选修4-4_第一讲_坐标系 (用)

C
解：以△ABC的顶点Ａ为原
点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立
E
直角坐标系，由已知，点A、B、
F的坐标分别为 A(0, 0) , B(c, 0) , F(c/2, 0).
O (A) F 设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)，
ห้องสมุดไป่ตู้
Bx
由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，

x' y'
2 2
x y
的作用下，
单位圆x2 y2 1 分别变成什么图形？
6. 已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知 |BC|=4，点A到直线 l 的距离为3，求∆ABC的外心的 轨迹方程。
以 l 为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建 立直角坐标系，
设∆ABC外心为P（x,y）,
故P在BC的垂直平分线PO上，
P
P即OP的(方68程0为5y,6=8－0x，5 ), 故PO 680 10B 答:因巨A响点发比生B在点信晚息4s中听心到的爆西炸偏声北，450, 距中心 6o80 1A 0mx
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
yP NX
则两圆的圆心坐标分别为
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
横坐标x缩为原来的1/2;
O
x
在此基础上，将纵坐标变为原来 的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)
经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为:
O1 O O2
O1(-2, 0)，O2(2, 0)，设P(x, y)
则PM2=PO12-MO12= ( x 2)2 y2 1
同理，PN2= ( x 2)2 y2 1
( x 2)2 y2 1 2[( x 2)2 y2 1]
x2 12x y2 3 0, ( x 6)2 y2 33,
保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 P’(x’, y’)，坐标对应关系为：

x


1x 2
①
y y
我们把①式叫做平面直角坐标 系中的一个坐标压缩变换。
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y
在正弦曲线上任取一点P(x, y),
保持横坐标x不变，将纵坐标伸长
2
为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 O
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x

y

3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
2x 3y
后的点的坐标：
①（1，2）； ②（-2，-1）.
2 曲线C经过伸缩变换

x'

1 3
x


y
'

1 2
y
后的曲线方程是
4x'2 9 y'2 36 则曲线C的方程是
.
3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）
A

x' y'
2 3 3 2
则A（0，3）B（x-2, 0）C(x+2, 0),
由|PA|=|PB|得 x2 6 y 5 0
340m/s，各相关点均在同 B
O
一平面上).
观测点 Ax
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角 坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020)
设P（x, y）为巨响声点，
y
由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|， C
即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
因为
uuuv BE

(
x

c,
y ),
uuuv CF

(
c

x,

y),
uuuv uuuv 所以BE CF

2
(x
2
c)( c

x)

y2
2

0.
22
2
=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0 因此，BE与CF互相垂直.
二 平面直角坐标系 中的伸缩变换
思考：y 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
2
O

x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不 变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。
上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，

y

3
y
后的图形。
(1) 2x+3y=0;
(2) x2+y2=1
解：(1)由伸缩变换
x

y；

2
x得到

x
3y y


1
2 1
3
x y
代入
2x+3y=0;
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0
(2)将

x
y

1
2 1
x 代入x2+y2=1，
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面y 直角坐标系探
究BE与CF的位置关系。
x2 a2

y2 b2
1上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为：
x2 6802

y2 5 3402
1( x 0)
用y=－x代入上式，得 x 680 5, y 680 5,
坐标法
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系， 注意以下原则：
y

3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x2 y2 1
49
在伸缩变换

：
x y


x, ( y,(
0) 0)
下，
直线仍然变成直线，
而圆可以变成椭圆，
那么椭圆可以变成圆吗？
抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
1
求下列点经过伸缩变换
x' y'
x y
B

x' y'
3 2 2 3
x y
x' y x' x 1
C

y'

x
D
y'
y1
4 曲线x2 y2 2 x 0 变成曲线 x'2 16 y'2 4x' 0
的伸缩变换是
.
5
在伸缩变换
x'

y'

2x y
与伸缩变换
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
声响定位问题
观测点
某中心接到其正东、
正西、正北方向三个观测 点的报告：正西、正北两
观测点 信息中心
个观测点同时听到一声巨
y
响，正东观测点听到巨响
的时间比其他两个观测点
C
晚4s，已知各观测点到中
心的距离都是1020m，试
P
确定该巨响的位置。(假定
当时声音传播的速度为

x

1
x
2
③
y 3 y
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
定义:
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:

:

x y
' '


x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P’(x’, y’).
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可 以实现平面图形的伸缩。
① 0, 0
②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到；
③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例3 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换:
x 2x