初一数学几何证明题
初中数学几何证明题经典例题(超全)
A
9
• 已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
A
10
• 已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点 O，E、F分别是BC、OD的中点 求证： AF⊥EF
A
11
• 已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
A
12
• 已知：如图，//ABCD，AE=ED，BF=FC， //EMAF交DC于M， 求证：FM=AE。
A
13
• 已知：如图，⊿ABC中，E、F分别是AB、 BC中点，M、N是AC上两点，EM、FN交 于D，若AM=MN=NC，求证：四边形 ABCD是平行四边形。
A
14
• 已知：如图，1= 2，AB=3AC，BE⊥AD，
A
4
• 如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形， ∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证： △CDA≌△CEB
A
5
• 如图,在△ABC中,BD、CE分别是AC、AB 上的高。G、F分别是BC、DE的中点,试证 明FG⊥DE
A
6
• 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E 是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
AC的长．
M
A
2
• 如图：在正方形ABCD中，E 为CD边上的一点，F为BC的 延长线上一点，CE＝CF
• ⑴△BCE与△DCF全等吗？ 说明理由；
• ⑵若∠BEC＝60，o 求∠EFD。
A
3
• 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB 于E， DF∥AB交AC于F．求证：四边形 AEDF是菱形；
初一数学图形与证明试题答案及解析
初一数学图形与证明试题答案及解析1.如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】B【解析】如图：根据题意可得：a∥b，∴∠3=∠1=20°，∵∠ABC=45°，∴∠2=∠ABC-∠3=45°-20°=25°，故选：B．【考点】1．平行线的性质；2．直角三角板的性质．2.（4分）如图所示的长方形或正方形三类卡片各有若干张，请你用这些卡片，拼成一个面积是2a2+3ab+b2长方形（要求：所拼图形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠。
）画出示意图，并计算出它的面积。
【答案】见解析【解析】因为第一类图形面积为ab，第二类图形面积为b2，第三类图形面积为a2，而要拼成的长方形的面积2a2+3ab+b2，所以需要第一B类卡片3张，第二类卡片1张，第三类卡片2张．试题解析：如图：因为第一类图形面积为ab，第二类图形面积为b2，第三类图形面积为a2，所以需要第一B类卡片3张，第二类卡片1张，第三类卡片2张，可以拼成一个长为2a+b，宽为a+b的长方形，所以长方形面积为（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．【考点】整式的运算．3.有两根13cm，15cm的木棒，要想以这两根木棒做一个三角形，可以选用第三根木棒的长为（）A．2cm B．11cm C．28cm D．30cm【答案】B【解析】因为两边长13cm，15cm，所以第三边x的长满足：15-13＜x＜15+13，即2＜x＜28，所以选项A、C、D错误，B正确，故选：B．【考点】三角形的三边关系．4.（9分）如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝600， OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝600”改为：∠AOB＝ x0，∠EOF＝y0，条件不变．①则请用x的代数式来表示y．②如果∠AOB+∠EOF＝1560．则∠EOF是多少度？【答案】（1）45°;m（2）①y=x，②52°．【解析】（1）根据角平分线的定义和角的和差倍分的关系即可求得∠EOF的度数；（2）①把（1）中的数字换成字母即可解得x与y的关系；②根据x+y=156°，y=x即可解得x、y的值．试题解析：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC= （∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB=×=90°=45°．（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC= （∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB．即y=x．②∵∠AOB+∠EOF=156°．则x+y=156°，又∵y=x．代入解得x=104°，y=52°．即∠EOF=52°．【考点】角平分线的性质；角的计算．5.如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数相等，则x－2y＝________．【答案】-6．【解析】由题意知：x=2,y=4,所以x-2y=2-8=-6．【考点】正方体的平面展开图．6.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE= °．【答案】10．【解析】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=64º，∵∠C=36°，AD⊥BC,∴∠DAC=54º，∴∠DAE=64-54=10º．【考点】角分线和直角三角形两锐角互余的应用．7.如图，AB∥CD，∠CED=900，EF⊥CD，F为垂足，则图中与∠EDF互余的角有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B．【解析】因为∠CED=900，所以∠EDF+∠ECD=90°，因为EF⊥CD，所以∠EDF+∠FED=90°，因为AB∥CD，所以∠ECD=∠AEC，所以图中与∠EDF互余的角有∠ECD，∠FED，∠AEC，共3个．故选：B．【考点】互余的定义；平行线的性质；垂直的定义．8.如图所示，∠AOB=∠AOC=90°，∠DOE=90°，OF平分∠AOD，∠AOE=36°．（1）求∠COD的度数；（2）求∠BOF的度数．【答案】（1）144°；（2）63°【解析】（1）先根据互余的关系求出∠COE=54°，然后利用∠COD=∠DOE+∠COE计算即可；（2）先根据互余的关系求出∠AOD=54°，再求出∠BOD和∠DOF，利用角的和差关系即可求出∠BOF．试题解析：（1）∵∠AOC=90°，∴∠COE=90°﹣AOE=90°﹣36°=54°，∴∠COD=∠DOE+∠COE=90°+54°=144°；（2）∵∠DOE=90°，∠AOE=36°，∴∠AOD=90°﹣36°=54°，∵∠AOB=90°，∴∠BOD=90°﹣54°=36°，∵OF平分∠AOD，∴∠DOF=∠AOD=27°，∴∠BOF=36°+27°=63°．【考点】1．余角和补角；2．角平分线的定义．9.如图，线段AD=18cm，线段AC=BD=12cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长．【答案】12cm【解析】先利用线段的和差故选求出BC的长，从而可得（AB+CD）的长，然后根据线段中点的性质，可得AE与AB的关系，FD与CD的关系，再根据线段的和差关系解答即可．试题解析：根据图形可知：AC+BD=AC+（CD+BC）=AC+CD+BC=12+12=24cm，由AD=18cm，得18+BC=24，解得BC=6cm．所以AB+CD=AD﹣BC=18﹣6=12cm．因为E、F分别是线段AB、CD的中点，所以AE= AB，FD= CD．所以AE+FD= AB+ CD=（AB+CD）=×12=6cm，所以EF=AD﹣AE﹣FD=18﹣6=12cm．【考点】两点间的距离．10.如图，把一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1＝20°，那么∠2＝．【答案】25°．【解析】如图：因为直尺的对边平行，所以∠1的内错角=∠1＝20°，所以∠2＝45°-20°=25°．【考点】平行线的性质．11.（本题满分12分）如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点，（1）说明：∠AEB=∠DAE+∠CBE；（2）如图（2），当AE平分∠DAC，∠ABC=∠BAC．①说明：∠ABE+∠AEB=900；②如图（3）若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，且∠F=600，求∠BCD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BCD=600【解析】（1）如图（1），过点E作EF∥BC，交AB于F．根据平行线的性质可证得结论；（2）①如图（2），根据平行线的性质和互为补角，角平分线的性质可证；②根据平行线的性质和角平分线的性质，可求结果．试题解析：解：（1）如图（1），过点E作EF∥BC，交AB于F．∵EF∥BC，AD∥BC∴EF∥AD∥BC∴∠DAE=∠AEF，∠CBE=∠BEF∴∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE∵∠AEB=∠AEF+∠BEF∴∠AEB=∠DAE+∠CBE．（2）如图（2）∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°∵∠ABC=∠BAC，∠ACB=2∠DAE∴2∠ABC+2∠DAE=180°即∠ABC+∠DAE=90°∠ABC=∠ABE+∠CBE由（1）得∠AEB=∠DAE+∠CBE∴∠ABE+∠AEB=90°．（3）∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠BAC∵∠BAC=∠F+∠ACF∴∠ACB=180°-2（∠F+∠ACF）=180°-2×60°-2∠ACF∵CF平分∠ACD∴∠ACD=2∠ACF即∠ACB=180°-2×60°-∠ACD得∠ACB+∠ACD=60°即∠BCD=60°．【考点】平行线的性质，角平分线的性质，互为补角12.（3分）已知∠AOB=40°，∠CDE的边CD⊥OA于点D，边DE∥OB，那么∠CDE= ．【答案】50°或130°．【解析】根据题意，作出草图，如图，DE∥OB，由平行线的性质可得∠AED=∠AOB=40°，又因CD⊥OA，可求得∠1=50°，∠2=130°，∠CDE可能是∠1也可能是∠2，所以∠CDE等于50°或130°．【考点】平行线的性质．13.有如下命题：①负数没有立方根；②同位角相等；③对顶角相等；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中，是假命题的有（）A．①②③B．①②④C．②④D．①④【答案】B【解析】因为负数有一个负的立方根，所以①为假命题；因为两直线平行，同位角相等，所以②为假命题；对顶角相等，所以③为真命题；因为如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0或﹣1，所以④为假命题．故选B．【考点】命题与定理．14.如图，钟表8时30分时，时针与分针所成的锐角的度数为．【答案】75°．【解析】8点30分，时针和分针中间相差2．5个大格，∵钟面12个大格，第相邻两个数字之间的夹角为30°，∴8时30分时，时针与分针的夹角是2．5×30°=75°．【考点】钟面角．15.如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是．【答案】两点之间线段最短．【解析】由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理：两点之间线段最短．【考点】线段的性质：两点之间线段最短．16.如图，已知AB∥CD，直线EF分别交 AB、CD于点E，F，EG平分∠BEF交CD于点G．如果∠1=70°，那么∠2的度数是（）A．70° B．65° C．55° D．22.5°【答案】C【解析】根据平行线的性质可由EG平分∠BEF，得∠BEG=∠GEF，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由AB∥CD，求得∠BEG=∠2，再根据等量代换可求∠2=∠GEF，因此由三角形的内角和定理知∠1=70°，∠1+∠2+∠GEF=180°，可得∠2=55°．故选C．【考点】平行线的性质17.如图，∠AOC=90°，ON是锐角∠COD的角平分线，OM是∠AOD的角平分线，那么，∠MON= °．【答案】45°【解析】根据ON是锐角∠COD的角平分线，OM是∠AOD的角平分线，得出∠AOM=∠MOD，∠CON=∠NOD，又∠AOC=90°即可得出∠AOM=∠MOD=45°+∠COD．进而求出∠MON的度数为45°．【考点】角平分线的定义18.把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，【考点】命题与定理．19.（7分）如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线．（1）求∠COD的度数．（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．【答案】（1）45°（2）OD⊥AB．理由见试题解析。
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线：几何计算和证明综合练习试题(含答案)
人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线：几何计算和证明综合练习试题1、如图，已知∠2＝∠3，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.证明：∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DB∥CE.∴∠DBA＝∠C.∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠DBA.∴DF∥AC.∴∠A＝∠F.2、如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．3、如图，∠1＝115°，∠2＝50°，∠3＝65°，EG为∠NEF的平分线．求证：AB∥CD，EG∥FH.证明：∵∠1＝115°，∴∠FCD＝180°－∠1＝180°－115°＝65°.∵∠3＝65°，∴∠FCD＝∠3.∴AB∥CD.∵∠2＝50°，∴∠NEF＝180°－∠2＝180°－50°＝130°.∵EG为∠NEF的平分线，∴∠GEF＝12∠NEF＝65°.∴∠GEF＝∠3.∴EG∥FH.4、如图，已知∠B＝∠D，∠E＝∠F，判断BC与AD的位置关系，并说明理由．解：BC∥AD，理由：∴BE∥FD.∴∠B＝∠BCF.又∵∠B＝∠D，∴∠BCF＝∠D.∴BC∥AD.5、如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠1.求证：AD平分∠BAC.证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠ADC＝∠EGC＝90°.∴AD∥EG.∴∠1＝∠2，∠E＝∠3.∵∠E＝∠1，∴∠2＝∠3.∴AD平分∠BAC.6、如图，B，C，E三点在一条直线上，A，F，E三点在一条直线上，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD∥BE.证明：∵AB∥CD，∴∠4＝∠BAE.∴∠3＝∠BAE.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF，即∠BAE＝∠CAD.∴∠3＝∠CAD.∴AD∥BE.7、如图，已知AB∥CD，试判断∠B，∠BED和∠D之间的关系，并说明理由．解：∠BED＝∠B＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF.∵AB∥CD，∴EF∥CD.∴∠DEF＝∠D.∵∠BED＝∠BEF＋∠DEF，∴∠BED＝∠B＋∠D.8、如图，∠AEF＋∠CFE＝180°，∠1＝∠2，EG与HF平行吗？为什么？解：平行．理由：∵∠AEF＋∠CFE＝180°，∴AB∥CD.∴∠AEF＝∠EFD.∴∠AEF －∠1＝∠EFD －∠2，即∠GEF ＝∠HFE.∴EG ∥HF.9、如图，A ，B ，C 三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D ，试判断BD 与CF 的位置关系，并说明理由．解：BD ∥CF.理由如下：∵∠1＝∠2，∴AD ∥BF.∴∠D ＝∠DBF.∵∠3＝∠D ，∴∠3＝∠DBF.∴BD ∥CF.10、如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF ，DE 分别是∠ABC ，∠ADC 的平分线，∠1＝∠2，试说明：DC ∥AB.解：∵BF ，DE 分别是∠ABC ，∠ADC 的平分线，∴∠3＝12∠ADC ，∠2＝12∠ABC. ∵∠ABC ＝∠ADC ，∴∠3＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DC∥AB.11、如图，AD平分∠BAC，AD⊥BC于D，点E，A，C共线，∠DAC＝∠EFA，延长EF 交BC于点G.求证：EG⊥BC.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAB.又∵∠DAC＝∠EFA，∴∠DAB＝∠EFA.∴AD∥EG.∴∠ADC＝∠EGD.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠EGD＝90°.∴EG⊥BC.12、已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB.又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB.又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.13、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别落在D′和C′的位置上，ED′与BC的交点为G.若∠EFG＝50°，求∠1，∠2，∠3的度数．解：根据折叠的性质可知，∠DEF＝∠D′EF，∠EFC＝∠EFC′.∵∠EFG＝50°，∴∠EFC＝180°－50°＝130°.∴∠EFC′＝∠EFC＝130°.∴∠3＝∠EFC′－∠EFG＝130°－50°＝80°.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝50°.∴∠DED′＝2∠DEF＝100°.∴∠1＝180°－∠DED′＝180°－100°＝80°.∵AD∥BC，∴∠1＋∠2＝180°.∴∠2＝180°－∠1＝100°.故∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝80°.14、如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°.(1)求证：AB∥CD；(2)求∠C的度数．解：(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF.∴∠2＝∠A.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A.∴AB∥CD.(2)∵AB∥CD，∴∠D＋∠CBD＋∠3＝180°.∵∠D ＝∠3＋60°，∠CBD ＝70°，∴∠3＝25°.∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠3＝25°.15、(1)如图1，AB ∥CD ，则∠E ＋∠G 与∠B ＋∠F ＋∠D 有何关系？(2)如图2，若AB ∥CD ，又能得到什么结论？请直接写出结论．解：(1)过点E 作EM ∥AB ，过点F 作FN ∥AB ，过点G 作GH ∥CD. ∵AB ∥CD ，∴AB ∥EM ∥FN ∥GH ∥CD.∴∠1＝∠B ，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.∴∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B ＋∠3＋∠4＋∠D ，即∠BEF ＋∠FGD ＝∠B ＋∠EFG ＋∠D.(2)∠B ＋∠F 1＋∠F 2＋…＋∠F n －1＋∠D ＝∠E 1＋∠E 2＋…＋∠E n .16、已知E ，F 分别是AB ，CD 上的动点，P 也为一动点．(1)如图1，若AB ∥CD ，求证：∠P ＝∠BEP ＋∠PFD ；(2)如图2，若∠P ＝∠PFD －∠BEP ，求证：AB ∥CD ；(3)如图3，AB ∥CD ，移动E ，F ，使∠EPF ＝90°，作∠PEG ＝∠BEP ，则∠AEG∠PFD ＝2．证明：(1)过点P作PG∥AB，则∠EPG＝∠BEP.∵AB∥CD，∴PG∥CD.∴∠GPF＝∠PFD.∴∠EPF＝∠EPG＋∠FPG＝∠BEP＋∠PFD.(2)过点P作PQ∥AB，则∠QPE＝∠BEP.∵∠EPF＝∠PFD－∠BEP，∴∠PFD＝∠EPF＋∠BEP＝∠EPF＋∠QPE＝∠FPQ. ∴DC∥PQ.∴AB∥CD.。
七年级数学典型几何证明50题
七年级数学典型几何证明50题初一典型几何证明题1、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF ≌△EDF (S.A.S)A BC DEF 21 ADBC∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD EF ＝CG ∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CBA CDF2 1 EA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE6、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
七年级下册数学期末考试几何大题证明必考题
图①DA EC BFl图②ABE F ClD七年级下册数学期末考试几何大题证明必考题精选类型一、正方形中三角形全等与线段长度之间的关系例1、如图①，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，A 、C 两顶点在直线l 同侧，过点A 、C 分别作AE ⊥直线l 、CF ⊥直线l ． (1)试说明：EF ＝AE ＋CF ；(2)如图②，当A 、C 两顶点在直线l 两侧时，其它条件不变，猜想EF 、AE 、CF 满足什么数量关系(直接写出答案，不必说明理由)．练习： 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°．(1)过点A 任意一条直线l (l 不与BC 相交)，并作B D ⊥l ，C E ⊥l ，垂足分别为D 、E ．度量BD 、CE 、DE ，你发现它们之间有什么关系?试对这种关系说明理由； (2)过点A 任意作一条直线l (l 与BC 相交)，并作B D ⊥l ，C E ⊥l ，垂足分别为D 、E ．度量BD 、CE 、DE ，你发现经们之间有什么关系?试对这种关系说明理由．例2、已知正方形的四条边都相等，四个角都是90º。
如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A ，点G 、E 分别在线段AD 、AB 上。
A E B 图1D CG FA BD CG FE图2（1）如图1， 连结DF 、BF ，说明：DF ＝BF ； （2）若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连结DG ，在旋转的过程中，你能否找到一条长度与线段DG 的长始终相等的线段？并以图2为例说明理由。
练习：如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，B 、C 、G 三点在一条直线上，且边长分别为2和3，在BG 上截取GP ＝2，连结AP 、PF. （1）观察猜想AP 与PF 之间的大小关系，并说明理由.（2）图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过程；若不存在，请说明理由.（3）若把这个图形沿着PA 、PF 剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积.附加：如图，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，连结BD 、CE（1）BD 与CE 相等吗？请说明理由．A BCFDE GP32B（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连结BE、DG交点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DGF例3、正方形四边条边都相等，四个角都是90o．如图，已知正方形ABCD在直线MN 的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F 作FH ⊥MN ，垂足为点H ，已知GD ＝4，求△CFH 的面积．练习：如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．（1）如图1，说明BG= DE 的理由（2）将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针方向旋转任意角度 ，得到如图2．请你猜想①BG= DE 是否仍然成立？②BG 与DE 位置关系？并选取图2验证你的猜想．图 2FG DA图 1FDA类型二、探究题例1、如图，已知等边△A B C 和点P ，设点P 到△A B C 三边A B 、A C 、B C （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△A B C 的高为h ．在图（1）中，点P 是边B C 的中点，此时h 3=0，可得结论：h h h h =++321． 在图（2）--（5）中，点P 分别在线段M C 上、M C 延长线上、△A B C 内、△A B C 外．（1）请探究：图（2）--（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所得结论； （3）证明图（4）所得结论．（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形R B C S 是等腰梯形，∠B =∠C =60o ，R S =n ，B C =m ，点P 在梯形内，且点P 到四边B R 、R S 、S C 、C B 的距离分别是h 1、h 2、h 3、h 4，桥形的高为h ，则h 1、h 2、h 3、h 4、h 之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？ABC DEPM(3)ABCDE (2)ABCD EM (P )(1)练习：1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边上任意一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，BD ⊥AC.（1）求证：PE+PF=BD ；（2）若点P 是底边BC 的延长线上一点，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请画出图形，并探究它们的关系.CBAPDE2、如图，已知△ABC 三边长相等，和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．在图（1）中， 点P 是边BC 的中点，由S △ABP+S △ACP=S △ABC 得，h BC h AC h AB ⋅=⋅+⋅21212121可得h h h =+21又因为h 3=0，所以：h h h h =++321．图（2）~（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上、△ABC 内、△ABC 外．（1）请探究：图（2）~（5）中， h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）⑵ ⑶ ⑷ ⑸ （2）说明图（2）所得结论为什么是正确的； （3）说明图（5）所得结论为什么是正确的．ABC DEP ABCDEPM(3)ABCDE P M (2)ABCDEM (P )(1)ABCDEP M(5)FC B E 例2、已知△ABC 是等边三角形，将一块含30o 角的直角三角板DEF 如图1放置，当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角板的斜边DF 上. （1）AC=CF 吗? 为什么?（2）让三角板在BC 上向右平行移动，在三角板平行移动的过程中，(如图2)是否存在与线段EB 始终相等的线段（设AB ，AC 与三角板斜边的交点分别为G ，H ）？如果存练习：1、如图1，一等腰直角三角尺GEF （∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF ）的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 相等吗？并说明理由；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立C图1吗？请说明理由．2、已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60º角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边∠ACM 的平分线CF 交于点F（1）如图（1）当点B 在BC 边得中点位置时（6分） ○1猜想AE 与BF 满足的数量关系是 。
送你十五道有价值的初中数学几何解答题(含解析)
送你十五道有价值的初中数学几何解答题一．解答题（共15小题）1．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是BOC∠的平分线，OE AB⊥，OF CD⊥．（1）若50AOD∠=︒，请求出DOP∠的度数；（2）OP平分EOF∠吗？为什么？2．已知，//AB CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若30EAF∠=︒，40EDG∠=︒，则AED∠=︒；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则AED∠、EAF∠、EDG∠之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分EDC∠，交AE于点K，交AI于点I，且:1:2EAI BAI∠∠=，22AED∠=︒，20I∠=︒，求EKD∠的度数．3．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，90ABC ADC∠=∠=︒，BCD∠是锐角．（1）若BD BC=，证明：sinBD BCDAC∠=．（2）若4AB BC==，6AD CD+=，求BDAC的值．（3）若BD CD=，6AB=，8BC=，求sin BCD∠的值．（注:本题可根据需要自己画图并解答）4．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ． （1）求证：ABC ADE ∆≅∆； （2）求FAE ∠的度数； （3）求证：2CD BF DE =+．5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，连接AC 、BD 交于点O ，CE 平分ACD ∠交BD 于点E ， （1）求DE 的长；（2）过点EF 作EF CE ⊥，交AB 于点F ，求BF 的长； （3）过点E 作EG CE ⊥，交CD 于点G ，求DG 的长．6．（1）一个多边形每个内角都相等，且每个外角等于一个内角的23，求这个多边形的边数；（2）两个多边形边数之比为3:4，内角和之比为2:3，求这两个多边形的边数．7．如图所示，在直角坐标系中，第一次将OAB ∆变换成△11OA B 第二次将△11OA B 变换成△22OA B ，第三次将△22OA B 变换成△33OA B ，已知(1,3)A ，1(2,3)A ，2(4,3)A ，3(8,3)A ，(2,0)B ，1(4,0)B ，2(8,0)B ，3(16,0)B ．（1）求OAB ∆的面积；（2）写出△44OA B 的各个顶点的坐标；（3）按此图形变化规律，你能写出△n n OA B 的面积与OAB ∆的面积的大小关系吗？ 8．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ． （1）求证：DH 是圆O 的切线； （2）若32FD EF =，求证；A 为EH 的中点． （3）若1EA EF ==，求圆O 的半径．9．如图，点O 为Rt ABC ∆斜边AB 上的一点，以OA 为半径的O e 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD ． （1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若60BAC ∠=︒，2OA =，求阴影部分的面积（结果保留)π．10．如图，AH 是圆O 的直径，AE 平分FAH ∠，交O e 于点E ，过点E 的直线FG AF ⊥，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是Oe的切线；（2）若8e的直径．EB=，求OAD=，511．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD OA⊥交弦AB于点E，交圆=．O于点F，且CE CB（1）求证：BC是Oe的切线；（2）连接AF，BF，求ABF∠的度数；（3）如果3g的值．OA=，求AE AB12．如图，以ABC∆的BC边上一点O为圆心，经过A、C两点且与BC边交于点E，点D 为CE的下半弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB BF=．（1）求CAD∠的度数；（2）求证：AB是Oe的切线；（3）若8DF=，求线段AB的长．CF=，21013．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM 上．（1）如图1，6MA =，8MB =，60NOB ∠=︒，求NB 的长；（2）如图2，过点M 作MC AB ⊥于点C ，点P 是MN 的中点，连接MB 、NA 、PC ，试探究MCP ∠、NAB ∠、MBA ∠之间的数量关系，并证明．14．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E（1）判断直线PD 是否为O e 的切线，并说明理由； （2）如果60BED ∠=︒，3PD =，求PA 的长．（3）将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．15．如图，AB 是O e 的直径，点C 是BA 延长线上一点，CD 切O e 于点D ，1CA =，CD 是O e 3 ． （1） 求O e 的半径R ；（2） 如图 1 ，弦//DE CB ，动点Q 从A 出发沿直径AB 向B 运动的过程中， 图中阴影部分的面积是否发生变化， 若发生变化， 请你说明理由；若不发生变化， 请你求出阴影部分的面积；（3） 如图 2 ，动点M 从A 出发， 在O e 上按逆时针方向向B 运动 ． 连接DM ，过D作DM的垂线，与MB的延长线交于点N，当点M运动到什么位置时，DN取到最大值？求此时动点M所经过的弧长．参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OP 是BOC ∠的平分线，OE AB ⊥，OF CD ⊥． （1）若50AOD ∠=︒，请求出DOP ∠的度数； （2）OP 平分EOF ∠吗？为什么？【思路】（1）根据对顶角相等、角平分线的性质求得1252COP BOC ∠=∠=︒；然后由平角的定义推知180COD ∠=︒，则DOP COD COP ∠=∠-∠； （2）根据垂直的定义、角平分线的定义求得EOP FOP ∠=∠． 【解析】（1）Q 直线AB 与CD 相交于点O ， 50BOC AOD ∴∠=∠=︒， OP Q 是BOC ∠的平分线，11502522COP BOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，18025155DOP COD COP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）OP 平分EOF ∠，理由如下：OE AB ⊥Q ，OF CD ⊥， 90EOB COF ∴∠=∠=︒， OP Q 是BOC ∠的平分线， POC POB ∴∠=∠，EOB POB COF POC ∴∠-∠=∠-∠，即EOP FOP ∠=∠， OP ∴平分EOF ∠．【考点】本题考查了垂直的定义，对顶角、邻补角以及角平分线的定义．解题时一定要数形结合．2．已知，//AB CD ，点E 为射线FG 上一点．（1）如图1，若30EAF ∠=︒，40EDG ∠=︒，则AED ∠= 70 ︒；（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则AED ∠、EAF ∠、EDG ∠之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI 平分EDC ∠，交AE 于点K ，交AI 于点I ，且:1:2EAI BAI ∠∠=，22AED ∠=︒，20I ∠=︒，求EKD ∠的度数．【思路】（1）延长DE 交AB 于H ，依据平行线的性质，可得40D AHE ∠=∠=︒，再根据AED ∠是AEH ∆的外角，即可得到304070AED A AHE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）依据//AB CD ，可得EAF EHC ∠=∠，再根据EHC ∠是DEH ∆的外角，即可得到EHG AED EDG ∠=∠+∠，即EAF AED EDG ∠=∠+∠；（3）设EAI α∠=，则3BAE α∠=，进而得出2EDK α∠=-︒，依据EHC EAF AED EDG ∠=∠=∠+∠，可得32224αα=︒+-︒，求得16EDK ∠=︒，即可得出EKD ∠的度数．【解析】（1）如图，延长DE 交AB 于H ， //AB CD Q ， 40D AHE ∴∠=∠=︒，AED ∠Q 是AEH ∆的外角，304070AED A AHE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：70；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠． 理由：//AB CD Q ， EAF EHC ∴∠=∠， EHC ∠Q 是DEH ∆的外角， EHG AED EDG ∴∠=∠+∠， EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；（3）:1:2EAI BAI ∠∠=Q ，∴设EAI α∠=，则3BAE α∠=，22AED ∠=︒Q ，20I ∠=︒，DKE AKI ∠=∠，又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒Q ，180KAI KIA AKI ∠+∠+∠=︒， 2EDK α∴∠=-︒，DI Q 平分EDC ∠，224CDE EDK α∴∠=∠=-︒， //AB CD Q ，EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，即32224αα=︒+-︒， 解得18α=︒， 16EDK ∴∠=︒，∴在DKE ∆中，1801622142EKD ∠=︒-︒-︒=︒．【考点】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．3．如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是它的对角线，90ABC ADC ∠=∠=︒，BCD ∠是锐角．（1）若BD BC =，证明：sin BDBCD AC∠=． （2）若4AB BC ==，6AD CD +=，求BDAC的值． （3）若BD CD =，6AB =，8BC =，求sin BCD ∠的值． （注:本题可根据需要自己画图并解答）【思路】（1）如图1中，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，只要证明BED ABC ∆∆∽，即可解决问题．（2）如图2中，过点B 作BF BD ⊥交DC 的延长线于F ．只要证明DAB CBF ∆≅∆，推出6DF AD CD =+=，求出BD 、AC 即可．（3）当BD CD =时，如图3中，过点B 作//MN DC ，过点C 作CN MN ⊥，垂足为NM 延长BA 交MN 于点N ，则四边形DCNM 是矩形，ABM BCN ∆∆∽，所以68AM MB AB BN CN BC ===，设6AM y =，8BN y =，6BM x =，8CN x =，通过BD DC =，列出方程求出x 、y 的关系，求出AB ，即可解决问题．【解析】（1）如图1中，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，90ABC ADC ∠=∠=︒Q ， 180ADC ABC ∴∠+∠=︒，∴四边形ABCD 四点共圆，BDE ACB ∴∠=∠，EAB BCD ∠=∠， 90BED ABC ∠=∠=︒Q ， BED ABC ∴∆∆∽，∴sin sin BD BEEAB BCD AC AB==∠=∠；（2）如图2中，过点B 作BF BD ⊥交DC 的延长线于F ．90ABC DBF ∠=∠=︒Q ，360BAD BCD ABC ADC ∠+∠+∠+∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒， 180BAD BCD BCF ∴∠=︒-∠=∠， BCF BAD ∠=∠Q ，BC BA =， DAB CBF ∴∆≅∆，BD BF ∴=，AD CF =，90DBF ∠=︒Q ，BDF ∴∆是等腰直角三角形，122BD DF ∴=， 6AD CD +=Q ， 6CF CD DF ∴+==，32BD ∴=，2242AC AB BC =+=，∴323442BD AC ==．（3）当BD CD =时，如图3中，过点B 作//MN DC ，过点C 作CN MN ⊥，垂足为N ，延长DA 交MN 于点M ，则四边形DCNM 是矩形，ABM BCN ∆∆∽，∴68AM BM AB BN NC BC ===， 设6AM y =，8BN y =，6BM x =，8CN x =，在Rt BDM ∆中，2210BD BMDM x =+=， BD DC =Q ，1068x x y ∴=+， 2x y ∴=，在Rt ABM ∆中，22(6)(12)65AB y y y =+=， 2sin sin 5565BM BCD MAB AB y ∴∠=∠===． 【考点】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形，学会利用参数解决问题．4．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ． （1）求证：ABC ADE ∆≅∆； （2）求FAE ∠的度数； （3）求证：2CD BF DE =+．【思路】（1）根据题意和题目中的条件可以找出ABC ADE ∆≅∆的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到FAE ∠的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解析】证明：（1）90BAD CAE ∠=∠=︒Q ， 90BAC CAD ∴∠+∠=︒，90CAD DAE ∠+∠=︒， BAC DAE ∴∠=∠，在BAC ∆和DAE ∆中， AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAC DAE SAS ∴∆≅∆；（2）90CAE ∠=︒Q ，AC AE =， 45E ∴∠=︒，由（1）知BAC DAE ∆≅∆， 45BCA E ∴∠=∠=︒， AF BC ⊥Q ， 90CFA ∴∠=︒， 45CAF ∴∠=︒，4590135FAE FAC CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）延长BF 到G ，使得FG FB =， AF BG ⊥Q ，90AFG AFB ∴∠=∠=︒，在AFB ∆和AFG ∆中， BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFB AFG SAS ∴∆≅∆， AB AG ∴=，ABF G ∠=∠， BAC DAE ∆≅∆Q ，AB AD ∴=，CBA EDA ∠=∠，CB ED =，AG AD ∴=，ABF CDA ∠=∠， G CDA ∴∠=∠， 45GCA DCA ∠=∠=︒Q ，在CGA ∆和CDA ∆中， GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， CG CD ∴=，22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+Q ， 2CD BF DE ∴=+．【考点】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD交于点O，CE平分ACD∠交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF CE⊥，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG CE⊥，交CD于点G，求DG的长．【思路】（1）求出BC BE=，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；（2）求出FEB ECD=即可；∆≅∆，根据全等三角形的性质得出BF DE（3）延长GE交AB于F，证GDE FBE∽，得出比例式，代入即可求出答案．∆∆【解析】（1）Q四边形ABCD是正方形，∴∠=∠=︒，ABC ADC90DBC BCA ACD∠=∠=∠=︒，45∠，CEQ平分DCA122.52ACE DCE ACD ∴∠=∠=∠=︒，4522.567.5BCE BCA ACE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， 45DBC ∠=︒Q ，18067.54567.5BEC BCE ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠， 2BE BC ∴==，在Rt ACD ∆中，由勾股定理得：22(2)(2)2BD =+=， 22DE BD BE ∴=-=-；（2）FE CE ⊥Q ，90CEF ∴∠=︒，9067.522.5FEB CEF CEB DCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒=∠， 45FBE CDE ∠=∠=︒Q ，BE BC CD ==， FEB ECD ∴∆≅∆， 22BF DE ∴==-；（3）延长GE 交AB 于F ，由（2）知：22DE BF == 由（1）知：2BE BC == Q 四边形ABCD 是正方形，//AB DC∴，DGE BFE∴∆∆∽，∴DG DE BF BE=，∴22 222-=-解得：324DG=．【考点】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．6．（1）一个多边形每个内角都相等，且每个外角等于一个内角的23，求这个多边形的边数；（2）两个多边形边数之比为3:4，内角和之比为2:3，求这两个多边形的边数．【思路】（1）一个多边形的每个外角都等于其内角23，则内角和是外角和的1.5倍，根据多边形的外角和是360︒，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．（2）设多边形的边数为3n，则另一个为4n，分别表示出两个多边形的内角和得到有关n的方程求解即可．【解析】（1）多边形的内角和是：360 1.5540︒⨯=︒．设多边形的边数是n，则(2)180540n-=g，解得：5n=．故这个多边形的边数是5；（2）Q两个多边形的边数之比为3:4，∴设多边形的边数为3n，则另一个为4n，Q内角和度数之比为2:3，(32):(42)2:3n n∴--=，解得：2n=，36n∴=，48n =．故这两个多边形的边数分别为6和8．【考点】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．（2）中正确的设出边数并表示出其内角和是解决本题的关键．7．如图所示，在直角坐标系中，第一次将OAB ∆变换成△11OA B 第二次将△11OA B 变换成△22OA B ，第三次将△22OA B 变换成△33OA B ，已知(1,3)A ，1(2,3)A ，2(4,3)A ，3(8,3)A ，(2,0)B ，1(4,0)B ，2(8,0)B ，3(16,0)B ．（1）求OAB ∆的面积；（2）写出△44OA B 的各个顶点的坐标；（3）按此图形变化规律，你能写出△n n OA B 的面积与OAB ∆的面积的大小关系吗？ 【思路】（1）根据三角形的面积公式：面积12=⨯底⨯高进行计算即可；（2）对于1A ，2n A A ⋯坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现n A 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3，同理1B ，2B ，n B 也一样找规律．（3）根据三角形的底边后一个是前一个三角形的底边的2倍，先求出△n n OA B 的底边n OB 的长度，高都是3不变，然后利用三角形的面积公式分别计算出两三角形的面积，相除即可得到倍数．【解析】（1）12OAB A S OB y ∆=g12332=⨯⨯=；（2）根据图示知O 的坐标是(0,0)；已知(1,3)A ，1(2,3)A ，2(4,3)A ，3(8,3)A ，对于1A ，2n A A ⋯坐标找规律比较从而发现n A 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理1B ，2n B B ⋯也一样找规律，规律为n B 的横坐标为12n +，纵坐标为0． 由上规律可知：4A 的坐标是(16,3)，4B 的坐标是(32,0)； 综上所述，(0,0)O ，4(16,3)A ，4(32,0)B ；（3）根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，12n n OB +∴=，11233222n n n OAnBn OAB S S +∆∆=⨯⨯=⨯=即2n OAnBn OAB S S ∆∆=．【考点】本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案．8．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ． （1）求证：DH 是圆O 的切线； （2）若32FD EF =，求证；A 为EH 的中点． （3）若1EA EF ==，求圆O 的半径．【思路】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：ODB OBD ACB ∠=∠=∠，则DH OD ⊥，DH 是圆O 的切线；（2）如图2，先证明E B C ∠=∠=∠，得EDC ∆是等腰三角形，证明AEF ODF ∆∆∽，则32FD OD EF AE ==，设3OD x =，2AE x =，可得8EC x =，根据等腰三角形三线合一得：4EH CH x ==，从而得结论；（3）如图2，设O e 的半径为r ，即OD OB r ==，证明DF OD r ==，则1DE DF EF r =+=+，1BD CD DE r ===+，证明BFD EFA ∆∆∽，列比例式为：EF BFFA FD=，则列方程可求出r 的值．【解析】证明：（1）连接OD ，如图1， OB OD =Q ，ODB ∴∆是等腰三角形， OBD ODB ∠=∠①，在ABC ∆中，AB AC =Q ， ABC ACB ∴∠=∠②，由①②得：ODB OBD ACB ∠=∠=∠， //OD AC ∴， DH AC ⊥Q ， DH OD ∴⊥，DH ∴是圆O 的切线；（2）如图1，在O e 中，E B ∠=∠Q ，∴由（1）可知：E B C ∠=∠=∠，EDC ∴∆是等腰三角形， Q32FD EF =， //AE OD Q ， AEF ODF ∴∆∆∽，∴32FD OD EF AE ==， 设3OD x =，2AE x =， AO BO =Q ，//OD AC ， BD CD ∴=， 26AC OD x ∴==，268EC AE AC x x x ∴=+=+=， ED DC =Q ，DH EC ⊥， 4EH CH x ∴==，422AH EH AE x x x ∴=-=-=，AE AH ∴=， A ∴是EH 的中点；（3）如图1，设O e 的半径为r ，即OD OB r ==，EF EA =Q ， EFA EAF ∴∠=∠，//OD EC Q ， FOD EAF ∴∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠， DF OD r ∴==，1DE DF EF r ∴=+=+，1BD CD DE r ∴===+，在O e 中，BDE EAB ∠=∠Q ，BFD EFA EAB BDE ∴∠=∠=∠=∠， BF BD ∴=，BDF ∆是等腰三角形， 1BF BD r ∴==+，22(1)1AF AB BF OB BF r r r ∴=-=-=-+=-，BFD EFA ∠=∠Q ，B E ∠=∠， BFD EFA ∴∆∆∽，∴EF BFFA FD =， ∴111r r r+=-， 解得：115r +=，215r -=（舍)，综上所述，O e 的半径为15+．【考点】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r ，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．9．如图，点O 为Rt ABC ∆斜边AB 上的一点，以OA 为半径的O e 与BC 切于点D ，与AC 交于点E ，连接AD ．（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若60BAC ∠=︒，2OA =，求阴影部分的面积（结果保留)π．【思路】（1）由Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，O e 切BC 于D ，易证得//AC OD ，继而证得AD 平分CAB ∠．（2）如图，连接ED ，根据（1）中//AC OD 和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则AEM DMO ∆≅∆，则图中阴影部分的面积=扇形EOD 的面积．【解析】（1）证明：O Q e 切BC 于D ，OD BC ∴⊥，AC BC ⊥Q ，//AC OD ∴，CAD ADO ∴∠=∠，OA OD =Q ，OAD ADO ∴∠=∠，OAD CAD ∴∠=∠，即AD 平分CAB ∠；（2）设EO 与AD 交于点M ，连接ED ．60BAC ∠=︒Q ，OA OE =，AEO ∴∆是等边三角形，AE OA ∴=，60AOE ∠=︒，AE AO OD ∴==，又由（1）知，//AC OD 即//AE OD ，∴四边形AEDO 是菱形，则AEM DMO ∆≅∆，60EOD ∠=︒，AEM DMO S S ∆∆∴=，260223603EOD S S ππ⋅⨯∴===阴影扇形．【考点】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．如图，AH 是圆O 的直径，AE 平分FAH ∠，交O e 于点E ，过点E 的直线FG AF ⊥，垂足为F ，B 为直径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．（1）求证：直线FG 是O e 的切线；（2）若8AD =，5EB =，求O e 的直径．【思路】（1）连接OE ，证明FG 是O e 的切线，只要证明90OEF ∠=︒即可；（2）先求出CE ，利用角平分线得出5EF BE ==，进而求出CF ，即可利用勾股定理求出AB ，最后用勾股定理即可得出结论．【解析】（1）如图1，连接OE ，OA OE=Q，EAO AEO∴∠=∠，AEQ平分FAH∠，EAO FAE∴∠=∠，FAE AEO∴∠=∠，//AF OE∴，180AFE OEF∴∠+∠=︒，AF GF⊥Q，90AFE OEF∴∠=∠=︒，OE GF∴⊥，Q点E在圆上，OE是半径，GF∴是Oe的切线．（2）设AB x=，Q四边形ABCD是矩形，AB CD x∴==，8BC AD==，3CE BC BE∴=-=，AEQ是BAF∠的角平分线，BE AB⊥，EF AF⊥，5EF BE∴==，在Rt CEF∆中，根据勾股定理得，4CF=，4DF CD CF x∴=-=-，在Rt ABE∆和Rt AFE∆中，EF EB AE AE=⎧⎨=⎩，Rt ABE Rt AFE(HL)∴∆≅∆，AF AB x ∴==，在Rt ADF ∆中，22(4)64x x --=，10x ∴=，10AB ∴=，设O e 的半径为r ，10OB r ∴=-，在Rt BOE ∆中，22(10)25r r --=， 254r ∴=， O ∴e 的直径为252． 【考点】本题考查的是切线的判定，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定理，解决本题的关键是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可11．如图，AB 是圆O 的弦，D 为半径OA 的中点，过D 作CD OA ⊥交弦AB 于点E ，交圆O 于点F ，且CE CB =．（1）求证：BC 是O e 的切线；（2）连接AF ，BF ，求ABF ∠的度数；（3）如果3OA =，求AE AB g 的值．【思路】（1）连接OB ．欲证明BC 是切线，只要证明OB BC ⊥即可；（2）连接OF ．只要证明AOF ∆是等边三角形，可得1302ABF AOF ∠=∠=︒； （3）只要证明DAE BAH ∆∆∽，可得AD AE AB AH=，即可推出AE AB AD AH =g g ； 【解析】（1）证明：连接OB ．CD OA ⊥Q ，90ADE ∴∠=︒，90DAE AED ∴∠+∠=︒，OA OB =Q ，A OBA ∴∠=∠，CE CB =Q ，CBE CEB AED ∴∠=∠=∠，90ABO CBE ∴∠+∠=︒，90OBC ∴∠=︒，OB BC ∴⊥．（2）连接OF ．AD OD =Q ，FD OA ⊥，FA FO AO ∴==，AOF ∴∆是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，1302ABF AOF ∴∠=∠=︒．（3）延长AO 交O e 于H ，连接BH ．AH Q 是直径，90ABH ADE ∴∠=∠=︒，DAE HAB ∠=∠Q ，DAE BAH ∴∆∆∽， ∴AD AEAB AH =，3692AE AB AD AH ∴==⨯=g g ． 【考点】本题考查圆综合题、切线的判定、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．12．如图，以ABC ∆的BC 边上一点O 为圆心，经过A 、C 两点且与BC 边交于点E ，点D为CE 的下半弧的中点，连接AD 交线段EO 于点F ，若AB BF =．（1）求CAD ∠的度数；（2）求证：AB 是O e 的切线；（3）若8CF =，210DF =，求线段AB 的长．【思路】（1）求出¶CD的度数是90︒，根据圆周角定理得出即可； （2）求出1809090OAD BAD ODF OFD ∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒，根据切线的判定得出即可；（3）根据勾股定理求出半径，根据切割线定理得出2AB BE BC =⨯，代入即可求出AB ．【解析】（1）CE Q 为O e 直径，D 为¶CE的中点， ∴¶CD的度数是90︒， 190452CAD ∴∠=⨯︒=︒；（2）证明：连接OA ，0OA D =Q ，ODA OAD ∴∠=∠，OD Q 为半径，D 为¶EC 的中点， OD CE ∴⊥，90DOF ∴∠=︒，90ODA OFD ∴∠+∠=︒，BAF AFB ∠=∠Q ，AFB OFD ∠=∠，90OAF BAF ∴∠+∠=︒，即OA AB ⊥，AB ∴是O e 的切线；（3）设OE OC OD R ===，在Rt OFD ∆中，222OF OD DF +=，8CF =Q ，210DF =，222(8)(210)R R ∴-+=，解得：2R =或6，8CF =Q ，2R ∴=舍去，即6OE OD OC ===，12CE =，624EF =-=，BA Q 是O e 的切线，BEC 是O e 的割线，∴由切割线定理得：2AB BE BC =⨯，AB BF =Q ，2(4)(8)AB AB AB ∴=-⨯+，解得：8AB =．【考点】本题考查了垂径定理，切割线定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．13．已知AB 是半圆O 的直径，M ，N 是半圆不与A ，B 重合的两点，且点N 在弧BM 上．（1）如图1，6MA =，8MB =，60NOB ∠=︒，求NB 的长；（2）如图2，过点M 作MC AB ⊥于点C ，点P 是MN 的中点，连接MB 、NA 、PC ，试探究MCP ∠、NAB ∠、MBA ∠之间的数量关系，并证明．【思路】（1）只要证明OBN ∆是等边三角形即可解决问题；（2）结论：90MCP MBA NAB ∠+∠+∠=︒．方法一：如图2中，画O e ，延长MC交O e 于点Q ，连接NQ ，NB ．关键是证明//CP QN ；方法二：如图21-中，连接MO ，OP ，NO ，BN ．关键是证明MCP NBM ∠=∠；【解析】（1）如图1，AB Q 是半圆O 的直径，90M ∴∠=︒，在Rt AMB ∆中，22AB MA MB =+，10AB ∴=．5OB ∴=，OB ON =Q ，又60NOB ∠=︒Q ，NOB ∴∆是等边三角形，5NB OB ∴==．（2）结论：90MCP MBA NAB ∠+∠+∠=︒．理由：方法一：如图2中，画O e ，延长MC 交O e 于点Q ，连接NQ ，NB ．MC AB ⊥Q ，又OM OQ =Q ，MC CQ ∴=，即 C 是MQ 的中点，又P Q 是MQ 的中点，CP ∴是MQN ∆的中位线，//CP QN ∴，MCP MQN ∴∠=∠，12MQN MON ∠=∠Q ，12MBN MON ∠=∠，MQN MBN ∴∠=∠，MCP MBN ∴∠=∠，AB Q 是直径，90ANB ∴∠=︒，∴在ANB ∆中，90NBA NAB ∠+∠=︒，90MBN MBA NAB ∴∠+∠+∠=︒，即90MCP MBA NAB ∠+∠+∠=︒．方法二：如图21-中，连接MO ，OP ，NO ，BN ．P Q 是MN 中点，又OM ON =Q ，OP MN ∴⊥， 且12MOP MON ∠=∠， MC AB ⊥Q ，90MCO MPO ∴∠=∠=︒，∴设OM 的中点为Q ，则 QM QO QC QP ===，∴点C ，P 在以OM 为直径的圆上， 在该圆中，12MCP MOP MQP ∠=∠=∠， 又12MOP MON ∠=∠Q ， 12MCP MON ∴∠=∠， 在半圆O 中，12NBM MON ∠=∠， MCP NBM ∴∠=∠，AB Q 是直径，90ANB ∴∠=︒，∴在ANB ∆中，90NBA NAB ∠+∠=︒，90NBM MBA NAB ∴∠+∠+∠=︒，即90MCP MBA NAB ∠+∠+∠=︒．【考点】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、直径的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．14．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且PDA PBD∠=∠．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为Oe的切线，并说明理由；（2）如果60PD=，求PA的长．∠=︒，3BED（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【思路】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得90∠+∠=︒，ADO PDA∠=︒，进而求得90ADB即可得出直线PD为Oe的切线；（2）根据BE是Oe的切线，e的切线，则90∠=︒，再由PD为OEBA∠=︒，即可求得30P得90∠=︒，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；PDO（3）根据题意可证得ADF PDA PBD ABF∠=∠=∠=∠，由AB是圆O的直径，得90∠=︒，ADB 设PBD x∠=∠=︒+︒，2∠=︒，由圆内接四边形的DBF xDAF PAD x∠=︒，则可表示出90性质得出x的值，可得出BDE∆是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【解析】（1）直线PD为Oe的切线证明：如图1，连接OD，ABQ是圆O的直径，90∴∠=︒ADB∴∠+∠=︒，ADO BDO90又DO BO∴∠=∠Q，BDO PBD=∠=∠Q，BDO PDAPDA PBD∴∠=∠⊥∴∠+∠=︒，即PD OD90ADO PDAQ点D在Oe的切线．e上，∴直线PD为O（2）BEQ是Oe的切线，90∴∠=︒EBAP∴∠=︒Q，3060BED∠=︒PD Q 为O e 的切线，90PDO ∴∠=︒在Rt PDO ∆中，30P ∠=︒，3PD ∴tan30OD PD︒=，解得1OD = ∴222PO PD OD =+=211PA PO AO ∴=-=-=（3）（方法一）证明：如图2，依题意得：ADF PDA ∠=∠，PAD DAF ∠=∠PDA PBD ADF ABF ∠=∠∠=∠QADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠AB Q 是圆O 的直径90ADB ∴∠=︒设PBD x ∠=︒，则90DAF PAD x ∠=∠=︒+︒，2DBF x ∠=︒Q 四边形AFBD 内接于O e ，180DAF DBF ∴∠+∠=︒即902180x x ︒++=︒，解得30x =︒30ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠=︒BE Q 、ED 是O e 的切线，DE BE ∴=，90EBA ∠=︒60DBE ∴∠=︒，BDE ∴∆是等边三角形．BD DE BE ∴==又903060260FDB ADB ADF DBF x ∠=∠-∠=︒-︒=︒∠=︒=︒QBDF ∴∆是等边三角形．BD DF BF ∴==DE BE DF BF ∴===，∴四边形DFBE 为菱形（方法二）证明：如图3，依题意得：ADF PDA ∠=∠，APD AFD ∠=∠，PDA PBD ∠=∠Q ，ADF ABF ∠=∠，PAD DAF ∠=∠，ADF AFD BPD ABF ∴∠=∠=∠=∠AD AF ∴=，//BF PDDF PB BE ∴⊥Q 为切线BE PB ∴⊥//DF BE ∴∴四边形DFBE 为平行四边形PE Q 、BE 为切线BE DE ∴=∴四边形DFBE 为菱形【考点】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．15．如图，AB 是O e 的直径，点C 是BA 延长线上一点，CD 切O e 于点D ，1CA =，CD 是O e 3 ．（1） 求O e 的半径R ；（2） 如图 1 ，弦//DE CB ，动点Q 从A 出发沿直径AB 向B 运动的过程中， 图中阴影部分的面积是否发生变化， 若发生变化， 请你说明理由；若不发生变化， 请你求出阴影部分的面积；（3） 如图 2 ，动点M 从A 出发， 在O e 上按逆时针方向向B 运动 ． 连接DM ，过D 作DM 的垂线， 与MB 的延长线交于点N ，当点M 运动到什么位置时，DN 取到最大值？求此时动点M 所经过的弧长 ．【思路】（1） 由题意，CD 是O e 31CA =，在直角CDO ∆中， 根据勾股定理222CD OD CO +=，代入即可求出；（2） 由//DE CB ，可知， 动点Q 从A 出发沿直径AB 向B 运动的过程中，DEQ∆的面积不变， 则阴影部分的面积不变；当点Q 运动到O 点时， 则60DOE ∠=︒，即可求出阴影部分的面积；（3） 如图， 连接AD 、BD ，当DM 过圆心O 时，DN 取到最大值；易证ADB MDN ∆∆∽，由已知， 可求得，1AD =，3BD =所以，3DN DM =，此时，120AOM ∠=︒，即可求得·AM 的长 ． 【解析】 （1）CD Q 切O e 于点D ，∴三角形CDO 是直角三角形，1CA =Q ，CD 是O e 3∴在直角CDO ∆中，222CD OD CO +=， 则，2223)(1)R R R +=+，1R ∴=；（2）//DE CB Q ，∴动点Q 从A 出发沿直径AB 向B 运动的过程中，DEQ ∆的底DE 不变， 底DE上的高不变，DEQ ∴∆的面积不变， 则阴影部分的面积不变；由1OD =，2CO =，30C ∴∠=︒，则60COD ∠=︒，60ODE ∴∠=︒，ODE OED ∠=∠Q ，60OED ∴∠=︒60DOE ∴∠=︒，26013606S R ππ︒∴=⨯=︒阴影； （3） 如图， 连接AD 、BD ，DAB DMN ∴∠=∠，又90ADB MDN ∠=∠=︒，ADB MDN ∴∆∆∽，又1AD =，2AB =，3BD ∴=，∴3DN BD DM AD==， 3DN DM ∴=，∴当DM 为最大值， 即DM 过圆心O 时，DN 取到最大值；60AOD ∠=︒Q ，120AOM ∴∠=︒，∴·120223603AM R ππ︒=⨯=︒．【考点】本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、弧长的计算及直角三角形的知识，作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决是解答本题的关键．。
初中数学压轴题--动态几何证明及实验题
动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。
解这类题目要“以静制动〞，即把动态问题，变为静态问题来解。
解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系〔如等量关系、变量关系〕、图形位置关系〔如图形的特殊状态、图形间的特殊关系〕等进行研究考察．抓住变化中的“不变量〞，以不变应万变．实验操作【要点导航】通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是根本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析】例1 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图1；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B '，得R t △AB 'E ，如图2；第三步：沿EB '线折叠得折痕EF ，使A 点落在EC 的延长线上，如图3．利用展开图4探究： 〔1〕△AEF 是什么三角形？证明你的结论；〔2〕对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．【思路分析】1．图形翻折后能重叠局部的图形全等，所以∠BEA =∠AEB '=∠FEC ，它们都是60°角，所以△AEF 是等边三角形．2．由操作可知AF >AD 时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F 、D 重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰3．解〔1〕△AEF 是等边三角形．由折叠过程可得：60BEA AEF FEC ∠=∠=∠=︒．因为BC ∥AD ，所以60AFE FEC ∠=∠=︒．所以△AEF 是等边三角形．图1图2图3图4〔2〕不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边AF 时，即矩形的宽∶长＝AB ∶AF ＝2:3时正好能折出．如果设矩形的长为A ，宽为B ，可知当a b 23≤时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当a b a ＜＜23时，按此法无法折出完整的等边三角形． 〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的根本性质求解．例2 ：在△ABC 中，∠BAC =90°，M 为BC 中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M 重合，并绕着点M 旋转，角的两边分别与边AB 、AC 相交于点E 、F ．〔1〕探究1：线段BE 、EF 、FC 是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．〔2〕探究2：假设改变为：“角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点E 、F ．〞其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想． 〖思路分析〗1．由点M 是BC 中点，所以构造绕点M 旋转180°重合的全等三角形，将线段BE 、EF 、FC 移到同一个三角形中．2．当角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点E 、F 时，构造和证明的方法不变．证明〔1〕线段BE 、EF 、FC 可以构成直角三角形．如图1，延长EM 到G ，使得EM =M G ，联结GC 、FG ．因为M 为BC 中点，所以BM =CM ，又因为∠EMB =∠GMC ，EM =M G ，所以△EMB ≌△GMC ，所以BE =GC ，EM =MG ，∠B =∠MCG ．因为FM 垂直平分EG ，所以FE =FG ．又因为∠BAC =90°，所以∠B +∠ACB =90°，所以∠MCG +∠ACBFCG =90°，所以222FG FC GC =+，所以22FC BE =+〔2〕如图2，当点F 在CA 的延长线上时，延长EM 到G ，联结GC 、FG ．因为M 为BC 中点，所以BM =CM ，又因为∠=∠GMC ，EM =EG ，所以△EMB ≌△GMC ，所以BE =GC ，EM =∠B =∠MCG ．因为FM 垂直平分EG ，所以FE =FG ∠BAC =90°，所以∠B +∠ACB =90°，所以∠MCG +∠ACB =90M即∠FCG =90°，所以222FG FC GC =+，所以222EF FC BE =+．如图3，当点F 在AC 的延长线上时，同理可证222EF FC BE =+．〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理．假设能将所要求线段移动到同一条直线上，那么线段之间是和差关系的可能性较大，假设能将所要求线段移动后能构成三角形，那么线段之间满足勾股定理的可能性较大．【星级训练】第 天 ，年 月 日1. ★★★如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上〔点E 与点A 、B 不重合〕，过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．〔1〕操作：由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；〔2〕连结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ． 探究：设A 、P 两点间的距离为x ．〔1〕当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； 〔2〕当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．〔图5、图6、图7的GF D ACBD ACB供试验操作用形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用〕3. ★★★在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．〔1〕在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；〔2〕当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；〔3〕当三角尺在〔2〕的根底上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置〔点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合〕时，〔2〕中的猜想是否仍然成立？〔不用说明理由〕4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：〔1〕由图观察易知A 〔0，2〕关于直线l 的对称点A '的坐标为〔2，0〕，请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标：B ' 、C ' ；归纳与发现：〔2〕结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐DACB图5DACB图6DACB图7图3图1标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 〔不必证明〕； 运用与拓广：〔3〕两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：〔1〕条件探索型问题；〔2〕结论探索型问题；〔3〕探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．条件探索【要点导航】“探索〞是人类认识客观世界过程中最生动、最活泼的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索〞题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。
初一数学几何证明题答案
初一典型几何证明题1、已知： AB=4，AC=2，D是BC中点， AD是整数，求AD解：延长A D到 E,使AD=DE∵D是 BC中点A ∴BD=DC在△ ACD和△ BDE中AD=DE∠BDE=∠ADC B CDBD=DC∴△ACD≌△ BDE∴AC=BE=2∵在△ ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即 4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=22、已知： BC=DE，∠B=∠E，∠ C=∠D，F 是 CD中点，求证：∠1=∠2A21B EC F D证明：连接BF和 EF∵BC=ED,CF=DF∠, BCF=∠EDF∴△BCF≌△ EDF 第1页共22 页∴BF=EF,∠CBF=∠DEFB E连接在△ BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在△ ABF和△ AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△ AEF。
∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3、已知：∠1=∠2，CD=D，E EF证明：连接EF ∵AB∥CD共22 页第9页∴∠B=∠C∴△BEM≌△CFM（ SAS）∵M是 BC中点∴CF=BE∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM7. 已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F 分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。
证：连接AC DE=BF∵在△ ADC和△ABC中∴△ADE≌△ ABF（SAS）AD=AB ∴AE=AFDC=BCAC=AC∴△ADC≌△ ABC（SSS）D∴∠B=∠ DE∵E、F 分别是DC、BC的中点AC又∵ BC＝DCF∴DE=BFB∵在△ ADE和△ABF中AD=AB∠D=∠B8. 如图，在四边形ABCD中， E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证 : ∠5=∠6．证明：∵在△ADC和△ ABC中∴△DEC≌△ BEC（SAS）∠BAC=∠DAC ∴∠DEC=∠BEC∠BCA=∠DCAAC=AC∴△ADC≌△ ABC（AAS）D∵AB=AD，BC=CD在△ DEC与△ BEC中A12E5634CCE=CEB∠BCA=∠DCABC=CD9. 如图，在△ABC中， AD为∠ BAC的平分线，DE⊥AB于 E，DF⊥AC于 F。
初中数学巧添辅助线解证几何题
初中数学巧添辅助线解证几何题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-巧添辅助线 解证几何题[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。
值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。
一、倍角问题研究∠α＝2∠β或∠β=12∠α问题通称为倍角问题。
倍角问题分两种情形：1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=12∠α，然后证明∠1=∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）2、∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。
倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）[例题解析]例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD⊥AC 于D。
求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C，可利用三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC 和∠C 的关系。
证法一：∵在△ABC 中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC）=90°-12∠BAC。
∵BD⊥AC 于D ∴∠BDC=90°CAB D ECABD21β α 图一αβ图二∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC即∠DBC= 12∠BAC分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ∠BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。
初中数学经典几何难题与答案解析
经典难题（一）仁已知：如图，0是半圆的圆心.C 、E 是圆上的两点，CD 丄AB, EF 丄AB, EG 丄CO. 求证：CD=GF ・（初二）求证：APBC 是正三角形.（初二）3、 如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形，2、B 2. C2、D2分别是 从、BB ・、CG 、DD（的中 点.求证：四边形A2B2C2D2是正方形.（初二）第3题图4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD = BC, MMN 于 E 、F.求证：ZDEN=ZF ・经典难题（二）1、已知：ZiABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），0为外心，且0M 丄BC 于M.（1） 求证：AH=20M;（2） 若ZBAC=60°,求证：AH=AO ・（初二）第4题图、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交2、 已知：如图.P 是正方形ABCD 内点，ZPAD=ZPDA = 15°.2、设MN 是圆0外一直线.过0作0A 丄MN 于A,自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q.求证：AP=AQ ・（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆0的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC. DE,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q. 求证：AP=AQ ・（初二）求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半・（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE/7AC, AE=AC, AE 与CD 相交于F. 求证：CE=CF ・（初二）第4题图在AABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG,点PAGA第2题图是EF 的中点.3、设P 是正方形ABCD-边BC 上的任一点，PF 丄AP, CF 平分ZDCE. 求证：PA=PF ・（初二）第3题图 第4题图4、如图，PC 切圆0于C, AC 为圆的直径，PEF 为國的割线，AE 、AF 与直线P0相交于B 、D.求证：AB=DC, BC=AD ・（初三）经典难题（四）1.已知：ZiABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA=3, PB=4, PC=5.求：ZAPB 的慶数.（初二）求证：AE=AF ・（初二）2、 设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且ZPBA=ZPDA ・求证：ZPAB=ZPCB.（初二）3、 设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB • CD+AD • BC=AC • BD.（初三）2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA + PB+PC 的最小值. A4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC.AE = CF ・ 求证：ZDPA=ZDPC ・（初二）经典难题（五）1 ＞设 P 是边长为1的正△ ABC 内任一点，L = PA + PB + PC ,求证：WLV2.3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a, PB = 2a, PC = 3a,求正方形的边长.经典难题（一）1、已知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD丄AB, EF丄AB, EG丄CO.求证：CD=GFo （初二）证一：连接0E。
七年级数学证明题试题及参考答案
七年级数学证明题试题及参考答案七年级学习的一个难点就是证明题，这类的证明题有哪些值得推荐的呢?下面就是学习啦给大家的七年级证明题内容，希望大家喜欢。
如图AD//BC，∠A=∠C。
试说明AB//DCps：写过程..∵AD//BC∵∠A=∠ABF(两直线平行，内错角相等)∵∠A=∠C∵∠C=∠ABF∴AB//DC(同位角相等，两直线平行∵AD//BC(已知)∴∠A+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵∠A=∠C(已知)∴∠C+∠ABC=180°(等式的性质)∴AB//DC(同旁内角互补，两直线平行))在正方形ABCD中，p(p靠近是D点)CD上的一点，BE⊥AP于E，DF⊥AP于F，说明△AFD≌△BEAD--------C111111∠BAE与∠DAF互余∠ADF与∠DAF互余所以∠BAE=∠ADF又待证明的两三角形都是Rt三角形，且AB=DA根据角角边定理，两三角形全等∠A=75°第二题是不是有问题啊∠GQD是30°吗应该是∠GQH=30°吧还有不懂怎么算的你追问一下我们QQ聊补充回答：∵GA//ED∴∠EBF=∠FHG=30°(两只线平行，同位角相等)∴∠FBA=∠ABD=(180°-30°)÷2=75°∵∠AHB=∠FHG=30°(对顶角)∴∠a=180°-75°-30°=75°#FormatImgID_0#还有一题等等啊补充回答：∵MN⊥CD∴∠MHD=90°∵∠GQD=130°∴∠GQH=180°-130°=50°∴∠HGQ=180°-90°-50°=40°∴∠AGH=90°∴∠EGA=180°-90°-40°=50°一、选择题(共27小题)1.﹣2的倒数是( )A.﹣B.C.2D.﹣22.﹣7的倒数是( )A.﹣B.7C.D.﹣73.﹣5的倒数是( )A.﹣5B.C.D.54.﹣2的倒数为( )A.﹣B.C.2D.15.﹣3的倒数是( )A.B.﹣3C.3D.6.﹣6的倒数是( )A.B.﹣C.6D.﹣67.与﹣3互为倒数的是( )A.﹣B.﹣3C.D.38.﹣的倒数等于( )A.B.﹣C.﹣2D.29.2的倒数是( )A.B.﹣C.±D.210.3的倒数是( )A.B.﹣C.﹣3D.311.﹣3的倒数是( )A.﹣3B.3C.D.﹣12.xx的倒数是( )A.B.﹣C.|xx|D.﹣xx13.﹣的倒数是( )A.﹣4B.4C.D.﹣14.﹣3的倒数是( )A.3B.C.﹣D.﹣315.﹣2的倒数是( )A.B.﹣C.2D.﹣216.﹣6的倒数是( )A.﹣6B.6C.D.17.﹣5的倒数是( )A.5B.﹣5C.D.﹣18.﹣的倒数是( )A.B.﹣2C.2D.﹣19.﹣的倒数是( )A.3B.﹣3C.﹣D.20.的倒数是( )A.2B.﹣2C.D.﹣21.有理数﹣的倒数是( )A.B.﹣C.D.﹣22.﹣2的倒数是( )A.2B.C.﹣D.﹣0.223.﹣的倒数是( )A.﹣3B.3C.﹣D.1、运送29.5吨煤,先用一辆载重4吨的汽车运3次,剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运.还要运几次才能完?还要运x次才能完29.5-3*4=2.5x17.5=2.5xx=7还要运7次才能完2、一块梯形田的面积是90平方米,上底是7米,下底是11米,它的高是几米?它的高是x米x(7+11)=90*218x=180x=10它的高是10米3、某车间计划四月份生产零件5480个.已生产了9天,再生产908个就能完成生产计划,这9天中平均每天生产多少个?这9天中平均每天生产x个9x+908=54089x=4500x=500这9天中平均每天生产500个4、甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行,3小时后两车还相隔17千米.甲每小时行45千米,乙每小时行多少千米?乙每小时行x千米3(45+x)+17=2723(45+x)=25545+x=85x=40乙每小时行40千米5、某校六年级有两个班,上学期级数学平均成绩是85分.已知六(1)班40人,平均成绩为87.1分;六(2)班有42人,平均成绩是多少分?平均成绩是x分40*87.1+42x=85*823484+42x=697042x=3486x=83平均成绩是83分6、学校买来10箱粉笔,用去250盒后,还剩下550盒,平均每箱多少盒?平均每箱x盒10x=250+55010x=800x=80平均每箱80盒7、四年级共有学生200人,课外活动时,80名女生都去跳绳.男生分成5组去踢足球,平均每组多少人?平均每组x人5x+80=2005x=160x=32平均每组32人8、食堂运来150千克大米,比运来的面粉的3倍少30千克.食堂运来面粉多少千克?食堂运来面粉x千克3x-30=1503x=180x=60食堂运来面粉60千克9、果园里有52棵桃树,有6行梨树,梨树比桃树多20棵.平均每行梨树有多少棵?平均每行梨树有x棵6x-52=206x=72x=12平均每行梨树有12棵10、一块三角形地的面积是840平方米,底是140米,高是多少米?高是x米140x=840*2140x=1680x=12高是12米猜你感兴趣：1.初一英语语法习题答案2.七年级语文试题及答案3.初一语文试卷4.初一几何证明题答案5.初一上册几何证明题。
初一数学图形与证明试题答案及解析
初一数学图形与证明试题答案及解析1.用圆规、直尺作出下图：（保留痕迹，不写作法）【答案】方法正确7分，结论1分【解析】分析：首先作AB的垂直平分线NM，交AB于点O，以AO的长为半径，分别以A，B，C，D为圆心作弧即可得出图形．解答：解：如图所示：点评：此题主要考查了作图与应用作图中，解决问题的关键是作出正方形，进而作出一边垂直平分线，题目应用较广同学们应学会这种图形作法．2.下列图形中不可以折叠成正方体的是（）A． B C D【答案】C【解析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．A，B，D都可以折叠成正方体，只有C有两个面重合，不能围成正方体．故选C．【考点】正方体及其表面展开图3.（9分）如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝600， OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝600”改为：∠AOB＝ x0，∠EOF＝y0，条件不变．①则请用x的代数式来表示y．②如果∠AOB+∠EOF＝1560．则∠EOF是多少度？【答案】（1）45°;m（2）①y=x，②52°．【解析】（1）根据角平分线的定义和角的和差倍分的关系即可求得∠EOF的度数；（2）①把（1）中的数字换成字母即可解得x与y的关系；②根据x+y=156°，y=x即可解得x、y的值．试题解析：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC= （∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB=×=90°=45°．（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC= （∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB．即y=x．②∵∠AOB+∠EOF=156°．则x+y=156°，又∵y=x．代入解得x=104°，y=52°．即∠EOF=52°．【考点】角平分线的性质；角的计算．4.如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=35°，则∠B的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．65°【答案】C【解析】∵DE∥BC，∴∠C=∠1=35°，∵∠A=90°，∴∠B=90°－∠C=90°－35°=55°．故选C．【考点】1．平行线的性质；2．直角三角形的性质．5.（本题8分）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠ADE．【答案】65°．【解析】应用三角形内角和定理求出∠EAC的度数，再应用角平分线的定义求得∠DAE的度数，应用三角形内角和定理求得∠ADE的度数．试题解析：解：因为AE是△ABC的高，所以∠AEC=90°，由三角形内角和定理得∠EAC=90°-40°=50°，因为AD平分∠EAC，所以∠EAD=25°，所以∠ADE=90°-25°=65°．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．6.下面各图中，∠1、∠2互为邻补角的是：【答案】D．【解析】有公共顶点，相邻且互补的两个角互为邻补角，A没有公共顶点，B不互补，C不相邻，故选D．【考点】邻补角定义．7.（本题满分10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．（1）CD与EF平行吗？并说明理由；（2）若∠A=70°，求∠FEC的度数．【解析】（1）根据垂线的定义得∠CDB=∠FEB=90°，后根据同位角相等，两直线平行，可以得到EF∥CD；（2）先根据角平分线的定义得∠ACE=45°，再利用互余计算出∠ACD=90°-∠A=20°，则∠ECD=∠ACE-∠ACD=25°，然后根据平行线的性质求解．试题解析：（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDB=∠FEB=90°，∴EF∥CD；（2）解：∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB交AB于E，∴∠ACE=45°，∵∠A=70°，∴∠ACD=90°﹣70°=20°，∴∠ECD=∠ACE﹣∠ACD=25°，∵EF∥CD，∴∠FEC=∠ECD=25°．【考点】垂直的意义，角平分线，平行线判定8.（本题满分12分）如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点，（1）说明：∠AEB=∠DAE+∠CBE；（2）如图（2），当AE平分∠DAC，∠ABC=∠BAC．①说明：∠ABE+∠AEB=900；②如图（3）若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，且∠F=600，求∠BCD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BCD=600【解析】（1）如图（1），过点E作EF∥BC，交AB于F．根据平行线的性质可证得结论；（2）①如图（2），根据平行线的性质和互为补角，角平分线的性质可证；②根据平行线的性质和角平分线的性质，可求结果．试题解析：解：（1）如图（1），过点E作EF∥BC，交AB于F．∵EF∥BC，AD∥BC∴EF∥AD∥BC∴∠DAE=∠AEF，∠CBE=∠BEF∴∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE∵∠AEB=∠AEF+∠BEF∴∠AEB=∠DAE+∠CBE．（2）如图（2）∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°∵∠ABC=∠BAC，∠ACB=2∠DAE∴2∠ABC+2∠DAE=180°即∠ABC+∠DAE=90°∠ABC=∠ABE+∠CBE由（1）得∠AEB=∠DAE+∠CBE∴∠ABE+∠AEB=90°．（3）∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠BAC∵∠BAC=∠F+∠ACF∴∠ACB=180°-2（∠F+∠ACF）=180°-2×60°-2∠ACF∵CF平分∠ACD∴∠ACD=2∠ACF即∠ACB=180°-2×60°-∠ACD得∠ACB+∠ACD=60°即∠BCD=60°．【考点】平行线的性质，角平分线的性质，互为补角9.小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后展开得到（）【答案】B．【解析】观察图形可得，剪去一个小正方形，得到四个小正方形，每两个小正方形构成一个矩形，并且这个矩形关于正方形纸片的一条对角线对称，只有选项B符合要求，故答案选B．【考点】翻折变换．10.如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是（）A．20B．30C．40D．10【答案】A【解析】根据图形可得：阴影部分的面积====×（100－60）=20．【考点】代数的计算．11.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是 .【答案】25°．【解析】如图，根据平行线的性质可得∠1=∠3=20°，由题意知∠3+∠2=45°，所以∠2=25°．【考点】平行线的性质.12.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是．【答案】三角形的稳定性【解析】注意能够运用数学知识解释生活中的现象，考查三角形的稳定性．一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．【考点】三角形的稳定性13.（3分）下面是一个正方体纸盒的展开图，请把－10，7，10，－2，－7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数。
初一数学图形与证明试题答案及解析
初一数学图形与证明试题答案及解析1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”. 则半径为2的“等边扇形”的面积为【答案】2【解析】根据扇形的面积公式S=lr，其中l=r，求解即可．解：∵S=lr，∴S=×2×2=2，故答案为2．本题是一个新定义的题目，考查了扇形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与半径乘积的一半．2.如图，直线，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】C．【解析】如图：∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，∴∠3=65°．故选C．【考点】1．三角形内角和定理；2．对顶角、邻补角；3．平行线的性质3.如图，C、D是线段AB上的两个点，CD="8" cm，M是AC的中点，N是DB的中点，MN="12" cm，那么线段AB的长等于 cm．【答案】16【解析】由CD=8cm，MN=12cm，可得MC+DN=4cm，由M是AC的中点，N是DB的中点可得AC+DB=2MC+2DN=8cm，即可求得AB=AC+CD+DB=16cm．【考点】比较线段的长短4.在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲水泥小路，小路任何地方的水平宽度都是1个单位，则草地面积为_________．【答案】（ab-b）．【解析】∵小路任何地方的水平宽度都是1个单位，∴通过平移把小路变成长为b，宽为1的面积相等的矩形，所以草地面积为（ab-b）．【考点】1．图形的平移规律；2．矩形面积的计算．5.下列命题中，①对顶角相等．②等角的余角相等．③若，则．④同位角相等．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①对顶角相等，正确；②等角的余角相等，正确；③若|a|=|b|，则a=b，错误，如|-2|=|2|，但-2≠2；④同位角相等，错误，如图，∠1与∠2是同位角，但∠1≠∠2；故2个正确；故选B．【考点】真命题与假命题．6.下列长度的3条线段，能构成三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．6，6，12D．5，6，12【答案】B【解析】三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．A、1+2=3；C、6+6=12；D、5+6=11＜12．故选B．【考点】三角形三边关系．7.已知点P是线段AB的中点，若AB=6cm，则PB= cm．【答案】3【解析】根据线段的中点平分线段的长度．根据点P是线段AB的中点，则PB=AB==3cm．【考点】两点间的距离．8.如图，若PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35°，∠2=55°，则AB与CD平行吗？为什么？【答案】见解析．【解析】先根据角平分线的性质得出∠BEF与∠DFE的度数，再由等式的性质得出∠BEF+∠DFE=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出结论．试题解析：AB∥CD．理由：∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35°，∠2=55°，∴∠BEF=2∠1=70°，∠DFE=2∠2=110°（角平分线的定义），∴∠BEF+∠DFE=70°+110°=180°（等式的性质），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．【考点】平行线的判定9.下列命题中是假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．邻补角互补D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】B．【解析】根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题可知：选项A，对顶角相等是真命题；选项B，同位角相等是假命题，只有两直线平行，同位角才相等；选项C，邻补角互补是真命题；选项D，平行于同一条直线的两条直线平行是真命题；故答案选B．【考点】真假命题．10.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为．【答案】20．【解析】分两种情况：第1种情况，腰长为8，底边长为4，等腰三角形的周长为20；第2种情况，腰长为4，底边长为8，这种情况不存在，故答案为20．【考点】分类讨论；等腰三角形的性质．11.下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；正确的有（）．A．个B．个C．个D．个【答案】C．【解析】①说法错误，因对顶角有特殊的位置关系，相等的角不一定是对顶角；②是平行线的定义，正确；③是垂线的性质，正确，故选C．【考点】1．对顶角的理解；2．平行线意义；3．垂线性质．12.如图，下列不能判定∥的条件是( ).A．B．C．D．【答案】B.【解析】选项A,根据同旁内角互补，两直线平行可判定∥；选项B,根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥BC，不能判定∥；选项C,根据内错角相等，两直线平行可判定∥；选项D,根据同位角相等，两直线平行可判定∥.故答案选B.【考点】平行线的判定.13.如图，下列说法错误的是（）A．∠A与∠B是同旁内角B．∠3与∠1是同旁内角C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠2是同位角【答案】D【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义可知：∠A与∠B是同旁内角，所以A说法正确；∠3与∠1是同旁内角，所以B说法正确；∠2与∠3是内错角，所以C说法正确；∠1与∠2是邻补角，所以D说法错误，故选：D．【考点】1.同位角；2.内错角；3.同旁内角．14.如图，等边三角形ABC的边长为10厘米．点D是边AC的中点．动点P从点C出发，沿BC的延长线以2厘米/秒的速度作匀速运动，设点P的运动时间为t（秒）．若△BDP是等腰三角形，则为t= ．【答案】【解析】过点D作DG⊥BC，利用等边三角形的性质得出BD=5，再利用含30°的直角三角形得出BG=，即可得出PC的长度．过点D作DG⊥BC，如图：∵等边三角形ABC的边长为10厘米，点D是边AC的中点，∴BD=5，∠DBG=30°，∴BG=，∴PC=－5=，可得t=．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定15.（3分）下面是一个正方体纸盒的展开图，请把－10，7，10，－2，－7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数。
七年级数学证明题目5则范文
七年级数学证明题目5则范文第一篇：七年级数学证明题目七年级数学证明题目1、如图，EF//AD，∠1＝∠2.说明：∠DGA+∠BAC=180°.请将说明过程填写完成.解：∵EF//AD，（已知）∴∠2＝_____.(_____________________________).又∵∠1＝∠2，（______）∴∠1＝∠3，（________________________）.∴AB//______，(____________________________)∴∠DGA+∠BAC=180°.(_____________________________)2、如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线。
（8）（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；A3、在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.14、在△ABC中，∠A=（∠B＋∠C）、∠B－∠C=20°，求∠A、∠B、∠C的度数。
25、如图，已知∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠CB=95°（1）求∠DCA的度数；（2）求∠DCE的度数。
6、如图所示，请填写下列证明中的推理依据证明：∵∠A=∠C （已知），∴AB∥CD（___________________）∴∠ABO=∠CDO （_________________________）又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO（已知）1∴∠1=∠CDO，∠2=∠ABO（_________________________）2∴∠1=∠2，∴DF∥BE （_____________________________________________）7、如图∆ABC中，AD是BC上的中线，BE是∆ABD中AD边上的中线，若∆ABC的面积是24，则∆ABE的面积是__？B8、完成下列推理，并填写理由如图4，∵ ∠ACE＝∠D（已知），∴∥（）．∴ ∠ACE＝∠FEC（已知），∴∥（）．∵ ∠AEC＝∠BOC（已知），∴∥（）．∵ ∠BFD＋∠FOC＝180°（已知），∴∥（）．AECD图49、已知，如图5，∠1+∠2=180°，∠3=108°，则∠4的度数是多少？10、如图6，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，求∠ED图411、如图，直线a∥b,点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1=55°，则∠2的度数12、已知：AE平分△ABC的外角，且AE//BC，试判断∠B、∠C的大小关系，并说明理由13、已知：△ABC，射线BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，且BE、CF相交于点O。
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初一数学几何证明题
初一数学几何证明题一般认为，要提升数学能力就是要多做，培养兴趣。
事实上，兴趣不是培养出来的，而是每次考试都要考得好，产生信心，才能生出兴趣来。
所以数学不好，问题不在自信，而是要培养学好数学的能力那么，我们应如何提升的数学能力呢?可以从以下四方面入手：1. 提升视知觉功能。
由于数学研究客观世界的"数量与空间形式"，要想从纷繁复杂的客观世界抽出这些" 数与形"，首先必须具备很强的视知觉功能，去辨识，去记忆，去理解。
2. 提升对数学语言的理解能力。
数学有着自己独特的语言体系，它是一种"文字兼数字与符号的结构"。
数学里的符号、公式、方程式、图形、图表以及文字都需要通过阅读才能了解。
3. 提升对数学材料的概括能力。
对数学材料的抽象概括能力是数学学习能力的灵魂。
若一个看到一大堆东西，看了半天也不晓得它们背后的"数量关系与空间形式"，这将是数学学习上极为糟糕的事。
因为数学的精髓就在于，它舍弃了具体的内容，而仅仅抽出"数与形"，并对这些"数与形"进行操作。
4. 提示孩子的运算能力。
对"数或符号"的运算操作能力是数学学习所必须具备的一项重要技能。
我们日常生活中的衣食住行，时时刻刻也离不开运算。
在运算中会出现各种各样的问题，需具体问题具体分析。
俗语说，冰冻三尺非一日之寒，同样数学能力的培养也是一个漫长的过程，要善于发现自己的弱点，进行强化与补救训练。
1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若
D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z
证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.
过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.
根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN. 过D点做BC上的高交BC于O点.
过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J 点.
则X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD 同理可证FP=2DJ。
又因为FQ=FP,EM=EN.
FQ=2DJ，EN=2HD。
又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN
又因为
FQ=2DJ，EN=2HD。
所以DO=HD+JD。
因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN 相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。
当∠BON=108°时。
BM=CN还成立
证明;如图5连结BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN。
∴ΔBDM≌ΔCNE ∴BM=CN
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