，解得k＝﹣2，则直线的解析式为y＝﹣2x﹣4．故选：B．类型三三条直线围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（4，0），求△ABC的面积．【分析】先利用待定系数法求直线AB的解析式，再确定直线AB与x轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式和以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC进行计算．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，4）、B（﹣2，2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝x+3，当y＝0时，y＝x+3＝0，解得x＝﹣6，则D点坐标为（﹣6，0），所以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC＝×（4+6）×4﹣×（4+6）×2＝10．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ADE的面积；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAD＝S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求出AB 的长度，由折叠的性质可得出AC ＝AB ，结合OC ＝OA +AC 可得出OC 的长度，进而可得出点C 的坐标；（2）根据点E 为直线AB 与直线CD 的交点，联立两直线解析式可求出点E 坐标，再由△ADE 和△ADB 组成△BDE ，得△ADE 的面积=△BDE 的面积-△ABD 的面积，即可求出△ADE 的面积；（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|，利用三角形的面积公式可得出关于m 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝﹣x +4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y ＝0时，﹣x +4＝0， 解得：x ＝3，∴点A 的坐标为（3，0）． 在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝4， ∴AB ＝＝5．由折叠的性质，可知：∠BDA ＝∠CDA ，∠D ＝∠C ，AC ＝AB ＝5， ∴OC ＝OA +AC ＝8， ∴点C 的坐标为（8，0）． （2）∵C （8，0），D （0，﹣6）， ∴直线CD 的解析式为：y=43x-6， ∵点E 为直线AB 与直线CD 的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=643434x y x y 求得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512-524，， ∴S △ADE ＝S △BDE ﹣S △ABD ＝BD •|x E |﹣BD •|x A |＝9（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|． ∵S △PAD ＝S △ADE ，即DP •OA ＝×OD •OA ，∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，∴假设成立，即y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得S△PAD＝S△ADE．3．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：（1）b的值和点P的坐标；（2）求△ADP的面积．【分析】（1）首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标，然后根据S△ABD＝2可求得D点坐标，代入直线CD：y＝x+b可求得b，直线AB与CD相交于点P，联立两方程可求得P点坐标．（2）可把S△ADP的面积分解为S△ABD+S△BDP，而S△BDP＝|x P|，即可求得．【解答】解：（1）∵直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，令y＝0则x＝﹣2，A（﹣2，0），令x＝0则y＝1∴B（0，1），又∵S△ABD＝2∴|BD|•|OA|＝2而|OA|＝2∴|BD|＝2，又B（0，1），∴D（0，﹣1）∴b＝﹣1；∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得：，解得x＝4，y＝3，∴P（4，3）；（2）由图象坐标可知：S△ADP＝S△ABD+S△BDP＝2+|x P|＝6或S△ADP＝S△PAC+S△DAC＝|y P|）＝×3×（1+3）＝6．4．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；（2）计算四边形ABCD的面积；（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．【分析】（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为y＝x﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象；（2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算；（3）根据一次函数的交点问题通过解方程组得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行计算．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝2x+4；设直线CD的解析式为y＝mx+n，把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得，解得，所以直线CD的解析式为y＝x﹣3；如图所示；（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）；把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0），所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD＝×（6+2）×4+×（6+2）×3＝28；（3）解方程组得，所以E点坐标为（﹣，﹣），所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD＝×（6+2）×﹣×（6+2）×3＝．变式．已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（x，2），若△ABC的面积为10，求x的值．【分析】审题知B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为2，而且B、C两点之间的距离可用两点的横坐标之差的绝对值表示，即x+2的绝对值．已知三角形的面积为10，依此列出方程求解即可．【解答】解：由B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为4﹣2＝2，BC＝|x ﹣（﹣2）|＝|x+2|，因为△ABC的面积为10，所以×2×|x+2|＝10，|x+2|＝10，x+2＝10，或x+2＝﹣10，解得：x＝8，或x＝﹣12．考点二一次函数图象与几何图形动点面积【知识点睛】❖此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息❖对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点❖动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数面积问题专题(含答案)
精心整理一次函数面积问题1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB 交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3）的图（（的面积是，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点A（2，06、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△ABC面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（29（1（210AB11（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积为6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
12、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一直线y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分为两部分，（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值?（2）若△AOB被分成的两部分面积为1：5，求k和b的值13、直线y=-x+3交x，y坐标轴分别为点A、B，交直线y=2x-1于点P，直线y=2x-1交x14，0），15点分别是D和C?（1）求直线L l，L2的解析式???（2）求四边形ABCD的面积?（3）设直线L1，L2交于点P，求△PBC的面积答案：1、A（-4，5）?OA：y=-x2、C（-2，1）a：y=-x或C（-1，2）a：y=-2x3、（1）A（-n，0）B（m，0）P（，）（，）4、m=10-25、B6、a=4-7、P89、(1)A(，),(2)10、y=--x?11。
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧一次函数是初中数学中最基本的一种函数形式，通常表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
面积问题是数学中常见的问题类型之一，需要运用数学知识来求解。
当一次函数与面积结合在一起时，往往需要运用数学知识和解题技巧来解决问题。
本文将为大家介绍一次函数与面积结合问题解题的技巧，并通过实例来解释具体的解题方法。
一、如何将一次函数与面积联系起来在解决一次函数与面积结合问题时，我们需要先找到函数表达式和面积之间的联系。
通常，我们可以通过一次函数的图像和面积来建立它们之间的关系。
若给定一次函数y = 2x + 1，要求计算函数图像在一定区间内与x 轴之间的面积，我们可以先绘制函数的图像，然后找出其与x轴之间的面积。
二、一次函数与矩形面积的关系在一次函数与面积结合问题中，经常会出现与矩形面积有关的题目。
矩形的面积等于长乘以宽，即S = l*w。
如果给定一个矩形的长度为x，宽度为y = kx + b（k和b为常数），我们可以通过一次函数的表达式计算出矩形的面积。
三、利用一次函数的特性解决面积问题如果一个图形可以通过两条一次函数的交点来确定，我们也可以通过两条函数的表达式来求出图形的面积。
四、实例解析为了帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题的解题方法，我们来看一个实例：例：已知一次函数y = 2x + 3和直线y = x + 1的交点A、B、C、D，求由四个点构成的四边形的面积。
解：我们可以通过求解两条直线的交点来确定四个点的坐标。
将两条直线的表达式相等，得到x = -2，将x = -2代入其中一条直线的表达式中，得到交点坐标为(-2, -1)。
接下来，根据交点的坐标，我们可以求得四边形的边长，进而计算出四边形的面积。
将四个点连接起来可以得到一个平行四边形，根据平行四边形面积公式S = 底边长*高得到面积。
考点08 一次函数的图象与性质【无答案】
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象1．下列函数：①y＝4x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣4x+1，其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．42．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜14．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（）A．函数图象经过第一、二、四象限B．图象与y轴的交点坐标为（1，0）C．y随x的增大而减小D．图象与坐标轴调成三角形的面积为5．已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（）A．B．C．D．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（）A．2B．﹣2 C．2或﹣2D．m的值不存在3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式．考向四：一次函数与方程不等式间的关系1．已知方程2x﹣1＝﹣3x+4的解是x＝1，则直线y＝2x﹣1和y＝﹣3x+4的交点坐标为（）A．（1，0）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）2．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为．3．如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是（）A．B．C．D．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．16．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是，当y1＞y2时，x的取值范围是，当y1＜y2时，x的取值范围是．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝，n＝．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：．（3）当时，x的取值范围为．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数图象和性质专题
一次函数图象和性质专题题型一、一次函数图像的作图1、在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象． (1)y ＝2x （2）y ＝2x ＋32、说出直线y ＝3x ＋2与221+=x y ；y ＝5x -1与y ＝5x -4的相同之处． 直线y ＝3x ＋2与221+=x y 的 ，相同，所以这两条直线 同一点，且交点坐标 ；直线y ＝5x -1与y ＝5x -4的 相同，所以这两条线 ．题型二、一次函数图形的平移1、直线521,321--=+-=x y x y 和x y 21-=的位置关系是 ，直线521,321--=+-=x y x y 可以看作是直线x y 21-=向 平移 个单位得到的; 向平移 个单位得到的。
2、直线y=2x-3可以由直线y=2x 经过 单位而得到；直线y=-3x+2可以由直线y=-3x 经过 而得到；直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到．题型三、一次函数图像的平行1、函数y ＝kx -4的图象平行于直线y ＝-2x ，求函数若直线4y kx =-的解析式为 ；2、已知一次函数35y x =+与一次函数6y ax =-，若它们的图象是两条互相平等的直线，则a = ．题型四、一次函数图形与坐标轴的交点1、一次函数y=kx+b 当x=0时，y= 横坐标为0点在 上，在y kx b =+中；当y=0时，x= 纵坐标为0点在 上。
画一次函数的图象，常选取（0, ）、（ ,0）两点连线。
2、直线y ＝4x －3过点（_____，0）、（0， ）；3、直线y =－x +2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是4、 一次函数3y x =+与2y x b =-+的图象交于y 轴上一点，则b = ．题型五、一次函数图像与系数1、直线y mx n =+如图所示，化简：2m n m --= ．2、 如图，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m n ，为常数，且mn 0≠）图象的是（ ）3、已知一次函数y kx k =+，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）4、当00><b ,a 时，函数y =a x+b 与a bx y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D题型六、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积 1、求函数323-=x y 与x 轴、y 轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.Oxy mx n =+（第1题）ＯxyxyＯx yＯxyＯＡ．Ｂ．C ．D ．Ｏ ｙ ｘ Ｏ ｙ ｘ Ｏ ｙ ｘ Ｏ ｙｘＤ．Ｃ．B ．A ．2、一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b .3、一次函数y ＝k x ＋3的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求k.一次函数的性质题型一、一次函数的增减性1、已知函数y =(m -3)x -32.（1）当m 取何值时,y 随x 的增大而增大? （2）当m 取何值时,y 随x 的增大而减小?2、函数y=(k-1)x+2，当k ＞1时，y 随x 的增大而______,当k ＜1时，y 随x 的增大而_____3、 如图所示，已知正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y x k =--的图象大致是（ ）4、已知点(x1, y1)和(x2, y2)都在直线 y=43x-1上, 若x1 < x2, 则 y 1__________y 25、已知一次函数2(3)16y m x m =++-，且y 的值随x 值的增大而增大． （1）m 的范围；（2）若此一次函数又是正比例函数，试求m 的值．xxxxD ．Ｃ．B ．A ．题型二、一次函数象限问题1、若 a 是非零实数 , 则直线 y=ax-a 一 定（ ） A.第一、二象限 B. 第二、三象限 C.第三、四象限 D. 第一、四象限2、 已知一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k b 、的取值范围是（ ） Ａ．0k >且0b < Ｂ．0k >且0b < Ｃ．0k <且0b >Ｄ．0k <且0b <3、若m ＜0, n ＞0, 则一次函数y=mx+n 的图象不经过 （ ）A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限4、已知一次函数(3)21y m x m =-+-的图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围．题型三、一次函数增减性与象限的综合1、 已知一次函数y ＝(1-2m)x ＋m-1，若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围.2、已知一次函数y ＝（1－2k ） x ＋（2k ＋1）． ①当k 取何值时，y 随x 的增大而增大？ ②当k 取何值时，函数图象经过坐标系原点？③当k 取何值时，函数图象不经过第四象限？求一次函数解析式的常见题型一. 定义型例1. 已知函数y m x m=-+-()3328是一次函数，求其解析式。
函数图像与坐标轴围成的三角形的面积专题训练解析
一次函数题型总结(二)1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 ___ 。
3、已知：在直角坐标系中，一次函数y=233+-x 的图象分别与x 轴、y 轴相交于A 、B. 若以AB 为一边的等腰△ABC 的底角为30。
点C 在x 轴上，求点C 的坐标.4、如图，直线y =2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .求A ，B 两点的坐标；过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP =2OA ， 求ΔABP 的面积.5．在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形.（1）求函数y ＝43-x ＋3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数y ＝43-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.6. 在平面直角坐标系中，已知)0,8(A 、)6,0(B 、)2,0(-C ，连接AB ，过C 作直线l 与AB 交于P ，与OA 交于E ，且5:4:=OC OE , 求△PAC 的面积。
7. 我国现行个人工资收入所得税征收办法规定：月收入低于800元的部分不收税，月收入超过800元，但低于1300元的部分征收5%的所得税，……如某人月收入1160元，他应缴个人工资收入所得税为()18%58001160=⨯-元（1）当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y （元）与月收入x （元）之间的关系式；（2）某人月收入为960元，他应缴纳所得税多少元？（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？第21题图8. 如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）•之间的函数关系图象．①根据图象，写出当x≥3时该图象的函数关系式；②某人乘坐2.5km，应付多少钱？③某人乘坐13km，应付多少钱？④若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？9.如图是某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数关系图；观察图中所提供的信息，解答下列问题：(1)汽车在前9分钟内的平均速度是多少？(2)汽车在中途停了多长时间？(3)当16≤t≤30时，求s与t的函数式．10、已知直线y=kx＋b经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的解析式.11、某食品厂生产的一种巧克力糖每千克成本为24元，其销售方案有如下两种：方案一：若直接给本厂设在武汉的门市部销售，则每千克售价为32元，但门市部每月需上缴有关费用2400元；方案二：若直接批发给本地超市销售，则出厂价为每千克28元.若每月只能按一种方案销售，且每种方案都能按月销售完当月产品，设该厂每月的销售量为xkg.（1）你若是厂长，应如何选择销售方案，可使工厂当月所获利润更大？（2）厂长看到会计送来的第一季度销售量与利润关系的报表后（上表），发现该表填写的销售量与实际有不符之处，请找出不符之处，并计算第一季度的实际销售量总量.1 、甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km 的培训中心参加学习.图中l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S (km)随时间t (分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km 后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3m 收费，超过部分按2.6元／3m 计费．设每户家庭用用水量为3m x 时，应交水费y 元． （1）分别求出020x ≤≤和20x 时y 与x 的函数表达式；1 某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y （吨）与进出油时间x （分）的函数式及相应的x取值范围．2、为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的y万元．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？1、已知一次函数y kx b=+的图象如图（6）所示，当1x<时，y的取值范围是（）Ａ．20y-<<Ｂ．40y-<<Ｃ．2y<-Ｄ．4y<-2、一次函数1y kx b=+与2y x a=+的图象如图，则下列结论①0k<；②0a>；③当3x<时，12y y<中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33、方程组⎩⎨⎧+==-3214xyyx的解是，则一次函数y=4x－1与y=2x+3的图象交点为。
第20章一次函数章节压轴题专练(解析版)
第20章 一次函数章节压轴题专练模块一：一次函数的概念与图像1.（松江2018期中24）已知，点(2,)P m 是第一象限内的点，直线PA 交y 轴于点(0,2)B ，交x 轴负半轴于点A ，联结OP ，6AOP S ∆=. （1）求BOP ∆的面积； （2）求点A 的坐标和m 的值.【答案】（1）2；（2）122y x =+；3m =； 【解析】解：（1）作PE y ⊥轴于E ，因为点P 的横坐标为2，则PE=2，12BOP S OB PE ∆∴=12222=⨯⨯=； （2）624AOB AOP BOP S S S ∆∆∆∴=-=-=，142AOB S OA OB ∆∴==，即1242OA ⨯=，4OA ∴=，所以A 的坐标为（- 4，0）；设AP 的解析式为y kx b =+，则402k b b -+=⎧⎨=⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则直线AP 的解析式为122y x =+，点P 代入得3m =. 2. （杨浦2019期中25）如图，在平面直角坐标系XOY 中，O 为坐标原点，已知直线1l 经过点A （-6,0），它与y 轴交于点B,点B 在y 轴正半轴上，且OA=2OB （1）求直线1l 的函数解析式（2）若直线2l 也经过点A （-6,0），且与y 轴交于点C ，如果ΔABC 的面积为6，求C 点的坐标【答案】（1）132y x =+；（2）C(0,5)或（0,1）； 【解析】解：因为 A （-6,0），所以OA=6，因为OA=2OB ，所以OB=3，因为B 在y 轴正半轴，所以B(0,3)，∴设直线1l 解析式为：y=kx+3（k ≠0）A(-6,0) 在此图像上，代入得6k+3=0，12k =，所以132y x =+； (2)解：因为62ABC BC AOS ∆⨯==，因为AO=6，所以BC=2，所以C(0,5)或（0,1）. 3. （普陀2018期中23）如图，已知一次函数y =2x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且BC ∥AO ，梯形AOBC 的面积为10． （1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）求直线AC 的表达式．【答案与解析】解：（1）令y =0，则2x +4=0，解得：x =-2，令x =0，则y =4，∴A （-2，0），B （0，4）．所以OA =2，OB =4，∵梯形AOBC 的面积为10，∴．则解得BC =3，所以点C （-3，4）；（2）设直线AC 的表达式为y =kx +b （k ≠0）．则2034k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得．故直线AC 的表达式为y =-4x -8．4.（崇明2018期中25）如图，平面直角坐标系xOy 中，点(,1)A a 在双曲线3y x=上，函数y kx b =+的图像经过点A ，与y 轴交于点(0,2)B -.（1）求直线AB 的解析式；（2）设直线AB 交x 轴于点C ，求三角形OAC 的面积.【答案】（1）2y x =-；（2）1；【解析】解：（1）将点(,1)A a 代入3y x=，得(3,1)A ，将(3,1)(0,2)A B -、代入y kx b =+中，得2y x =-； （2）过点A 作AH OC ⊥，由题意得：AH=1，直线AB 与x 轴交于点(2,0)C ，得OC=2，所以OAC 11=21122S OC AH ∆=⨯⨯=.5. （普陀2018期中19）在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x 向下平移2个单位后和直线y =kx +b（k ≠0）重合，直线y =kx +b （k ≠0）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）请直接写出直线y =kx +b （k ≠0）的表达式和点B 的坐标； （2）求△AOB 的面积．【答案与解析】解：（1）因为直线y =x 向下平移2个单位后和直线y =kx +b （k ≠0）重合，故直线AB 的表达式为y =x -2，所以点B 的坐标是（0，-2）．（2）当y =0时，x =2，所以点A 的坐标为（2，0）．所以 OA =2．又因为OB =2，所以．6.（松江2018期中26）如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像相交于(2,2)(1,4)A B --、两点. （1）求出两函数的解析式；（2）根据图像回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？（3）联结AO 、BO ，试求AOB ∆的面积.【答案】（1）4y x=，22y x =-；（2）102x x -<<>或；（3）3；【解析】解：（1）因为反比例函数my x=的图像经过点(2,2)A ，所以4m =，所以反比例函数解析式为4y x=；因为一次函数y kx b =+的图像经过点(2,2)(1,4)A B --、，所以 224k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得22k b =⎧⎨=-⎩，故所求一次函数解析式为22y x =-； （2）由图可知：当102x x -<<>或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值； （3）设直线AB ：22y x =-与x 轴交于点C ，当y=0时，得x=1，知点C （1，0），OC=1. 故AOB AOC BOCS S S ∆∆∆=+111214322=⨯⨯+⨯⨯=. 7. （黄浦2018期中26）已知一次函数的图象与坐标轴交于A 、B 点（如图），AE平分∠BAO ，交x 轴于点E ．（1）求点B 的坐标；（2）求直线AE 的表达式；（3）过点B 作BF ⊥AE ，垂足为F ，连接OF ，试判断△OFB 的形状，并求△OFB 的面积．（4）若将已知条件“AE 平分∠BAO ，交x 轴于点E ”改变为“点E 是线段OB 上的一个动点（点E 不与点O 、B 重合）”，过点B 作BF ⊥AE ，垂足为F ．设OE =x ，BF =y ，试求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．【答案】（1）(8,0)；（2）y = -2x +6；（3）Rt OFB ∆，8；（4）236y x =+（0＜x ＜8）【解析】解：（1）对于364y x =-+，当x =0时，y =6；当y =0时，x =8，∴OA =6，OB =8，在Rt △AOB 中，根据勾股定理得：AB =10，则A （0，6），B （8，0）；（2）过点E 作EG ⊥AB ，垂足为G （如图1所示），∵AE 平分∠BAO ，EO ⊥AO ，EG ⊥AG ，∴EG =OE ，在Rt △AOE 和Rt △AGE 中，AE AE EO EG=⎧⎨=⎩，∴Rt △AOE ≌Rt △AGE （HL ）， ∴AG =AO ，设OE =EG =x ，则有BE =8-x ，BG =AB -AG =10-6=4，在Rt △BEG 中，EG =x ，BG =4，BE =8-x ，根据勾股定理得：x 2+42=（8-x ）2，解得：x =3，∴E （3，0），设直线AE 的表达式为y =kx +b （k ≠0），将A （0，6），E （3，0）代入y =kx +b 得：630b k b =⎧⎨+=⎩，解得：62b k =⎧⎨=-⎩，则直线AE 的表达式为y =-2x +6；（3）延长BF 交y 轴于点K （如图2所示），∵AE 平分∠BAO ，∴∠KAF =∠BAF ，又BF ⊥AE ， ∴∠AFK =∠AFB =90°，在△AFK 和△AFB 中，∵KAF BAFAF AFAFK AFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFK ≌△AFB ，∴FK =FB ，即F 为KB 的中点，又∵△BOK 为直角三角形，∴OF =BK =BF ，∴△OFB 为等腰三角形，过点F 作FH ⊥OB ，垂足为H （如图2所示），∵OF =BF ，FH ⊥OB ，∴OH =BH =4，∴F 点的横坐标为4，设F （4，y ），将F （4，y ）代入y =-2x +6，得：y =-2，∴FH =|-2|=2，则S △OBF =OB •FH =×8×2=8；（4）在Rt △AOE 中，OE =x ，OA =6，根据勾股定理得：AE ==，又BE =OB -OE =8-x ，S △ABE =AE •BF =BE •AO （等积法），∴BF ==（0＜x ＜8），又BF =y ，则y =（0＜x＜8）．8．（闵行2018期末22）已知直线y ＝kx +b 经过点A （﹣20，5）、B （10，20）两点． （1）求直线y ＝kx +b 的表达式； （2）当x 取何值时，y ＞5．【答案】（1）y ＝12x +15；（2）x ＞﹣20； 【解析】解：（1）根据题意得2051020k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得1215k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线解析式为y ＝12x +15； （2）解不等式12x +15＞5得x ＞﹣20，即x ＞﹣20时，y ＞5．9. （松江2019期中23）已知一次函数y=kx+b （k 、b 是常数）的图像平行于直线3y x =-，且经过点（2，-3）.（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数与两坐标轴所围成的图形面积.【答案】(1) y=-3x+3；(2)32. 【解析】解：（1）∵y=kx+b 平行于直线3y x =-，∴k=-3，∵一次函数经过点（2，-3），∴代入得b=3，∴y=-3x+3；（2）一次函数与x 轴交于点（1，0），与y 轴交于点（0，3），∴面积133122S ∆=⨯⨯=. 10. （浦东2018期末21）已知直线y =kx +b 与直线13y x k =-+都经过点A （6，-1），求这两条直线与x 轴所围成的三角形面积．【答案】2；【解析】解：∵直线y =kx +b 与直线y =-x +k 都经过点A （6，-1），∴，解得，∴两条直线的解析式分别为y =x -7和y =-x +1，∴直线y =x -7与x 轴交于点B （7，0），直线y =-x +1与x 轴交于点C （3，0），∴S △ABC =×4×1=2，即这两条直线与x 轴所围成的三角形面积为2．11.（金山2018期中23）已知一次函数的图像经过点A （-3，2），且平行于直线41y x =+. （1）求这个函数解析式；（2）求该一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积. 【答案】（1）414y x =+；（2）492； 【解析】解：（1）因为一次函数图像与直线41y x =+平行，所以设一次函数4y x b =+，把(3,2)A -代入得122b -+=，得14b =，所以414y x =+；（2）设直线414y x =+与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，当x=0时，y=14，故B （0，14）；当y=0时，x=72-，故7(,0)2A -, 所以7,142OA OB ==，所以11749142222AOB S OA OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=. 12.（崇明2018期中28）已知：如图，在直角坐标平面中，点A 在x 轴的负半轴上，直线y kx =经过点A ，与y 轴相交于点M ，点B 是点A 关于原点的对称点，过点B 的直线BC x ⊥轴，交直线y kx =于点C ，如果60MAO ∠=︒.（1）求直线AC 的表达式；（2）如果点D 在直线AC 上，且ABD ∆是等腰三角形，请求出点D 的坐标.【答案】（1）y =2）(2,D -或；【解析】解：（1）由题意，得点M的坐标为，即OM =60CAB ∠=︒，所以AO ＝１，即点A 的坐标为（－1，0）；因为直线y kx =经过点A，0k ∴=-即k =所以这条直线的表达式为y = （2）由题意，得点B （1，0）. 设直线AC 上的点D的坐标为(m ，因为ABD ∆是等腰三角形，所以： 当AB=AD 时，点D坐标为(2,D -或；当AB=BD 时，点D坐标为D 、（-1，0）（与点A 重合，舍去）；当BD=AD 时，点D的坐标为.综上所述，点D的坐标为(2,D -或.13.（松江2018期中27）如图，直线y =+与x 轴相交于点A，与直线y 相交于点P.（1）求点P 的坐标；（2）请判断OPA ∆的形状并说明理由；（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B ，设运动t 秒时，矩形EBOF 与OPA ∆重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式.【答案】（1）(2,；（2）OPA ∆是等边三角形；（3）22(02)4)t S t <≤=⎨⎪+-<<⎪⎩ 【解析】解：（1）由y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩P的坐标为(2,；（2）OPA ∆是等边三角形. 证明：当y=0时，x=4，所以A （4，0）；24OP =，4PA ，所以OA=OP=PA ，所以OPA ∆是等边三角形. （3）当02t<≤时，211222t S OF EF ==⨯；当24t <<时，2144222t t S t ⎛⎫⎫=⨯-+-=+-⎪⎪⎝⎭⎭故22(02)4)t St <≤=⎨⎪+-<<⎪⎩.14．（浦东四署2018期中26）将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y ＝kx －7的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，那么△ABO 为此一次函数的坐标三角形（也称为直线AB 的坐标三角形）． （1）如果点C 在x 轴上，将△ABC 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点D （0，18）上， 求直线BC 的坐标三角形的面积；（2）如果一次函数y ＝kx －7的坐标三角形的周长是21，求k 值；（3）在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是（0，8），直线AB 上有一点P ，使得△PDE 周长最小，且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．【答案】（1）84；（2）43k =-；（3）45y x=-； 【解析】解：（1）∵翻折，∴BC ＝BD ．∵点B （0，－7）、D （0，18），∴BC ＝25，OB ＝7，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，∴OC 2＋72＝252，∴OC ＝24， ∴直线BC的坐标三角形的面积＝12×7×24＝84． （2）设点A 的坐标为（m ，0），（m ＜0）．∵点B （0，－7），∴OA ＝－m ，OB ＝7，AB ＝227m +．∵△ABO 的周长为21∴－m ＋7＋227m +＝21∴227m +＝m ＋14，平方，得28m ＝－147，∴m ＝214-，∴点A （214-，0）．将点A （214-，0）的坐标代入y ＝kx －7，得43k =-； （3）联结CE 交AB 于点P ，联结DP ．∵PC ＝PD ，点P 与C 、E 在一条直线上，∴PE ＋PD ＝PE ＋PC ＝CE ，∵CE 为定长，∴△PDE 的周长最小． ∵点C （－24，0）、E （0，8），∴直线CE 的解析式为y＝13x ＋8． ∵直线AB 的解析式为y ＝43-x －7，∴联立183473y x y x ⎧⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩＝＋，解得95x y =⎧⎨=⎩∴点P 的坐标为（－9，5 ） ，∴反比例函数的解析式为45y x=-．模块二：一次函数的性质与应用1. （黄浦2018期中21）已知一次函数y =（1-2m ）x +m +1（m ≠），函数值y 随自变量x 值的增大而减小．（1）求m 的取值范围；（2）在平面直角坐标系xOy 中，这个函数的图象与x 轴的交点M 位于x 轴的正半轴还是负半轴？请简述理由．【答案】（1）12m >；（2）交点M 位于x 轴的正半轴；【解析】解：（1）∵一次函数y =（1-2m ）x +m +1（m ≠），函数值y 随自变量x 值的增大而减小，∴1-2m ＜0，解得12m >；（2）在平面直角坐标系xOy 中，这个函数的图象与x 轴的交点M位于x 轴的正半轴．理由：令y =0，则（1-2m ）x +m +1=0，整理，得x =由（1）知，m ＞，则m +1＞0，2m -1＞0，∴x =＞0，∴在平面直角坐标系xOy 中，这个函数的图象与x 轴的交点M 位于x 轴的正半轴．2.（崇明2018期中26）根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗. 某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完. 游泳池内的水量Q （3m ）和开始排水后的时间t （h ）之间的函数图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？ （2）当23.5t ≤≤时，求Q 关于 t 的函数表达式.【答案】（1）0.5小时，3003m h ∕；（2）3001050Q t =-+；【解析】解：（1）暂停排水需要的时间为2-1.5=0.5小时；因为排水时间一共是：3.5-0.5=3小时，一共排水9003m ，所以排水孔排水速度是：900÷3=3003m h ∕；（2）当2 3.5t ≤≤时，设Q 关于 t 的函数表达式为Q kx b =+，易知图像过点（3.5，0），因为 1.5t =时，排水300 1.5450⨯=，此时Q=900-450=450，所以点（2，450）在直线Q kx b=+上，把（3.5，0）、（2，450）代入Q kx b =+，得24503.50k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3001050k b =-⎧⎨=⎩，所以Q 关于 t 的函数表达式为3001050Q t =-+.3.（金山2018期中26）某地举行龙舟赛，甲、乙两队在比赛时，路程y （米）与时间x （分钟）的函数图像如图所示，根据函数图像填空和解答问题：（1）最先到达终点的是 队，比另一队领先 分钟到达；（2）在比赛过程中，甲队的速度始终保持为 米/分；而乙队在第 分钟后第一次加速，速度变为 米/分，在第 分钟后第二次加速；（3）假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁先到达终点？请说明理由.【答案与解析】（1）乙；0.6； （2）160，1，175，3； （3）乙队第一次加速后，始终保持这个速度继续前进走完余下路程需要的时间为700÷175=4，所以乙队走完全程时间为4+1=5分钟，因为甲队走完全程的时间是5分钟，故甲队与乙队同时到达.4.（浦东一署2018期中20）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x （时），两车之间的距离为y （千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系．根据图中的信息：（1）求线段AB 所在直线的函数解析式；（2）可求得甲乙两地之间的距离为______千米；（3）已知两车相遇时快车走了180千米，则快车从甲地到达乙地所需时间为______小时．【答案】（1）y=-140x+280；（2）280（3）289； 【解析】解：（1）设线段AB 所对的函数解析式为y=kx+b ， 1.57020k b k b +=⎧⎨+=⎩，得140280k b =-⎧⎨=⎩， 即线段AB 所在直线的函数解析式为y=-140x+280；（2）当x=0时，y=-140×0+280=280， 故答案为：280；（3）由题意可得，快车的速度为：180÷2=90千米/小时，则快车从甲地到达乙地所需时间为：280÷90=289（小时），故答案为：289． )5. （松江2019期中25）一果农带了若干千克自产的苹果进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又半价售完剩下的苹果．售出苹果千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）果农自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克苹果出售的价格是多少？（3）降价售完剩余苹果后，这时他手中的钱（含备用零钱）是1120元，问果农一共带了多少千克苹果？【答案】(1)40元；(2) 12（元/千克）；(3) 100千克.【解析】解：（1）由图可知，果农自带的零钱是40元；（2）（1000-40）÷80=12（元/千克）；（3）后来又按半价出售，则降价后的售价是12÷2=6（元/千克），（1120-1000）÷6=20（千克），80+20=100（千克），答：果农自带的零钱是40元；降价前苹果的售价是12元/千克；果农一共带了100千克苹果.6．（青浦2018期末22）庆华社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示．（1）求提高效率后，s关于t的函数关系式；（2）该绿化组提高工作效率后每小时完成的绿化面积比提高工作效率前每小时完成的绿化面积多多少？【答案】（1）450600y x =-；（2）1502m ；【解析】解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，则4120051650k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得450600k b =⎧⎨=-⎩． 故直线AB 的解析式为450600y x =-；（2）∵直线AB 的解析式为450600y x =-，当x ＝2时，y ＝450×2﹣600＝300，300÷2＝150（m 2）．答：该绿化组提高工作效率后每小时完成的绿化面积比提高工作效率前每小时完成的绿化面积是150m 2．7. （浦东四署2018期中22） 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．【答案】（1）40y x =-+；（2）200元；【解析】解：（1）设此一次函数解析式为y kx b =+，则15252020k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得1,40k b =-=，即一次函数解析式为40y x =-+． （2）每日的销售量为y =-30+40=10件， 所获销售利润为（30－10）×10=200元.8. （黄浦2018期中24）一个水槽有进水管和出水管各一个，进水管每分钟进水a 升，出水管每分钟出水b 升．水槽在开始5分钟内只进水不出水，随后15分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水槽内的水量y （升）之间的函数关系（如图所示）．（1）求a 、b 的值；（2）如果在20分钟之后只出水不进水，求这段时间内y 关于x 的函数解析式及定义域．【答案】（1）a=3，b=2；（2）y=-2x+75（20≤x≤37.5）；【解析】解：（1）由图象得知：水槽原有水5升，前5分钟只进水不出水，第5分钟时水槽实际存水20升．水槽每分钟进水a升，于是可得方程：5a+5=20．解得a=3．按照每分钟进水3升的速度，15分钟应该进水45升，加上第20分钟时水槽内原有的20升水，水槽内应该存水65升．实际上，由图象给出的信息可以得知：第20分钟时，水槽内的实际存水只有35升，因此15分钟的时间内实际出水量为：65-35=30（升）．依据题意，得方程：15b=30．解得b=2．（2）按照每分钟出水2升的速度，将水槽内存有的35升水完全排出，需要17.5分钟．因此，在第37.5分钟时，水槽内的水可以完全排除．设第20分钟后（只出水不进水），y关于x的函数解析式为y=kx+b．将（20，35）、（37.5，0）代入y=kx+b，得：，解得：，则y关于x的函数解析式为：y=-2x+75（20≤x≤37.5）．9. （普陀2018期中21）如图，甲、乙两人到距离A地35千米的B地办事，甲步行先走，乙骑车后走，两人行进的路程和时间的关系如图所示，根据图示提供的信息解答：（1）乙比甲晚______小时出发；乙出发______小时后追上甲；（2）求乙比甲早几小时到达B地？【答案】2；2【解析】解：（1）∵当S=0时，t乙=2，∴乙比甲晚2小时出发；∵当t=4时，S甲=S乙，4-2=2，∴乙出发2小时后追上甲．故答案为：2；2．（2）设甲的路程与时间的函数解析式为S=kt（k ≠0），∴20=4k，解得：k=5，∴甲的路程与时间的函数解析式为S=5t，当S=35时，有5t=35，解得：t=7．设乙的路程与时间的函数解析式为S=mt+n，根据题意，得：20402m nm n=+⎧⎨=+⎩，解得：1020mn=⎧⎨=-⎩，∴乙的路程与时间的函数解析式为S=10t-20．当S=35时，有10t-20=35，解得：t=5.5，∴7-5.5=1.5（小时）．答：乙比甲早1.5小时到达B地．10．（浦东四署2018期中23）上周六，小明一家共7人从家里出发去公园游玩。
一次函数中的面积问题公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
2、如图,一次函数旳图像交x轴于点B(6,0),交正百分比函数旳图像于点A,且点A 旳横坐标为-4,S△AOB =15,求一次函数和正 百分比函数旳解析式.
y
A x
BO
1、如图，已知直线y=-x+2与x轴，y轴分别相 交于A、B两点，另一直线y=kx+b经过B和点 C，将△AOB面积提成相等旳两部分，求k和 b旳值．
16
旳面积为3 ，求y=kx+4旳y 解析式。
A B
oD
Cx
背景变式
1、如图，已知直线y=-x+2与x轴，y轴分别相 交于A、B两点，另一直线y=kx+b经过B和点 C，将△AOB面积提成相等旳两部分，求k和 b旳值．
2、如图，已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交 于点A和点B，另已知直线y=kx+b（k≠0）经 过点C（1，0），且把△AOB提成两部分．
若△AOB被提成旳两部分面积比为1：5， 求k和b旳值．
3、已知一次函数y=2x+6与两坐标轴围成旳三 角形面积被一正百分比函数提成面积旳比为1： 2旳两部分，求这个正百分比函数旳解析式．
如图：正方形ABCD边长为4，将此正方形置于坐标系 中点A旳坐标为（1，0)。
48 (1)过点C旳直线 y 3 x 3 与X轴交与E, 求S四边形AECD (2)若直线l经过点E且将正方形
形状变式
如图所示：直线y=kx+b经过点B（0，3 ）与点C(-
2
1,3)，且与x轴交与点A，经过点E(-2,0)旳 直线
与OC平行，而且与直线y=kx+b交与点D,
(1)求BC所在直线旳函数解析式；
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题
专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题1、填空：一次函数y=0.5x+2的图像与x轴的交点；与y轴的交点；一次函数y=-x-1的图像与x轴的交点为；与y轴的交点；2、直线y=0.5x+2与直线y=-x-1的交点；3、过点〔2，0〕〔0，4〕的直线解析式；例1：直线y=3x-6，1）画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积2）求直线y=-x-1与y轴围成的三角形面积；3）求直线y=-x-1与x轴围成的三角形面积；1、求直线y=x-2与直线y=-2x+4与x 轴围成的三角形面积？2、作业：直线y =4x －2与直线y =－x +13及x 轴所围成的三角形的面积？3、作业：求直线y =2x －7，直线1122y x =-+与y 轴所围成三角形的面积．例2一次函数的图像过点B〔0，4〕且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？变形1：直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式；变形2：一次函数的图像经过点A〔2，0〕，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此一次函数的解析式？例3：一次函数图像交于x轴于点A〔6，0〕，与正比例函数图像交于点B，且点B在第一象限，其横坐标是4，假设△ABO的面积等于15，求这个正比例函数和一次函数的解析式？稳固练习：直线L1经过点A〔-1，0〕与点B〔2，3〕，另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点p〔m，0〕假设假设△APB的面积等于3，求m值和L1、L2的解析式？X直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分成1：1两局部，求直线L的解析式；X直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分成2：1两局部，求直线L的解析式；X一次函数y=kx+b的图像经过M〔-1，1〕和B〔0，2〕设该图像与x轴交于点A，问在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，假设存在，求出符合条件得点P,假设不存在说明理由。
一次函数的面积问题
y
A B
oD
C
x
成两部分。
y
(1)求△ABO的面积。 y1 B P
(2)若△ABO被直线CP分成
A
的两部分面积相等，求点
C
x
P的坐标及直线CP的函数表达式。
y6 与x轴所围成的图
形的面积。 2
2、如图，由x轴，直线y=kx+4及分别过（1，0）,（3， 0)且平行于y轴的两条直线所围成的梯形ABCD的面积 为 1 6 ，求y=kx+4的解析式。
复习回顾
求直线 y 1 x 4 与坐标轴所围成的图形的面积. 2
例1
例：求直线 y 1 x 4 和y 2x 2 与y轴所
2
围成的图形的面积
2、如图所示：直线y=kx+b经过点B（0，23 ）与点C(-1,3)且 与x轴交与点A,经过点E(-2,0)的直线DE与OC平行，并且
此过长点方C的形直置线于坐y 标1系x中 ，2 使与AxB轴在交x与轴点的E正，半与轴Y上轴，交经与
点F。
2
（1）求点E,B,D,A的坐标；（2）求四边形AECD
的面积。 y
D
C
o
A
E
B
x
F
5.如图,在平面直角坐标系中,已知直线
y1
2 3
x
2
与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线y2=kx+b(k≠0) 经过点C(1,0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分
与直线y=kx+b交与点D,
(1)求BC所在直线的函数解析式；（2）求点D的坐标；
（3）求四边形CDEO的面积。
y
D
C B
初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案
初中数学求一次函数图形的面积15道题题专题训练含答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，平面直角坐标系中，过点(0,6)C 的直线BC 与直线OA 相交于点(4,2)A -，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动.(1)求直线BC 的表达式.(2)求OAC ∆的面积.(3)直接写出使OMC ∆的面积是OAC ∆面积的14的点M 坐标.2．已知：2y -与x 成正比例，且2x =时，8y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求函数图像与坐标轴围成的面积．3．已知直线1:33l y x =-和直线23:62l y x =-+相交于点A ． （1）求点A 坐标；（2）若1l 与x 轴交于点B ，2l 与x 轴交于点C ，求ABC 面积．4．在平面直角坐标系中，已知直线l ：y ＝﹣12x+2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 上的点P(m ，n)在第一象限内，设△AOP 的面积是S ．（1）写出S 与m 之间的函数表达式，并写出m 的取值范围．（2）当S ＝3时，求点P 的坐标．（3）若直线OP 平分△AOB 的面积，求点P 的坐标．5．直线AC与线段AO如图所示：（1）求出直线AC的解析式；（2）求出线段AO的解析式，及自变量x的取值范围（3）求出△AOC的面积6．在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，4）两点，且点C(2，2）在直线l上．（1）求直线l的解析式；（2）求△AOB的面积；7．在直角坐标系中，一条直线经过A （﹣1，5），P （2，a ），B （3，﹣3）.（1）求直线AB 的函数表达式；（2）求a 的值；（3）求△AOP 的面积.8．如图，直线11:l y x =和直线22:26l y x =-+相交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，动点P 在线段OA 和射线AB 上运动．（1）求点A 的坐标；（2）求AOB 的面积；（3）当POB 的面积是AOB 的面积的13时， 求出这时点P 的坐标．9．如图，直线1l 的函数解析式为24y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求直线2l 的函数解析式；（2）求ADC ∆的面积；（3）在直线2l 上是否存在点P ，使得ADP ∆面积是ADC ∆面积的1.5倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线1l ：12y x =与直线，2l ：6y x =-+交于点A ，2l 与x 轴交于B ，与y 轴交于点C .（1）求OAC 的面积；（2）若点M 在直线2l 上，且使得OAM △的面积是OAC 面积的34，求点M 的坐标.11．如图，已知直线:l y ax b =+过点()2,0A -，()4,3D .（1）求直线l 的解析式；（2）若直线4y x =-+与x 轴交于点B ，且与直线l 交于点C .①求ABC ∆的面积；②在直线l 上是否存在点P ，使ABP ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.12．如图，直线1l 的解析表达式为3+3y x =-，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A ，点B ，直线1l ，2l 交于点C ．（1）求直线2l 的解析表达式；（2）求ADC 的面积；（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △的面积等于ADC 面积，请直接写出点P 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，过点()60B ，的直线AB 与直线OA 相交于点()42A ，，动点M 在线段OA 和射线AC 上运动．（1）求直线AB 的解析式．（2）求OAC ∆的面积．（3）是否存在点M ，使OMC ∆的面积是OAC ∆的面积的12？若存在求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．14．点()P x y ，在第一象限，且8x y +=，点A 的坐标为()60，，设OPA ∆的面积为S .(1)用含x 的表达式表示S ，写出x 的取值范围，画出函数S 的图象；(2)当点P 的横坐标为5时，OPA ∆的面积为多少？(3)OPA ∆的面积能否大于24？为什么？15．（本题满分10分） 如图，直线23y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .(1)求△AOB 的面积；(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，△ABP 的面积是92，求点P 的坐标.参考答案1．(1) 6y x =+ (2)12 (3) 1(1,)2-、()1,5-、()1,7【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)利用三角形的面积公式即可求解；(3)当OMC 的面积是OAC 的面积的14,求出M 点的横坐标，分别按照题意代入表达式即可; 【详解】解：(1) 设直线AB 的解析式是y kx b =+，根据题意得： 0642k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：16k b =⎧⎨=⎩， 则直线的解析式是：6y x =+； (2)164122OAC S ∆=⨯⨯=; (3) 设OA 的解析式是y mx =，则42m -=， 解得：12m =-, 则直线的解析式是：12y x =-， 当OMC 的面积是OAC 的面积的14时， ∴M 的横坐标是±1， 在12y x =-中,当1x =-时,12y = ,则M 的坐标是1(1,)2-； 在6y x =+中, 当1x =-则5,y = 则M 的坐标是()1,5.-在6y x =+中,当1x =时,7y =,则M 的坐标是()1,7.综上所述：M 的坐标是：111),2(M -或()21,5M -或()31,7M .【点睛】本题考查一次函数综合题.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧在数学中，一次函数是最基础的函数之一，它的图像是一条直线。
而面积则是一个二维概念，通常用来描述平面图形的大小。
一次函数与面积结合起来，可以帮助我们解决一些实际问题，例如求直线与X轴之间的面积、寻找最优解等。
在本文中，我们将介绍一些一次函数与面积结合问题的解题技巧。
一、基本概念在解决一次函数与面积结合问题时，首先需要了解一些基本概念。
一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示函数的变化率，截距表示函数与Y轴的交点。
面积的计算公式为S = 底* 高，对于矩形和平行四边形，底和高即为长度和宽度；对于三角形，则一般取底边和高为两边。
二、求直线与X轴之间的面积当我们需要求一次函数与X轴之间的面积时，可以通过以下步骤进行：1. 找出函数与X轴的交点，即解方程kx + b = 0，得到交点的横坐标x0；2. 确定两个交点间的区间[a,b]，其中a为交点的横坐标的较小值，b为较大值；3. 计算函数在区间[a,b]上的积分，即∫[a,b] (kx + b)dx；4. 根据积分的结果，确定函数与X轴之间的面积。
对于函数y = 2x + 3，我们需要求函数图像在[1,3]上与X轴之间的面积。
解方程2x + 3 = 0，得到交点的横坐标为-3/2；然后计算∫[1,3] (2x + 3)dx = x^2 + 3x，将上限和下限代入，得到面积为10.5。
三、寻找最优解在一些实际问题中，我们需要找到最优解，即使得面积最大或最小的情况。
在这种情况下，我们可以通过一次函数的性质来解决问题。
假设我们需要用一根长度为L的绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大值。
设长方形的长为x，宽为y，则面积为xy。
根据题意，有2x + 2y = L，即x + y = L/2，可以将y表示为y = L/2 - x。
将y代入面积公式中，得到S = x(L/2 - x) = Lx/2 - x^2。
一次函数图象与坐标轴围成的图形面积教学设计
“一次函数图象与坐标轴围成的图形面积”教学设计教材分析：一次函数是八年级下册的内容，本次授课是在学习新知识之后进行的系统复习。
一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，函数是初中数学中的一个重点，一次函数在中考中占有重要的地位，主要考察一次函数关系式的确定、图像和性质的分析以及实际应用等。
将一次函数的图象与面积综合在一起的问题,是考查学生综合素质和能力的热点题型, 已成为中考命题的焦点，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想，分类讨论思想和方程思想。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
教材中一次函数涉及到面积问题的练习很少，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为一次函数图象及性质、求一次函数解析式的常见类型，一次函数相关的面积问题3课时，本节是第3课时。
学情分析：对八年级学生来说，在学习了一次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的性质，能用简单的待定系数法求函数解析式，会求简单图形的面积，但是近年来坐标系下不规则三角形(四边形)面积一类问题频频出现，成为中考命题的高频热点.这类问题涉及知识面广，往往与相似、函数、方程等知识融为一体，考查学生在探索图形变化过程中的变与不变、化归与转化、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
解决这类问题的关键是要把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，灵活地将待求图形的面积进行分割，即选择一条恰当的直线，将三角形(四边形)分割成若干个便于计算面积的三角形，学生若对这类问题的实质把握不清，常常感到束手无策，本节课以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
一次函数图象变换与面积问题
一次函数图象变换与面积问题【专题介绍】在平面直角坐标系，如果改变某个一次函数图象的位置，如何求解新的图象解析式呢？这就本节要学习一次函数图象变换问题，图象变换问题主要有平移，对称和旋转。
而这些问题的本质，还是根据点坐标求一次函数解析式的问题。
另外，我们还会学习一次函数与面积的综合问题。
【学习目标】1.掌握一次函数图象变换的方法。
2.学会利用一次函数解决面积问题。
模块一一次函数图象变换一次函数的平移先做出y=2x的图象①将y=2x向上平移1个单位，画图求解析式②将y=2x向下平移1个单位，画图求解析式总结：上加下减（观察y值的变化）③将y=2x向左平移1个单位，画图求解析式④将y=2x向右平移1个单位，画图求解析式总结：左加右减（观察x值的变化）【例1】（1）一次函数y=2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是（）A y=2x-3B y=2x+2C y=2x+1D y=2x（2）若把一次函数y=2x-3向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（）A y=2xB y=2x-6 C.y=5x-3 D.y=-x-3（3）把函数y=-2x+3的图象向下平移4个单位后的函数图象解析式是（）A. y=2x+7B. y=-6x+3C. y=-2x-1D. y=-2x-5（4）将直线y=-x+2向上平移3个单位，得到直线解析式为【练1】（1）在直角坐标系中，将直线y=kx向左平移两个单位得到y=kx+b,刚好过点（-1,4），则不等式组0<kx+b<-4x的解集为（2）如图，把直线y =-2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点（a , b ） 且2a +b =6,则直线AB 的解析式是（ ）A y =2x -3 B.y =-2x +6 C.y =-2x -3 D.y =-2x -6一次函数的对称【例2】 （1）如果y =kx 与y =4x 的图象关于x 轴对称，则k 的值等于（2）如果y =kx 与y =2x 的图象关于x 轴对称，则k 的值等于（3）一次函数y =(m 2-4)x +(1-m )和y =(m +2)x +(m 2-3)的图象分别与y 轴交于P 、Q.这两点关于x 轴对称，则m 的取值是（ ）A.2B.2或-1C.1或-1D.-1【练2】（1）直线y =2x +5的图象沿y 轴翻折，翻折后图象对应的解析式为（2）已知直线y =-321 x ,则此直线关于y 轴对称的直线为 （3）若直线l :y =kx +b 与直线y =2x -3关于y 轴对称，则直线l 的解析式是（4）一束光沿直线y =-2x +4 照射到x 轴上的平面镜A 被反射，则反射光线所在的直线解析式为 一次函数对称变换一般思想是：“先取特殊点，求出特殊点的对称点，在根据点坐标求新的直线解析式”。
一次函数图象与坐标轴围成的图形面积
成的四边形DOAC的面积. y
y=-x+5
y=2x-4
5D
C
A
E
O2
5
x
-4 B
二 例题选讲 例4：求一次函数y=2x-4，y=-x+5的图像与两坐标轴围 成的四边形DOAC的面积. y
y=2x-4
5D
C
A
E
O2
5
x
-4 B
二 例题选讲 例4：求一次函数y=2x-4，y=-x+5的图像与两坐标轴围 成的四边形DOAC的面积. y
例2：求一次函数y=2x-4，y=-x-4的图像和x轴所围成的
三角形面积.
y y=2x-4
y= - x- 4
C
A
-4
O
2
x
-4 B
y y=2x-4
A
O
x
B
y y=2x-4
A
O
x
B
y y=2x-4
A
O
x
B
y y=2x-4
A
O
x
B
y y=2x-4
A
O
x
B
y y=2x-4
A
O
x
B
y y=2x-4
A
O
x
B
y y=2x-4
A
O
x
B
y y=2x-4
A
O
x
B
二 例题选讲
例3：求一次函数y=2x-4，y=-x的图像和x轴所围成的三
角形面积.
y y=2x-4
y= - x
A
O
x
C
B
二 例题选讲
例3：求一次函数y=2x-4，y=-x的图像和x轴所围成的三
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题
一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积问题
1一次函数y=kx+b与y=3x-5平行，且过点（-1,5）求一次函数表达式？
2.求直线y=3x-6与两坐标轴所围成的三角形的面积
3.将直线y=- 3
4
x+3平移，使其经过（4,3)
（1)、求平移后的函数解析式
（2）求平移后的函数图像与两坐标轴围成的三角形面积
4.已知直线l经过点（-2，4），且与坐标轴围成一个等腰三角形，
（1）求直线的函数的解析式
（2）求所得三角形的周长及面积
5.在直角坐标系中，一次函数的图像与直线y=2x-3平行，且图像与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求一次函数的解析式。
6.已知正比例函数和一次函数的图像如图所示，其中交点A(3,4),且OA=1
2
OB.求（1）正比
例函数和一次函数解析式（2）三角形AOB的面积。
7.如图所示：直线y=kx+b经过点B (0, 3
2
)与点C(-1,3)且与x轴交与点A,经过点E(-2,0)的直
线与OC平行，并且与直线y=kx+b交与点D, (1)求BC所在直线的函数解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）求四边形CDEO的面积。
x
x
如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴交于点A、B，与函数y=2x的图象交于点M，OB=6，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a〉2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=kx+b和函数y=2x于点C、D。
（1）求点M的坐标
（2）求直线AB的表达式．
（3）求△OAM的面积
（4）若OB=CD求a的值
P C
B
D。
一次函数与坐标轴构成的图形的面积
一次函数与坐标轴构成的图形的面积一、一条直线与两坐标轴围成的面积例1.已知一次函数3y x =-的图象与x 轴和y 轴分别交与A 、B 两点，试求ABC S （O 为坐标原点）的面积.分析：如图1，△ABO 是以原点O 为直角顶点的直角三角形，要求△ABC 的面积，可以先求两条直角边O A 、OB 的长，然后根据直角三角形的面积公式就可求出△ABC 的面积.解：当0y =时，3x =，所以A 点坐标为（3，0）；当0x =时，3y =-，所以B 点坐标为（0，-3）,故OA=3,OB=3,所以ABC S ＝12OA OB ⋅=193322⨯⨯=说明：因为在直角坐标系中两坐标轴互相垂直，成的面积时，一般都是转化为求直角三角形的面积，并且两条直角边都在坐标轴上，两直角边的长也即是直线与两坐标轴的交点到原点的距离.二、两条直线与x 轴围成的面积例2.直线21y x =+和直线2y x =-+与x 轴分别交与A 、B 两点，并且两直线相交与点C,那么△ABC 的面积是 .分析：通过观察图形发现，若以AB 为底， CD 为高，那么就可以利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积。
解：作CD x ⊥轴与点D ，直线21y x =+与直线2y x =-+x 轴的交点坐标A 、B分别为（12-，0）和（2，0），解方程组212y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得1353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则C 点的坐标1y为（13，53），C 点到x 轴的距离CD 即是C 的横坐标，故CD=53，那么AB=OA+OB=15222-+= 所以ABC S =12×AB ×CD=155223⨯⨯=2512三、两条直线与y 轴围成的面积例3．已知直线1y x =+和直线3y x =-+与y 轴分别交与A 、B 两点，两直线相 交与点C ，那么△ABC 的面积是 .分析：通过图象观察发现，若以AB 为底，CD 为高，那么利用可以求出△ABC 的面积.解：过点C 作CD ⊥y 轴与点D ，A （0,1）,B （0,3）OA=1,OB=3, 所以AB=0B-OA=3-1=2解方程组13y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以两直线的交点C 坐标为（1，2），C 点到y 轴的距离CD 即是C 点的纵坐标，故CD=2所以ABC S =12×AB ×CD=12×2×2=2 说明：求两直线与坐标轴围成三角形的面积，同样也是采取以坐标轴上的线段为底边，再求该底边上的高，在求高时，我们发现一个规律，两条直线到坐标轴的距离实质上是该点的横坐标或纵坐标，也是围成三角形的高， 然后利用三角形面积公式. 1y =。
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专题：一次函数的图像与坐标轴围成的图形面积问题
1、填空：一次函数y=0.5x+2的图像与X轴的交点_______________ ;与y轴的交点_____________ ；一次函数y=-x-1 的图像与X轴的交点为_____________ ；与y轴的交点 _____________ ；
2、直线y=0.5x+2与直线y=-x-1的交点________________ ；
3、过点（2，0）（0，4）的直线解析式______________________
例1 :已知直线y=3x-6，
1）画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积
2）求直线y=-x-1与y轴围成的三角形面积；
3）求直线y=-x-1与X轴围成的三角形面积；
1、求直线y=x-2与直线y=-2x+4与X轴围成的三角形面积？
2、作业：直线y=4x—2与直线y= —x+13及X轴所围成的三角形的面积？
1 1
3、作业：求直线y=2x—7,直线y -X -与y轴所围成三角形的面积.
例2已知一次函数的图像过点B（0，4）且与两坐标轴围成的三角形面积为
4, 求此一次函数的解析式?
变形1：已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,求直线解析式;
变形2:已知一次函数的图像经过点 A (2, 0),且与两坐标轴围成的三角形
面积为4,求此一次函数的解析式?
例3: —次函数图像交于X轴于点A(6，0)，与正比例函数图像交于点B，
且点B在第一象限，其横坐标是4,若厶ABO的面积等于15，求这个正比例函数和一次函数的解析式?
巩固练习：已知已知直线L i经过点A (-1 , 0)与点B (2, 3),另一条直线
L2经过点B,且与X轴相交于点P (m, 0)若若△ APB的面积等于3 ,求m 值和L i、L2的解析式？
X
直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB
交于点。
，把厶AOB的面积分成1:1两部分，求直线L的解析式；
X
C
1两部分，求直线L的解析式;
变形:
直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A、B两点，直线L经过原点，与线段AB
C
提咼
已知一次函数y=kx+b的图像经过M (-1 , 1)和B (0, 2)设该图像与X轴交
于点A ,问在X轴上是否存在点卩，使厶ABP为等腰三角形，若存在，求出符合条件得点P若不存在说明理由。