(完整版)必修4平面向量(讲义和练习)(最新整理)

合集下载

高中数学必修4 第二章平面向量

高中数学必修4第二章平面向量平面向量的概念及线性运算²导学案一、目标认知学习目标：1．了解向量的实际背景.2．理解平面向量和向量相等的含义.3．理解向量的几何表示.4．掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义.5．理解两个向量共线的含义.6．了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.二、知识要点梳理知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.(3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).零向量:长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.要点诠释：1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：；②结合律：要点诠释：1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：(1)；(2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，.2．运算律设为实数，结合律：；分配律：，3．共线向量基本定理非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.要点诠释：是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.三、规律方法指导1.向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2.共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念§2.2 平面向量的线性运算平面向量的基本定理及坐标表示²导学案一、目标认知学习目标：1．了解平面向量的基本定理及其意义；2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算.难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性.二、知识要点梳理知识点一：平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果且，那么.③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.知识点二：向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y).要点诠释：当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).知识点三：平面向量的坐标运算运算坐标语言记=(x1，y1)，=(x2，y2) 加法与减法=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)实数与向量的乘积记=(x，y)，则=(x，y)知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要点诠释：若，则∥不能表示成因为分母可能为0.三、规律方法指导1．用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明.2．三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若则A，B，C三点共线.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示练习：平面向量的数量积及平面向量的应用²导学案一、目标认知学习目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.难点：用向量的方法解决几何、物理等问题.二、知识要点梳理知识点一：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为.知识点二：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1. 2.3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或4.5.知识点三：向量数量积的运算律1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc a=c.但是； 2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线. 知识点四：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量，，2.设，则或3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).三、规律方法指导1.向量在几何中的应用：(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件(3)求夹角问题，利用(4)求线段的长度，可以利用或2.向量在物理中的应用：(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；(2)向量在速度分解与合成中的作用.§2.4平面向量的数量积练习题：§2.5平面向量应用举例。

苏教版必修四第二章平面向量全套教案知识梳理+典型例题+练习题+答案(学生版)

二、重难点提示重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。

难点：向量的概念和共线向量的概念。

知识梳理一、向量及相关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。

注意：向量与数量的区别向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。

故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小，只能说相等还是不相等。

（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。

（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

规定零向量与任一向量平行。

【要点诠释】两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等，则一定共线。

向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。

平面几何里的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为以下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等；（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共线。

二、向量的表示（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB用AB表示。

（2）整体法：用一个小写英文字母来表示，如a,b,c等，注意此时手写（a）与书写体a不一样。

（3）坐标法：用坐标来表示向量（以后学习）。

【易错点】注意：1.零向量的手写体为0，书写体用黑体字0表示。

2. 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。

3. 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。

示例：四边形ABCD满足＝且＝，则四边形ABCD的形状是________。

【重要提示】本题是考查图形的形状的问题，把向量关系转化为图形的边的关系来解决。

高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.3知识点总结含同步练习题及答案

答案： A 解析：
已知平面向量 a = (2, x)， b = (2, y)， c = (3, −4)，且 a ∥ c ， b ⊥ c ，求 a 与 b 的夹角．
→
→
→
→
→ →
→
→
→
→ → 8 ．因为 b ⊥ c ，所以 6 − 4y = 0，解 3 → → 3 → 8 3 → 得 y = ．因为 a = (2, − ) ， b = (2, ) ．设 a 与 b 的夹角为 θ ，则 2 3 2 8 3 → → 2×2− × → a ⋅ b 3 2 = 0 ，所以 θ = 90∘ ，即向量 → cos θ = = a 与 b 的夹角为 90∘ ． → → → → |a |⋅| b | |a |⋅| b |
方向上的投影，可正，可负，可为零．零向量与任一向量的数量积为 0 ．向量数量积的运算律
→ → →→ a ⋅ b = b ⋅ a （交换律）； → → → → → → → ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c （分配律）； → → → → → → (λ a ) ⋅ b = a (λ b ) = λ( a ⋅ b ) （数乘结合律）．
已知向量 a = (1, 2)， b = (3, 4)，求| a | ， a ⋅ b ，( a − b ) ⋅ (2 a + 3 b )．解：| a | = √1 2 + 2 2 = √5 ；已知 OA = (3, 4) ，OB = (7, 12)，
−→ −
−→ −
→
→
→
→
→
→ →
→
→
→
→
− − − − − −
设向量 a ， b 满足 | a | = | b | = 1 及 |3 a − 2 b | = √7 ．求： ① a ， b 所成的角的大小；② |3 a + b | 的值．

(完整word版)高一数学必修四平面向量知识与题型归类

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（1）一．向量有关概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量，2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向不确定；3、①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；②a 的单位向量：与a 同方向且长度等于1的向量，记作0a u u r 并且0aa a =ru u r r ；③与a 共线的单位向量：与a 方向相同或相反且长度等于1的向量，可表示为aa±r r 。

4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；5、平行向量（也叫共线向量）：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：a ∥b ；即共线的向量方向相同或相反；规定：零向量和任意向量平行。

6、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．向量的运算： 1．几何运算：（1）向量加法运算：①三角形法则的特点：首尾相连． ②平行四边形法则的特点：共起点．（2）向量的减法：三角形法则的特点：共起点，方向指向被减向量2、向量的数乘运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：①,a a λλ=r r②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r，3、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则： ①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r，12)y y ±。

必修4平面向量(讲义和练习)(可编辑修改word版)

AB 0 0 b AB一、知识纲要《必修 4》第二章平面向量1、向量的相关概念：（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，记为或a。

向量又称矢量。

①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。

普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。

②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。

（2）向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。

记作：|AB |或｜ a ｜。

（3）零向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量：长度为 0 的向量叫零向量，记为，零向量的方向是任意的。

①｜ a ｜＝0； ② 与 0 的区别：写法的区别，意义的区别。

（4）单位向量：模长为 1 个单位长度的非零向量叫单位向量。

若向量a 是单位向量，则｜ a｜= 1 。

2、向量的表示：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意：方向是“起点指向终点”。

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， →等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量i 、 j 为基底向量，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x , y ) ，称( x , y ) 为向量 a的坐标， a ＝( x , y ) 叫做向量 a 的坐标表示。

此时｜ a ｜。

若已知 A (x 1 , y 1 )和B (x 2 , y 2AB = x 2 -x 1，y 2 -y 1 ) ，即终点坐标减去起点坐标。

特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

注意注意注意注意 ) ，则 (b b 0 0 b b 0b b b 3、向量之间的关系：（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系为平行，记作a ∥。

高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)

(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)的全部内容。

【必修4】第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。

2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。

必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案

平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量. 数量：只有大小，没有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：a - -b ：= b - a • b =0向量表示：几何表示法 AB ;字母a 表示；坐标表示：a =xi + y j =（ x, y ）.向量的模: 设怎爲，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a|.（|ah jx 2 y 2,1?f = x 2 y 2。

）零向量：长度为0的向量。

a = O 二| a |= O.【例题】i.下列命题：（i ）若，则a=b o （ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则寸彳彳彳4 寸彳4 呻 4AB=DC' o （5）若 a=b,b=c ，贝U a =c 。

（6）若 a//b,b//c ，贝U a//c 。

其中正确的是 _________2.已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|^+3b| = ______ 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点. ⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角.⑶三角形不等式：b 扁+*询+話.⑷运算性质：①交换律：a '^b ■ a ;②结合律:a+i = AB+BC = ACa b c=a b c ;D⑸坐标运算：设 a = x1,y1, b =[x2,y2，贝U a b x x2, y-! y2.3、向量减法运算:⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.a -b = -二二=⑵坐标运算：设 a = X i,y i， b = X2,y2，贝U a「b = % -X2, y i -y?.设二、2两点的坐标分别为x1, y1 , x2,y2，贝U 「片-*2，%-丫2 .【例题】(1)①AB+BC+CD= _______ ；②A B—A D—DC=_______________________ ；③(A L C D)_(A C JB D)=—(2)若正方形ABCD的边长为1,4、向量数乘运算:⑴实数■与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作■ a .①a = 'Ha ;②当■・0时，a的方向与a的方向相同;当■ <0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，，a=0 .⑵运算律：①•罔产详上：,a ；②泸出—a—a；③■ a b「a…b.⑶坐标运算：设 a =\X，Y，则■ a V：〔x, y j：“.X, ■y .■ i —：■【例题】(1)若M (-3, -2)，N (6, -1)，且MP—- MN,则点P的坐标为35、向量共线定理：向量a a=0与b共线，当且仅当有唯个实数’使b「a .设a X1，y1 ,b = X2，y2 , (b =0) ：= (a b)2 =(|a||b|)2。

高中数学必修四第二章平面向量专题

《平面向量专题》第一讲：向量的基本概念知识要点：平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示. 特别提醒：1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 5)相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.向量的线性运算1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=abab a+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAA对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______（3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（2）法则：____三角形法则_______ 3.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行.（2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ， λ（a +b ）=λa +λb .特别提醒：1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。

(精校版讲义)高中数学必修四第15讲《平面向量》全章复习与巩固(可直接打印)

第十五讲:《平面向量》全章复习与巩固【学习目标】1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2.向量的线性运算（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积（1）通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一：向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如,,,a b c r r rL 等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB uuu r ，CD uuu r等.(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA u u u r的起点O 为在坐标原点，终点A 坐标为(),x y ，则(),x y 称为OA u u u r 的坐标，记为OA u u u r=(),x y .3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a r 与b r相等，记为a b =r r.4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：0r与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量：长度相等且方向相反的向量. 要点二、向量的运算 1.运算定义运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2)则OA OB +uu u r uuu r=(x 1+x 2，y 1+y 2) OB OA -uuu r uu u r=(x 2-x 1，y 2-y 1)OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB a λ--→→=R λ∈记a →=(x ，y) 则()a x y λλλ→=，两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅r r r r r r记1122(,),(,)a x y b x y ==r r则a b →→⋅=x 1x 2+y 1y 22.运算律加法：①a b b a +=+r r r r (交换律)； ②()()a b c a b c ++=++r r r r r r(结合律)实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+r r r r ； ②()a a a λμλμ+=+r r r；③()()a a λμλμ=r r两个向量的数量积：①a →·b →=b →·a →； ②(a λ→)·b →=a →·(b λ→)=λ(a →·b →)；③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →3.运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r ，称1122e e λλ+u r u u r 为12,e e u r u u r的线性组合.①其中12,e e u r u u r叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e u r u u r的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.③当基底12,e e u r u u r是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y)，则→--OA =(x ，y)；当向量起点不在原点时，向量→--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则→--AB =(x 2-x 1，y 2-y 1)(2)两个向量平行的充要条件符号语言：)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ坐标语言为：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，或x 1y 2-x 2y 1=0.(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a坐标语言：设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==r r，则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x(4)两个向量数量积的重要性质： ①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度)；②⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a (垂直的判断)；③cos a ba bθ⋅=⋅r r r r (求角度).要点诠释：1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔02121=+y y x x③求夹角问题，利用cos a ba b θ⋅=⋅r rr r 222221212121y x y x y y x x +++=④求线段的长度，可以利用2||→→=a a或12PP =u u u u r【典型例题】类型一：平面向量的概念例1.给出下列命题：①若|a r |=|b r |，则a r =b r；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ；④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r；⑤ 若a r //b r ，b r //c r ，则a r //c r ；其中正确的序号是 .(2)设0a u u r 为单位向量，(1)若a r 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅r r u u r ；(2)若a r 与0a u u r平行，则0a a a =⋅r r u u r ；(3)若a r 与0a u u r 平行且1a =r ，则0a a =r u u r.上述命题中，假命题个数是( )A.0B.1C.2D.3【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。