泰勒公式及泰勒级数的应用

摘要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

目录

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1 引言 (3)

2预备知识 (4)

2.1泰勒公式 (4)

2.2泰勒级数和泰勒展开式 (4)

2.3常见函数的展开式 (6)

3泰勒公式与泰勒级数的应用 (7)

3.1用泰勒公式进行近似计算 (7)

3.2利用泰勒公式进行极限计算 (7)

3.3求函数的极值和不等式的证明 (8)

3.4判断或证明级数的敛散性 (9)

3.5用泰勒公式求行列式的值 (9)

3.6 泰勒公式在经济学中的应用 (10)

3.7用泰勒级数解微分方程 (11)

4结论 (14)

参考文献 (15)

致谢 (14)

1引 言

泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了解决。

泰勒级数使得幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。而实际应用中，我们需要把泰勒级数截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。

泰勒公式中含有有限多项, 泰勒级数中含有无限多项, 泰勒公式不是泰勒级数, 泰勒级数也不是泰勒公式。当()f x 的各阶导数都存在时，()f x 的泰勒级数在收敛情况下一定等于()f x ；但不论()f x 的泰勒级数是否收敛,只要()f x 有1n 阶导数, 就有泰勒公式成立。可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是()f x 。

泰勒公式在理论研究和数值计算中具有广泛的应用, 泰勒级数是函数项级数的特例, 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性, 但是它们引入不同, 因此还是有一定的差异性。泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的, 过程比较复杂；泰勒级数属于函数项级数中的幂级数。千万不要把泰勒公式和泰勒级数混为一谈。

2 预备知识

2.1 泰勒公式

2.1.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x ο=+-，即

''()'

200000000()

()()()()()()()(())

2!

!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο=+-+-+

+-+-称为函数f 在0x 处的泰勒公式。形如0(())n x x ο-的余项称为佩亚诺型余项，所以该式有称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。 当

00

x =时, 上式称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林公式。即

()(1)2

1(0)(0)()()(0)(0)(01)2!

!(1)!

n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++

++<<+

()f x =(0)f +'(0)1!f x +

''2

(0)2!f x ++()(0)!

n n

f x n +()n o x

2.1.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式

泰勒定理：若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 上存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使

()()()()()()()()()()2'''0000000112!!

n

n n f x f x f x x x f x x x f x x x R x n =+-+

-+⋅⋅⋅+-+其中(1)(1)0()

()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=-+ （ 00()x x x ξθ=+- (01)θ<<）称为拉格朗日

型余项。所以上式有称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。

当00x =时, 上式称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林公式.即

()(1)2

1(0)(0)()()(0)(0)(01)2!

!(1)!

n n n n f f f x f x f f x x x x n n θθ++'''=+++

++<<+

2.2 泰勒级数和泰勒展开式

2.2.1 泰勒级数

在前面的泰勒定理中曾指出，若函数f 在点0x 的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则

'''

2000000()()

()()()()()()()2!

!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-+

+-+ (1)

这里()n R x 为拉格朗日型余项

(1)10()

()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=-+

其中ξ在x 与0x 之间，称(1)为f 在0x 处的泰勒公式。

如果在(1)中抹去余项()n R x ，那么在点0x 附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替，如果函数f 在0x 处存在任意阶的导数，这时称级数

'''

2000000()()

()()()()()2!

!

n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-+

+-+

为函数f 在0x 处的泰勒级数。

定理（充要条件）设f 在点0x 具有任意阶导数，那么f 在区间（0x -r ,0x +r ）上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对于一切满足不等式0||x x r -<的

x ，有

lim ()0n n R x →∞

=

这里()n R x 是f 在0x 处的泰勒公式余项。 2.2.2 泰勒展开式

若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数（Taylor 公式仅有有限项时）用多项式逼近函数。项数无限增多时，得

()20000000()000

()

()

()()()()()2!

!

()()!n n n n

n f x f x f x f x x x x x x x n f x x x n ∞

='''+-+-+

+-+

=-∑

称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.只要函数)(x f 在点0x 无限次可导，就可写出其Taylor 级数。 称0x =0时的Taylor 级数为麦克劳林级数， 即级数

∑

∞

=0

)(!

)0(n n

n x n f 收敛且和恰为()f x ，

则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数（自然要附带展开区间），称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式。简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数。 当0x =0 时，称Taylor 展开式为麦克劳林展开式。 2.2.3 可展条件

定理(必要条件) 若函数)(x f 在点0x 可展，则必有)(x f 在点0x 有任意阶导数。