自动控制原理与系统控制系统的频率特性
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4
二、频率特性与传递函数的关系
由拉氏变换可知，传递函数的复变量s =σ+jω。 当σ=0时，s = jω。所以G（jω）就是σ=0时 的G（s），即复域与频域的关系为：
传递函数 G(s)
s j 频率特性 s j G( jω)
5
三、频率特性的表示方法
1、数学式表示法
G(j) G(j) G(j)
图4-3
4.2 典型环节的Bode图
一 、 比例环节
传递函数 ：
G(s) C(s) K R(s)
频率特性 ：
G( j) C( j) K R( j)
对数频率特性 ：
L 20 lg K dB
0
Bode图 ：
图4-4
▪对数幅频特性L(ω)为水平直线，其高度为20lgK。
▪对数相频特性φ(ω)为与横轴重合的水平直线。
修正量：最大误差发生在交接频率ω=1/ T处，该处的实际值为
L() 1 20lg (T)2 1 20lg 2 3.03dB T
L( )
1/T
-+20dB/dec
-90o
图4-7
14
▪对数相频特性 arctanT
• 低频：当ω→0时， φ(ω)→0。 • 高频：当ω→∞时，φ(ω) →-90o。 • 转折频率处的相位：当ω=1/ T时，φ(ω)=-arctan1=-45o。
如图4-4所示。
比例环节放大倍数K变化，系统的L(ω)上下平移，但φ(ω)不变。 10
二 、 积分环节
传递函数 ：
G(s) C(s) 1
1
频率特性 ： R(s) s
G(j) C(j) 1 对数频率特性 ：R(j) j
L 20lg dB
1
90
图4-5
Bode图 ：
▪对数幅频特性L(ω)过点（1，0）、斜率为-20dB/dec的一 条直线 。 ▪对数相频特性φ(ω)为一条-90o 的水平直线 。
低频渐近线： T 1 L 20lg1 0
高频渐近线： T 1 L 20lgT
低频渐近线为零分贝线。
13
高频渐近线为一条在ω=1/T处穿越横轴、且斜率为-20dB/dec的直线。对 数幅频特性曲线可近似地用上述两条直线表示，且它们相交于ω=1/T（转
折频率）处。由这两条直线构成的近似对数幅频特性曲线称为渐近对 数幅频特性曲线。
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
定义： L(ω)=20lgA(ω)—— 对数幅频特性 ψ(ω)=∠G(jω)—— 对数相频特性
➢对数幅频特性曲线（半对数坐标图） ➢对数相频特性曲线
8
横坐标表示频率ω，单位为rad/s。按 对数分度，即以㏒ω标注刻度。但为方 便读数，横轴标注ω本身的数值，所以 横坐标的刻度是不均匀的。角频率ω变 化10倍，在横坐标上距离的变化为一个 单位，即lg10=1，称为一个“10倍频程” 记为dec。 零频（ω=0）不可能在横坐 标上表达出来。横坐标的最低频率，一 般以我们感兴趣的频率范围来决定。
11
三、 理想微分环节
传递函数 ：
G(s)
C
(s)
s
R(s)
频率特性 ：
G( j) C( j) j R( j)
对数频率特性 ：
L 20 lg dB
90
Bode图 ：
图4-6
▪ 对数幅频特性L(ω)为过点（1/τ，0）、斜率为20dB/dec
的一条直线。
▪ 对数相频特性φ(ω) φ(ω)为一条90o 的水平直线。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
其频率特性为
G( j) 1 Tj 1
幅频特性为 相频特性为
A()
1
(T)2 1
() G( j) 0 arctan1 T
7
2、图形表示法 1）极坐标图（又称奈奎斯特图）
当 ω 从 0→∞ 变 化 时 ， 根 据 频 率 特 性 的 极 坐 标 式 G( jω)=A(ω)∠ψ(ω) ， 可 以 算 出 每 一 个 ω 值 所 对 应 的 A(ω) 和 φ(ω)，将它们画在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐 标图。 2）对数频率特性（Bode图）
L( )
1/T
+20dB/dec
-90o
图4-7
15
五、 比例微分环节
传递函数 ：
G(s) C(s) s 1
R(s)
频率特性 ：
G(j) C(j) j 1 R(j)
对数频率特性 ：
L() 20lg ()2 1
arctan
Bode图 ：
图4－8
因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个 符号，所以只要把惯性环节的Bode图向上翻转一下即可。 如图4－8
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
第四章 控制系统的频率特性分析
1
4.1 频率特性的基本概念
一、频率特性的定义
• 采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应。
输入 r(t)=ArSin（t＋ r）
系统
输出（稳定后） c(t)=AcSin（t+c）
• 系统对不同频率的正弦输入的稳态响应特性称为频率特性。
Ar不变，改变角频率ω
二、频率特性与传递函数的关系
由拉氏变换可知，传递函数的复变量s =σ+jω。 当σ=0时，s = jω。所以G（jω）就是σ=0时 的G（s），即复域与频域的关系为：
传递函数 G(s)
s j 频率特性 s j G( jω)
5
三、频率特性的表示方法
1、数学式表示法
G(j) G(j) G(j)
图4-3
4.2 典型环节的Bode图
一 、 比例环节
传递函数 ：
G(s) C(s) K R(s)
频率特性 ：
G( j) C( j) K R( j)
对数频率特性 ：
L 20 lg K dB
0
Bode图 ：
图4-4
▪对数幅频特性L(ω)为水平直线，其高度为20lgK。
▪对数相频特性φ(ω)为与横轴重合的水平直线。
修正量：最大误差发生在交接频率ω=1/ T处，该处的实际值为
L() 1 20lg (T)2 1 20lg 2 3.03dB T
L( )
1/T
-+20dB/dec
-90o
图4-7
14
▪对数相频特性 arctanT
• 低频：当ω→0时， φ(ω)→0。 • 高频：当ω→∞时，φ(ω) →-90o。 • 转折频率处的相位：当ω=1/ T时，φ(ω)=-arctan1=-45o。
如图4-4所示。
比例环节放大倍数K变化，系统的L(ω)上下平移，但φ(ω)不变。 10
二 、 积分环节
传递函数 ：
G(s) C(s) 1
1
频率特性 ： R(s) s
G(j) C(j) 1 对数频率特性 ：R(j) j
L 20lg dB
1
90
图4-5
Bode图 ：
▪对数幅频特性L(ω)过点（1，0）、斜率为-20dB/dec的一 条直线 。 ▪对数相频特性φ(ω)为一条-90o 的水平直线 。
低频渐近线： T 1 L 20lg1 0
高频渐近线： T 1 L 20lgT
低频渐近线为零分贝线。
13
高频渐近线为一条在ω=1/T处穿越横轴、且斜率为-20dB/dec的直线。对 数幅频特性曲线可近似地用上述两条直线表示，且它们相交于ω=1/T（转
折频率）处。由这两条直线构成的近似对数幅频特性曲线称为渐近对 数幅频特性曲线。
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
定义： L(ω)=20lgA(ω)—— 对数幅频特性 ψ(ω)=∠G(jω)—— 对数相频特性
➢对数幅频特性曲线（半对数坐标图） ➢对数相频特性曲线
8
横坐标表示频率ω，单位为rad/s。按 对数分度，即以㏒ω标注刻度。但为方 便读数，横轴标注ω本身的数值，所以 横坐标的刻度是不均匀的。角频率ω变 化10倍，在横坐标上距离的变化为一个 单位，即lg10=1，称为一个“10倍频程” 记为dec。 零频（ω=0）不可能在横坐 标上表达出来。横坐标的最低频率，一 般以我们感兴趣的频率范围来决定。
11
三、 理想微分环节
传递函数 ：
G(s)
C
(s)
s
R(s)
频率特性 ：
G( j) C( j) j R( j)
对数频率特性 ：
L 20 lg dB
90
Bode图 ：
图4-6
▪ 对数幅频特性L(ω)为过点（1/τ，0）、斜率为20dB/dec
的一条直线。
▪ 对数相频特性φ(ω) φ(ω)为一条90o 的水平直线。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
其频率特性为
G( j) 1 Tj 1
幅频特性为 相频特性为
A()
1
(T)2 1
() G( j) 0 arctan1 T
7
2、图形表示法 1）极坐标图（又称奈奎斯特图）
当 ω 从 0→∞ 变 化 时 ， 根 据 频 率 特 性 的 极 坐 标 式 G( jω)=A(ω)∠ψ(ω) ， 可 以 算 出 每 一 个 ω 值 所 对 应 的 A(ω) 和 φ(ω)，将它们画在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐 标图。 2）对数频率特性（Bode图）
L( )
1/T
+20dB/dec
-90o
图4-7
15
五、 比例微分环节
传递函数 ：
G(s) C(s) s 1
R(s)
频率特性 ：
G(j) C(j) j 1 R(j)
对数频率特性 ：
L() 20lg ()2 1
arctan
Bode图 ：
图4－8
因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节只相差一个 符号，所以只要把惯性环节的Bode图向上翻转一下即可。 如图4－8
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
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例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
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频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
第四章 控制系统的频率特性分析
1
4.1 频率特性的基本概念
一、频率特性的定义
• 采用正弦信号作为输入信号，当系统稳定后，其输出称频率响应。
输入 r(t)=ArSin（t＋ r）
系统
输出（稳定后） c(t)=AcSin（t+c）
• 系统对不同频率的正弦输入的稳态响应特性称为频率特性。
Ar不变，改变角频率ω