第五章 交通系统优化1
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参考书目： 钱颂迪，运筹学，清华大学出版社，1990.1； 刁在筠，运筹学，高等教育出版社，2003.3； 胡运权，运筹学习题集，清华大学出版社，2002。
6
线性规划——问题的提出
例1、现有三个物流园区（A，B，C）的产品运往四 个工厂，单位产品的运费情况如下：
工厂1 物流园区A 2
变量非负约束条件 约束条件
图解法
Z=2x1+3x2 x1=4
Q2（4，2）
max Z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 4 x1 16 4 x 12 x , x 2 0 1 2
x2
x2=3 x1+2x2=8
x1
Max Z=14，X1=4，X2=2
n a ij x j bi j 1 xj 0
i 1,2, , m j 1,2, n
线性规划
max Z CX
n Pj x j b j 1 x j 0 j 1,2, , , n
C c1 , c2 cn
对所有约束条件是<=形式的不等式，在标准化过程中，在每个约束 条件左端加一个松弛变量，经整理，重新对参数编号，可得：
单纯形解法
a1,m 1 xm1 a1n xn b1 x1 x a x a x b 2 2, m 1 m 1 2n n 2 xm am, m1 xm1 amn xn bm x j 0, j 1, 2, , n
基向量
设A为约束方程组的m*n阶系数矩阵，n>m，秩为m，B是A的 m*m满秩矩阵，称B是线性规划问题的一个基。B中的每一 个列向量Pjห้องสมุดไป่ตู้为基向量，与基向量Pj对应的变量Xj称为基 变量。线性规划中除基变量以外的变量叫非基变量。
骣 a11 ç ç B= ç ç ç ç ç am1 桫
a1n ÷ ÷ ÷ ÷ = (P 1, ÷ ÷ ÷ amn ÷
max Z 2 x1 3x 2 x1 2 x 2 8 4 x 16 1 4 x 2 12 x1 , x 2 0
max Z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 x1 2 x2 x3 8 4 x1 x4 16 4 x x 12 x , x , x 2, x ,5x 0 1 2 3 4 5
Pj (a1 j , a2 j ,, amj )T X ( x1 , x2 , xn )T
b (b1, b2 , bm )T
max Z CX AX b X 0
a11 A a m1
15
a12 am2
a1n ( p1 , p 2 , p n ) a mn
17
练习
max z 2 x1 x2
6 x1 5 x 2 30 s.t 9 x1 4 x 2 36 x , x 0 1 2
18
线性规划中解的概念
max Z c j x j
j 1 n
(1) ( 2) (3)
n aij x j bi i 1,2, , m j 1 x j 0 j 1,2, n
物流园区B 2 物流园区C 1 需求量 40
工厂2 1
2 4 50
7
工厂3 3
4 3 25
工厂4 5
1 2 35
库存量 50
30 70
线性规划——问题的提出
例 2 靠近某河流有两个化工厂， 流经第一化工厂的河流流量为每 天 500 万 m3 ，两工厂之间有一条 流量为每天 200 万 m3 的支流（见 图）。
4
运筹学工作步骤
1、提出和形成问题：确定目标、约束、可控变量 等参数 2、建立模型：将目标、约束与变量之间的关系用 定量模型表示出来 3、求解：最优解、次优解、满意解 4、解的检验：正确性和是否反映事实 5、解的控制：控制解的变化过程 6、解的实施：应用于实际解决问题
5
运筹学参考文献
交通系统分析
第五章 交通系统优化——线性规划
交通工程 2012-2013第二学期
交通系统优化
对交通系统分析的目的，是要最终实现交通系统 的最优化。而交通系统最优化，就是应用最优化 理论和方法，对所做的几个可能方案进行优化分 析，找出最优方案。 交通运输，空运、水运、公路、管道、厂内运输 公路网设计与分析，公交线路选择，行车时刻表 安排，停车场设立，出租车调度，交通路网资源 配置优化，物流配送、调度（最短路问题，最大 流问题，最小费用最大流问题）等等
2 x1 x 2 4 x1 x 2 2 x ,x 0 1 2
3）无可行解，在上例中约束条件加上 2x1 x2 4 该问题的可行域为空集。
12
总结： (1)当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无界凸 多边形； (2)若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域某个顶 点得到； (3)若在两个顶点同时得到最优解，则连线上任意一点都 是最优解，即无穷多最优解。
3
运筹学简史
运筹学作为科学名字出现在20世纪30年代末(Operational Research)，称之为“运用研究”，在英、美军队中成立 了一些专门小组进行研究。 二战后，在英、美军队中相继成立了更为正式的运筹学研 究组织。 50年代，运筹学应用于开发洲际导弹。 60年代，由军事转向工业、农业、经济和社会问题等各领 域，发展飞快，并形成了运筹学的许多分支：数学规划( 线性、非线性、整数、目标、动态、随机等)；图论与网 络；排队论。 我国，在50年代由钱学森、许国志教授引入我国。于1980 年成立运筹学会。
线性规划
非标准形式向标准形式转化
⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2++cnxn 令z=-z ,变为 max z= -c1x1- c2x2- -cnxn ⑵约束条件为 a11 x1+a12x2++a1nxn≤b1 (1) 目标函数最大化； 加入非负变量 xn+1，称为松弛变量，有 (2)约束条件等式化； a11(3) x1+a资源系数非负化； 12x2++a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11 x1+a12x2++a1nxn≥b1 (4) 决策变量约束化。 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2++a1nxn - xn+1=b1 ⑷变量xj无约束。 令xj= xj’- xj”， xj ’≥0， xj ≥0 ，对模型中的进行变量代 换。
初始可行解：
2
什么是运筹学？
定义1：为决策机构为其控制下的业务活动进行决 策时，提供以数量化为基础的科学方法。强调： 数量化基础、科学方法。 定义2：运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有 的科学技术和数学方法，解决实际中提出的专门 问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。强 调：多学科交叉；选择最优决策；定量。
问题共性
以上两例都有一些共同的特征：
⑴用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的。 ⑵存在一定的约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示。 ⑶都有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。满 足以上条件的数学模型称为线性规划模型。线性规划模型的一般形 式如下： 目标函数
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn ( , )b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( , )b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn ( , )bm x1 , x2 , xn 0
可行解 满足约束条件的解，称为线性规划问题的可行解。全部 可行解的集合称为可行域。 最优解 使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
19
线性规划中解的概念
max Z CX AX b X 0
a11 A a m1 a12 am2 a1n ( p1 , p 2 , p n ) a mn
min Z 3 x1 x 2 x1 x 2 1 x1 x 2 1 x 0 , x 无约束 2 1
' '' min Z ' 3 x1 ( x2 x2 ) 0 x3 0 x4 ' '' x1 x2 x2 x3 1 ' '' x1 ( x2 x2 ) x4 1 ' '' x 0 , x 0 , x 2 2 0, x3 0, x4 0 1
单纯形解法
单纯形 n维空间中的有n+1个顶点的多面体。 单纯形法的基本思想 从线性规划问题的一个基本可行解开始，转换到另一个使 目标函数值增大的基本可行解。反复迭代，直到目标函数 值达到最大时，就得到了最优解。
单纯形解法
单纯形法的基本步骤
①模型标准化，找出初始可行基，确定初始基本可行解，建立初始 单纯形表；
阴影区域：可行域
练习
max Z = 8 x1 + 6 x2 ì 4 x1 + 2 x2 60 ï ï ï ï ï 2 x1 + 4 x2 48 í ï ï ï ï ï î x1 , x2 ³ 0
11
此例得到唯一最优解，但对于一般线性规划，解情况有： 1）无穷多最优解，上例中目标函数变为 maxZ 2 x1 4 x2 2）无界解，可行域无界，目标函数无最大值； max Z x1 x2
Pm )
线性规划中解的概念
基解 T X ( x , x , x ) 设XB为对应于基的基变量， B 1 2 m 且令所有非基变量为0，这时变量数等于线性方程数，可以求 得一个解 X ( x1, x2 , xm ,0, ,0)T
该解的非零分量数目不大于方程个数m,称X为基解。 基可行解 满足非负条件的基解称为基可行解。 可行基 对应基可行解的基，称为可行基。 基可行解既是基解、又是可行解，它对应于线性规划问题可行 域的顶点。
13
线性规划
线性规划的标准形式
max z=c1x1+c2x2++cnxn a11x1+a12x2++a1nxn=b1 a21x1+a22x2++a2nxn=b2
max Z c j x j
j 1
n
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0 其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
max Z CX AX b X 0
a11 a12 A a m1 am 2
a1n ( p1 , p2 amn
, pn )
一般可以直接观测到一个初始可行基：
B ( p1 , p2 1 0 1 , pm ) 0 0 0 0 1
第一化工厂每天排放污水2万m3， 设工厂1和工厂2每天处理 第二化工厂每天排放污水 1.4 万 污水x1和x2万m3，则有： 3 m 。污水从工厂 1 流到工厂 2 前会 有 20% 自然净化。根据环保要求 ， 河 水 中 污 水 的 含 量 应 不 大 于 Min z=1000x1+800x2 0.2% 。而工厂 1和工厂2 处理污水 (2-x1)/500 ≤0.002 的成本分别为 1000 元 / 万 m3 和 800 [0.8(2-x )+1（1.4-x ]/700≤0.002 1 2） 3 元 / 万 m 。问两工厂各应处理多 少污水才能使处理污水的总费用 x ≤2, x ≤1.4 1 2 最低？ x1, x2≥0
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线性规划——问题的提出
例1、现有三个物流园区（A，B，C）的产品运往四 个工厂，单位产品的运费情况如下：
工厂1 物流园区A 2
变量非负约束条件 约束条件
图解法
Z=2x1+3x2 x1=4
Q2（4，2）
max Z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 8 4 x1 16 4 x 12 x , x 2 0 1 2
x2
x2=3 x1+2x2=8
x1
Max Z=14，X1=4，X2=2
n a ij x j bi j 1 xj 0
i 1,2, , m j 1,2, n
线性规划
max Z CX
n Pj x j b j 1 x j 0 j 1,2, , , n
C c1 , c2 cn
对所有约束条件是<=形式的不等式，在标准化过程中，在每个约束 条件左端加一个松弛变量，经整理，重新对参数编号，可得：
单纯形解法
a1,m 1 xm1 a1n xn b1 x1 x a x a x b 2 2, m 1 m 1 2n n 2 xm am, m1 xm1 amn xn bm x j 0, j 1, 2, , n
基向量
设A为约束方程组的m*n阶系数矩阵，n>m，秩为m，B是A的 m*m满秩矩阵，称B是线性规划问题的一个基。B中的每一 个列向量Pjห้องสมุดไป่ตู้为基向量，与基向量Pj对应的变量Xj称为基 变量。线性规划中除基变量以外的变量叫非基变量。
骣 a11 ç ç B= ç ç ç ç ç am1 桫
a1n ÷ ÷ ÷ ÷ = (P 1, ÷ ÷ ÷ amn ÷
max Z 2 x1 3x 2 x1 2 x 2 8 4 x 16 1 4 x 2 12 x1 , x 2 0
max Z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5 x1 2 x2 x3 8 4 x1 x4 16 4 x x 12 x , x , x 2, x ,5x 0 1 2 3 4 5
Pj (a1 j , a2 j ,, amj )T X ( x1 , x2 , xn )T
b (b1, b2 , bm )T
max Z CX AX b X 0
a11 A a m1
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a12 am2
a1n ( p1 , p 2 , p n ) a mn
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练习
max z 2 x1 x2
6 x1 5 x 2 30 s.t 9 x1 4 x 2 36 x , x 0 1 2
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线性规划中解的概念
max Z c j x j
j 1 n
(1) ( 2) (3)
n aij x j bi i 1,2, , m j 1 x j 0 j 1,2, n
物流园区B 2 物流园区C 1 需求量 40
工厂2 1
2 4 50
7
工厂3 3
4 3 25
工厂4 5
1 2 35
库存量 50
30 70
线性规划——问题的提出
例 2 靠近某河流有两个化工厂， 流经第一化工厂的河流流量为每 天 500 万 m3 ，两工厂之间有一条 流量为每天 200 万 m3 的支流（见 图）。
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运筹学工作步骤
1、提出和形成问题：确定目标、约束、可控变量 等参数 2、建立模型：将目标、约束与变量之间的关系用 定量模型表示出来 3、求解：最优解、次优解、满意解 4、解的检验：正确性和是否反映事实 5、解的控制：控制解的变化过程 6、解的实施：应用于实际解决问题
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运筹学参考文献
交通系统分析
第五章 交通系统优化——线性规划
交通工程 2012-2013第二学期
交通系统优化
对交通系统分析的目的，是要最终实现交通系统 的最优化。而交通系统最优化，就是应用最优化 理论和方法，对所做的几个可能方案进行优化分 析，找出最优方案。 交通运输，空运、水运、公路、管道、厂内运输 公路网设计与分析，公交线路选择，行车时刻表 安排，停车场设立，出租车调度，交通路网资源 配置优化，物流配送、调度（最短路问题，最大 流问题，最小费用最大流问题）等等
2 x1 x 2 4 x1 x 2 2 x ,x 0 1 2
3）无可行解，在上例中约束条件加上 2x1 x2 4 该问题的可行域为空集。
12
总结： (1)当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无界凸 多边形； (2)若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域某个顶 点得到； (3)若在两个顶点同时得到最优解，则连线上任意一点都 是最优解，即无穷多最优解。
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运筹学简史
运筹学作为科学名字出现在20世纪30年代末(Operational Research)，称之为“运用研究”，在英、美军队中成立 了一些专门小组进行研究。 二战后，在英、美军队中相继成立了更为正式的运筹学研 究组织。 50年代，运筹学应用于开发洲际导弹。 60年代，由军事转向工业、农业、经济和社会问题等各领 域，发展飞快，并形成了运筹学的许多分支：数学规划( 线性、非线性、整数、目标、动态、随机等)；图论与网 络；排队论。 我国，在50年代由钱学森、许国志教授引入我国。于1980 年成立运筹学会。
线性规划
非标准形式向标准形式转化
⑴目标函数为 min z=c1x1+c2x2++cnxn 令z=-z ,变为 max z= -c1x1- c2x2- -cnxn ⑵约束条件为 a11 x1+a12x2++a1nxn≤b1 (1) 目标函数最大化； 加入非负变量 xn+1，称为松弛变量，有 (2)约束条件等式化； a11(3) x1+a资源系数非负化； 12x2++a1nxn+xn+1=b1 ⑶约束条件为 a11 x1+a12x2++a1nxn≥b1 (4) 决策变量约束化。 减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2++a1nxn - xn+1=b1 ⑷变量xj无约束。 令xj= xj’- xj”， xj ’≥0， xj ≥0 ，对模型中的进行变量代 换。
初始可行解：
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什么是运筹学？
定义1：为决策机构为其控制下的业务活动进行决 策时，提供以数量化为基础的科学方法。强调： 数量化基础、科学方法。 定义2：运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有 的科学技术和数学方法，解决实际中提出的专门 问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。强 调：多学科交叉；选择最优决策；定量。
问题共性
以上两例都有一些共同的特征：
⑴用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的。 ⑵存在一定的约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示。 ⑶都有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。满 足以上条件的数学模型称为线性规划模型。线性规划模型的一般形 式如下： 目标函数
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn ( , )b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( , )b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn ( , )bm x1 , x2 , xn 0
可行解 满足约束条件的解，称为线性规划问题的可行解。全部 可行解的集合称为可行域。 最优解 使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
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线性规划中解的概念
max Z CX AX b X 0
a11 A a m1 a12 am2 a1n ( p1 , p 2 , p n ) a mn
min Z 3 x1 x 2 x1 x 2 1 x1 x 2 1 x 0 , x 无约束 2 1
' '' min Z ' 3 x1 ( x2 x2 ) 0 x3 0 x4 ' '' x1 x2 x2 x3 1 ' '' x1 ( x2 x2 ) x4 1 ' '' x 0 , x 0 , x 2 2 0, x3 0, x4 0 1
单纯形解法
单纯形 n维空间中的有n+1个顶点的多面体。 单纯形法的基本思想 从线性规划问题的一个基本可行解开始，转换到另一个使 目标函数值增大的基本可行解。反复迭代，直到目标函数 值达到最大时，就得到了最优解。
单纯形解法
单纯形法的基本步骤
①模型标准化，找出初始可行基，确定初始基本可行解，建立初始 单纯形表；
阴影区域：可行域
练习
max Z = 8 x1 + 6 x2 ì 4 x1 + 2 x2 60 ï ï ï ï ï 2 x1 + 4 x2 48 í ï ï ï ï ï î x1 , x2 ³ 0
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此例得到唯一最优解，但对于一般线性规划，解情况有： 1）无穷多最优解，上例中目标函数变为 maxZ 2 x1 4 x2 2）无界解，可行域无界，目标函数无最大值； max Z x1 x2
Pm )
线性规划中解的概念
基解 T X ( x , x , x ) 设XB为对应于基的基变量， B 1 2 m 且令所有非基变量为0，这时变量数等于线性方程数，可以求 得一个解 X ( x1, x2 , xm ,0, ,0)T
该解的非零分量数目不大于方程个数m,称X为基解。 基可行解 满足非负条件的基解称为基可行解。 可行基 对应基可行解的基，称为可行基。 基可行解既是基解、又是可行解，它对应于线性规划问题可行 域的顶点。
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线性规划
线性规划的标准形式
max z=c1x1+c2x2++cnxn a11x1+a12x2++a1nxn=b1 a21x1+a22x2++a2nxn=b2
max Z c j x j
j 1
n
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0 其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
max Z CX AX b X 0
a11 a12 A a m1 am 2
a1n ( p1 , p2 amn
, pn )
一般可以直接观测到一个初始可行基：
B ( p1 , p2 1 0 1 , pm ) 0 0 0 0 1
第一化工厂每天排放污水2万m3， 设工厂1和工厂2每天处理 第二化工厂每天排放污水 1.4 万 污水x1和x2万m3，则有： 3 m 。污水从工厂 1 流到工厂 2 前会 有 20% 自然净化。根据环保要求 ， 河 水 中 污 水 的 含 量 应 不 大 于 Min z=1000x1+800x2 0.2% 。而工厂 1和工厂2 处理污水 (2-x1)/500 ≤0.002 的成本分别为 1000 元 / 万 m3 和 800 [0.8(2-x )+1（1.4-x ]/700≤0.002 1 2） 3 元 / 万 m 。问两工厂各应处理多 少污水才能使处理污水的总费用 x ≤2, x ≤1.4 1 2 最低？ x1, x2≥0