圆周角与圆心角关系

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圆周角和圆心角的关系

圆周角和圆心角的关系

们都是哪条弧所对的角?它们与
足球队员射门的时候的∠难AOC有易什程么关度系?与从而他得所到 处位 ∠ABC=∠ADC=∠AEC 置 门的对A 情球况门抽的OO 象张成角几有C 何关图,形如推论:图可等。以圆 周把弧 所球员同 弧 射
角对或
相的等
精品课件
认真思考,练练手
如图,OA,OB,OC都是圆O的半径∠AOB=2∠BOC, ∠ACB 与∠BAC的大小有什么关系?为什么?
∠DOC+ ∠A
C
∵OB=OC OA=OC
∴ ∠A = ∠ DCA ∠B= ∠DCB
∴ ∠AOD+ ∠BOD=2(∠ DCA +∠DCB)即∠ACB=1/2 ∠AOB
最后一种情况圆心O在∠C外部时,由同学们自己独立完成,不理解的可
以互相交流。
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认真观察,探究结果
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的度数的一半。
小有怎样的关系呢?是不是也是二倍的关系?
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如图,当圆心O在∠C内部时,
我们可以把这种情况给转化为上面的特殊情况,连接
OC并延长交圆O于点D
∵∠AOD是⊿AOC的外角
B D
∠BOD是⊿BOC的外角
∴ ∠AOD= ∠DOC+ ∠A ∠BOD= ∠BCD+ ∠B
1
A
O
∴ ∠AOD+ ∠BOD= ∠BCD+ ∠B+
一题多变
1、如图,在圆O中, ∠ O=50°,求∠ A的度数。 BC
通过对以上A 三种O 情况的证明,同O学们能A 得到 什么结论呢?
B
C
变式练、如图,点A、B、C是圆O上的三点, ∠BAC=40°,则
∠BOC= 80°, ∠ OBC=50°.

圆周角和圆心角的关系课件

圆周角和圆心角的关系课件
D
O B
A C
知识点四:
如图,BC是直径,它所对的 圆周角有什么特点?如何证明?
推论:直径所对的圆周角是直角, 90°的圆周角所对的弦是直径
四、随堂练习
1.判断 (1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等 ( √ ) (2)相等的弦所对的圆周角也相等 ( × ) (3)同弦所对的圆周角相等 ( × )
知识点一
1、顶点在圆心的角叫圆心角,
2、顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
1、下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B O·
A
C (1) √ A

B
C
顶点不在圆上
B
C

A
A
C O·
B
顶点(不2)在圆上 边(AC3)没有和圆相交
B
CC A O·
·O
(5)√
A B
(6)√
知识点二 圆周角和圆心角的关系
1.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时, 圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系.
∵∠AOB是△ACO的外角, ∴∠AOB=∠C+∠A. ∵OA=OC, ∴∠A=∠C.
1
∴∠C= 2 ∠AOB.
A B
●O
C
2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周
角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样?
∴∠1+∠2+ ∠5+ ∠6=? ∠3+∠4+ ∠7+ ∠8=?
∠1+∠2+ ∠5+ ∠6=180° ∠3+∠4+ ∠7+ ∠8=180°
即:∠BAD+∠BCD=180, ∠ABC+∠ADC=180,

圆心角和圆周角的概念

圆心角和圆周角的概念

圆心角和圆周角的概念
圆心角和圆周角是圆的基本概念,用来描述圆中角的大小。

1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角的大小可以用度数来衡量,例如
30°或60°。

圆心角所对的弧长与圆心角的度数成正比。

2.圆周角:顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的大小也可以用
度数来衡量,例如30°或60°。

圆周角所对的弦长与圆周角的度数成正比。

举例来说,假设我们有一个半径为r的圆,现在想象一条直径将这个圆分成两个完全相等的部分。

沿着这条直径,我们可以找到一个顶点在圆心,两边与圆相交的角,这就是一个圆心角。

如果我们将这个圆心角的一边延长,它可以与一条弧相交,而这条弧所对的弦正好是直径。

因此,这个圆心角所对的弧长等于圆的直径,也就是2r。

而这个圆心角的度数是180°,因此它所对的弧长等于2r。

同样地,如果我们有一个顶点在圆上,两边与圆相交的角,这就是一个圆周角。

如果我们延长这个角的两条边,它们会相交于一个点,这个点到圆心的距离等于半径。

因此,这个角所对的弦长等于圆的半径,也就是r。

而这个圆周角的度数是180°,因此它所对的弦长等于r。

【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系

【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系

圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解:1.圆周角与圆心角的的概念:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2.在同圆或等圆中,如果两条弦,两条弧,两个圆心角中有一组量相等,那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3.一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.直径所对的圆周角是90度,90度的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形对角之和是180度。

6.弧的度数就是圆心角的度数。

解题思路:1.已知圆周角,可以利用圆周角求出圆心角2.已知圆心角,可以利用圆心角求出圆周角3.已知直径和弧度,可以求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个基本特征:(1)顶点在圆上;(2)两边都和圆相交。

二、教学内容【1】圆心角:顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征:练习:判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由.【2一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知:⊙O中,弧BC所对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,求证:∠BAC= 1/2∠BOC.分析:通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情况:(1)圆心O在∠BAC的一边上 O(2)圆心O在∠BAC的内部(3)圆心O在∠BAC的外部 B D C●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系(1).在同圆或等圆中,如果两条弦,两条弧,两个圆心角中有一组量相等,那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

(2).一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

圆周角和圆心角的关系两背

圆周角和圆心角的关系两背

圆周角和圆心角的关系两背圆周角和圆心角,这两位数学“老朋友”你可一定要认识。

你可能会想,圆周角和圆心角是什么鬼?怎么听起来那么像是数学课上睡着时做的梦?嘿,别着急,这俩其实关系可大了,搞懂了它们,你不仅能刷高数学成绩,还能在闲聊时牛气哄哄地“讲几句”给别人听。

我就来给你讲讲这两个角到底有啥关系,保证你听了之后不但懂了,而且会觉得它们比你想象中还要有趣,甚至有点“机智”呢。

你得知道,圆心角顾名思义,指的是从圆心出发,连接两个圆上的点,形成的角。

说白了,就是从圆心看的那个角,像你站在一个大圆的正中心,眼睛一瞄,连接两个点,这时候你眼前的角度就是圆心角啦。

是不是很简单?你想象一下在游乐园里,如果你站在旋转木马上,眼前的景象就是一个圆心角。

明白了吗?不过,不要急着高兴,圆周角还没讲呢,它可有意思了。

圆周角嘛,顾名思义,就是圆的周围形成的角,它的顶点在圆的周边,而不是圆心。

这就有点像你站在圆的某一边,看着另外两个点,产生的角度。

这俩角,圆心角和圆周角,怎么说呢,它们就像是“兄弟”一样有点相似,但又有细微的区别。

你知道吗?有个有趣的事情,那就是圆心角的大小恰好是圆周角的两倍!没错,两倍!像极了你小时候吃饭时,妈妈给你分的一块蛋糕,每次总能把她的那块切得比你的要大个两倍。

是吧,都是家里的规矩。

再举个例子来让你更清楚。

想象一下你在玩足球,球场是个圆形。

圆心角就像是你站在场地,看着球场两侧的队友,他们的位置越远,形成的角度也越大。

而圆周角就像是你站在球场的边缘,瞪着那几个站在场地中心的家伙,你能看到的角度就小一些,差不多就是圆心角的“缩小版”吧,哈哈。

所以,如果你站在场地的“关键位置”,你看到了的角度就跟别人不一样。

数学就是这么有趣。

你以为只是些死板的公式,其实这些公式背后藏着一大堆有意思的“小秘密”。

比如说,圆心角和圆周角的关系,背后就有一种微妙的平衡。

你看,圆心角不管怎么变化,它都比圆周角大一倍,所以它好像更“霸气”,更能吸引眼球。

圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法

圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法

圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法
已知在⊙O中,∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC,求证:∠BOC=2∠BAC. 证明:
情况1:,当圆心O在∠BAC的一边上时,即A、O、B在同一直线上时:
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2:,当圆心O在∠BAC的内部时:
连接AO,并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等边对等角)
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3:,当圆心O在∠BAC的外部时:
连接AO,并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO(等边对等角),∠CAD=∠ACO(OA=OC)∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC。

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系--知识讲解(基础)【学习目标】1.理解圆周角的概念,了解圆周角与圆心角之间的关系;2.理解圆周角定理及推论;3.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用;通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义:像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;推论2:直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周角的外部.(如下图)要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义:四边形的四个顶点都在同一个圆上,像这样的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.ODCBA2.圆内接四边形性质:圆内接四边形的对角互补.如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.要点诠释:当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时,四边形的对角是不互补.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图,在⊙O 中,,求∠A 的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的圆周角相等,所对的 弦也相等. 举一反三:【变式】如图所示,正方形ABCD 内接于⊙O ,点E 在劣弧AD 上,则∠BEC 等于( )A .45°B .60°C .30°D .55° 【答案】A.∵ AB =BC =CD =DA ,∴ 90AB BC CD DA ====°, ∴ ∠BEC =45°.类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断,顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O 内,两边与圆相交,所以∠1不是圆周角; (b)∠2顶点在圆外,两边与圆相交,所以∠2不是圆周角;(c)图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上,两边均与圆相交,所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角. (d)∠5顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆不相交,所以∠5不是圆周角; (e)∠6顶点在圆上,两边与圆均不相交,由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【总结升华】 紧扣定义,抓住二要素,正确识别圆周角.3.(2015•台州)如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,点E 在对角线AC 上,EC=BC=DC . (1)若∠CBD=39°,求∠BAD 的度数; (2)求证:∠1=∠2.【答案与解析】(1)解:∵BC=DC , ∴∠CBD=∠CDB=39°,∵∠BAC=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°, ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°; (2)证明:∵EC=BC ,∴∠CEB=∠CBE,而∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1+∠CBD,∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD,∵∠BAE=∠CBD,∴∠1=∠2.【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质,熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.4.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?【思路点拨】BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰三角形,要证明D是BC的中点,只要连结AD,证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.【答案与解析】BD=CD.理由是:如图,连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB,∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三:【变式】(2015•安顺)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为()DABCOA .2B . 4C . 4D .8【答案】C.提示:∵∠A=22.5°,∴∠BOC=2∠A=45°,∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ,∴CE=DE,△OCE 为等腰直角三角形,∴CE=OC=2,∴CD=2CE=4. 故选:C .类型三、圆内接四边形及应用5.圆内接四边形ABCD 的内角∠A :∠B :∠C=2:3:4,求∠D 的度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值,再根据四边形的内角和为360°,从而求得∠D 的度数. 【答案与解析】解:∵圆内接四边形的对角互补, ∴ ∠A :∠B :∠C :∠D=2:3:4:3 设∠A=2x ,则∠B=3x ,∠C=4x ,∠D=3x , ∴2x+3x+4x+3x=360°, ∴x=30°. ∴∠D=90°.【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.举一反三:【变式】如图,⊙O中,四边形ABCD是圆内接四边形,∠BOD=110°,则∠BCD的度数是().A.110°B.70°C.55°D.125°【答案】D.C。

初中数学知识点精讲精析 圆周角和圆心角的关系

初中数学知识点精讲精析 圆周角和圆心角的关系

3·3圆周角和圆心角的关系1.圆周角定义:圆周角(angle in a circular segment):顶点在圆上,并且角的两边和圆相交的角.两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦.2.圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半.注意:(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角,结论是圆周角等于圆心角的一半.(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.注意:(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.3.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.注意:这一推论应用非常广泛,一般地,如果题目的已知条件中有直径时,往往作出直径上的圆周角——直角:如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题.4.反证法:注意:用反证法证明命题的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.(3)山矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.5.圆内角与圆外角:我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1.顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2).定理:圆内角的度数,等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半.圆外角的度数,等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半.1.已知:⊙O 中,所对的圆周角是∠ABC ,圆心角是∠AOC .求证:∠ABC =12AOC . 【解析】证明:∠AOC 是△ABO 的外角,∴∠AOC =∠ABO +∠BAO .∵OA =OB ,∴∠ABO =∠BAO . ∴∠AOC =2∠ABO .即∠ABC =12∠AOC .如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图),那么结果怎样?特殊情况会给我们什么启发吗?你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗?如图(1),点O 在∠ABC 内部时,只要作出直径BD ,将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出.由刚才的结论可知:∠ABD =12∠AOD ,∠CBD =12∠COD , ∴∠ABD +∠CBD =12(∠AOD +∠COD),即∠ABC =12∠AOC .在图(2)中,当点O 在∠ABC 外部时,仍然是作出直径BD ,将这个角转化成上述情形的两个角的差即可.由前面的结果,有 ∠ABD =12∠AOD ,∠CBD =12∠COD .∴∠ABD -∠CBD =12(∠AOD -∠COD),即∠ABC=12∠AOC.2.如图示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径,故连接AD.由推论直径所对的圆周角是直角,便可得AD⊥BC,又因为△ABC中,AC=AB,所以由等腰三角形的二线合一,可证得BD=CD.【解析】BD=CD.理由是:连结AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.即AD⊥BC.又∵AC=AB,∴BD=CD.3.为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形?说一说这种设计的合理性.【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形,这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.4.如下图,哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC=∠BAC.5. 如下图,⊙O的直径AB=10 cm,C为⊙O上的一点,∠ABC=30°,求AC的长.【解析】∵AB为⊙O的直径.∴ACB=90°.又∵∠ABC=30°, ∴AC=21AB=21×10=5(cm). 6.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形,根据下图,你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是:90°的圆周角所对的弦是直径.7.船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁,如下图,A 、B 表示灯塔,暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内,C 表示一个危险临界点,∠ACB 就是“危险角”.当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁;当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时,就能避免触礁.(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么? 分析:这是一个有实际背景的问题,由题意可知:“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角,船P 与两个灯塔的夹角为∠α,P 有可能在⊙O 外,P 有可能在⊙O 内,当∠α>∠C 时,船位于暗礁区域内;当∠α<∠C 时,船位于暗礁区域外,我们可采用反证法进行论证. 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时,船位于暗礁区域内(即⊙O 内),理由是:连结BE ,假设船在(⊙O 上,则有∠α=∠C ,这与∠α>∠C 矛盾,所以船不可能在⊙O 上;假设船在⊙O 外,则有∠α<∠AEB ,即∠α<∠C ,这与∠α>∠C 矛盾,所以船不可能在⊙O 外.因此.船只能位于⊙O 内.(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时,船位于暗礁区域外(即⊙O 外).理由是:假设船在⊙O上,则有∠α=∠C,这与∠α<∠C矛盾,所以船不可能在⊙O上;假设船在⊙O内,则有∠α>∠AEB,即∠α>∠C.这与∠α<∠C矛盾,所以船不可能在⊙O内,因此,船只能位于⊙O外.8.如图,已知在⊙O中,直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D.求BC、AD和BD的长.分析:由AB为直径,知∠ACB=90°,又AC、AB已知,可由勾股定理求BC.又∠ADB=90°,AD=DB,由勾股定理可求AD、BD.【解析】∵AB为直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,又∵AB=10cm,AC=6cm,又∵CD是∠ACB的平分线,∠ACD=∠DCB,∴AD=DB.在 Rt∠ADB中,9.已知AB是⊙O的直径,AE是弦,C是的中点,CD⊥AB于D,交AE于F,CB交AE于G.求证:CF=FG.分析:如图7—107,要证CF=FG,只需证∠FCG=∠FGC.由已知,∠FCG与∠B互余.如果连结AC,∠ACB=90°.∠FGC与∠CAG互余.【解析】证明:连结AC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∠FGC=90°-∠CAE.又∵CD⊥AB于D,∠FCG=90°-∠B,∴∠FGC=∠FCG.因此,CF=FG.10.如图,AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ,的大小有什么关系?为什么?(2)把(1)中的条件和结论交换一下,还能成立吗?说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立,延长DO 交⊙O 于点E ,连结AD . ∵=,=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图,⊙O 上三点A 、B 、C ,AB =AC ,∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ,∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ,BE 和CF 相交于点D ,四边形AFDE 是菱形吗?验证你的结论.【解析】四边形AFDE 是菱形.证明:∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ,∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ,同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ,AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径,小亮同学谈了他的做法:先量取弦AB 的长,再量中点到AB 的距离CD 的长,就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗?如不合理,说明理由;如合理,请你给出具体的数值,.BDCABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ,CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r -2)2+42. 得r=5(m).13.如图,现需测量一井盖(圆形)的直径,但只有一把角尺(尺的两边互相垂直,一边有刻度,且两边长度都长于井盖的半径),请配合图形,用文字说明测量方案,写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1:使角尺顶点在圆上,角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径,用刻度尺量出直径.方案2:任画圆的一条弦,用尺量出弦的中点,利用角尺过弦中点做弦的垂线,垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合),求证:∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时,∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.【解析】(1)证明:连结OD, ∵AB 是直径,AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是:∠CP ′D+∠COB=180°.证明:∵∠CPD+∠CP ′D=180°,∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知,如图20,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外),直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证:AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立,请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由.B【解析】(1)证明:连接CB ,∵AB 是直径,CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC . ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点,上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时,F 与G 重合, 有AG =AF ,∵CD ⊥AB ,∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时,证明类似①.。

弦所对的圆周角和圆心角的关系

弦所对的圆周角和圆心角的关系

弦所对的圆周角和圆心角的关系大家好,今天咱们来聊聊一个有趣的几何问题:弦所对的圆周角和圆心角的关系。

听到这儿,不要慌,别以为这是数学的“噩梦”,其实这就是咱们在数学里碰到的那些小秘密。

想象一下,你在一个大圆圈里,有一个弦,哦,就是那种连接圆上两点的线段。

那么,这条弦所对的圆周角和圆心角之间,到底有什么秘密关系呢?让我给大家掀开这层神秘的面纱。

首先,咱们得从圆心角说起。

圆心角,顾名思义,就是从圆心出发的角度,它的顶点正好在圆心上。

这角度的意思就是从圆心看向圆上的两个点,形成的那个角度。

是不是有点像你在玩飞镖,瞄准一个靶心,然后投掷飞镖?那个角度就是你弯腰的角度,不同的角度,飞镖飞出去的轨迹就不一样,对吧?好了,咱们知道了圆心角的定义,接下来就是要谈谈圆周角了。

圆周角听起来有点像是圆心角的“小弟弟”,它的顶点不在圆心上,而是在圆周上。

简单来说,圆周角就是那些由弦所形成的角度。

想象一下,你站在圆的边缘,看看圆上的弦,然后对着这个弦产生的那个角度,这就是圆周角。

也许你会觉得,这个角度和圆心角之间好像没啥联系,但其实,它们之间有个绝对的关系,那就是圆心角是圆周角的两倍。

这就像你和你的小伙伴一起吃大餐,你吃的比他多,但他觉得也不差,因为他正好可以尝到你喜欢的那些美味,哇,这真是个绝妙的“吃货”组合。

接下来,让我们来个小实验。

假如你在一个大圆上选取两点A和B,然后画一条弦AB。

如果我们在圆心O画出两个线段OA和OB,就形成了一个圆心角,而弦AB对面的圆周角就是圆心角的一半。

这就像你把一个蛋糕切成两半,一半就是你的,一半就是你朋友的,你们分得均匀,不觉得这是个公平的交易吗?所以,你可以发现,无论圆心角多么大,圆周角永远只有圆心角的一半。

这就像你去参加生日派对,即使蛋糕有多大,你总是只能分到那一小块,别想太多。

更有趣的是,这种关系在不同的圆中都是适用的。

无论你走到哪儿,画个圆,选取一条弦,它对面的圆周角总是圆心角的一半。

3.4.1圆周角和圆心角的关系(教案)

3.4.1圆周角和圆心角的关系(教案)
五、教学反思
在今天的教学中,我发现学生们对圆周角和圆心角的关系这一部分内容兴趣浓厚,但也存在一些理解上的难点。首先,他们对圆周角和圆心角的定义掌握得相对较好,但在应用到具体问题时,还是会出现一些困惑。我意识到,这主要是因为他们在将理论知识转化为实际应用时,缺乏足够的练习和经验。
在讲授过程中,我尽量用生动的例子和直观的图形来解释这两个概念,但效果似乎并不如预期。我反思,可能需要更多的互动和实际操作,让学生在动手实践中感受圆周角和圆心角的关系。比如,可以设计一些更具挑战性的题目,让学生分组讨论,通过合作解决问题,加深对知识点的理解。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“圆周角和圆心角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
还有一个值得注意的问题是,在小组讨论过程中,部分学生表现出较强的依赖性,不够独立思考。针对这一问题,我将在后续教学中加强对学生的引导,培养他们独立思考的能力,鼓励他们大胆提出自己的观点和疑问。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握圆周角和圆心角的定义:这是本节课的基础,要求学生能够明确圆周角和圆心角的含义,并能够正确画出相应的图形。
-掌握圆周角和圆心角的关系:学生需要理解在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的圆心角相等,反之亦然。
-应用圆周角和圆心角的关系解决实际问题:学生应学会运用这一关系进行几何证明和计算,解决与圆相关的实际问题。
2.提高学生的逻辑推理能力:引导学生通过严密的逻辑推理证明圆周角和圆心角的关系,培养他们运用几何知识分析和解决问题的能力。

圆心角与圆周角的关系证明

圆心角与圆周角的关系证明

圆心角与圆周角的关系证明要讨论圆心角与圆周角的关系,我们首先得了解这两个角的基本概念。

想象一下,我们站在一个圆的中心,眼前是一个大大的披萨(谁不喜欢披萨呢?),这个披萨的每一片都能代表一个圆心角。

圆心角就是从圆心出发,连接到圆的两边形成的那个角。

听起来是不是很简单?但别小看这个角,它可是有很多有趣的性质,尤其是与圆周角的关系。

接下来,我们聊聊圆周角。

圆周角就像是坐在披萨边缘的朋友,虽然离圆心远了一点,但它的工作同样重要。

简单来说,圆周角是圆周上某一段的端点与圆心之间形成的角。

这里面有个有趣的点:圆心角的度数和它对应的圆周角的度数是有关系的。

让我们用个小例子来说明吧:假设你有一个圆心角为60度的角,那么对应的圆周角就只有30度。

这是不是听起来很神奇?像是魔术一样,让人忍不住想要深入探讨。

在数学上,这种关系其实是有一定规律的。

我们可以用公式来简单地表示:圆周角= 1/2 × 圆心角。

也就是说,圆心角总是圆周角的两倍!如果你把这个关系想象成一对好朋友,那圆心角就像是个大嘴巴,总是说个不停,而圆周角则比较安静,时不时插一句。

这样的搭配,简直就是天生一对!要想彻底理解这个关系,我们可以借助几何图形来更直观地观察。

画个圆,标出圆心,接着在圆的边缘上找两个点。

用直线连接这两个点到圆心,再在这两个点之间的圆周上找一个点,看看你能形成什么样的角。

这时,你会发现无论你如何移动这些点,圆心角的度数永远是圆周角的两倍。

就像那句老话,“不怕慢,就怕站”,只要我们不停地探索,就总能找到答案。

当然,实际生活中,这个关系也会有很多应用,比如在建筑设计、机械工程等等领域。

想象一下,如果没有这个关系,建筑师们的设计图纸可能会变得乱七八糟,大家都搞不清楚哪个角应该怎么测量,最后建出来的房子可能会歪歪扭扭的,那可就闹笑话了。

可见,圆心角和圆周角的和谐关系在生活中是多么的重要!所以,朋友们,记住这段关系吧。

圆心角和圆周角就像是数学世界里的好搭档,无论走到哪里,它们都携手并进。

初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系

初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义:圆周角(angle in a circular segment):顶点在圆上,并且角的两边和圆相交的角.两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦.2.圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半.注意:(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角,结论是圆周角等于圆心角的一半.(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.注意:(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.3.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.注意:这一推论应用非常广泛,一般地,如果题目的已知条件中有直径时,往往作出直径上的圆周角——直角:如果需要直角或证明垂直时,往往作出直径即可解决问题.4.反证法:注意:用反证法证明命题的一般步骤:(1)假设命题的结论不成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.(3)山矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.5.圆内角与圆外角:我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1.顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2).定理:圆内角的度数,等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半.圆外角的度数,等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半.典型例题1.已知:⊙O中,所对的圆周角是∠ABC,圆心角是∠AOC.求证:∠ABC=12 AOC.【解析】证明:∠AOC是△ABO的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO.即∠ABC=12∠AOC.如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图),那么结果怎样?特殊情况会给我们什么启发吗?你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗?如图(1),点O在∠ABC内部时,只要作出直径BD,将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出.由刚才的结论可知:∠ABD=12∠AOD,∠CBD=12∠COD,∴∠ABD+∠CBD=12(∠AOD+∠COD),即∠ABC=12∠AOC.在图(2)中,当点O在∠ABC外部时,仍然是作出直径BD,将这个角转化成上述情形的两个角的差即可.由前面的结果,有∠ABD=12∠AOD,∠CBD=12∠COD.∴∠ABD-∠CBD=12(∠AOD-∠COD),即∠ABC=12∠AOC.2.如图示,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径,故连接AD.由推论直径所对的圆周角是直角,便可得AD⊥BC,又因为△ABC中,AC=AB,所以由等腰三角形的二线合一,可证得BD=CD.【解析】BD=CD.理由是:连结AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.即AD⊥BC.又∵AC=AB,∴BD=CD.3.为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形?说一说这种设计的合理性.【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形,这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.4.如下图,哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC=∠BAC.5. 如下图,⊙O的直径AB=10 cm,C为⊙O上的一点,∠ABC=30°,求AC的长.【解析】∵AB为⊙O的直径.∴ACB=90°.又∵∠ABC=30°, ∴AC=21AB=21×10=5(cm). 6.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形,根据下图,你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是:90°的圆周角所对的弦是直径.7.船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁,如下图,A 、B 表示灯塔,暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内,C 表示一个危险临界点,∠ACB 就是“危险角”.当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁;当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时,就能避免触礁.(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么? 分析:这是一个有实际背景的问题,由题意可知:“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角,船P 与两个灯塔的夹角为∠α,P 有可能在⊙O 外,P 有可能在⊙O 内,当∠α>∠C 时,船位于暗礁区域内;当∠α<∠C 时,船位于暗礁区域外,我们可采用反证法进行论证. 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时,船位于暗礁区域内(即⊙O 内),理由是:连结BE ,假设船在(⊙O 上,则有∠α=∠C ,这与∠α>∠C 矛盾,所以船不可能在⊙O 上;假设船在⊙O 外,则有∠α<∠AEB ,即∠α<∠C ,这与∠α>∠C 矛盾,所以船不可能在⊙O 外.因此.船只能位于⊙O 内.(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时,船位于暗礁区域外(即⊙O 外).理由是:假设船在⊙O上,则有∠α=∠C,这与∠α<∠C矛盾,所以船不可能在⊙O上;假设船在⊙O内,则有∠α>∠AEB,即∠α>∠C.这与∠α<∠C矛盾,所以船不可能在⊙O内,因此,船只能位于⊙O外.8.如图,已知在⊙O中,直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D.求BC、AD和BD的长.分析:由AB为直径,知∠ACB=90°,又AC、AB已知,可由勾股定理求BC.又∠ADB=90°,AD=DB,由勾股定理可求AD、BD.【解析】∵AB为直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,又∵AB=10cm,AC=6cm,又∵CD是∠ACB的平分线,∠ACD=∠DCB,∴AD=DB.在 Rt∠ADB中,9.已知AB是⊙O的直径,AE是弦,C是的中点,CD⊥AB于D,交AE于F,CB交AE于G.求证:CF=FG.分析:如图7—107,要证CF=FG,只需证∠FCG=∠FGC.由已知,∠FCG与∠B互余.如果连结AC,∠ACB=90°.∠FGC与∠CAG互余.【解析】证明:连结AC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∠FGC=90°-∠CAE.又∵CD⊥AB于D,∠FCG=90°-∠B,∴∠FGC=∠FCG.因此,CF=FG.10.如图,AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ,与 的大小有什么关系?为什么?(2)把(1)中的条件和结论交换一下,还能成立吗?说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立,延长DO 交⊙O 于点E ,连结AD . ∵=,=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图,⊙O 上三点A 、B 、C ,AB =AC ,∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ,∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ,BE 和CF 相交于点D ,四边形AFDE 是菱形吗?验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明:∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ,∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ,同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ,AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径,小亮同学谈了他的做法:先量取弦AB 的长,再量中点到AB 的距离CD 的长,就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗?如不合理,说明理由;如合理,请你给出具体的数值,求出半径,与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ,CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r -2)2+42. 得r=5(m).13.如图,现需测量一井盖(圆形)的直径,但只有一把角尺(尺的两边互相垂直,一边有刻度,且两边长度都长于井盖的半径),请配合图形,用文字说明测量方案,写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1:使角尺顶点在圆上,角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径,用刻度尺量出直径.方案2:任画圆的一条弦,用尺量出弦的中点,利用角尺过弦中点做弦的垂线,垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合),求证:∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时,∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明:连结OD, ∵AB 是直径,AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是:∠CP ′D+∠COB=180°.证明:∵∠CPD+∠CP ′D=180°,∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知,如图20,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外),直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证:AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立,请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明:连接CB ,∵AB 是直径,CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点,上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时,F 与G 重合, 有AG =AF ,∵CD ⊥AB ,∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时,证明类似①.。

圆心角与圆周角的关系(2)

圆心角与圆周角的关系(2)

解:连接 OA,OB,作 OE⊥AB 于点 E. ∵OA =OB,∴AE =BE. 在 Rt △AOE 中,OA=2,AE= 3 , 3 ∴sin∠AOE= . 2 ∴∠AOE=60°,∠AOB=2∠AOE=120° . ∴∠ADB=60°. 又∵四边形 ADBC 为圆内接四边形, ∴∠ACB+∠ADB=180°. ∴∠ACB=180°-∠ADB=120°.
第2课时 圆周角定理的推论

知识点二
圆内接四边形及四边形的外接圆
如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫 做这个四边形的外接圆.
第2课时 圆周角定理的推论

知识点三
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补. [拓展] 若圆内接四边形的对角相等时,此时的四边形就变成矩形了.
第2课时 圆周角定理的推论
探பைடு நூலகம்问题二
圆内接四边形性质的应用
例 2 如图 3-4-23 , 已知⊙O 的半径为 2 , 弦 AB 的长为 2 3 , 点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点 C, D 均不与 A,B 重合).求∠ACB 的度数.
图 3- 4-23
第2课时 圆周角定理的推论
B
O 图②
C
3、观察图③,圆周角∠BAC=90° ,弦BC经 过圆心吗?为什么?
A
B C
结论:
2、直径所对的圆周角是直角; 3、90°的圆周角所对的弦是直径.
O
图③
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。 根据下图,你能判断哪个是半圆形?为什么?
1、如图,⊙O的直径AB=10 cm,C为⊙O 上的一点, ∠ABC=30° ,求AC的长.

圆心角、弦、弧、圆周角之间的推导

圆心角、弦、弧、圆周角之间的推导

圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。

在此文档中,我们将推导这些概念之间的关系,并解释它们在圆的几何中的重要性。

首先,让我们定义这些概念:•圆心角:圆心角指的是以圆心为顶点的角。

•弦:弦是连接圆上两点的线段。

•弧:弧是圆上两点之间的曲线部分。

•圆周角:圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

接下来,我们将探讨这些概念之间的关系。

1.弧和圆心角的关系:当我们考虑一个圆上的弧时,圆心角是与该弧相对应的角度,两者是一一对应关系。

换句话说,一个弧唯一对应一个圆心角,一个圆心角也唯一对应一个弧。

例如,如果给定一个半径为r的圆,圆心角为θ度,那么对应的弧长可以通过以下公式计算:弧长= (θ/360) × 2πr。

2.弦、弧和圆心角的关系:在圆上,如果一个弦和圆心角相等,那么它所对应的弧的长度也是相等的。

这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。

换句话说,如果两个弦所对应的圆心角相等,那么它们所对应的弧的长度也是相等的。

这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。

由于圆心角是以圆心为顶点的角,所以它们的两条边与圆上的两条弦相等,因此对应的弧长也相等。

3.圆周角和圆心角的关系:圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时,这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。

这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。

圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点,因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。

通过上述推导,我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。

它们在圆的几何中起到重要的作用,帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。

这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义,而且在实际应用中也有广泛的应用,例如建筑、工程和物理学等领域。

总结起来,圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。

这些概念在圆的几何中相互关联,为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。

圆周角与圆心角的关系

圆周角与圆心角的关系

圆周角与圆心角的关系(1、2)一、弧与圆心角的关系当∠AOB= 1o 时, 则 1o= 360() ,而此时AB的度数=360()∴二、圆心角与圆周角的关系 1、圆周角的定义一个角的顶点在 ,角的两边 ,叫圆周角 练习:判断下列图形是否是圆周角2、圆周角与圆心角的关系圆周角与圆心角的关系:圆周角与弧的度数的关系:在等圆或同圆中,弧、圆周角、圆心角的关系:1、等弧所对的圆周角、圆心角 ;2、同弧所对的圆心角直径所对的圆周角是 ,90o 圆周角所对的弦是 1、已知圆中一条弧所对圆周角为75°,则这条弧的度数是 ________ 2、圆周角是24°,则它所对的弧是___________. 三、练习:1、在下列图形中找出相等的角D2、如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是2题 3题 4题3、如图,AB 是⊙O 的直径, BC=BD ,∠A=25°,则∠BOD= 。

4、如图,点A 、B 、C 、D 是圆O 上四点,且点D 是弧AB 的中点,CD 交OB 于E ,∠AOB=100°,∠OBC=55°,则∠OEC=__________度.5、如图,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是 AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是________.5题7题8题6、在⊙O 中,∠AOB=72°则弦AB 所对的圆周角是 。

6.1已知⊙O 中的弦AB 长等于半径,求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数.7、如图AB 为直径,∠BED =40°则∠ACD =______.8、如图OA 、OB 是⊙O 的半径,∠AOB =40°,∠OBC =50°, 则∠ACB =______∠OAC =______. 9、如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC10、如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若CD=3,AB=4,求tan ∠BPD 的值.C11、如图,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点A 、点B ,点A 的坐标为(0,3),M 是第三象限内上一点,∠BMO=120°,则⊙C 的半径长为12、如图,已知AB 为⊙O 的直径,∠CAB=30°,则∠D 的度数为13、如图,直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0),B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为13、1如图,O 为原点,点A 的坐标为(3,0),点B 的坐标为(0,4),⊙D 过A 、B 、O 三点,点C 为上一点(不与O 、A 两点重合),则cosC 的值为14、如图,已知⊙O 的半径为1,锐角△ABC 内接于⊙O ,BD ⊥AC 于点D ,OM ⊥AB 于点M ,则sin ∠CBD 的值等于OBABO。

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系--知识讲解(基础)【学习目标】1 •理解圆周角的概念,了解圆周角与圆心角之间的关系;2 •理解圆周角定理及推论;3 •熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用;通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【要点梳理】要点一、圆周角1. 圆周角定义:像图中/ AEB / ADB / ACB这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2. 圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半3. 圆周角定理的推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;推论2:直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释:(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上;圆心在圆周角的内部;圆心在圆周要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义:四边形的四个顶点都在同一个圆上,像这样的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆2.圆内接四边形性质:圆内接四边形的对角互补•如图,四边形ABCD是O 0的内接四边形,则/ A+Z C=180°, / B+Z D=180°D要点诠释:当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时,四边形的对角是不互补【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用C^1・如图,在O 0中 , _ ;i| ',求/ A的度数.【答案与解析】v AB =腮:.AB =腮•債养【总结升华】在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的圆周角相等,所对的弦也相等.举一反三:【变式】如图所示,正方形ABCD内接于O 0,点E在劣弧AD上,则/ BEC等于()A . 45°B . 60°C . 30°D . 55【答案】A.AB = BC= CD= DAAB =BC =CD 二DA =90°,/ BEC= 45°.类型二、圆周角定理及应用C"2.观察下图中角的顶点与两边有何特征?指出哪些角是圆周角?(C) (d)【思路点拨】根据圆周角的定义去判断,顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角•【答案与解析】⑻/1顶点在O O内,两边与圆相交,所以/ 1不是圆周角;(b) / 2顶点在圆外,两边与圆相交,所以/ 2不是圆周角;(c) 图中/ 3、/ 4、/ BAD的顶点在圆周上,两边均与圆相交,所以/ 3、/ 4、/ BAD是圆周角.(d) / 5顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆不相交,所以/ 5不是圆周角;(e) / 6顶点在圆上,两边与圆均不相交,由圆周角的定义知/ 6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义,抓住二要素,正确识别圆周角.3. (2015?台州)如图,四边形ABCD内接于O O,点E在对角线AC上,EC=BC=DC .(1)若/ CBD=39 °,求/ BAD 的度数;(2 )求证:/ 1 = / 2 .【答案与解析】(1)解:T BC=DC ,•••/ CBD= / CDB=39 °•••/ BAC= / CDB=39 ° / CAD= / CBD=39 °• / BAD= / BAC+ / CAD=39 °+39°=78 °(2)证明:T EC=BC ,:丄 CEB= / CBE ,而/ CEB= / 2+ / BAE ,/ CBE= / 1 + Z CBD ,•••/ 2+Z BAE= / 1 + / CBD ,•••/ BAE= / CBD ,•••/ 仁/2.【总结升华】 本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质,熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.BD 是O 0的弦,延长BD 到C ,使AC=AB BD 与CD 的大小有什么关系?【思路点拨】BD=CD 因为AB=AC 所以这个厶ABC 是等腰三角形,要证明 D 是BC 的中点,只要连结 AD,证明AD 是高或是/ BAC 的平分线即可.【答案与解析】BD=CD.理由是:如图,连接 AD•/ AB 是O 0的直径•••/ ADB=90 即 ADL BC 又••• AC=AB • BD=CD.【总结升华】 解题的关键是正确作出辅助线 举一反三:【变式】(2015?安顺)如图,O O 的直径AB 垂直于弦CD ,垂足为E ,/ A=22.5 ° OC=4 , CD 的长为( ).如图,AB 是O 0的直径,为什么?【思路点拨】 根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值,再根据四边形的内角和为 得/ D 的度数.【答案与解析】 解:•••圆内接四边形的对角互补,••• / A: / B:/ C:/ D=2:3:4 : 3设/ A=2x ,则/ B=3x ,/ C=4x,/ D=3x,• 2x+3x+4x+3x=360 ° ,• x=30°• / D=90° .【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为提示:T/ A=22.5°,• / BOC=/A=45 ,TOO 的直径AB 垂直于弦CD• C E=DE △ OCE 为等腰直角三角形,• C E= :OC=2 匚,2• CD=2CE=4 匚.故选:C.类型三、圆内接四边形及应用5 •圆内接四边形 ABCD 勺内角/ A : / B:Z C=2:3:4,求/ D 的度数.360 °,从而求 360°的运用. B . 4【答案】C.举一反三:【变式】如图,O O中,四边形ABCD是圆内接四边形,/ BOD=110,则/ BCD的度数是()A.110 °B.70 °C.55 °D.125 °【答案】D.。

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3.4圆周角和圆心角的关系
一、选择题
1.在同圆中,同弦所对的圆周角 ( )
A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.互余
2.如图3-63所示,A,B,C,D在同一个圆上,四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中,相等的角共有 ( )
A.2对 B.3对 C.4对D.5对
3.如图3-64所示,⊙O的半径为5,弦AB=53,C是圆上一点,则∠ACB的度数是.
4.如图,四边形 ABCD内接于⊙O,若∠BOD=100°,则∠DAB的度数为()
A.50° B.80° C.100° D.130°
5.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案,点A、B、C、D、E五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是()
A.180° B.15 0° C.135° D.120°
6.下列命题中,正确的命题个数是()
①顶点在圆周上的角是圆周角;
②圆周角度数等于圆心角度数的一半;
③900的圆周角所对的弦是直径;
④圆周角相等,则它们所对的弧也相等。

A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
二、填空题
7.如图3-65所示,在⊙O中,∠AOB=100°,C为优弧ACB的中点,则∠CAB =.
8.如图3-66所示,AB为⊙O的直径,AB=6,∠CAD=30°,则弦DC =.
9.如图3-67所示,AB是⊙O的直径,∠BOC=120°,CD⊥AB,求∠ABD 的度数.
10.如图,已知AB是⊙O的直径,AD ∥ OC弧AD的度数为80°,则∠BOC=_________
11.如图,⊙O内接四边形ABCD中,AB=CD则图中和∠1相等的角有______。

12.如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在AB上,则∠C的度数是________-.
三、解答题
13.如图3-68所示,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,以AB为直径的半圆分别交AC,BC于D,E,O为圆心,求∠DOE的度数.
14.(2014年天津市,第21题10分)已知⊙O的直径为10,点A,点B,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D.
(Ⅰ)如图①,若BC为⊙O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;
(Ⅱ)如图②,若∠CAB=60°,求BD的长.
15.如图3-70所示,在⊙O中,AB是直径,弦AC=12 cm,BC=16 cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求AD的长.
16.如图3-71所示,AB是半圆O的直径,C是半圆上一点,D是AC的中点,DH⊥AB,H是垂足,AC分别交BD,DH于E,F,试说明DF=EF.。

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