大学物理第五章习题解答

q内 Q1
E3
Q1
4 0 r 2
（4）r R3 :
q内 Q1 Q2
E4
Q1 Q2
40r 2
21: 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别
为R1和R（2 R1 R2），单位长度上的电荷为。求离轴线为r处
的电场强度：（1）r R1；（2）R1 r R2；（3）r R2。
5.1 电荷面密度均为两块“无限大”均匀带电的平行平板如图
(a)放置，其周围空间各点电场强度E （设电场强度方向向右为
B 正、向左为负）随位置坐标x变化的关系曲线为（ ）
E
y 20
0
E 0
a
ax
a
a
x 0
( A)
(B)
a 0 a x
0
0
0
E
0
E
0
a a x
(C )
a a x
(D)
B 5.2 下列说法正确的是（ ）
dl Rd
x
(3) dE的大小，方向？
y
Rd x
y
dE
xdq
40 ( y 2 x2 ) 32
xydl 2 0 R3
R sin R cosRd 2 0 R3
cos sin d 沿 x 方向 。
2 0
(4) 能不能由 dE 直接积分？ 积分限如何确定？
因为各圆环在o 点处 dE 同向, 可直接积分 。
2 0
x2
x2
r2
2 0
1
x2 r2
r
0
E2 p E1
考虑方向，则P点的总场强：
E
E1
E2
2 0
i
2 0
1
x
i
2 0 x2 r 2
x x2
r2
i
x
讨论：
若P点位于圆孔中心，则x 0 E 0；
若P点与平板相距很远，x r
则E 2 0
x i x2 r2 20
(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B)电场强度不为零的点，电势也一定不为零
零势点
(C)电势为零的点，电场强度也一定为零
(D)电势在某一区域内为常数，则电场强度在该区域内必定为
零
均匀带电球面内的电势：
V
rR
E内 dr
RE外
dr
RE外dr
Q 4πε0 R
0 r R
E
Q
4ε0r 2
q内 0 E1 0
R1
R2
俯视图
E q内
2 0rl
（2）R1 r R2
q内
l
E2
l 2 0rl
2 0r
（3）r R2
q内 l l 0
E
E3 0
R1
R2
俯视图
R1
R2
r
23 :已知均匀带电直线附近的电场强度近似为E
2 0r
er
,其中
为电荷线密度.(1)求在r r1和r r2两点间的电势差;(2)在点电荷
E0
dE
2
cos
sin d
沿 x 方向 。
0
2 0
4 0
18：如图所示，一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为。在平板
中部有一个半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一
点P的电场强度。
解：补偿法，在圆孔处补充密度与平板一致
的同性与异性电荷，这样，P点的场强就变成
r
0
E2
单位时间（1秒）内电子转过的圈数（即频率）：
1
2
2
v 1 T 2
u r
e2
4 0 r 2
m u2 r
， Ek
1 mu2 2
解：电子与氢核之间的电场力扮演向心力角色使得电子绕核旋转。
设电子旋转的角速度为。
e2 mu2
40r2 r
u2 r2
e2
4 0 mr 3
2
e2
4 0 r 2
2Ek r
r
R1
R2
两球面之间的电势差：
U R1R2
VR1
VR2
Q1
4 0
R1
Q2
4 0R2
Q1 Q2
4 0R2
Q1
4 0R1
Q1
4 0R2
27 : 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2，求 （1）各区域电势的分布，并画出分布曲线；（2）两球面上的电势
差为多少？
方法二：
Q1 Q2
利用电势叠加原理， 对半径为R、带电为Q的球面， 其电势分布公式为：
球心处电场强度的大小 。
x
(1)将半球面视为由许多圆环拼成。
y dl
o
y
(2)带电圆环在O点产生的场强为：
dE
40
(
xdq y2
x2
)3 2
沿 x 方向 。
dE
dq ? dq 2ydl
x
Rd
y
x
y
dE
x 2ydl 4 0 R 3
xydl 2 0R3
x R sin , y R cos
R1 4 0r 2
R2 4 0r 2
Q1 Q2
4 0 R1 4 0 R2
Q1 Q2
R2
(2)
R1
r
R2
,
V E dl
R2
E
dl
E dl
r
r
R2
R2 r
Q1
4 0r 2
er
drer
R2
Q1 Q2
4 0r 2
er
drer
Q1
4 0r
Q2
4 0 R2
(3)r R2 ,
Q1 Q2
4 0r 2
(r R2 )
R1
选取无穷远处为零电势点。
(1)r R1,
V E dl
R1
E
dl
R2
E
dl
E dl
r
r
R1
R2
0
R2 R1
Q1
4 0r 2
er
drer
R2
Q1 Q2
4 0r 2
er
drer
R2 Q1 dr Q1 Q2 dr
的电场中,我们曾取r 处的电势为零,求均匀带电直线附近的
电势时能否这样取? 试说明.
解：
U12
r2 E
r1
dr
r2 r1
Edr
2
0
ln
r2 r1
O
r
2 0 (ln r2 ln r1 )
零势点
VA E dr
A
r2 ，VA 不 r2 0，VA 能
27 : 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2，求 （1）各区域电势的分布，并画出分布曲线；（2）两球面上的电势
圆环： ( p159 )
E
1
40
(x2
qx R2)3/2
20 : 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳 外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面电荷为Q2。求电场分布。
解：整个电荷分布具有球对称性，
则电场分布也应该具有球对称性：
作同心Gauss面，同一个Gauss面
上的场强大小相等，方向沿径向。
p
E1
了一密度为的无限大带电平板与一半径为r、 密度为 的圆盘的电场的叠加。
x
无限大带电平板在P点产生的场强大小：E1
2 0
半径为r的带电圆盘在其轴线上P点的场强大小：
dEx
xdq
40 (x2 r 2 )3 2
xrdr 20 (x2 r 2 )3 2
R
E2 0 dEx
x 1
1
x
E2
由高斯定理：E dS
q内
s
0
E 4r 2 q内
0
r为Gauss面半径，也是所考察的
位置到球心的距离。
E
q内
4 0r 2
（1）r R1 : q内 0
E1
q内
4 0r 2
0
（2）R1 r R2 :
q内
Q1
4 3
R23
4 3
R13
4 r3
3
4 3
R13
E
q内
4 0r 2
解：电荷分布具有轴对 称，作同轴的封闭圆柱 面
-+
l
-
+ +
Baidu Nhomakorabea
-+
R1 R2
作Gauss面，该Gauss面底面半径为 r，高度范围 l。
由 高斯 定理：SE
dS
q内
0
上E dS 下E dS 侧E dS 侧E dS E 2rl
E q内
2 0rl
全空间分为3个区域来讨论 （1）r R1
R1
R2
V
Q
4 0
Q
，（r R
，（r
R） R）
4 0r
Q1 Q2
R1
R2
对半径为R、带电为Q的球面：
V
Q
4 0
Q
，（r R
，（r
R） R）
4 0r
r
R1
: V1
Q1
4 0R1
Q2
4 0R2
V
R1
r
R2
: V2
Q1
4 0r
Q2
4 0R2
r
R2
: V3
Q1
4 0r
Q2
4 0r
Q1 Q2
Q1
4 3
r3
R13
4
3
R23 R13
Q1 r 3 R13 R23 R13
全空间分为四个区域来分析，则 应作4个区域的Gauss面，如图。
E2
Q1 r 3 R13
4 0 R23 R13
r2
不特殊说明，均作正电荷处理。
E
R1
R2
R3 r
E
q内
4 0r 2
（3）R2 r R3 :
(A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷；
(B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必 定为零
(C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为 零
(D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度
都不可能为零
E dS
q内
s
0
D 5.3 下列说法正确的是（ ）
rR
E
（V
i
V
j
V
k)
x y z
7 : 质量为m，电荷为 e的电子以圆轨道绕氢核旋转，其初动能为
EK。证明电子的旋转频率满足： 2
32
2 0
EK3
me4
，其中
是真空电容
0
率，电子的运动可视为遵守经典力学定律。
分析：
根据题意将电子作为经典粒子。可把电子和氢核看做是点电荷。
电子转一圈用时（即周期）：T 2
2
0
ln
R2 R1
2 0U12
1 9109 SI
4 0
ln R2
R1
450
2.1108 C / m
2 9109 ln 0.1
0.03
(2)R1
r
0.05m
R2
:
E
2 0r
er
E 1 2 0U12 U12 450 7475V / m
2 0r 2 0r ln R2 r ln R2 0.05 ln 0.1
1 i i
1
r2 x2
2 0
18：如图所示，一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为。在平板
中部有一个半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一 点P的电场强度。
解： dq ds 2 rdr
1 x 2rdr dE 40 ( x2 r 2 )3 / 2
r
dr
x 2
rdr
E
40
r
( x2 r 2 )3 / 2
V
E dl
r
r
Q1 Q2
4 0r 2
er
drer
r
Q1 Q2
4 0r 2
dr
Q1
4
Q2 0r
U
Q1 Q2
R1
R2
r
R1
R2
V1
Q1
4 0R1
Q2
4 0R2
(r R1)
V2
Q1
4 0r
Q2
4 0R2
(R1 r R2 )
V3
Q1 Q2
4 0 r
(r R2 )
Q1 Q2
R1
R1
0.03
解： E dS S
q内 0
r
-+
l
-
+ +
-+
R2
R1 R2
R1
E2 rh h 0
E
2 0 r
R1
R2
俯视图
（1）U12
R2
E dl
R1
R2
R1
dr 2 0 r
hS r
R2 dr R2 dr
ln R2
R1 20r R1 20r 20 R1
-+
l
-
+ +
-+
R1 R2
（1）U12
差为多少？ 方法一：先求带电体的电场分布：
Q1 Q2
由高斯定理 E dS
q内 得到E
q内
S
0
4 0r 2
其电场分布为：
R1
R2
0 (r R1)
E
Q1
4 0
r
2
(R1 r R2 )
Q1 Q2
4 0r 2
(r R2 )
0 (r R1)
E
Q1
4 0r
2
(R1 r R2 )
4 0r
R1
R2
r
两球面之间的电势差：
U R1R2
VR1
VR2
Q1
4 0
R1
Q2
4 0R2
Q1 Q2
4 0R2
Q1
4 0R1
Q1
4 0R2
30 : 两根同长的同轴圆柱面（R1 0.03m，R2 0.1m），带有等量异号 的电荷，两者的电势差为450V。求（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？ （2）r 0.05m处的电场强度。
e2
8 0 EK
于是：v2
( 1 )2 T
( 2
)2
1
4 2
e2
4 0 mr 3
1
4 2
e2
4
0
m
e2
8 0 EK
3
1
4
2
e2 80EK 4 0 me6
3
512 303e2EK3 16 30me6
32
2 0
EK3
me4
10 : 一半径为 R的半球壳，均匀地带有 电荷，电荷面密度为 ，求