第一章 概率统计基础知识(3)随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布

第二节随机变量及其分布

一、随机变量

表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母等表示，它们的取值用相应的小写字母x, y, z 等表示。

假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列的个数点 (见图1.2-1) ，则称此随机变量为离散随机变量，或离散型随机变量。

假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间 (a,b)( 见图1.2-2) ，则称此随机变量为连续随机变量，或连续型随机变量，其中a可以是,b 可以是+ 。

[例1.2-1]

[例1.2-1] 产品的质量特性是表征产品性能的指标，产品的性能一般都具有随机性，所以每个质量特性就是一个随机变量。例如:

(1) 设x是一只铸件上的瑕疵数，则x是一个离散随机变量，它可以取

0,1,2，…等值。

为了方便，人们常用随机变量x的取值来表示事件，如“x=0”表示事件“铸件上无瑕疵”；“x=2”表示事件“铸件上有两个瑕疵”；"x>2"表示事件“铸件上的瑕疵超过两个"等等。这些事件可能发生，也可能不发生，因为x取0，1，2 …等值是随机的。类似地，一平方米玻璃上的气泡数、一匹布上的疵点数、一台车床在一天内发生的故障数都是取非负整数 {0，1，2，3，…}的离散随机变量。

(2) 一台电视机的寿命x(单位:小时)是在[0，∞)上取值的连续随机变量。"x=0" 表示事件"一台电视机在开箱时就发生故障"；"x 10000" 表示事件："电视机寿命不超过10000 小时"；"x>40000" 表示事件"电视机寿命超过40000小时"。

(3) 检验一个产品，结果可能是合格品，也可能是不合格品。设x表示检验一个产品的不合格品数，则x是只能取0或1两个值的随机变量。"x=0"表示产品是合格品，"x=1" 表示产品是不合格品。类似地，若检验10个产品，其中不

合格品数x是仅可能取0，1，…，10等11个值的离散随机变量。更一般的，在n个产品中的不合格品数x是可能取0，1，2，…，n等n+1 个值的离散随机变量。

二、随机变量的分布

二、随机变量的分布(p15-20)

虽然随机变量的取值是随机的，但其本质上还是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。认识一个随机变量x的关键就是要知道它的分布，分布包含如下两方面内容:

(1) x 可能取哪些值，或在哪个区间上取值。

(2) x 取这些值的概率各是多少，或x在任一区间上取值的概率是多少?

下面分离散随机变量和连续随机变量来叙述它们的分布，因为这两类随机变量是最重要的两类随机变量，而它们的分布形式是有差别的。

(一) 离散随机变量的分布

离散随机变量的分布可用分布列来表示，比如，随机变量x仅取n个值: ,随机变量取的概率为取的概率为，…,取的概率为p n 。这些可用一张表清楚地表示:

或用一个简明的数学式子表示: 作为一个分布，满足以下两个条件: 满足这两个条件的分布称为离散分布，这一组也称为分布的概率函数。

[例1.2-2 ]

[例1.2-2 ] 掷两颗骰子，点数分布的样本空间为:

考察与这个随机现象有关的一些随机变量:

（1）设x表示“掷两颗子骰子，6点出现的个数”，它的分布列为：

（2）设y表示“掷两颗子，出现的点数之和”

这些随机变量x, y 都是各从一个侧面表示随机现象的一种结果，每个随机变量的取值都是随机的，但其分布告诉我们该随机变量取每个值的概率，使人们不仅对全局做到心中有数，而且还看到了取哪些值的可能性大，x取哪些值的可能性小，比如：

x取0可能性最大，x取2的可能性最小；

y取7的可能性最大，y取2或12的可能性最小；

这些分布中的概率都可用古典方法获得，每个概率都是非负的，其和均为1。[例1.2-3]

[例1.2-3]设在10个产品中有2个不合格品，从中随机取出4个，其中不合格品数x 是离散随机变量，它仅可取0,1,2 等三个值。x取这些值的概率为 (详见例1.1-4)：

具体计算后可得如下分布列:

从表中可见，事件 "x=l" 出现的机会最大。

对同样的问题，若用放回抽样，则从10个产品(其中有2个不合格品)中随机取出4个，其中不合格品数y是另一个随机变量，它可取0,1,2,3,4 等五个值。y取这些值的概率为(详见例1.1-6):

m=0,1,2,3,4

具体计算后可得如下分布列:

这个分布显示了y取哪些值概率大，哪些值概率小。还可计算有关事件的概率，比如：

例[1.2-4]

[例1.2-4]某厂生产的三极管，每100 支装一盒，记x为一盒中不合格品数，厂方经多次抽查，根据近千次抽查的记录，用统计方法整理出如下分布：

从这个分布可以看出，最可能发生的不合格品数在1到3之间，而超过5个不合格品的概率很小。实际上，这两个事件的概率分别为：

(二) 连续随机变量的分布

(二) 连续随机变量的分布

连续随机变量x的分布可用概率密度函数p(x)表示。下面以产品的质量特性x，(如加工机械轴的直径)为例来说明p(x)的由来。

假定我们一个接一个地测量产品的某个质量特性值x, 把测量得到的x值一个接一个地放在数轴上。当累积到很多x值时，就形成一定的图形，为了使这个图形得以稳定，把纵轴改为单位长度上的频率，由于频率的稳定性，随着被测质量特性值x的数量愈多，这个图形就愈稳定，其外形显现出一条光滑曲线。这条曲线就是概率密度曲线，相应的函数表达式p(x)称为概率密度函数，它就是一种表示质量特性x随机取值的内在统计规律性的函数。

概率密度函数

概率密度函数p(x)有多种形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形状不同。这些不同的分布形式反映了质量特性总体上的差别，这种差别正是管理层应该特别关注之处。

这里应强调的是:图上的纵轴原是“单位长度上的频率”，由于频率的稳定性，可用概率代替频率，从而纵轴就成为 "单位长度上的概率"，这就是概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲线。概率密度函数p

(x)是连续随机变量特有的概念，它有如下性质。

(1)p(x)一定位于x轴上方，即p(x) ＞ 0。

(2)p(x)与x轴所夹的面积恰好为1，即

(3) 连续随机变量

(3) 连续随机变量x在区间[a, b] 上的取值的概率为概率密度曲线下，在区间[a, b] 上所夹的曲边梯形面积 (见图1.2-3) 。

(4) 连续随机变量x取一点的概率为零，即p(x=a)=0，因为在一点上的积分永远为零。