数学模型实验报告

数学模型实验报告

实验内容1.

实验目的：学习使用lingo和MATLAB解决数学模型问题

实验原理：

实验环境：MATLAB7.0

实验结论：

源程序

第四章：实验目的，学会使用lingo解决数学模型中线性规划问题1.习题第一题

实验原理：

源程序：

运行结果：

Range：

结果分析：（1）求解结果中variable那一项表示的是最优解，容易看出x1,x2,x3,x4,x5取值分别为以上结果时，收益最大。即证券A,C,E分别投资2.181818百万元，7.363636百万元，0.4545455百万元，最大收益为0.2983636百万元。上面Row那一项中Slack or surplus 表示的是投资款项剩余值。Dual 表示增加一单位，投资利润增加量。

（2）range 表示变化范围：variable那个项目表示的是最优解不变，系数的允许的变化范围。Row那个项目表示的是影子价格（即在最优解下资源增加一个单位时效益的增量）。

3.习题第三题lingo算式：

源程序：

实验结果：

结果分析：最优解为：x1=3,x2=4,y1=0,y2=2,y3=0,y4=0,y5=1时，min=820.此时费用最小。在九个工作时间点的生于劳动力分别为3,6,5,0,1,2,0,0,0,个。

第五章：5.6节人口的预测和控制

实验目的：用MATLAB 模型解决数学模型中人口预测和控制问题 实验原理： 指数增长模型：

模型假设：年增长率保持不变

记今年人口为x0,k 年后人口为xk,年增长率为r,则 xk=x0(1+r)^k (1)

记t 时刻的人口为x(t),当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，x(0)=x0,利用微积分求得 x(t)=x0e^rt (4) 表示人口随时间无限增长

组织增长模型---logistic 模型

组织增长用体现在对人口增长率的影响上，使r 随着人口数量x 的增加而下降 假定r(x)=r-sx(r,s>0）(5)

这里r 称固有增长率，表示人口很少时（理论上是0x =）的增长率。为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，称人口容量。当m x x =时人口不再增长，即增长率()0m r x =，代入（5）式的m s r x =，于是()()1m r x r x x =-，将()r x 代入方程（4），得

1m d x x rx dt x ⎛⎫=- ⎪

⎝⎭，

()00x x =

（6）

方程（6）右端的因子rx 体现人口自身的增长趋势，因子1m x x ⎛⎫

- ⎪⎝⎭则体

现了环境和资源对人口增长的阻滞作用。显然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果，（6）称为阻滞增长模型。 三、模型的参数估计、检验和预报

用指数增长模型或阻滞增长模型进行人口预报，先要作参数估计。除了初始人口0x 外，指数增长模型要估计r ，阻滞增长模型则要估计r 和m x 。它们可以用人口统计数据拟合得到，也可以辅之以专家的估计。

为了估计指数增长模型（2）或（3）中的参数r 和0x ，需将（3）式取对数，得

0,l n ,l n y r t a y x a x =+== （8） 如书上图：

以美国人口实际数据为例（将表3数据列为表4第1，2列），对(8)式作数据拟合，如用1790年至1900年的数据，得到r =0.2743/(10年)，0x =4.1884；如用全部数据可得r =0.2022/（10年），0x =6.0450。也可以令0x =3.9（1790年实际人口），只计算r 。

用得到的r 和0x 代入（3）式，将计算结果与实际数据作比较。表4中计算人口1x 是用1790年至1900年数据拟合的结果，2x 是用全部数据拟合的结果，图3()a 和图3()b 是它们的图形表示（+号是实际数据，曲线是计算结果）. 为了估计阻滞增长模型（6）或（7）中的参数r 和m x ，我们不用（7）式而将方程（6）表为

,m

dx

r dt r sx s x x =-=

（9）

（9）式左端可以从实际人口数据用数值微分算出，右端对参数,r s 是线性的。

为了简单起见，可利用()1990x 和方程（6）作如下计算：

()

()()()()200019901990199011990/m x x x x r x

x x π=+∆=+-

⎡⎤⎣⎦

（10）

得到()2000274.5x =百万，与实际数据281.4百万的误差约2.5%，可以认为该模型是相当满意的。

为了预报美国2010年的人口，应将2000年的实际数据加进去重新估计参数，可得0.249r =/（10年），433.9886m x =。然后再用模型检验中的计算方法进行预报，得到()2010306.0x =百万。据美国人口普查局2010年12月21日公布，截止到2010年4月1日，美国总人口为3.087亿，预报误差不到1%。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 实验步骤①

对于阻滞增长模型：

为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将方程（4）两边取对数得到()0ln ln *rt x t x e =，即()0ln ln x t x rt

=+，令()ln y x t =，0ln a x =，所以可得y rt a =+。

根据所提供的数据用MATLAB 函数(),,1p polyfit t x =拟合一次多项式，然后用画图函数()()''''0,,,,*exp ,plot t x t x rt +-，画出实际数据与计算结果之间的图形，看结果如何。 源程序：