第四章 原子的精细结构：电子的自旋

矩以及在z方向的分量分别表示为：
l l ( l 1) gl B , s s( s 1) g s B , j j( j 1) g j B l , z ml gl B , s . z m s g s B , j , z m j g j B
j j( j 1) g j B j ,z m j g j B
g—朗德因子
其中，j=l±s，mj=j，j-1，…，-j，共 2j+1个 数值。
g因子是反映物质内部运动的一个重要物理量， 但至今仍是一个假设。
引入 g因子后，电子的轨道磁矩、自旋磁矩和总磁
r 2 iS r n n 2 r 2
e e me rn L 2me 2me
def
e 定义旋磁比： 2me
则电子绕核运动的磁矩为 L
结论：电子绕核运动的磁矩与电子的轨道角 动量反方向，大小通过旋磁比联系。
当原子束落至屏上P点时，偏离x轴的距离为
原子经磁场区（长度为d）后，与x轴线的偏角为：
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
Bz dD z2 z z 3kT
z cos
由以上讨论知，不仅μ呈量子化， μ在z方向的 投影也呈量子化，因为只有这样，z2的数值才 可能是分立的。故从实验测得z2是分立的，反 过来证明μ呈量子化。 此实验是空间量子化最直接的证明，它是第一 次量度原子基态性质的实验。
当只考虑轨道角动量时，
l l ( l 1) B j l , gl 1， 则 l , z m m B
s 3 B j s,gs 2， 则 s,z B
当只考虑自旋角动量时，
三、单电子的g 因子表达式
拉莫尔进动的角频率
L 2
二、轨道磁矩量子表达式
两个量子数（n、l）中，主量子数n决定体系 的能量，角动量量子数 l 决定轨道形状。 根据量子力学的计算，角动量 L 是量子化的， 这包括它的大小和空间取向都是量子化的。 角动量表达式
L
角动量z分量：
l (l 1),
l 0,1,2,n 1
三、实验结果及结论
结果：探测到原子位置有固定的位置，即原子 偏离x 轴的z2数值是分立的。 如H：z2只有两个，即在相片上只看到两条黑斑，
即H在外磁场中只有两取向。而经典理
论认为z2应在某个范围内连续取值。 结论：原子磁矩在外磁场方向即z 方向的投影是量 子化的。即证实了原子在外磁场中的空间量子化。
上式与实验不符，为与实验事实相符，乌仑贝克
与古兹米特进一步假设：电子的自旋磁矩z方向 分量为一个玻尔磁子，即为经典数值的2倍；磁 矩方向与自旋方向相反。
s 3 B s,z B
e 从以上的讨论可知： L 2me 两者相差一倍。
l
s
e S me
3. 电子的自旋磁矩（内禀磁矩） 前已得到电子轨道运动的磁矩
l l ( l 1) B l , z m m B
电子与自旋相联系的磁矩类似于电子轨道 运动的磁矩，可写出电子的自旋磁矩为 3 s( s 1) B B s 2 m 1 s,z s B B 2
3．拉莫尔进动的角速度 磁矩在均匀外磁场中受到的力矩 dL B dt d B 由 L 得 dt d 可改写为 dt
拉莫尔进动的角速度 B
d dt


sin
s 3 B 自旋磁矩： s , z B
j j ( j 1) g j B j l s 总磁矩： j , z m j g j B m j j j l s
二、朗德因子（g因子）
定义一个 g因子，使得对任意角动量 j所对应的磁 矩以及它们在z方向上的投影都成立。表示为
一、乌仑贝克与古兹米特的电子自旋假说
1. 电子不是点电荷，除轨道角动量外还有自旋运动， 具有固有的自旋角动量S（内禀角动量）
1 S s( s 1), s 2 1 2. 它在z方向的分量只有两个： s z 2 1 即自旋量子数在z方向的分量只能取 : 2 1 S z m s , m s 2
其特点是 L不能与z方向重合，
这正是对角动量量子化条件 改动而产生的效果。 角动量矢量在空间的取向 不连续，量子化，取向的 个数与角动量量子数有关， 等于2l+1个。 空间量子化：原子体系角动量在外场（磁场和电 场）方向的投影只能取某些特定值的现象称空间 量子化。
第二节 施特恩—盖拉赫实验
（在外加非均匀磁场中原子束的分裂）
Lz ml , ml 0,1,, l
电子磁矩大小
l L l (l 1)
e l l ( l 1) l ( l 1) B 2m e
e B 0.5788 10-4 eV/T 2me 电子磁矩的z分量：l , z Lz ml
uB称玻尔磁子，为轨道磁矩的最小单元。
l ,z
e ml ml B 2m e
电子磁矩在z方向的投影
l L l ( l 1) B l , z Lz ml ml B 2 2 e 4 1 e 0 玻尔磁子 B ce 2me 2 4 0 c mee2 1 电偶极 c(ea1 ) 距量度 2 电磁波与物质中原子相互作用时 Em cBm
1．电子的自旋与轨道角动量的耦合
总角动量 j。满足矢量相 加法则，合成总角动量。 2．单电子的g 因子表达式 （1）电子的总磁矩：两分量。 j l cos(l , j ) s cos(s , j )
j j( j 1) g j B
电子各种角动量与 相应磁矩的关系
施 特 恩 (O· Stern) 和 盖 拉 赫 (W· Gerlach) 在 1921 年第一次通过实验直接证明了原子在外 场中角动量空间取向的量子化现象。角动量 的空间取向与原子磁矩的空间取向有着密切 的联系。
一、装置：原子源、两个狭缝、只在z 方向不均
匀的非均匀磁场、接收屏。
为使氢原子束在磁场区受力，要求磁场在的0.1nm线度 范围内是非均匀磁场（实验的困难所在）
磁相互作用与电相互作用比： 1 B cea m 1 1 Bm B 1 2 100 Em ea1 cBm ea1 2
三、角动量取向量子化（空间量子化）
根据轨道角动量及其分量的量子化条件
L l ( l 1), l 0,1,2, n 1 ml 0,1, , l Lz ml ,
自旋角动量受到质疑！
如：自旋电子表面线速度
mvr h, rl 10 (m)
16
vl
h mrl
1.0546 1034 J s 9.11031 1016
电子自旋假设受到各种实验的支持，是对电子 认识的一个重大发展。狄拉克于1928年找到一 种与狭义相对论相融洽的理论，可由狄拉克量
（2）g 因子表达式 结合上两式，总角动量对应的朗德因子： ˆ2 gl g s gl g s lˆ2 s gj ˆ 2 2 j2 ˆ 2 lˆ 2 3 1 s 2 ˆ 2 2 j
3 s( s 1) l ( l 1) g 2 2 j ( j 1)
第一节：原子中电子轨道运动的磁矩 一、经典表达式 1．磁矩： iSn
i为电流大小； S为电流所围的面积， n 是垂直于该积的单位矢量。 原子中电子绕核转必定与一个磁距相对应。 2．电子轨道磁矩 设电子旋转频率为 2 r 依电流的定义式得
e ie 2 r
(1)
设 在dt时间内旋进角度 d
d sin d d d sin (2) dt dt d (1)(2)式比较： dt
拉莫尔进动的角速度
B
表明：在均匀外磁场 B 中高速 旋转的磁矩不向 B靠拢，而是 以一定的 绕 B 作进动。 的 方向与 B一致。
子方程得出电子自旋的自然结果。
反过来看，电子轨道运动的磁矩为
l l ( l 1) B l , z m m B
在原子体系中并不普遍成立。
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子的总角动量
轨道角动量： L l (l 1) , 自旋角动量： S s ( s 1) ,
Z
沿x方向进入磁场的原子束只在Z方向上受力， B Z Fz z z 原子作平抛运动：x —匀速运动；z —匀加速运动。
x vt 原子在磁场区内的运动方程为： 1 FZ 2 z1 t 2 m
Z
μ B z
z
μ 与Z 方向的夹角
Fz t vz Fz d m arctg arctg arctg 2 vx v mv d
第四章 原子的精细结构：电子的自旋
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 原子中电子轨道运动磁矩 史特恩—盖拉赫实验 电子自旋的假设 碱金属双线 塞曼效应
玻尔理论考虑了原子主要的相互作用即核与 电子的静电作用，较为有效地解释了氢光谱。不 过随后高分辨率光谱仪发现光谱线还有精细结构， 说明还需考虑其它相互作用引起能量变化的原因。 本章在量子力学基础上讨论原子的精细结构。 本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合 成以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子 的精细结构，并且我们要介绍斯特恩-盖拉赫， 碱金属双线，塞曼效应三个重要实验，它们证明 了电子自旋假设的正确性。
l 0,1,2