理论力学第十二章 质点系动量矩定理教材

vi 质点对于点O的位矢与质点
m2
O ri
mi m1
动量叉乘，所得到的矢量称为 y 质点对于点O的动量矩。
动量矩矢量是定位矢量。点O
x m3 mn
称为矩心。
Lzi [Loi ]z [ri mivi ]z
§12-1 质点和质点系的动量矩
2、质点系的动量矩
z
vi
LO ri mi vi
i
m2
第12章 质点系动量矩定理
第12章 动量矩定理
§12-1 质点和质点系的动量矩 §12-2 质点系动量矩定理 §12-3 刚体定轴转动微分方程 §12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-5 刚体平面运动微分方程
§12-1 质点和质点系的动量矩
1、质点的动量矩
LOi ri mi vi
z
dLO 0 dt
LO=常矢量
（2） Mz (F e ) 0
dLz 0 dt
Lz=常量
§12-2 质点系动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
z
F1
vi
d
dt
i
ri mivi
i
ri Fie
F2
m2
O ri
mi m1
y
d LO dt
MO(F e)
x m3 mn Fi
质点系对于定点O的动量矩对时 间的一阶导数，等于作用在系统上 Fn 所有外力对于同一点的主矩 —— 质 点系对于定点的动量矩定理。
Fi
i
i
F2
ri
vi
J z mi ri2 刚体z轴的转动惯量
i
mi
工程实际中
F1
Fn y
J z Mz2 z为回转半径
对于形状简单的均质刚体
x
J z
r2dm
m
§12-1 质点和质点系的动量矩
转动惯量的平行移轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯 量等于刚体对于通过质心、并与 该轴平行的轴的转动惯量，加上 刚体的质量与两轴间距离平方的
§12-2 质点系的动量矩定理
质点系对于定轴的动量矩定理
z
d LO dt
M
e O
F2
Fi
M
e O
M
e Ox
i
M
e Oy
j
M
e Oz
k
ri
vi
mi
LO LOx i LOy j LOz k
dLOx dt
M
e Ox
Mx
F1
x
Fn y
dLOy dt
M
e Oy
My
dLOz dt
M
e Oz
Mz
§12-2 质点系的动量矩定理
mi yi myC 0
J z J zC md 2
§12-1 质点和质点系的动量矩
转动惯量的平行移轴定理
质量为m，长为l的均质细直杆。
求：此杆对于垂直于杆轴且通过
质心C的轴zC的转动惯量。
解：
Jz
1 3
ml2
J z J zC md 2
J zC
Jz
m( l )2 2
1 12
ml 2
§12-1 质点和质点系的动量矩
§12-1 质点和质点系的动量矩
例题2
A
P
C vC
O B
已知：均质细杆AB，质 量为m，长l。
求：LC，LP，LO。 解：
LC
JC
1 12
ml 2
LP
JP
[JC
m( l )2 ]
2
1 3
ml 2
Lo
LC
l 2
mvC
1 ml2 4
§12-1 质点和质点系的动量矩
例题3
纯滚的均质圆盘，m，r， vC已知。
O ri
mi m1
质点系中所有质点对于点O y 的动量矩的矢量和，称为质
点系对点O的动量矩。
x m3 mn Lz [LO ]z Lzi [ ri mivi ]z
i
§12-1 质点和质点系的动量矩
3、刚体定轴转动动量矩和转动惯量
z
Lz (mivi )ri (miri)ri J z
MO(Fe) 0
LO C
M x MOe x 0
M y MOe y 0
Mz
M
e Oz
0
LOx C1 LOy C2 LOz C3
如果外力系对于定点（或轴）之矩等于 0， 则质点系对这一点（或轴）的动量矩守恒。
§12-2 质点系动量矩定理
质点在有心力作用下的面积速度守恒定理
MO(Fe) 0
乘积。即 J z J zC md 2
证明：如图示，设C为刚体的质 心，刚体对于过质心的轴z的转动
惯量为 J zC miri2 mi ( xi2 yi2 )
对于与z轴平行的另一轴的转动惯量为
J z miri2 mi ( x'i2 yi2 )
§12-1 质点和质点系的动量矩
转动惯量的平行移轴定理
4、平面运动刚体上对任一点A的动量矩
y
y S Fi
LA LC LA (MvC )
F2
A
C d
aC，vC
x
Fn
O
x
JC d MvC
§12-1 质点和质点系的动量矩
例题1
O
vC C
A
均质杆OA，长l，质量为 m，匀。
求：LO
解：
？ LO
l 2
(mvC )
1 4
ml 2
LO
JO
1 3
ml 2
质点系对于定轴的动量矩定理
dLOx
dt
M
e Ox
Mx
M xi
质点系对于定轴的动量矩
dLOy
dt
M
e Oy
My
对时间的一阶导数等于作用
M yi 在系统上的外力主矩在投影 轴上的投影 ( 或所有外力在
dLOz
dt
M
e Oz
Mz
Mzi 同一轴上投影的代数和 )。
§12-2 质点系的动量矩定理
质点系动量矩定理的守恒形式
求：LC，LP。
C vC P
解：圆盘平面运动，P为瞬心。
LC
JC
1 2
mr 2
vC r
LP
JP
(JC
mr2 )
3 2
mr 2
LP
Fra Baidu bibliotek
LC
r
(mvC )
3 2
mr 2
§12-2 质点系动量矩定理
1、质点的动量矩定理
z
F2
F1
v
dLO dt
d dt
(r mv) r Fi
r F MO(F)
m
Or
y
Fi
Fn
dLOx dt
Mx(Fe)
x
dLOy dt
My(Fe)
dLOz dt
Mz(Fe)
§12-2 质点系动量矩定理
z
F1 F2
v
质点的动量矩守恒定理
若作用于质点的力对某固定点（或
m
轴）的力矩恒等于零，则质点动量
x
Or
Fi
y
对该该固定点（或轴）的动量矩保 持不变。
Fn
（1） MO (F e ) 0
J zC miri2 mi ( xi2 yi2 ) J z miri2 mi ( x'i2 yi2 )
xi xi , yi yi d
J z mi xi2 ( yi d )2 mi xi2 yi2 2dyi d 2
mi (xi2 yi2 ) 2d mi yi d 2 mi
LO r mv C
①LO方向不变，即质点在r与mv组成的平 面内运动，且此平面在空间的方位不变； ②LO大小不变，即 r mv 2OAB mvd 得常数. mr2 const, 1 r2 const