理论力学第十二章 质点系动量矩定理教材
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理论力学 12 动量矩定理
轴转动(zhuàn dòng)。已知均质杆 OA 长为 l ，质 C1 量为 m 1，均质圆盘 C 2 的半径为 r ，质量为 m 2，
试求复摆对 O 轴的动量矩。
A
C2 r
解： J O 的计算(jìsuàn)：
JO
1 12
m1
l
2
m1
l 2
2
1 2 m2
r2
m2
l
r
2
图 12-9
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
1 r2 dm 4
精品资料
dJ y
1 4
r 2dm
z 2dm
1 4
r2
z2
r 2dz
1
4
R4 h4
h
z 4
R2 h2
h
z 2
z2
dz
整个(zhěnggè)圆锥体对于 y 轴的转动惯量为：
J y
h 0
1 4
底圆直径的转动惯量。已知圆锥体质量为 M ，
z
底圆半径为 R ，高为 h ，如图12-6所示。 r
h z dz
解：把圆锥体分成许多(xǔduō)厚度为 d z 的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
O
y
R
x
图 12-6
圆锥体的质量为
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量为
精品资料
12.1 转动惯量、平行(píngxíng) 轴定1理2.1.1 转动惯量
质点系的运动，不仅(bùjǐn)与作用在质点系上的力有关， 还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心是描述质 点系质量分布的一个特征量，转动惯量(Moment of inertia)则 是描述质点系质量分布的另一个特征量。
理论力学哈工大第七版第十二章
第十二章 动量矩定理
§12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程 课后习题
一、空间力对点的矩以矢量表示 —力矩矢—定位矢量
投影式:
dLx dt
r M x (Fi(e) )
dLy dt
r M y (Fi(e) )
dLz dt
r M z (Fi(e) )
适用范围：对固定点或固定轴。
内力不能改变质点系的动量矩。 思考：内力的影响？
解:1.取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。 以顺时针为正。
2.运动分析 LO J m v R
MO F r F
i
jk
x y z
Fx Fy Fz
矢量的模—— MO F F h 2AOAB
；
矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向—按右手螺旋法则确定。
二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是 一个代数量，其绝对值等 于该力在垂直于该轴平面 上的投影对轴与该平面交 点之矩。
二、质点系的动量矩定理
第i个质点
d dt
r MO
(mivri
)
r MO
r ( Fi (i )
)
r MO
r ( Fi ( e )
)
n个质点
由于
rr MO (Fi(i) ) 0
r
d dt
r MO
r (mivi
§12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程 课后习题
一、空间力对点的矩以矢量表示 —力矩矢—定位矢量
投影式:
dLx dt
r M x (Fi(e) )
dLy dt
r M y (Fi(e) )
dLz dt
r M z (Fi(e) )
适用范围：对固定点或固定轴。
内力不能改变质点系的动量矩。 思考：内力的影响？
解:1.取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。 以顺时针为正。
2.运动分析 LO J m v R
MO F r F
i
jk
x y z
Fx Fy Fz
矢量的模—— MO F F h 2AOAB
；
矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同；
矢量的指向—按右手螺旋法则确定。
二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量，是 一个代数量，其绝对值等 于该力在垂直于该轴平面 上的投影对轴与该平面交 点之矩。
二、质点系的动量矩定理
第i个质点
d dt
r MO
(mivri
)
r MO
r ( Fi (i )
)
r MO
r ( Fi ( e )
)
n个质点
由于
rr MO (Fi(i) ) 0
r
d dt
r MO
r (mivi
十二章动量矩定理
F mv
M0(F)
o
Ｑ
y
x
由牛顿第二定律
m
dv dt
F
d dt
(mv)
F
r
d dt
(mv)
r
F
d (r mv) r d(mv) dr mv
dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dt dt
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第十二章 动量矩定理
d (r mv) r F dt
M0(mv) m0(F)
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第十二章 动量矩定理
C
m2
IOZ M
式中
M
m1
O
IOZ
1 3
m1L2
1 2
m2
r
2
m2L2
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第十二章 动量矩定理
代入已知值得：
IOZ
1 10 0.32 3
1 40 0.152 2
40 0.32
4.35kg m2
M 20 4.6rad / s2
IOZ 4.35
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第十二章 动量矩定理
dt
M y (mv)]
my (Fe )
d [
dt
M z (mv)]
mz (Fe )
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第十二章 动量矩定理
【典型题精解】
例12-1 滑块Ａ，Ｂ质量分别为２Ｋｇ，0.5Ｋｇ，用长１
米的绳连接，在水平光滑滑竿上滑动，绳和竿的质量不计。
竿绕铅垂轴转动，轴的摩擦也不计。当 rA 0.6m 时，滑块 Ａ以速度０.４ｍ／Ｓ沿竿向外运动，竿的角速度 0.5rad / s
求此时竿的角加速度。
1m
B rB
第12章-动量矩定理
它表达为刚体质量 m 与某一长度ρ z 旳平方
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
工程力学(上)电子教案第十二章重点教材
第十二章 动量矩定理第一、二节 质点和质点系的动量矩 动量矩定理教学时数：2学时教学目标：1、 对动量矩的概念有清晰的理解2、 熟练的计算质点系的动量矩教学重点：质点系的动量矩 质点系的动量矩定理教学难点：质点系的动量矩定理 教学方法：板书＋PowerPoint教学步骤： 一、引言由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。
由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。
若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理（质心运动定理）描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。
它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。
刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。
它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
二、质点和质点系的动量矩 1、质点的动量矩设质点M 某瞬时的动量为v m ，质点相对固定点O 的矢径为r，如图。
质点M 的动量对于点O 的矩，定义为质点对于点O 的动量矩，即()v m r v m M L O O ⨯==()v m M O垂直于△OMA ，大小等于△OMA 面积的二倍，方向由右手法则确定。
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对固定坐标轴的动量矩等于质点对坐标原点的动量矩在相应坐标轴上的投影，即 ()d mv v m M L xy Z z ==质点对固定轴的动量矩是代数量，其正负号可由右手法则来确定。
动量矩是瞬时量。
在国际单位制中，动量矩的单位是s m kg /2⋅ 2、质点系的动量矩（1）质点系对固定点的动量矩设质点系由n 个质点组成，其中第i 个质点的质量为i m ，速度为i v ，到O 点的矢径为i r，则质点系对O 点的动量矩（动量系对点的主矩）为：()∑∑⨯==i i i i i O O v m r v m M L即：质点系对任一固定点O 的动量矩定义为质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和。
理论力学课件第十二章 动量矩定理
dt
v F (e)
i
v vvv
F
外力的矢量和为：
F (e) i
Fox
Foy
F
0
不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动的问题。
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质点到轴的
矢径大小平方的乘积之和。
Jz miri2
单位： kg m2 z
一、简单形状刚体的转动惯量
0 2R
J z mR2
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量
可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：
dm m 2rdr 2m rdr
R 2
R2
dJ dm r 2 2m r3dr
y
z
R2
dr
Jz
dm r2
R 0
2m R2
r 3dr
1 2
mR2
z
z
J ZC
1 12
ml 2
O
l
C
x
2
J z
1 12
ml 2
m
1 2
2
1 3
ml 2
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
例12-4：求钟摆对过点O的轴的转动惯量。 解： 杆对过点对过点O
ml 2
圆盘对过其质心轴的转动惯量：
Jc
1 mR2 2
杆对过点对过点O的轴的转动惯量，
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的Z轴上的 投影等于质点系对该轴的动量矩。
§ 12-2 质点和质点系的动量矩
4、刚体的动量矩 （1）平移刚体
刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作
v F (e)
i
v vvv
F
外力的矢量和为：
F (e) i
Fox
Foy
F
0
不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动的问题。
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质点到轴的
矢径大小平方的乘积之和。
Jz miri2
单位： kg m2 z
一、简单形状刚体的转动惯量
0 2R
J z mR2
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量
可将圆盘分割成无数小的圆环，则各圆环质量为：
dm m 2rdr 2m rdr
R 2
R2
dJ dm r 2 2m r3dr
y
z
R2
dr
Jz
dm r2
R 0
2m R2
r 3dr
1 2
mR2
z
z
J ZC
1 12
ml 2
O
l
C
x
2
J z
1 12
ml 2
m
1 2
2
1 3
ml 2
§ 12-1 刚体对轴的转动惯量
例12-4：求钟摆对过点O的轴的转动惯量。 解： 杆对过点对过点O
ml 2
圆盘对过其质心轴的转动惯量：
Jc
1 mR2 2
杆对过点对过点O的轴的转动惯量，
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的Z轴上的 投影等于质点系对该轴的动量矩。
§ 12-2 质点和质点系的动量矩
4、刚体的动量矩 （1）平移刚体
刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作
理论力学_12.动量矩定理
理论力学
动量定理： 质心运动定理：
dp dt
F
(e) i
M aC
Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固轴） 的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系， 由速度合成定理，有
所以 由于 故
LC
ri m i v
i
即：质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理：
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ：dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)
动量定理： 质心运动定理：
dp dt
F
(e) i
M aC
Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固轴） 的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系， 由速度合成定理，有
所以 由于 故
LC
ri m i v
i
即：质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理：
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ：dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)
理论力学12—动量矩定理.ppt
dt v2 r2 cos 2 LCDcd qV dt v1r1 cos 1 LABab qV
应用动量矩定理
dLz (e) Mz dt
qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos 1 ) Mz
M z nM z qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos1 )
z
A
l
C
a
Lz1 Lz 2
0
a
B
l
Lz1 2(ma0 )a 2ma 0
2
D
Lz 2 2m(a l sin )2 2ma20 2m(a l sin )2 a2 0 2 (a l sin )
显然，此时的角速度＜ 0。
z
A
l
C
a
质点系对 某固定轴的动 量矩对时间的 导数，等于作 用于质点系的 外力对于同一 轴的矩的代数 和。
12.2.3 动量矩守恒定理
1. 质点动量矩守恒定律 如果作用在质点上的力对某定点(或定轴) 之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量 矩保持不变。
2. 质点系动量矩守恒定律
当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于 零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持 不变。
(e)
FOy O FOx u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
由上可知，人与重物 A 具有相同的的速度，此速度等 于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物 A 位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人 与重物A将始终保持相同的高度。
O
M z (mv) mvl ml 2
合肥工业大学《理论力学》l第十二章动量矩定理
Mz
ε
ε∝ Mz
当Mz= 0 时， ε= 0，刚体作匀速转动或静止。
刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变 的难易程度转。动惯量是刚体转动时的惯性度量。
请比较 Jz = ∑Mz 与 m a = ∑F 。
§4 刚体对轴的转动惯量
一、转动惯量的概念
转动惯量是刚体转动时的惯性度量， 它 等 于 刚 体内各质点的质量与质点到轴的垂直距离平方 的乘积之和，即
z
解：分析小球受力。
r2 B
∵ ∑MZ(F(e)) = 0， ∴ LZ = const ! 初瞬时(A处)，
v2 F
r1
T
LZA = mv1r1， B处， LZB = mv2r2， ∴ mv1r1 = mv2r2
A mg v1
而 r1 =2r2 得 v2 = 2v1
解毕。
二、质点系的动量矩定理
设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi， 速度为vi， 受力：外力Fi(e) 、内力Fi(i) ，则 根 据 质 点 的动量矩定理，有
d dt
Mo
(mi vi
)
Mo
( Fi ( i )
)
Mo
( Fi ( e )
)
对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，
则
内力系主矢 = 0
n
i1
d dt
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(i) )
n i1
Mo (Fi(e) )
所以得
ddtindd1tMin1o
M(moi
v(mi )i
Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
zF
B
设质点质量为m，受力F， MO(mv)
理论力学第十二章 动量矩定理 教学PPT解析
平面内力对点的矩：
z
B
Mz(F) = xFy yFx
MO (mv)
mv
和平面内力对点的矩相似，可
以得到质点动量mv在Oxy平面内 的投影(mv)xy对点O（z轴）的矩
rA
y
O
B
Mz(mv) = (xmvy ymvx) x
(mv)xy A
Mz(mv) = m (xvy yvx)
质点的动量矩
对点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系
质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点 对z轴的动量矩，即：
[Mo (mv)]z M z (mv)
Mo F z Mz F
质点对轴的动量矩是代数量。
质点对点O的动量矩与对z轴的动量矩二者的关系， 同力对点的矩与力对轴的矩的关系相似。
在国际单位制中,动量矩的常用单位是 N • m • s
质点系的动量矩
z
Iz M
回转半径：设想将刚体的质量集中在与 转轴距离为z 处，则此集中质量对转轴 的转动惯量与刚体对转轴的转动惯量相 同。
转动惯量
转动惯量的平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方 的乘积 记为
说明
J z J Z M d2
由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理，可以 快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的 转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量）
绕定轴转动刚体的动量矩
Mz(mv) = mrz rz = mrz2
从而整个刚体对轴 z 的动量矩
Lz = ∑mz(mv) = ∑m量矩,等于这刚体对该轴的转动惯 量与角速度的乘积。
例题
理论力学第12章 动量矩定理.
1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的 快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零， 可见动量不能表征或度量这种运动。 2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运 动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影 响。
因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O点的轴的动量矩：
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O
由于动量矩和力矩分别是
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz
mvl
m(l)l
ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )
MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O点的轴的动量矩：
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi
理论力学第十二章 质点系动量矩定理
vi
质点对于点O的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 y 质点对于点O的动量矩。 动量矩矢量是定位矢量。点O 称为矩心。
m2
O
ri
mn
m1
mi
x
m3
L zi [ Loi ]z [ri mi vi ]z
§12-1 质点和质点系的动量矩
2、质点系的动量矩
z m2 O x m3 mi
vi ri
例 题 5
O
解：设圆轮的角速度和角加速度分 别为 和 ，重物的加速度为aP。
圆轮对O轴的动量矩
1 LO1＝J O mR 2 2
重物对O的轴动量矩
aP
W LO 2＝mvR vR g
P
系统对O的轴总动量矩
W
LO＝LO1＋LO 2
1 W 2 mR ＋ vR 2 g
§12-2 质点系动量矩定理
C vC
1 2 vC LC J C mr 2 r
3 2 LP J P ( J C mr ) mr 2
2
P
3 2 LP LC r (mv C ) mr 2
§12-2 质点系动量矩定理
1、质点的动量矩定理
z
F1
F2 m
v
dLO d (r mv) r Fi dt dt r F M O (F )
Lz (mi vi )ri (mi ri )ri J z
i i
vi
mi
Fn
J z mi ri 2 刚体z轴的转动惯量
i
工程实际中
y
J z M z
2
2
z为回转半径
质点对于点O的位矢与质点 动量叉乘，所得到的矢量称为 y 质点对于点O的动量矩。 动量矩矢量是定位矢量。点O 称为矩心。
m2
O
ri
mn
m1
mi
x
m3
L zi [ Loi ]z [ri mi vi ]z
§12-1 质点和质点系的动量矩
2、质点系的动量矩
z m2 O x m3 mi
vi ri
例 题 5
O
解：设圆轮的角速度和角加速度分 别为 和 ，重物的加速度为aP。
圆轮对O轴的动量矩
1 LO1＝J O mR 2 2
重物对O的轴动量矩
aP
W LO 2＝mvR vR g
P
系统对O的轴总动量矩
W
LO＝LO1＋LO 2
1 W 2 mR ＋ vR 2 g
§12-2 质点系动量矩定理
C vC
1 2 vC LC J C mr 2 r
3 2 LP J P ( J C mr ) mr 2
2
P
3 2 LP LC r (mv C ) mr 2
§12-2 质点系动量矩定理
1、质点的动量矩定理
z
F1
F2 m
v
dLO d (r mv) r Fi dt dt r F M O (F )
Lz (mi vi )ri (mi ri )ri J z
i i
vi
mi
Fn
J z mi ri 2 刚体z轴的转动惯量
i
工程实际中
y
J z M z
2
2
z为回转半径
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Fi
i
i
F2
ri
vi
J z mi ri2 刚体z轴的转动惯量
i
mi
工程实际中
F1
Fn y
J z Mz2 z为回转半径
对于形状简单的均质刚体
x
J z
r2dm
m
§12-1 质点和质点系的动量矩
转动惯量的平行移轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯 量等于刚体对于通过质心、并与 该轴平行的轴的转动惯量，加上 刚体的质量与两轴间距离平方的
4、平面运动刚体上对任一点A的动量矩
y
y S Fi
LA LC LA (MvC )
F2
A
C d
aC，vC
x
Fn
O
x
JC d MvC
§12-1 质点和质点系的动量矩
例题1
O
vC C
A
均质杆OA，长l，质量为 m，匀。
求：LO
解：
？ LO
l 2
(mvC )
1 4
ml 2
LO
JO
1 3
ml 2
质点系对于定轴的动量矩定理
dLOx
dt
M
e Ox
Mx
M xi
质点系对于定轴的动量矩
dLOy
dt
M
e Oy
My
对时间的一阶导数等于作用
M yi 在系统上的外力主矩在投影 轴上的投影 ( 或所有外力在
dLOz
dt
M
e Oz
Mz
Mzi 同一轴上投影的代数和 )。
§12-2 质点系的动量矩定理
质点系动量矩定理的守恒形式
O ri
mi m1
质点系中所有质点对于点O y 的动量矩的矢量和，称为质
点系对点O的动量矩。
x m3 mn Lz [LO ]z Lzi [ ri mivi ]z
i
§12-1 质点和质点系的动量矩
3、刚体定轴转动动量矩和转动惯量
z
Lz (mivi )ri (miri)ri J z
LO r mv C
①LO方向不变，即质点在r与mv组成的平 面内运动，且此平面在空间的方位不变； ②LO大小不变，即 r mv 2OAB mvd 得常数. mr2 const, 1 r2 const
mi yi myC 0
J z J zC md 2
§12-1 质点和质点系的动量矩
转动惯量的平行移轴定理
质量为m，长为l的均质细直杆。
求：此杆对于垂直于杆轴且通过
质心C的轴zC的转动惯量。
解：
Jz
1 3
ml2
J z J zC md 2
J zC
Jz
m( l )2 2
1 12
ml 2
§12-1 质点和质点系的动量矩
dLO 0 dt
LO=常矢量
（2） Mz (F e ) 0
dLz 0 dt
Lz=常量
§12-2 质点系动量矩定理
2、质点系的动量矩定理
z
F1
vi
d
dt
i
ri mivi
i
ri Fie
F2
m2
O ri
mi m1
y
d LO dt
MO(F e)
x m3 mn Fi
质点系对于定点O的动量矩对时 间的一阶导数，等于作用在系统上 Fn 所有外力对于同一点的主矩 —— 质 点系对于定点的动量矩定理。
乘积。即 J z J zC md 2
证明：如图示，设C为刚体的质 心，刚体对于过质心的轴z的转动
惯量为 J zC miri2 mi ( xi2 yi2 )
对于与z轴平行的另一轴的转动惯量为
J z miri2 mi ( x'i2 yi2 )
§12-1 质点和质点系的动量矩
转动惯量的平行移轴定理
MO(Fe) 0
LO C
M x MOe x 0
M y MOe y 0
Mz
M
e Oz
0
LOx C1 LOy C2 LOz C3
如果外力系对于定点（或轴）之矩等于 0， 则质点系对这一点（或轴）的动量矩守恒。
§12-2 质点系动量矩定理
质点在有心力作用下的面积速度守恒定理
MO(Fe) 0
vi 质点对于点O的位矢与质点
m2
O ri
mi m1
动量叉乘，所得到的矢量称为 y 质点对于点O的动量矩。
动量矩矢量是定位矢量。点O
x m3 mn
称为矩心。
Lzi [Loi ]z [ri mivi ]z
§12-1 质点和质点系的动量矩
2、质点系的动量矩
z
vi
LO ri mi vi
i
m2
§12-2 质点系的动量矩定理
质点系对于定轴的动量矩定理
z
d LO dt
M
e O
F2
Fi
M
e O
M
e Ox
i
M
e Oy
j
M
e Oz
k
ri
vi
mi
LO LOx i LOy j LOz k
dLOx dt
M
e Ox
Mx
F1
x
Fn y
dLOy dt
M
e Oy
My
dLOz dt
M
e Oz
Mz
§12-2 质点系的动量矩定理
m
Or
y
Fi
Fn
dLOx dt
Mx(Fe)
x
dLOy dt
My(Fe)
dLOz dt
Mz(Fe)
§12-2 质点系动量矩定理
z
F1 F2
v
质点的动量矩守恒定理
若作用于质点的力对某固定点（或
m
轴）的力矩恒等于零，则质点动量
x
Or
Fi
y
对该该固定点（或轴）的动量矩保 持不变。
Fn
（1） MO (F e ) 0
求：LC，LBiblioteka 。C vC P解：圆盘平面运动，P为瞬心。
LC
JC
1 2
mr 2
vC r
LP
JP
(JC
mr2 )
3 2
mr 2
LP
LC
r
(mvC )
3 2
mr 2
§12-2 质点系动量矩定理
1、质点的动量矩定理
z
F2
F1
v
dLO dt
d dt
(r mv) r Fi
r F MO(F)
§12-1 质点和质点系的动量矩
例题2
A
P
C vC
O B
已知：均质细杆AB，质 量为m，长l。
求：LC，LP，LO。 解：
LC
JC
1 12
ml 2
LP
JP
[JC
m( l )2 ]
2
1 3
ml 2
Lo
LC
l 2
mvC
1 ml2 4
§12-1 质点和质点系的动量矩
例题3
纯滚的均质圆盘，m，r， vC已知。
第12章 质点系动量矩定理
第12章 动量矩定理
§12-1 质点和质点系的动量矩 §12-2 质点系动量矩定理 §12-3 刚体定轴转动微分方程 §12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-5 刚体平面运动微分方程
§12-1 质点和质点系的动量矩
1、质点的动量矩
LOi ri mi vi
z
J zC miri2 mi ( xi2 yi2 ) J z miri2 mi ( x'i2 yi2 )
xi xi , yi yi d
J z mi xi2 ( yi d )2 mi xi2 yi2 2dyi d 2
mi (xi2 yi2 ) 2d mi yi d 2 mi