打印机取纸弹簧的优化设计

打印机取纸弹簧的优化设计

摘要：分析打印机取纸机构中的弹簧设计特点，以弹簧的体积最小和疲劳安全系数最大为优化目标，利用转换目标法和构造惩罚函数法建立多目标优化设计数学模型。结合实例采用模拟退火优化设计方法求解，得到满足实际需要的最优化参数，对弹簧的设计具有理论指导意义。

关键词：弹簧转换目标法多目标优化模拟退火

1.引言

打印机已经不仅仅是办公设备，还可用在装潢，广告等领域，有些家庭也配有打印机；它不但可以在纸上打印文件，照片，发票，还可以打印在瓷砖，大理石，木板等装修的材料上提供丰富多彩的内容和创意；从针式，黑白喷墨，彩色喷墨到激光打印机，现在也已经有3D 打印机打印模型等。

取纸机构是办公打印机不可缺少的部分，如图（1）所示。弹簧作为重要元件，其主要作用为根据纸盘里纸张厚度的变化，通过弹簧拉伸力的变化，给取纸轮一个稳定范围的摩擦力，进而能保证稳定的取纸工序。一般的取纸机构存在着弹簧拉力不稳定，寿命短和不良率高等问题。因此研究弹簧的K值、疲劳安全性，对打印机取纸机构的稳定性是非常有必要的，从而降低成本。

2.弹簧优化模型的建立

2.1 设计变量的确定

影响弹簧的K值和疲劳安全系数的设计变量主要有弹簧簧丝的直径d，有效圈数n及旋绕比C，即：

2.2 体积和疲劳安全系数目标函数的确定

K值和疲劳安全系数是取纸机构弹簧的重要性能指标，因此合理地优化设计取纸机构中的拉伸弹簧，需要把弹簧体积最小和疲劳安全系数最大作为目标函数。

1）令F1（X）表示弹簧体积的目标函数，有：

2）令F2（X）表示疲劳安全系数的目标函数，有：

C为旋绕比；

F1，F2——弹簧所受的最小、最大的交变载荷，利用牛顿力学计算出弹簧的受力

3）确立统一目标函数

为便于优化计算，按照子目标函数F1（X），F2（X）…Fm（X）的重要程度，对应地确定一组权数ω1，ω2…ωm，运用线性加权组合法将目标函数Fi（X）和权数ωi（i=1，2，...，m）合成一个优化目标函数：

其中，各个权数ωi应满足归一性和非负性条件，即：

考虑到此设计中的两个目标函数的变化趋势应当保持一致，故构造如下的优化目标函数：

式中ω1+ω2=1，考虑到弹簧的成本要最低，所以弹簧体积最小和安全系数最大两目标具有同样的重要性，因此取加权系数ω1=ω2=0.5

2.3 约束条件的建立

1）强度条件

弹簧的强度条件表示为：

2）刚度条件

压缩弹簧的垂直刚度k按一般圆柱弹簧的刚度计算公式有：

3）中径条件

弹簧中径约束：Dmin≤D≤Dmax

即：Dmin≤x3x1≤Dmax

4）对d，n，c的其他约束条件

弹簧丝直径约束：dmin≤d≤dmax

即：dmin≤x1≤dmax

弹簧有效圈数约束：nmin≤n≤nmax

即：nmin≤x2≤nmax

弹簧的旋绕比值越小，弹簧的刚度越大，一般有：

即：

3 模拟退火法

模退火算法其基本思想是：在解空间任选一个解s，使用随机数产生器在当前解的邻域内产生一个解，根据Metropolis准则决定是否接受新解，这一过程由控制参数T（类似于退火过程中的温度T的角色）决定。算法持续进行“产生新解——判断——接受或舍弃”的迭代过程，当T值趋于0时，整个系统趋于平衡状态，此状态对应于组合优化问题的全局最优解。

由于模拟退火算法采用的是随机搜索方法，用于解决大规模组合优化问题的一种算法。与其他算法相比，模拟退火算法具有应用灵活广泛、描述简单、运行效率高，以及较少受到初始条件约束等优点。

4优化实例

以某公司的K2 打印机的取纸机构为研究对象，弹簧的材料为AISI 304，许用切应力τ0为220Mpa，最小，最大工作载荷分别为1.3N，1.78N，有效圈数n 不少于60圈，支撑圈数n2为58圈，弹簧旋绕比C的取值范围为6～15，使用寿命动作次数约为7.5×104，弹簧安装状态为两端固定，弹簧钢丝直径d的取值范围为0.4mm（且应取标准值，即0.2，0.25，0.3，0.35，0.4，0.45，0.5mm），中径D的取值范围为4～5mm，工作温度为-20℃～40℃，由于弹簧材料经过硬化处理，因此G取值为81x103Mpa，疲劳安全系数取值为1.～1.3。优化前后的设计变量及目标函数对照，如表1所示。基于工程上要求，设计变量数值已进行圆整，且在约束范围内。

5 结果分析

（1）就实际而言，在多目标的情况下，由于各目标之间相互制约，使几个子目标同时达到最优是非常困难的，一般不存在绝对的最优解。从表1可以看出，模拟退火优化与原设计结果相比，安全系数虽略有下降，但仍然在约束范围内，同时体积减小了约30%，体积优化效果十分明显，符合工程设计需求。

（2）上述建立的弹簧数学模型具有很大的柔性，可以根据需要更改部分设计变量参数值，就可以对不同型号的取纸弹簧进行优化设计。

参考文献：

[1]梁尚明，殷国富.现代机械优化设计方法.化学工业出版社，2005.

[2]王正林，龚纯，何倩.精通MATLAB科学计算.电子工业出版社，2007.

[3]苏金明，阮沈勇，王永利.MATLAB工程数学.电子工业出版社，2005.

[4]吴宗泽.机械零件设计手册.机械工业出版社，2003.

[5]Yang R L. Convergence Theorems for a Class of Simulated annealing Algorithms on Rd[J].J Appl Probab，1992.

[6]Lundy M and Mee A.Convergence of an Annealing Algorithm[J].Math-ematical Programming.1986.

指导老师：卫瑞元