【必考题】高三数学上期末试题(含答案)

当 n 2 时, an Sn Sn1 n2 n 12 2n 1,
又当 n 1时, a1 1符合上式,∴ an 2n 1,
∴ bn 1n an 1n 2n 1 ,
∴Tn 111 312 513 1n 2n 1 ①, ∴ Tn 112 313 514 1 n1 2n 1 ②,
__________．
15． ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知
3 a cosC c cos A b, B 60 ，则 A 的大小为__________．
16．已知
x
0,
y
0
，
1 x
y
2 1
2
，则
2x
y
的最小值为
.
17．若正数 a, b 满足 ab a b 3，则 a b 的取值范围_______________。
等腰三角形；③若 acosB bcos A c ，则 ABC —定为直角三角形.以上结论中正确的
个数有（ ）
A．0
B．1
二、填空题
C．2
D．3
13．设an是公比为 q 的等比数列， q 1，令 bn an 1(n 1, 2, ) ，若数列bn有连
续四项在集合53,23,19,37,82中，则 6q = .
求 ABC 的面积.
22．在数列 an 中, 已知 a1 1，且数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 4Sn1 3Sn 4 , n N .
（1）证明数列an 是等比数列；
（2）设数列nan
的前
n
项和为
Tn
，若不等式
Tn
(
3 4
)n
a n
16
0
对任意的
n
N
恒成
立, 求实数 a 的取值范围.
23．己知数列 的前 n 项和为 ，且
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
，求数列
的前 n 项和 ．
24．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且
sin2 A sin2 C sin2 B 3 sin Asin C ．
（1）求角 B ；
（2）点 D 在线段 BC 上，满足 DA DC ，且 a 11， cos( A C) 5 ，求线段 DC 的 5
1 5
，
a3
2a2
2 5
， a4
2a3
4 5
，
a5
2a4
1
3 5
a1
数列
an
是以
4
为周期的周期数列，则 a2018
a45042
a2
1 5
.
故选 A .
【点睛】
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
9．A
解析：A
【解析】
试题分析：
log3 an
1 log3 an1 log3 an1 log3 an
①-②,得 2Tn
1
2 12
13
14
1n
2n
1 1 n1
1
2
12 1 1 n1 1 1
源自文库
2n
1
1 n1
2
1n
n
,
∴Tn 1n n ,
∴数列bn的前 n 项和Tn 1n n .
故选:A. 【点睛】 本题考查了根据数列的前 n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前 n 项和,考查了计算能 力,属中档题.
长．
25．已知在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， bsin B tanC bcos B asin AtanC acos A． （1）求证： A B ； （2）若 c 3 ， cos C 3 ，求 ABC 的周长．
4 26．在 ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，角 A 、 B 、 C 的度数成等差 数列， b 13 . （1）若 3sin C 4sin A ，求 c 的值； （2）求 a c 的最大值.
1,
若
a1
3 5
，则数列的第 2018 项为
（
）
A． 1 5
B． 2 5
C． 3 5
D． 4 5
9．已知数列{an}满足 log3 an 1 log3 an1(n N ) 且 a2 a4 a6 9 ，则
log1 (a5 a7 a9 ) 的值是( ) 3
A．－5
B．－ 1 5
C．5
D． 1 5
为_____．
三、解答题
21．在条件① (a b)(sin A sin B) (c b)sin C ，② asin B bcos(A ) ， 6
③ bsin B C a sin B 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 2
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， b c 6， a 2 6 ， .
18．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则 an＝________．
19．已知数列 {an } (
n N*
)，若 a1
1， an1
an
1 2
n
，则
lim
n
a2n
．
20．已知二次函数 f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则 a 1 c 1 的最小值 ca
画出可行域，平移基准直线 2x y 0 到可行域边界的点 C 1, 1 处，由此求得 z 的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，平移基准直线 2x y 0 到可行域边界的点 C 1, 1 处，此时 z 取 得最小值为 21 1 1.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
（ ）．
A． S4 S5
B． S4 S5
C． S6 S5
D． S6 S5
7．已知正项等比数列
an
的公比为 3 ，若 aman
9a22 ，则
2 m
1 2n
的最小值等于（
）
A．1
B． 1 2
C． 3 4
D． 3 2
8．已知数列{an} 满足 an1
2an 2an
,0
an
1 2
,
1 1, 2 an
详解：由于
f
x
3x2loxg2 x1,,
x x
0 0
，
当 x＞0 时，3+log2x≤5，即 log2x≤2=log24，解得 0＜x≤4，
当 x≤0 时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，
∴不等式 f（x）≤5 的解集为[﹣2，4]，
故选 B．
点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的
【必考题】高三数学上期末试题(含答案)
一、选择题
1．等差数列an中，已知 a7 0 ， a3 a9 0 ，则an 的前 n 项和 Sn 的最小值为
（）
A． S4
B． S5
C． S6
D． S7
2．已知数列an的前 n 项和 Sn n2 ， bn 1n an 则数列bn的前 n 项和Tn 满足
2
2
6．B
解析：B 【解析】
分析：由等差数列的性质，即 a2 a8 2a5 ，得 a5 =0 ，又由 S5 S4 a5 ，得 S5 S4 .
详解： 数列an为等差数列， a2 a8 2a5
又 a2 6, a8 6 ， a5 =0
由数列前 n 项和的定义 S5 S4 a5 ， S5 S4
故选 B.
点睛：本题考查等差数列的性质与前 n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运
用数列的基本概念与性质.
7．C
解析：C 【解析】
∵正项等比数列 an 的公比为 3，且 aman 9a22
∴ a2 3m2 a2 3n2 a22 3mn4 9a22
∴mn 6
∴ 1 (m n)( 2 1 ) 1 (2 m 2n 1) 1 (5 2) 3 ，当且仅当 m 2n 4
故答案选 C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将 Sn 的最小值转化为 an 的正负关系是解题的关键.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据 Sn n2 ,求出数列an的通项公式,然后利用错位相减法求出bn的前 n 项和Tn .
【详解】
解:∵ Sn n2 ,∴当 n 1 时, a1 S1 1;
14．(广东深圳市 2017 届高三第二次（4 月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数 学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积
术”，即△ABC 的面积 S
1 4
a2c2
a2
c2 2
b2
2
，其中
a、b、c
分别为 △ABC
内角 A、B、C 的对边.若 b 2 ，且 tanC 3sinB ，则△ABC 的面积 S 的最大值为 1 3cosB
（）
A．Tn 1n n
B．Tn n
C．Tn n
n, n为偶数， D．Tn 2n, n为奇数.
3．在 ABC 中 , a,b, c 分别为角 A, B,C 所对的边,若 a 2bcos?C ,则此三角形一定是
(
)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角
三角形
4．已知函数
见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间
的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与
边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
4．B
解析：B
【解析】
分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．
1即 log3
an1 an
1 an1 an
3
数列 an 是公比为 3 的等比数列 a5 a7 a9 q3 (a2 a4 a6 ) 33 9 35
log1 (a5 a7 a9 ) 5 ．
3
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每
段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
5．A
解析：A
【解析】
由等差数列的性质得， a5 a6 28 a1 a10 ，其前10 项之和为
10a1 a10 10 28 140 ，故选 A.
3．C
解析：C
【解析】
在 ABC 中， cos C a2 b2 c2 ,a 2b cos C 2b a2 b2 c2 ，
2ab
2ab
a2 a2 b2 c2 ，b c,此三角形一定是等腰三角形，故选 C.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常
f
(x)
{3x2 loxg2
x, 1,
x x
0 0
，则不等式
f
(x)
5 的解集为
()
A． 1,1
B． 2, 4
C． ,20,4 D．,20,4
5．已知等差数列 an ,前 n 项和为 Sn , a5 a6 28,则 S10 ( )
A．140
B．280
C．168
D．56
6．设数列an是等差数列，且 a2 6 ， a8 6 ， Sn 是数列an的前 n 项和，则
6
m 2n 6
2n m 2 6 2
4
时取等号.
故选 C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个
条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的
形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列 an 是以 4 为周期的周期数列，即可得出答案.
【详解】
an1
2an , 0
2an 1,
1 2
an an
1 2 ，a1 1
3 5
a2
2a1
1
x 1
10．已知变量 x,
y
满足约束条件
x
y
3
，则 z 2x y 的最小值为（ ）
x 2 y 3 0
A．1
B．2
C．3
D．6
11．已知 x ， y 均为正实数，且 1 1 1 ，则 x y 的最小值为（ ） x2 y2 6
A．20
B．24
C．28
D．32
12． ABC 中有：①若 A B ，则 sinA>sinB ；②若 sin2A sin2B ，则 ABC —定为
11．A
解析：A 【解析】
分析：由已知条件构造基本不等式模型 x y x 2 y 2 4即可得出.
详解：
x,
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C
解析：C 【解析】 【分析】
先通过数列性质判断 a6 0 ，再通过数列的正负判断 Sn 的最小值.
【详解】
∵等差数列an中， a3 a9 0 ，∴ a3 a9 2a6 0 ，即 a6 0 .又 a7 0 ，∴an 的
前 n 项和 Sn 的最小值为 S6 .