现代代数基础复习资料

1 设a ，b 为群G 的元素，设a 为5阶元，且33a b ba =，证明ab ba =。

证明：因为33a b ba =，所以133b a b a -=，所以1326()b a b a -=，即166b a b a -=。

又a 为5阶元，所以5a e =，所以1b ab a -=，即ab ba =。

2 证明对群G 的非空子集H ，若对所有,x y H ∈，1xy -也属于H ，证明H 是一个子群。

证明：因对,x y H ∈，1xy H -∈，所以11,,x H e xx H x xe H --∀∈=∈=∈， 1111,,()y H ye y H x y x y H ----∀∈=∈=∈，所以H 是G 的子群。

3 证明在任意群G 中，对其任意两个元素a ，b ，ab 与ba 的阶相等。

证明：因为()1ab a ba a -=，故ab 与ba 共轭。

设ab n =，若()mba e =，则1[()]m a ba a e -=，即()|mab e n m =⇒所以||||ab ba n ==。

4 置换群4S 中有多少个2阶元？解：由置换群中每个元素都可表示为不相交的轮换之积，而k 轮换的阶为k 。

两不相交轮换的阶为k 轮换的最小公倍数。

故二阶元有9个，为： （1 2），（1 3），(1 4), (2 3), （2 4），（3 4），（1 2）（3 4），(1 3)(2 4),（1 4）（2 3）。

5证明群G 的自同构的集合以映射的合成为乘法构成一个群。

证明：:AutG G =群的所有自同构的集合，恒等映射,id AutG AutG ∈≠∅故 由G 上的所有双射显然构成一个群，关于映射的乘法，下证AutG 为其子群 （1）AutG 对于映射的合成封闭：,(),()A u t G a b G a b Gστττ∀∈∀∈⇒∈，， 故()(())(()())(())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ==== 故AutG στ∈。

（2）下证1AutG AutG σσ-∀∈⇒∈'''''1'1,,,,(),()(),()AutG a b G a b G a a b b a a b b σσσσσ--∈∀∈∃∈====使即则11''1''1''''11()(()())(())()()()ab a b a b a b a b a b σσσσσσσσσσ------===== 所以1AutG σ-∈。

故AutG 关于映射合成的乘法构成一个群。

6 设G 是一个群。

证明由()nx x φ=定义的映射:G G φ→是G 到自身的同态。

证明：（1）先证φ是单射：()()111,,,x y Gx y x y x y e x y φφφ---∀∈==⇒=⇒=⇒若即为单射。

（2）再证φ是满射：11,()x G x x φφ--∀∈∈=⇒因G 为群，故G,x 为满射。

（3）G φ⇔为自同构可交换：φφ由（1），（2）知为双射，若为自同构，则： ()111.xy x y φφφ---∀∈=x,y G,(xy)=(x)(y),即1111yx x y x y y x G ----=⇒=⇒可交换。

G 反之若可交换，则：()111111111===xy yx y x x y xy y x x y φφφ---------∀∈=⇒==x,y G ，，(xy)(x)(y)φφφ⇒则为同态，又为双射为自同构。

7 设G 是一个交换群。

证明由=nφ(x)x 定义的n 次幂映射:G G φ→是G 到自身的同态。

证明：G ,,,x y G xy yx ∀∈=因为为交换群，故有 ()()()()nnnxy xy x y x y φφφφ===⇒为同态。

8 证明1101⎛⎫⎪⎝⎭和1011⎛⎫⎪⎝⎭在2()GL R 中为共轭。

但是不存在行列式为1的矩阵A ，使得111100111A A -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

证明：121110(),0111a b A GL A A c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设使得R22101,0,0,11ad ac bca a cb d ad bc c cb ca da ⎛⎫--⎛⎫===≠∈ ⎪ ⎪---++⎝⎭⎝⎭即有R2201110,d e t 0()0111b A b G L b d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故A 形如。

所以与在中共轭。

R211110det 0,1A 0111A b A A -⎛⎫⎛⎫=-<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为故不存在行列式为的矩阵，使得 9 证明若一个群只有有限个子群，则它必为有限群。

证明：设群G 有有限个子群，则G 中每个非单位元的元素的阶都是有限的（否则G 有无限个子群）。

1121,a G a G a ∀∈<>∈-<>则为G 的有限子群，取a 21312G ()a a a G a a <><>∈-<><> 则是的异于的有限子群，再取 312G a a a <><><>则是的一个异于与的有限子群G 如此下去，由于仅有有限个子群，故上述过程不能无限继续下去 12r a a a ∃<><><> 从而r,使G=i (1,2,)G a i <>= 又是有限的，故为有限群。

10 证明若H 是群G 的一个指数为2的子群，则H 必为正规子群。

证明：,,x G x H xH Hx H ∀∈∈==若则 ,:)2,,x H G H G H H x x H H x∉=== 若则由于（故所以 H G 故。

11 证明自由群的任意非单位元都是无限阶元。

证明：设a 为自由群F 的非单位元，F 由集合X 生成，则映射:f X →Z ，诱导出映射:F ϕ→Z 。

又11,iji n n i ij a F a x x ∈= 则，()()()()()()()1111iji n n i ij i iij ij a x x n f x n f x ϕϕϕ==++ 1jik k n m ===∑若|a|是有限的，则()||a ϕ也是有限的，所以m=0，ker a a ϕ∈⇒为单位元，矛盾。

所以|a|是无限阶元。

12 二面体群n D 中有多少个二阶元？（分n 为奇，偶情形讨论） 解：21{|,,}i j n n D a b a e b e a b ba -====当j 为奇数时，()()22,i j i i i i i i a b a b a ba bab a a bb b e -=====所以{|0,1,,1}2ia b i n =- 是阶元当j 为偶数时，i j ia b a =，只有当n 为偶数时2n i=，ia 为2阶元。

13 设x ，y 是二阶自由群2F 的两个生成元。

证明由()()1,x xyx y x φφ-==决定的同态22:F F φ→是一个同构。

证明：由于22:F F φ→，2,F x y =<>，()()1,x xyx y x φφ-==有()()()()()111y x x x y x y y xy φφφφφ---===，故φ为满射构造映射22:F F ϕ→()()1,x y y y xy ϕϕ-==，则2F id φϕϕφ==，则φ为同构。

14 设I ，J 是环R 的两个理想。

举例说明I J 不一定是理想。

证明{|,,}I J r R r x y x I y J +=∈=+∈∈是理想。

证明：例子：在整数环Z 中取理想<2>,<3>，则23<><> 不是理想。

（两个整数互素即可）首先证I+J 是R 的子加群因为0,0,0I J I J ∈∈∈+故，,,,r I J x I y J ∀∈+∃∈∈使得,000r x y r r I J =++=+⇒+为的单位元121212,,,,,r r I Jx x I y y J ∀∈+∃∈∃∈ 111222,r x y r x y =+=+使121212122()(),r r x x y y I J r r r r +=+++∈++=+ ,,,()0r I Jr x y r x y I J r r ∈+=+∃-=--∈++-=对使 可知r 有负逆元r -，故I+J 为R 的子加群。

,,,,,,a R r I J r x y x I y J I J ∀∈∀∈+=+∈∈因为为理想所以,,,ax I ay J ya J xa I ∈∈∈∈，()ar a x y ax ay I J =+=+∈+则()ra x y a xa ya I J I J R =+=+∈+⇒+为的理想。

15 自然数集合在加法和乘法下构成环吗？为什么？答：不构成环。

因为自然数在加法下不构成群。

16 证明n Z 是整数环的素理想当且仅当n 是素数。

证明：充分性：n 为素数，则：,a b ∀∈Z ，ab n ∈⇒Z n||n ab n a ⇒或a n ⇒∈n|b 或Z b n ∈Z 故n Z 是素理想。

必要性：n Z 是整数环的素理想，若n 为合数，1212,1,1n n n n n n n =<<<<12121212||1,1n n n n n n n n n n n n n n n ∈⇒∈∈⇒<<<<或或与矛盾Z Z Z故n 为素数。

17 若12:R R φ→是两个环之间的同构，证明其逆映射也是环同构。

证明：因为12:R R φ→是环同构，所以φ为双射，所以存在映射121:R R φ-→，使得1111,R R id id φφφφ--==，所以1φ-也为双射。

下证1φ-保持加法和乘法运算：因为φ为同构，所以122,a a R ∀∈1111112121212(())(())(())(()())a a a a a a a a φφφφφφφφφ-----+=+=+=+ 则1111212()()()a a a a φφφ---+=+1111112121212(())(())(())(()())a a a a a a a a φφφφφφφφφ-----=== 则1111212()()()a a a a φφφ---=，所以1φ-为同构。

18 设I ，J 是环R 的两个理想。

（1）证明I J 是理想。

（2）证明I 和J 的元素乘积的有限和v v vx y ∑的集合是理想。

此理想记作IJ 。