定积分的概念ppt8 北师大版

i-1 1 n i-1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 3 [0 1 22 (n 1) 2 ] n
n
1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 (1 )(1 ) 3 n 2n
2
g gg
D S1 DS2 D S3 DS4
g
v (t )
D Sj
t2
n
2
gD S
O
1 2 3 j n-1 n n n n n
1
t
解： （1）分割 在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个分点， 将区间
0 ,1 等分成 n 个小区间：
1 1 2 n 1 0 , ， , ，… ， ,1 记第 i 个区间为 n n n n i i 1 1 i 1 i , (i 1, 2 , , n) ，其长度为 t n n n n n 1 1 2 n 1 ,1 上行 把汽车在时间段 0 , ， , ，…， n n n n 驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
这些图形的面积该怎样计算？
例题（阿基米德问题）：求由抛物线 y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面 积．
y
问题1：我们是怎样计 算圆的面积的？圆周率 是如何确定的？ 问题2：“割圆术”是 怎样操作的？对我们有 x 何启示？
的方法，求其面积.
探究点2
汽车行驶的路程
思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的 运动速度？
例如 s(t)=3t2+2. 则 v(t)= s´(t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么 求路程？
s=vt 直接求出
v
ห้องสมุดไป่ตู้
思考 3：如果汽车做 变速直线运动， 在时 刻 t 的速度为 v(t)= － t2+2. 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 s 是多少 呢？
i 1 i 取f x x 在区间 , 上任意一点i处的值f i n n 作为近似值，都有
2
S lim
x 0 i 1
n
1 1 f i x lim f i . n 3 i 1 n
n
一般地，对于曲边梯形，我们也可采用 分割 近似代替 求和 取极限
S的近似值Sn
0.125 000 00
0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 38 0.317 871 09
64
128 256
0.325 561 52
0.329 437 26 0.331 382 75
512
1024 2048 …
0.332 357 41
0.332 845 21 0.333 089 23 …
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思 想.（重点） 2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号. （难点）
曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称
为曲边梯形．
y y=f(x) f(b)
S1, S2 , , Si , , Sn .
S Si
i 1 n
（2） 近似代替
i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n
n
(i=1,2,…,n)
（3）求和
S S1 S2 Sn Si ,
i 1
（4）取极限
当分割无限变细，即Δ x → 0(亦即n → +∞)时， 1 1 1 1 S = lim 1 - 1 = n→∞ 3 n 2n 3 1 即所求曲边梯形的面积为 . 3
演示
我们还可以从数值上看出这一变化趋势 区间[0,1]的等分数n
2
4 8 16 32
2
i 1 i 1 v 2 做匀速直线运动， n n
2
即在局部小范围内“以匀速代变速” ，于是用小矩形 的面积 Si 近似地代替 Si ，则有
2 1 i 1 i 1 Si Si v t 2 n n n
显然， S Si
i 1 n
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间 i 1 i 2 上，可以认为函数 , v t t 2 的值变化很 n n 小， 近似地等于一个常数， 不妨认为它近似地等于左端
i 1 i 1 i 1 点 处的函数值 v 2 ，从物理意义 n n n i 1 i , (i 1, 2 , , n) 上的速 看，就是汽车在时间段 n n i 1 度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
解题思想
“细分割、近似和、渐逼近”
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ],[ , ], ,[ , ], ,[ , ], n n n n n n n
每个区间长度为
i i 1 1 x n n n 过各区间端点作x轴的垂线， 从而得到n个小曲边梯形，它 们的面积分别记作
f(a)
a b
如何求曲边梯 形的面积？
O
x
直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边 梯形）面积S是多少？
探究点1 曲边梯形的面积
为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形， 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
y=x2
方案1
方案2
方案3
O
1
x