结构力学-力法中对称性的利用

可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
如果作用在结构上的荷载也是对称的(图8-19a)则Mp图也 是对称的(图8-19b),于是3P=0。由典型方程的第三式可知 X3=0，因此最后弯矩图为M=M1X1+M2X2+Mp，它也将是 对称的，其形状如图8-19c所示。此时结构的所有反力，内 力及位移（图8-19a中的虚线）都将是正对称的。
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
Βιβλιοθήκη Baidu（b） 基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分 解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1， 另一驵为两个成反对称 的未知力Y2（图8-23a）。新的未 知力与原未知力之间具有如下关系：
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
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+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求 解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本 结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知 力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
（a）
（b）
列出典型方程： 11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0
21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
（c）
由于正反对称的两图相乘时恰好正负抵消使为零,因而
Pa a P
P
P
Mp图
M图
（a）
（b）
图8-20
（c）
例8-4 试分析图8-21a所示刚架。设EI=常数。
解基知：本力这体皆是系为一。零个 由，对 于而称 荷只结载有构是X1。反。为对四称次的超，静故可定知。正取对图称b所的示多对余称未的
分别作出M1，MP图如图8-21所示，由图乘法可得：
EI11=[(½*3*3*2)*2+3*6*3]*2=144
X1=Y1+Y2，X2=Y1-Y2
或
Y1=（X1+X2）/2，Y2=（X1-X2）/2
P
Y1 Y2
（a）
Y1
Y2
Y1=1
Y1=1
M1图
Y2=1
Y2=1 M2图
（b）
（c）

经过上述未知力分组后，求解原有两个多余未知力的问 题就变为解新的两对多余未知力组。同理可作出M2图 （图8-23c）。所以副系数12 =21=0。典型方程简化为
对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对 称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
EI=[3*6*30+1/2*3*3*80]*2=1800 代入典型方程得
X1=-1800/144=-12.5KN
6m 10KN
(a)
10KN
10KN
6m 6m
10KN
10KN
X1
X1 10KN
3
3
X1=1
X1=1
3 3 M1图
（m）
(b)基本体系
(c)
37.5
60 60
120 Mp图
（KN.m）
22.5 60
82.5
M图
（KN.m）
(d)
(e)
图 8-21
最后弯矩图M=M1X1+Mp，如图8-21e所示。
2.未知力分组及荷载分组
在很多情况下,对于对称的超静定结构,虽然选取 了对称基
本结构,但多余未知力对结构的对称轴来说却不是正对称
的。相应的单位内力图也就既非正对称也非反对称，因此
有关的副系数仍然不等于零。例如图8-22所示对称刚架就
Pa a P
PP
Mp图
M图
（a）
（b）
（c）
如果作用在结构上的荷图载8-1是9 反对称 的（图解-20），作
出Mp图8-20b，最后弯矩图为M=M3X3+Mp，它也是反对
称的。
由上所述可得如下结论：对称结构在正对称荷载作用 下，其内力和位移都是正对称的；在反对称 荷载作用下， 其内力和位移都是反对称的。
力法简化总的原则是：使尽可能多的副系数以及 自由项等于零。
1.选取对称的基本结构
图8-17a示一对称结构，它有一个对称轴。所谓对
称是指： (1)结构的几何形状和支承情对称于轴；
(2)各杆的刚度（EA，EI等）也对称于此轴。将此
结构沿对称轴上的截面切开，便得到一个基本结构
如图8-17b所示。此时多余未知力包括三对力：一