第15课时 二次函数与一元二次方程
数形结合学数学——以“二次函数与一元二次方程”为例
课程教育研究Course Education Research 2021年第15期一、一元二次方程与二次函数的关系首先我们需要理解二次函数y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数且a≠0)中x、y 的双重含义:代值计算时:x 表示自变量的值;y 表示函数值;在函数图像中:x 表示图像上点的横坐标;y 表示图像上点的纵坐标。
由此我们可以发现,当函数值y 赋值为0时函数问题则等价于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)问题,由特殊推广到一般情况,我们发现当函数值y 赋值为k(k 为常数)时,函数问题均可转化为一元二次方程ax 2+bx+c=k(系数要求同上)问题;从图像角度来看,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c=0(a,b,c 为常数且a≠0)的根,同理,二次函数y=ax 2+bx+c 图像与函数y=k 图像的交点横坐标即为方程ax 2+bx+c=k(a,b,c 为常数且a≠0)的根。
二、从二次函数的角度看一元二次方程通过对二次函数的学习我们掌握了变量间的相关关系,二次函数的图像、性质并抽象概括出了相关定理,如此一来,我们重新回顾一元二次方程便会发现方程问题容易得多。
例1:观察y=x 2-8x+12、y=x 2-4x+4、y=x 2+3这三个二次函数的图像,并且分别说出x 2-8x+12=0、x 2-4x+4=0、x 2+3=0的根的情况。
分析:从三个函数图像中我们观察发现,第一个函数图像与x 轴交点横坐标为-2、-6,即方程x 2-8x+12=0的根分别为-2、-6,第二个图像与x 轴交点横坐标为2,即方程x 2-4x+4=0的根为2,y=x 2+3图像与x 轴无交点,则说明方程x 2+3=0无实数根,三种不同函数的图像与x 轴相交的情况不同,方程的根的个数也与之不同,以上三种图像让我们将方程的根的情况也大致分为以下三类:①如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个公共点即可等价于一元二次方程方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根;②如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有且仅有一个交点则等价于方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实根(按照方程的定义,一元二次方程都有两个根,故这里称有两个相等实根);③如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴没有公共点则说明方程ax 2+bx+c=0没有实根。
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念 二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法 分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为 【 】 （A ）{}52>-<x x x 或 （B ）{}25>-<x x x 或 （C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或 （D ）{}44>-<a a a 或分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析 本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评 不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【 】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论 一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内 设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论 一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析 （1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。
《二次函数与一元二次方程》资料二次函数与一元二次方程知识点
二次函数与一元二次方程知识点
1．二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图像与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根． 12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标.
② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；
（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。
中考数学复习 第三单元 函数 第15课时 二次函数的实际应用数学课件
25 + 5 + = 0.5.
如图15-3记录了三次实验的数据.根据上述
= -0.2,
函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时
解得 = 1.5,
间为(
)
= -2,
A.3.50分钟
即 p=-0.2t2+1.5t-2,
[解析]设售价定为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元.
∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,
∴每天的销售量为200-20(x-4.1)÷0.1=-200x+1020(千克).
设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)
=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50.
图15-1
2.某品牌钢笔每支进价8元,按10元1支出售
[答案] D
时每天能卖出20支,市场调查发现,如果每支 [解析]设每天的利润为w元,涨价x元.
涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最 由题意得,每天利润为:
大利润,其售价应定为(
)
w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40
A.11元
后 4 s 滑行 24 m.
7.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,
小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨0.1
元,则每天少卖出20千克,则蔬菜售价定为
人教版高中数学必修五《二次函数与一元二次方程》
例题 5.方程 a(x+1)(x-3)=k（a＞0）的根为 x1 和 x2, 且 x1＜-1,x2＞3,求 k 的取值范围
例题 6.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 y 轴交于点 C， 与 x 轴交于点 A(x1， 0)、 B(x2，0)(x 1<x2)，顶点 M 的纵坐标为－4，若 x1、x2 是方程 x2－2(m－1)x＋m2 2 －7＝0 的两个根，且 x2 1＋x2＝10. (1)求 A、B 两点的坐标； (2)求抛物线的关系式及点 C 的坐标； (3)在抛物线上是否存在点 P，使△ABP 的面积等于四边形 ACMB 面积的 2 倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标 ；若不存在，请说明理由．
相关交点可以相互转化。
例题 1.如图所示， 你能直观看出哪些方程的 根？
是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4、3、0)的 根．以及方程－x2＋2x＋3＝4x的一个根
例题 2.函数 y＝(m+5)x +2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方， 则
2
m 的取值范围是
。
例题 3. 1.抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的公共点是(－1，0)、(3，0)，求 抛物线的对称轴是
二次函数与一元二次方程
回顾：一次函数与一元一次方程的关系
1.一元一次方程kx+b=0（k≠0）的根是 一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点
2. 反之，一次函数y=kx+b（≠0）与 x轴的交点是一元一次方程kx+b=0 （≠0）的根
3. 方程k1x+b1=k2x+b2（k1、k2≠0） 的根可以理解为一次函数y=k1x+b1 （k1≠0)与一次函数y=k2x+b2 （k2≠0） 的交点.反之也成立。
课时训练15二次函数与一元二次方程及不等式
课时训练15二次函数与一元二次方程及不等式(限时:30分钟)|夯实基础|1. [2019·无锡梁溪区初三模拟]已知m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)=2的两根,若a<b,则下列鉴别正确的是()A. a<m<b<nB. m<a<n<bC. a<m<n<bD. m<a<b<n2. 如图K15-1,已知极点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c议决点(-1,-4). 则下列结论中错误的是()图K15-1A. b2>4acB. ax2+bx+c≥-6C. 若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>nD. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-13. 若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象议决点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范畴是A. x<-4或x>2B. -4≤x≤2C. x≤-4或x≥2D. -4<x<24. 若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为.5. 函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=;当1<x<2时,y随x的增大而(填写“增大”或“减小”).6. 关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0),则a的取值范畴是 .7. [2019·乐山] 已知关于x 的一元二次方程mx 2+(1-5m )x -5=0(m ≠0).(1)求证:无论m 为任何非零实数,此方程总有两个实数根;(2)若抛物线y=mx 2+(1-5m )x -5与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点,且|x 1-x 2|=6,求m 的值;(3)若m>0,点P (a ,b )与Q (a+n ,b )在(2)中的抛物线上(点P ,Q 不重合),求代数式4a 2-n 2+8n 的值.8. [2019·北京] 在平面直角坐标系xOy 中,直线y=4x+4与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,抛物线y=ax 2+bx -3a 议决点A ,将点 B 向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C 的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC 恰有一个大众点,连合函数图象,求a 的取值范畴.9. [2019·南京] 已知二次函数y=2(x -1)(x -m -3)(m 为常数).(1)求证:不论m 为何值,该函数的图象与x 轴总有大众点;(2)当m 取什么值时,该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方?|拓展提拔|10. [2019·贵阳] 已知二次函数y=-x 2+x+6及一次函数y=-x+m ,将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方, 图象的别的部分不变,得到一个新函数(如图K15-2所示),当直线y=-x+m 与新图象有4个交点时,m 的取值范畴是图K15-2A . -254<m<3B . -254<m<2C . -2<m<3D . -6<m<-211. [2019·日照] 在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点. 已知反比例函数y=m x (m<0)的图象与y=x 2-4的图象在第四象限内围成的关闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m 的取值范畴为 .12. [2019·舟山] 已知,点M 为二次函数y=-(x -b )2+4b+1图象的极点,直线y=mx+5分别交x 轴正半轴,y 轴于点A ,B.(1)鉴别极点M 是否在直线y=4x+1上,并说明理由.(2)如图①,若二次函数图象也议决点A ,B ,且mx+5>-(x -b )2+4b+1. 根据图象,写出x 的取值范畴.(3)如图①,点A 坐标为(5,0),点M 在△AOB 内,若点C 14,y 1,D 34,y 2都在二次函数图象上,试比较y 1与y 2的巨细.图K15-3参考答案1. D2. C [剖析] 点(-2,m )关于对称轴的对称点是(-4,m ),在对称轴x=-3左侧,图象从左向右下降,所以点(-5,n )在点(-4,m )的上方,所以n>m ,故选C .3. D [剖析] 根据二次函数的图象议决点(2,0),且对称轴为直线x=-1,可得函数的图象与x 轴的另一个交点为(-4,0),由于a<0,所以抛物线开口向下,当y>0时,函数图象在x 轴上方,由图象可知x 的取值范畴是-4<x<2,故选D .4. -1或2或1 [剖析] ①函数y=(a -1)x 2-4x+2a 的图象与x 轴有且只有一个交点,①当函数为二次函数时,b 2-4ac=16-4(a -1)×2a=0,解得a 1=-1,a 2=2,当函数为一次函数时,a -1=0,解得a=1.故答案为-1或2或1.5. -1增大[剖析] 当y=0时,即x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,可得二次函数图象的对称轴是直线x=-1. 因为二次项系数a=1>0,所以抛物线开口向上,在对称轴的右侧y随x的增大而增大.故答案为-1增大.6. -9<a<-2[剖析] ①ax2-3x-1=0有两个不相等的实数根,4.①Δ=9+4a>0. ①a>-94又①两个不相等的实数根都在-1和0之间,①当x=-1和x=0时的函数y=ax2-3x-1的值同号.①当x=-1时,y=a+2;当x=0时,y=-1.①a+2<0,即a<-2.<a<-2.综上所述a的取值范畴为-947. 解:(1)证明:由题意得:Δ=(1-5m)2-4m×(-5)=(5m+1)2≥0,①无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根.,x2=5.(2)解方程mx2+(1-5m)x-5=0,得x1=-1m-5|=6.由|x1-x2|=6,得|-1m.解得m=1或m=-111(3)由(2)得,当m>0时,m=1.此时抛物线剖析式为y=x2-4x-5,其对称轴为直线x=2.由题意知,P ,Q 关于直线x=2对称.①a+a+n 2=2,①2a=4-n.①4a 2-n 2+8n=(4-n )2-n 2+8n=16.8. 解:(1)①直线y=4x+4与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,①A (-1,0),B (0,4).①将点B 向右平移5个单位长度,得到点C ,①C (0+5,4),即C (5,4).(2)①抛物线y=ax 2+bx -3a 议决点A ,①a -b -3a=0. ①b=-2a.①抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =--2a 2a =1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0). ①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a ),若抛物线与线段BC 恰有一个大众点,满足12a ≥4即可,可知a 的取值范畴是a ≥13.①若a<0,如图所示,易知抛物线与y 轴交于(0,-3a ),要使该抛物线与线段BC 只有一个大众点,就必须-3a>4,此时a<-43. ①若抛物线的极点在线段BC 上,此时极点坐标为(1,4),从而剖析式为y=a (x -1)2+4,将A (-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a 的取值范畴是a ≥13或a<-43或a=-1.9. 解:(1)证明:当y=0时,2(x -1)(x -m -3)=0,解得x 1=1,x 2=m+3.当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根. 所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有大众点.(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.10. D[剖析] 在抛物线y=-x2+x+6中,令y=0时,即-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,即抛物线y=-x2+x+6与x轴交点坐标分别为(-2,0),(3,0). ①抛物线y=-x2+x+6沿x轴翻折到x轴下方,①此时新抛物线y=x2-x-6(y<0)与y轴交点坐标为(0,-6). 当直线y=-x+m过(-2,0),(0,-2)时,m=-2. 此时直线y=-x+m与x轴下方图象只有三个交点. 如图所示,要使直线y=-x+m与新图象有4个交点,需y=-x+m与y=x2-x-6有两个交点,则-x+m=x2-x-6有两个不同解,整理得x2=m+6,所以m>-6时,直线y=-x+m 与抛物线y=x2-x-6有两个交点,m的取值范畴是-6<m<-2.11. -2≤m<-1[剖析] 当x=1时,y=x2-4=1-4=-3.所以在第四象限内在二次函数y=x2-4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为(1,-1),(1,-2),(1,-3).(m<0)的图象议决点(1,-2),当反比例函数y=mx即m=xy=-2时,在第四象限内围成的关闭图形(包括边界)内的整点的个数为2个,(m<0)的图象议决点(1,-1),当反比例函数y=mx即m=xy=-1时,在第四象限内围成的关闭图形(包括边界)内的整点的个数为3个,①在第四象限内围成的关闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,①m的取值范畴为-2≤m<-1.12. [剖析] (1)根据二次函数极点式可以知道M(b,4b+1),将坐标代入y=4x+1,标题得解;(2)由题意知B(0,5),二次函数图象过点B,代入剖析式可求得b的值,求得A点坐标,再利用函数图象比较巨细;(3)先议决点M 在△AOB 内得到b 的取值范畴,再根据抛物线的对称性和增减性办理y 1,y 2巨细干系. 解:(1)①点M 坐标是(b ,4b+1),①把x=b 代入y=4x+1,得y=4b+1,①点M 在直线y=4x+1上.(2)如图①,①直线y=mx+5与y 轴交于点B ,①点B 坐标为(0,5).又①B (0,5)在抛物线上,①5=-(0-b )2+4b+1,解得b 1=b 2=2,①二次函数的表达式为y=-(x -2)2+9,当y=0时,得x 1=5,x 2=-1. ①A (5,0).查看图象可得,当mx+5>-(x -b )2+4b+1时,x 的取值范畴为x<0或x>5.(3)如图①,设直线y=4x+1与直线AB 交于点E ,与y 轴交于点F ,而直线AB 表达式为y=-x+5,解方程组{y =4x +1,y =-x +5,得{x =45,y =215, ①点E 45,215,又①F (0,1).点M 在△AOB 内,①0<b<45.当点C ,D 关于抛物线对称轴(直线x=b )对称时,b -14=34-b ,①b=12. 且二次函数图象的开口向下,根据二次函数图象的对称性和增减性可知. ①当0<b<12时,y 1>y 2;①当b=12时,y 1=y 2;①当12<b<45时,y 1<y 2.。
10-15 二次函数与一元二次方程(随堂+课后)
1二次函数与一元二次方程一、例题解析：例1、已知223y x x =--，问x 为何值时，y>0? y<0? y=0?二、变式训练：1、由二次函数(1)(1)y x x =-+的图像可知，当x 的取值范围是 时，0y ≤。
2、由抛物线221y x x =--的图像可知，当x 的取值满足12x ≤-时，y x=1例2、已知抛物线223y x x m =-+（m 为常数）与x 轴交于A,B 两点，且线段AB 的长为12。
（1）求m 的值；（2）若该抛物线的顶点为P ，求A B P ∆的面积。
例3、抛物线2122y x bx =+-交x 轴正半轴于点A ，交x 轴负半轴于点B ，交y 轴的负半轴于点C ，其对称轴为32x =-，O 为坐标原点（1） 求A,B 两点的坐标； （2） 求证A C O C B O ∆∆ ；（3） 在抛物线上是否存在点P （C 除外）使A B P ∆的面积等于A B C ∆的面积？若存在，求出点P 的左标，若不存在，说明理由。
2三、分层练习1、 抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线2、 二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是3、 对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数22y m x m x m =-+-（m 为实数）的零点个数是 y 4、 已知二次函数22y x x m =-++的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 O 1 3 x 5、 设A,B,C 分别为抛物线224y x x =--与y 轴的交点及与x 轴的两个交点，则A B C ∆的面积为 6、 抛物线1422++-=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 7、 抛物线m x x y +--=22，若其顶点在x 轴上，则=m ．8、 抛物线的顶点是C （2，3），它与x 轴交于A ，B 两点，它们的横坐标是方程0342=+-x x 的两根，则ABC S ∆= 。
初中数学《二次函数与一元二次方程》教案
教学设计如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况判断下列函数的图象与x 只有一个交点的是( )A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x 轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．。
《二次函数与一元二次方程的关系》ppt课件
结论和要点
通过本课件，我们了解到二次函数与一元二次方程之间的密切关系，以及它们在实际应用中的重 要性和用途。
密切关系
二次函数与一元二次方程存在密切的对应关系。
实际应用
二次函数与一元二次方程在建筑设计、汽车行驶路程、项目成本控制等实际应用中发挥重要 作用。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程是密切相关的，通过二次函数的系数可以求解一元二次方程的根，反之亦然。
1
系数的求解
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式。
2
根的求解
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根。
3
相互转换
二次函数与一元二次方程可以相互转换，实现从函数到方程的求解和从方程到函数的绘 图。
如何由一元二次方程求解二次函数的 系数
通过一元二次方程的系数可以确定二次函数的形式，具体步骤包括：
1 步骤一
找出一元二次方程的a、b、c。
2 步骤二
将a、b、c代入二次函数的表达式。
3 步骤三
得到二次函数的形式。
如何由二次函数求解一元二次方程的 根
通过二次函数的图像可以推导出一元二次方程的根，具体步骤包括：
1 步骤一
观察二次函数的图像。2 Leabharlann 骤二根据图像找到方程的根。
实际应用中的例子
二次函数与一元二次方程在实际应用中有广泛的应用，例如：
建筑设计
二次函数的抛物线形状可以用于 建筑设计中的拱形结构。
汽车行驶路程
通过二次函数的图像可以预测汽 车行驶的路程。
项目成本控制
通过二次函数的图像可以进行项 目成本的控制和优化。
《二次函数与一元二次方 程的关系》
本课件将介绍二次函数与一元二次方程之间的关系，包括定义与图像、基本 形式、系数的求解、根的求解、实际应用的例子以及结论和要点。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案教案标题：探索二次函数与一元二次方程教案目标：1. 了解二次函数与一元二次方程的定义和基本性质；2. 掌握解一元二次方程的方法；3. 掌握二次函数的图像特征和性质；4. 能够应用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
教案步骤：一、引入（5分钟）1. 利用实例引出学生对于二次函数和一元二次方程的初步认识。
2. 引导学生思考二次函数与一元二次方程的联系，并提出学习的目标。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍二次函数的定义和一般形式，解释二次函数图像的特征。
2. 讲解一元二次方程的定义和一般形式，介绍解一元二次方程的方法。
三、解题演练（20分钟）1. 给学生提供一些简单的一元二次方程，引导学生运用所学方法解题。
2. 给学生提供一些简单的二次函数图像，要求学生根据图像特征写出函数的表达式。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生将问题转化为一元二次方程，并解答问题。
2. 提供一些实际问题，引导学生根据问题描述绘制对应的二次函数图像，并分析解决问题的方法。
五、总结归纳（10分钟）1. 学生总结二次函数与一元二次方程的基本性质和解题方法。
2. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在课后的复习重点。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生巩固所学的知识和解题方法。
2. 鼓励学生积极思考，提出问题并准备下节课的讨论。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 练习题表现：检查学生对于二次函数和一元二次方程的掌握情况；3. 实际问题解决能力：评估学生运用所学知识解决实际问题的能力。
教案扩展：1. 可以引入二次函数的最值问题，进一步拓展学生对于二次函数的理解；2. 可以引入一元二次方程的根与系数之间的关系，加深学生对于一元二次方程的理解。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握一元一次方程的解法和基本概念，为学习二次函数和一元二次方程打下基础；2. 鼓励学生多做练习，加深对于二次函数和一元二次方程的理解；3. 教师要及时给予学生反馈，帮助他们纠正错误和提高解题能力。
《二次函数与一元二次方程》
b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0
随堂练习
2、抛物线y= x2 － x ＋ 2与x轴的交点情况是（
1、抛物线y=－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为(2，0)和(-5，0) 。
c
）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明 3、抛物线y=x2-4x+4与轴有 一 个交点，坐标是 （2，0） 。 4、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。 解：∵x2－3x－4＝0 (x－4)(x＋1)＝0 ∴ x1=4，x2=-1 ∴抛物线 y=x2－3x－4 与x轴的交点坐标是 （4 ，0）和（ -1，0）
课堂点睛
(3) 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式：b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点
b2-4ac＞0 b2-4ac＝0
有一个交点 没有交点
b2-4ac＜0
P72 习题2.9 第1、2 、3题
解 : (1)h 5t 40t
2
80 60 40 20
(2) 小球经过多少秒后落地?你 有几种求解方法?与同伴进行交 流.
0
2
4
6
8
t/s
可以利用图象, 也可以解方程 5t 2 40t 0 (2)8s;
活动探究
活动探究
二次函数y=x2+2x, y=x2-2x+1 , y=x2-2x+2的图象如图所示.
《二次函数与一元二次方程》教学设计与反思
《二次函数与一元二次方程》教学设计与反思一、教学目标:1。
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2。
理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3。
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
二、教学重点、难点:教学重点:1。
体会方程与函数之间的联系。
2。
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学难点:1。
探索方程与函数之间关系的过程。
2。
理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
三、教学方法:启发引导合作交流四:教具、学具:课件五、教学媒体:计算机、实物投影。
六、教学过程:[活动1] 检查预习引出课题预习作业:1。
解方程:(1)x2+x-2=0; (2) x2-6x+9=0; (3) x2-x+1=0; (4) x2-2x-2=0。
2。
回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解。
师生行为:教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。
教师重点关注:学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。
设计意图:这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用，1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识;2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。
[活动2] 创设情境探究新知问题1。
课本P16 问题。
2。
结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m?为什么只在一个时间球的高度是20m?(结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。
)师生行为:教师提出问题1，给学生独立思考的时间，教师可适当引导，对学生的解题思路和格式进行梳理和规范;问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透;问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。
高一数学必修第一册2019(A版)_《二次函数与一元二次方程、不等式》课标解读
《二次函数与一元二次方程、不等式》课标解读教材分析本节内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式是初中从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式的延续和深化，对已学习过的集合与常用逻辑用语、不等式等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面要学习的直线与圆锥面线以及导数等内容密切相关.许多问题的解决都会借助于本节课的知识，是近年来高考综合题的热点，在高中数学中起着广泛的应用工具作用.本节内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式.通过学习，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，体会数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想，提升学生直观想象和数学运算素养.学情分析学生在初中就已经接触了不等式，并通过从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，有着良好的知识基础.同时学生的心智发育逐渐成熟，发散思维习惯和方式已初步形成，具备了一定的数形结合思想，有着较好的观察与总结、类比、化归、探究的能力.教学建议一方面，引导学生回顾从一次函数的角度看一元一次方程与一元一次不等式，类比学会从二次函数的角度看一元二次方程与一元二次不等式，进一步理解函数、方程和不等式之间的关系，体会数学的整体性，提升数学运算等素养.另一方面，课上通过多列举具体的问题（也可以让学生提出问题或总结常见问题），让学生认识一元二次不等式在现实世界的广泛应用，提升数学建模素养. 学科核心素养目标与素养1.通过学习，理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法，培养学生数形结合的能力、分类讨论的思想，积累基本解题经验，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平一的层次.2.能够利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学建模的能力，达到数学建模和数学运算核心素养水平一的层次.情境与问题通过用栅栏围矩形区域种植花卉的情境，引出一元二次不等式，进而探究它与一元二次方程、二次函数之间的关系.内容与节点本节内容为二次函数与一元二次方程、不等式，而一元二次不等式的求解是解不等式的基础和核心，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分.过程与方法1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法，强化直观想象和逻辑推理的核心素养水平.2.利用一元二次不等式解决一些实际问题的探究过程，使学生掌握数学建模的方法，巩固数学建模和数学运算的核心素养.教学重点难点重点能借助一元二次函数求解一元二次不等式.难点理解三个“二次”之间的关系.。
课件《二次函数与一元二次方程》优秀课件完美版_人教版1
新知讲解
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求 一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差， 由图象求得的根，一般是近似的.
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac （2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）．
（2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程 （1）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
x －6x＋9=0有两个相等的实数根3. 2 所以与 x 轴有交点，有两个交点。
有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： （1）解：当y=0时，x2+x-2=0 （1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
（1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
与一元二次方程 小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.
x1≈0.7，x2≈2.7.
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示
，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（ （2）正确作出点M，N；
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根. （3）球的飞行高度能否达到20.
)
（3）写出方程的根为-0. t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2. 解：（1） 当h=15m时，
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
(1)y＝x2＋x－2；
二次函数与一元二次方程及不等式
二次函数与一元二次方程及不等式一，二次方程基础概念当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++=其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1．根的判别式24b ac ∆=-∆＞0时，方程有两个不相等的实数根； ∆＝0时，方程有两个相等的实数根；∆＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根．2． 根与系数的关系（韦达定理）12b x x a+=-12c x x a=二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>等价条件20ax bx c ++=（0a >）三、一元二次不等式一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围．0∆> 0∆=0∆<1，例题： 选择题① 2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（ A ） A ．(2)(1)(4)f f f <<B ．(1)(2)(4)f f f <<C ．(2)(4)(1)f f f <<D ．(4)(2)(1)f f f <<② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a >B ．11a -<<C ．R a ∈且0a ≠D ．1a <-或1a >③ 已知函数y ＝log 21（x 2－6x ＋7），则y （ D ）A ．有最大值没有最小值B ．有最小值没有最大值C ．有最大值也有最小值 D填空题①方程22||(x x a a -=∈a 的取值范围是_______．解：令212||y x x =-，2y a =则2122(0)2(0)x x x y x x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩≥，其函数图象如下：②关于x 的方程2290x ax -+=的两个实数根分别为αβ，，则22(1)(1)αβ-+-的最小值是_______________． 解：方程有实数根，故24490a ∆=-⨯≥∴3a -≤或3a ≥ 又29a αβαβ+==， ∴ 22(1)(1)y αβ=-+-2()2()22αβαβαβ=+-+-+24416a a =-- ∵3a -≤或3a ≥∴ 8y ≥（a ＝3时取等号）∴ min 8y =应用题：1. 已知函数24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程3x a +|1|1a =-+的根的范围．解：∵24230y x ax a =-++的图象与x 轴无交点，所以2(4)4(230)0a a ∆=--+< 解得：－2.5＜a ＜3（1）当a ∈（－2.5，1]时，方程化为 x ＝（a ＋3）（2－a ） ＝－a 2－a ＋6∈（425,49]（2）当a ∈（1，3）时，方程化为x ＝（a ＋3）a ＝a 2＋3a ∈（4，18）综上所述：x ∈（49，18）2. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（a ＋k ）2x ＋（k 2＋3ak ＋b ）的图象与x 轴都交于点A （1，0）． （1）求a 、b 的值；（2） 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB |的最大值．解：⑴a ＝1，b ＝1y ＝（k 2＋k ＋1）x 2－2（k ＋1）2x ＋（k 2＋3k ＋1）⑵|AB |的最大值为2．3. 设实数a 、b 、c 满足a 2－bc －8a ＋7＝0 …………①b 2＋c 2＋bc －6a ＋6＝0 …………②求a 的取值范围．解：1≤a ≤94. 设二次函数2()f x ax bx c =++（a ＞0），方程()0f x x -=的两个根12x x ，满足1210x x a<<<．（1）．当x ∈（0，1x ）时，证明x ＜()f x ＜1x ；（2）．设函数()f x 的图象关于直线0x x =对称，证明：102x x <．解（2）．依题意知x 0＝－2b a．因为x 1，x 2是方程f （x ）－x ＝0的根，即x 1，x 2是方程ax 2＋（b －1）x ＋c ＝0的根，所以 x 1＋x 2＝－1b a-x 0＝－1212()11222a x x ax ax b a a a+-+-==因为21ax <，所以0x <1122ax x a =． 5. 若关于x 的二次方程7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2＝0的两根αβ，满足 0＜α＜1＜β＜2求实数p 的取值范围．解：设f （x ）＝7x 2－（p ＋13）x ＋p 2－p －2根据题意得：(0)0(1)0(2)0fff>⎧⎪<⎨⎪>⎩即2222028030p pp pp p⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩解得：p∈（－2，－1）∪（3，4）．6.已知二次函数y=x2－（2m+4）x+m2－4（x为自变量）的图像与y轴的交点在原点下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB•满足3（•OB－AO）=2AO·OB，直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P，且锐角∠POB•的正切值4．（1）求m的取值范围；（2）求这个二次函数的解析式；（3）确定直线y=kx+k的解析式．解（1）m2－4<0，－2<m<2．（2）二次函数的解析式为y=x2－2x－3．（3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．强化训练一、填空题1．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是__y=－2x2+2x+4_．2．已知二次函数y=（a－1）x2+2ax+3a－2的图像最低点在x轴上，那么a=__2__，此时函数的解析式为__y=x2+4x+4 __．3．某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－14x2，当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O•的距离为___9__m．图1 图24．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－112s2+23s+32．如图2，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为94m，•设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是__7__．5．若抛物线y=12x2与直线y=x+m只有一个公共点，则m的值为__－12__．6．设抛物线y=x2+（2a+1）x+2a+54的图像与x•轴只有一个交点，•则a18+•323a－6•的值为__5796__．7．已知直线y=－2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB•的面积等于___6___．8．（2008，安徽）图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像，在下列说法中：①ab<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y随着x•的增大而增大．正确的说法有___①②④____．（请写出所有正确说法的序号）图3 图4 图5二、选择题9．小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=－15x2+3.5的一部分（图4），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（B ）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m10．当m22742m m-+ B ）A．0 B．5 C．3D．911．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示，则下列结论：①a>0，②c>0，•③b2－4ac>0，其中正确的个数是（C ）A．0个B．1个C．2个D．3个12．抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（C ）A．m>14B．m>－14C．m<14D．m<－1413．根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，•判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（C ）x 6.17 6.18 6. 6.A ．6<x<6.17B ．6.17<x<6.18C ．6.18<x<6.19D ．6.19<x<6.20 14．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和（•－1，0），则S=a+b+c 的值的变化范围是（A ） A ．0<S<2 B ．0<S<1 C ．1<S<2 D ．－1<S<115．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的最大值是零，那么代数式│a │+244ac b a的化简结果是（ B ）A ．aB ．－aC ．D ．016．（2006，甘肃兰州）已知y=2x 2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴，y•轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ B ） A ．y=2（x －2）2+2 B ．y=2（x+2）2－2 C ．y=2（x －2）2－2 D ．y=2（x+2）2+2 三、解答题17．（2006，吉林省）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，•两小孔形状，大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m ，顶点M 距水面6m （即MO=6m ），•小孔顶点N 距水面4.5m （即NC=4.5m ）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．设抛物线解析式为y=ax2+6，依题意得，B（10，0）．∴a×102+6=0，解得a=－0.06．即y=－0.06x2+6，当y=4.5时，－0.06x2+6=4.5，解得x=±5，∴DF=5，EF=10，即水面宽度为10m．18．（2008，安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=－35x2+3x+1的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演是否成功？请说明理由．（1）y=－35x2+3x+1=－35（x－52）2+194．∵－35<0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳离地面的最大高度是194m．（2）当x=4时，y=－35×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．19．（2006，沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）•之间存在正比例函数关系：y A=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）•之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，•可获得3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A ，B 两种产品共投资10万元．•请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．解 （1）当x=5时，y A =2，2=5k ，k=0.4．∴y A =0.4x ，当x=2时，y B =2.4；当x=4时，y B =3.2．∴ 2.442,3.2164.a b a b =+⎧⎨=+⎩ 解得0.2,1.6.a b =-⎧⎨=⎩∴y B =－0.2x 2+1.6x ．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品（10－x ）万元，获得利润W 万元，根据题意可得W=－0.2x 2+1.6x+0.4（10－x ）=－0.2x 2+1.2x+4． ∴W=－0.2（x －3）2+5.8．当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元．所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5．8万元．20．（2008，烟台）如图所示，抛物线L 1：y=－x 2－2x+3交x 轴于A ，B 两点，交y•轴于M 点．抛物线L 1向右平移2个单位后得到抛物线L 2，L 2交x 轴于C ，D 两点． （1）求抛物线L 2对应的函数表达式；（2）抛物线L 1或L 2在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N•为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线L 1上的一个动点（P 不与点A ，B 重合），那么点P•关于原点的对称点Q 是否在抛物线L 2上，请说明理由．（1）令y=0时，得－x2－2x+3=0，∴x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），B（1，0）．∵抛物线L1向右平移2个单位长度得抛物线L2，∴C（－1，0），D（3，0）．∴抛物线L2为y=－（x+1）（x－3）．即y=－x2+2x+3．（2）存在．如图所示．令x=0，得y=3，∴M（0，3）．∵抛物线L2是L1向右平移2个单位长度得到的，∴点N（2，3）在L2上，且MN=2，MN∥AC．又∵AC=2，∴MN=AC．∴四边形ACNM为平行四边形．同理，L1上的点N′（－2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC，∴四边形ACMN′是平行四边形．∴N（2，3），N′（－2，3）即为所求．（3）设P（x1，y1）是L1上任意一点（y1≠0），则点P关于原点的对称点Q（－x1，－y1），且y1=－x12－2x1+3，将点Q的横坐标代入L2，得y Q=－x12－2x1+3=y1≠－y1．∴点Q不在抛物线L2上．21．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，4），顶点在x轴上，•且对称轴在y轴的右侧．设直线y=x与二次函数图像自左向右分别交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，•且OP：PQ=1：3．（1）求二次函数的解析式；（2）求△PAQ的面积；（3）在线段PQ上是否存在一点D，使△APD≌△QPA，若存在，求出点D坐标，•若不存在，说明理由．（1）抛物线过（0，4）点．∴c=4，∴y=ax 2+bx+4又OP ：PQ=1：3， ∴x 1：x 2=1：4由24y x y ax bx =⎧⎨=++⎩得ax 2+（b －1）x+4=0， ∵x 1，x 2是该方程的两个根， ∴x 1+x 2=－1b a -，x 1·x 2=4a ． 消去x 1得25a=（b －1）2．∵抛物线的对称轴在y 轴右侧 ∴－2ba>0，∴b a <0，又抛物线的顶点在x 轴上，∴b 2=16a 得a=1，b=－4（b=49舍去）． ∴y=x 2－4x+4．（2）如图所示 S △PAQ =S △AQO －S △APO=12×4×x 2－12×4×x 1=2（x 2－x 1）22112()4x x x x +-2116()b a a---9． （3）存在点D ，设D （m ，n ）易得P （1，1），Q （4，4），由△APD ∽△QPA 得PA 2=PQ ·PD ，运用勾股定理得│m －1│=53，得m=83或-23． ∵1<m<4， ∴D （83，83）．22．（2005，武汉市）已知二次函数y=ax 2－ax+m 的图像交x 轴于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，x 1<x 2，交y 轴的负半轴于C 点，且AB=3，tan ∠BAC －tan ∠ABC=1． （1）求此二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P ，使S △PAC =6？若存在，请你求出点P 的坐标；• 若不存在，请你说明理由．解 （1）∵AB=3，x 1<x 2，∵x 2－x 1=3．由根与系数的关系有x 1+x 2=1， ∴x 1=－1，x 2=2．∴OA=1，OB=2，x 1·x 2=ma=－2．∵tan ∠BAC －tan ∠ABC=1， ∴OC ：OA －OC ：OB =1， ∴OC=2 ∴m=－2，a=1． ∴此二次函数的解析式为y=x 2－x －2．（2）在第一象限，抛物线上存在一点P 使S △APC =6．解法一：过点P 作直线MN ∥AC 交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，连接PA ，PC ，MC ，NA ，如图所示． ∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC =S △PAC =6． 由（1）有OA=1，OC=2 ∴12×AM ×2=12×CN ×1=6， ∴AM=6，CN=12．∴M （5，0），N （0，10）． ∴直线MN 的解析式为y=－2x+10．由2210,2.y x y x x =-+⎧⎨=--⎩ 得12123,4,4.18.x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍去）． ∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6． 解法二：设AP 与y 轴交于D （0，n ）（n>0）．∴直线AP 的解析式为y=nx+n ．22,.y x x y nx n ⎧=--⎨=+⎩ ∴x 2－（n+1）x －n －2=0， ∴x A +x P =n+1，∴x P =n+2． 又S △PAC =S △ADC +S △PDC =12CD ·AO+12CD ·x p =12CD （AO+x p ）．∴12（n+2）（1+n+2）=6，n 2+5n －6=0． ∴n=－6（舍去）或n=1．∴在第一象限，抛物线上存在点P （3，4），使S △PAC =6．。
一元二次方程与二次函数的联系与区别
一元二次方程与二次函数的联系与区别一元二次方程和二次函数是高中数学中重要的概念，它们在数学领域有着广泛的应用和深远的意义。
本文将讨论一元二次方程和二次函数之间的联系与区别。
一、联系一元二次方程和二次函数都涉及到二次项、一次项和常数项，它们之间有很多联系。
1. 二次项系数代表抛物线的开口方向一元二次方程和二次函数的特点是二次项的系数。
在一元二次方程ax² + bx + c = 0 中，a 表示二次项的系数，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
同样地，在二次函数 y = ax² + bx + c 中，a 表示二次项的系数，其符号与一元二次方程保持一致，也能描述抛物线的开口方向。
2. 判别式和判别式与图像的关系一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac 表示二次方程的根的性质。
当Δ>0 时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0 时，方程有两个相等的实根；当Δ<0 时，方程没有实根。
而对于二次函数 y = ax² + bx + c，判别式与函数的图像也有关系。
当Δ>0 时，函数的抛物线与 x 轴有两个交点；当Δ=0 时，函数的抛物线与 x 轴有一个切点；当Δ<0 时，函数的抛物线与 x 轴没有交点。
3. 解和零点一元二次方程是通过解方程来求得变量的值，方程的解即为方程的根。
而二次函数则是通过求函数的零点来求得变量的值，即函数在 x轴上的解。
一元二次方程和二次函数的解或零点有着一一对应的关系。
二、区别虽然一元二次方程和二次函数有很多联系，但它们之间也存在明显的区别。
1. 表达方式的不同一元二次方程的表达方式是通过等式来表示，例如 ax² + bx + c = 0。
而二次函数是通过方程 y = ax² + bx + c 来表示的，其中 y 表示函数的值，x 表示自变量的值。
2. 求解的对象不同一元二次方程的求解对象是方程中的变量，通过求解方程可以得到方程的根。
一元二次方程和二次函数的区别
一元二次方程和二次函数的区别一元二次方程与二次函数有着许多相似的地方，但同时它们也有着两者唯一的不同之处。
因此，在本文中，我们将介绍一元二次方程和二次函数的基本概念以及它们之间的显著差异。
什么是一元二次方程？一元二次方程是一种数学方程，它只有一个自变量，但具有二次项。
它的系数必须是实数，并且可以由常见的形式aX + bX + c = 0表示，其中，a≠0，b，c均为实数。
根据一元二次方程的系数a，b和c的取值，可以将一元二次方程分为三种类型：完全平方式、一元二次方程式和非完全平方式。
什么是二次函数？二次函数是一种具有两个自变量的函数，其标准形式可写为f (x) = ax + bx + c，其中a 0，b，c均为实数。
其曲线图也可以表示为y = ax + bx + c，它是一条以原点为中心的椭圆形，经历着上斜率、下斜率及无斜率三种状态。
一元二次方程与二次函数之间的区别是什么？一元二次方程和二次函数之间最显著的区别是它们所涉及的自变量：一元二次方程仅具有一个自变量，而二次函数具有两个自变量。
此外，一元二次方程的结果只有两个可能的根，而二次函数的结果可以是多个解，或者没有解。
此外，二次函数可以有正弦、余弦等多种形式，但一元二次方程只能采用统一的形式表示。
广义而言，一元二次方程是一种特殊的二次函数，它可以用正弦、余弦等形式表示出来，尽管它们之间存在显著的差异，但它们的基本概念是完全相同的。
因此，当讨论一元二次方程和二次函数时，可以灵活运用它们之间的联系。
综上所述，一元二次方程和二次函数之间的区别可归纳为以下几点：一、它们具有不同的自变量；二、一元二次方程只有两个根，而二次函数可能有多个解；三、一元二次方程只能采用一种统一标准形式，而二次函数可以有正弦、余弦等多种形式。
因此，本文详细讨论了一元二次方程和二次函数之间的区别。
鉴于它们在数学上之间的关系，当讨论它们时必须特别注意它们之间的各种区别，以便成功地解决数学问题。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案课题：2.5.2二次函数与一元二次方程教学目标：1．复习巩固用函数y＝ax+bx+c的图象求方程ax+bx+c＝0的解．222.让学生体验一元二次方程AX+BX+C=h的根是二次函数y=AX+BX+C，直线y=h（h是）2实数）图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax+bx+c=h的近似根．3.理解解方程的思想，体验数形结合的思想，是教学重点和难点：重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.用图像法求一元二次方程的近似根的过程难度：用二次函数图像求一元二次方程的近似根并估计其教学过程：一、复习回顾，开辟道路二次函数y=ax+BX+C的图像坐标与x轴和一元二次方程ax+BX+C=0的根的交点之间的关系是什么？2二221.如果方程AX+BX+C=0的根为X1=-2，X2=3，则二次函数y=AX+BX+C的图像与X轴的交点坐标为：2．抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是（）a、两个交叉点B，一个交叉点C，没有交叉点D，只有在绘制图像后才能解释。
3.在不绘制图像的情况下，找到抛物线y=x-x-6和x轴的交点坐标处理方式：以问题的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正．设计意图：本部分属于课前热身训练的准备。
用5分钟让学生尽快进入学习新知识的准备阶段问题（1）（2）是对上一节课知识内容的回顾，以调查学生对二次函数和一元二次方程之间关系的理解是否准确问题（3）不仅作为回顾上节课的内容，同时也为新课的引入铺平道路1二2二2二、尝试成功，探索创新活动内容：上节课，我们学习了二次函数y=ax+BX+C（a）的图像的交点坐标之间的关系≠ x轴和一元二次方程的根AX+BX+C=0（a≠ 0). 我们了解到，当y=0时，二次函数图像与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的根。
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解 析
9 解得 h＝－ ， 2 ∴点
9 P 的坐标是－ 3，－ . 2
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积，
9 27 ∴ S＝ 3×－ ＝ . 2 2
故答案为
27 . 2
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第15课时┃归类探究
解 析 (1)因为四边形 OCEF 为矩形，OF＝2， EF＝ 3， 所以点 C 的坐标为(0， 3)，点 E 的坐标为(2，3)． 把 x＝ 0，y＝3；x＝2，y＝ 3 分别代入 y＝－x2＋bx＋c，得
3＝c， 3＝－4＋ 2b＋c， c＝3， 解之得 b＝2.
字母
a
c
c>0
c<0
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与y轴正半轴相交
与y轴负半轴相交
第15课时┃考点聚焦
项目 字母
字母的符号
b2－4ac＝0
图象的特征
与x轴有惟一交点 (顶点)
b2－4ac
b2－4ac>0
b2－4ac<0
与x轴有两个不 同交点
与x轴没有交点
当x＝1时，y＝a＋b＋c
特殊 关系
当x＝－1时，y＝a－b＋c
若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0 若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0
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第15课时┃考点聚焦
考点3
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物线y＝ax2平移 得到，具体平移方法如图15－1：
第15课时┃归类探究
探究三、二次函数的图象特征与a、b、c之间的关系
命题角度： 1．二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，与坐标轴的 交点情况与a、b、c的关系； 2．图象上的特殊点与a、b、c的关系． 例4．[2013•烟台] 如图15－3所示，是二次函数y＝ ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝－1， 且过点(－3，0)．下列说法：①abc＜0；②2a－b＝ 0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)， 是抛物 线上的两点，则y1＞y2.其中说法正确的是( ) C A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
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图15－4
第15课时┃归类探究
解 析 (1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、 E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的关系式． (2)根据(1)的函数关系式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D 点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积． (3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物 线对应的函数关系式中直接进行判断即可．
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第15课时┃归类探究
1 例 3、 [2012· 广安 ] 如图 15－ 2，把抛物线 y＝ x2 平移得到抛物线 2 m. 抛物线 m 经过点 A(－ 6，0)和原点 (0， 0)，它的顶点为 P，它 1 2 的对称轴与抛物线 y＝ x 交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 2 27 2 ________ ．
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图15－5
第15课时┃回归教材
图象还告诉我们：它与x轴交于两点M(1，0)、N(3，0)，并且 在点M左侧和点N右侧的图象都在x轴的上方，在这两点之间的 图象在x轴的下方． 这就是说：当x＝1，x＝3时，y＝0.也就是说，x＝1，x＝3是一 元二次方程x2－4x＋3＝0的根； 当x<1或x>3时，图象上所有点的纵坐标都大于0，也就是说， 当x<1或x>3时，y>0，即x2－4x＋3>0； 当1<x<3时，图象上所有点的纵坐标都小于0，也就是说，当 1<x<3时，y<0，即x2－4x＋3<0.
(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直 接列方程(组)求二次函数的关系式．
(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定 与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．
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第15课时┃回归教材
回 归 教 材
学会“读”图 教材母题
从二次函数y＝x2－4x＋3的图象(图15－ 5)，可以“读”出许多信息．比如图象 告诉我们： 当x＝2时，y有最小值，最小值是－1； 当x<2时，y随x增大而减小； 当x>2时，y随x增大而增大．
所以抛物线所对应的函数关系式为 y＝－x2＋2x＋ 3. (2)因为 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以抛物线的顶 点坐标为(1，4)． 所以△ABD 中 AB 边上的高为 4. 令 y＝ 0，得－x2＋ 2x＋3＝ 0，解之得 x1＝－ 1，x2＝ 3，所 以 AB＝ 3－(－1)＝4， 1 于是△ABD 的面积为 ×4× 4＝8. 2
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第15课时┃考点聚焦
图15－1
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第15课时┃考点聚焦
[注意] 确定抛物线平移后的关系式最好利用顶点式，利用顶 点的平移来研究图象的平移．
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第15课时┃归类探究
归 类 探 究
探究一、二次函数与一元二次方程
命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)．
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归类探究
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第15课时┃归类探究
解 析 根据题意选项A应该是向右平移1个单位，选项B应该 是向左平移1个单位，选项D应该是向上平移1个单位，故选C.
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第15课时┃归类探究
方法点析 1．采用由“点”带“形”的方法．
图象在平移时，图象上的每一个点都按照相同的方向移动 相同的距离，抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移 问题来解决． 2．平移的变化规律为： (1)上下平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向上(或向下)平移 m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2 ＋k＋m(或y＝a(x－h)2＋k－m)． (2)左右平移：当抛物线y＝a(x－h)2＋k向左(或向右)平移 n(n>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h＋ n)2＋k(或y＝a(x－h－n)2＋k)．
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴 的交点个数 2个 1个
判别式Δ＝b2－4ac 的符号 Δ>0 Δ＝ 0
方程ax2＋bx＋c ＝0有无实根的情况 ______________ 两个不相等 实根 _______________ 实根 两个相等
没有
Δ<0
________ 没有 实根
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探究二、二次函数图象的平移
命题角度：
1．二次函数图象的平移规律； 2．利用平移求二次函数图象的关系式． 例2．[2013•上海] 如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那 么所得新抛物线的关系式是( C ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3
例1．[2013•苏州] 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图 象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x ＋m＝0的两实数根是( B ) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
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第15课时┃归类探究
解 析 ∵二次函数 y＝ax2＋ bx＋ c 图象的对称轴为 x＝－ 1， ∴点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3， y1)， 根据当 x＞－ 1 时， y 随 x 的增大而增大，
5 ∵ ＜ 3， 2 ∴ y2＜y1，∴④正确． 故选 C.
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解 析
A 选项，∵图象开口向上，∴a＞0.∵图象与 y 轴交 b 于负半轴，∴c＜0.∵对称轴在 y 轴左侧，∴－ ＜ 0，∴b 2a ＞ 0，∴abc＜0，故本选项错误； b 1 B 选项，∵对称轴：x＝－ ＝－ ，∴a＝b，故本选项错误； 2a 2 C 选项，当 x＝ 1 时，a＋b＋c＝2b＋c＜0，故本选项错误； 1 D 选项，∵对称轴为 x＝－ ，与 x 轴的一个交点的取值范围 2 为 x1＞ 1，∴与 x 轴的另一个交点的取值范围为 x2＜－ 2，∴ 当 x＝－2 时，4a－ 2b＋c＜0，即 4a＋c＜2b，故本选项正 确．故选 D.
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考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特 征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
项目 字母的符号 a>0 a<0 b＝ 0 b ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号) c＝0 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
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解 析 (3)△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°， CO 落在 CE 所在的直线上，
又由(2)可知 OA＝1，所以点 A 的对应点 G 的坐标为 (3，2)． 当 x＝3 时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠ 2，所以点 G 不在该抛物线上.
方法点析 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形， 充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解 决问题的关键．