直线电机地铁车辆-轨道垂向耦合动力学模型
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垂向模型中的车辆共有10个自由度，钢轨和轨 道板均采用动力有限元方法建立模型.钢轨单元为 连续点支承梁单元，轨道板单元为连续支撑梁单元， 单元模型如图2.
（a）点支承梁单元
（b）连续支承梁单元
图2 单元模型图 Fig.2 Elementmodel
直线电机固结在转向架上.反力板固结在轨道 板上.直线电机与反力板在垂向产生随气隙量动态 变化的电 磁 力，根 据 日 本 地 铁 协 会 提 供 的 资 料（ 图 3），本文作者对其进行线性化处理.
使用，既提高了精度，又有显示法积分特征，每一步
的计算速度比 Newmark 法要快，可获得良好的效 果.但该方法要求系统质量矩阵为对角阵，且如果系 统的自由度数量大，该法计算的积分步长就较小，从
整体计算速度上，两种方法在本文的程序计算中并
无太大差别. 用Fortran语言编制了直线电机列车与轨道动
力仿 真 分 析 软 件 LMVTDSS（linear metrovehicle trackdynamicsimulationsystem）进 行 计 算，程 序 流 程如图5.
C1zltφt1+K1zltφt1EMwg+F2（t）（9） Mw¨zw3+C1zzw3+K1zzw3-C1zzt2-K1zzt2-
C1zltφt2-K1zltφt2EMwg+F3（t）（10） Mw¨zw4+C1zzw4+K1zzw4-C1zzt2-K1zzt2+
C1zltφt2+K1zltφt2EMwg+F4（t）（11） 式中，z 为垂向位移，φ 为点头角，M 为质量，I 为点 头惯量；角标c、w、r、b、L、t分别代表车体、转向架、 车轮、钢轨、轨道板、直线电机；C1z、C2z分别为一系、 二系悬挂垂向阻尼系数；K1z、K2z分别为一系、二系 悬挂垂向弹簧刚度；Kr、Cr 分别为轨下垫层的垂向 刚度与阻尼；Kb、Cb 分别为轨道板下水泥砂浆的刚 度与阻尼；lc、lt 分别为车辆定距之半和固定轴距之
第1期
冯雅薇等：直线电机地铁车辆-轨道垂向耦合动力学模型
53
半；h 为气隙值；F（h）、M（h）分别为直线电机和反 力板之间的作用力和作用力矩；Fi（t）为第i（iE1 ~4）个轮对与钢轨垂向接触力.
钢轨和轨道板的振动方程为
╰［M <╰［M
］ ］rb｛｛"#"#｝｝rb++［［$$］］rb｛｛%#%#｝｝rb++［［&&］r］｛b｛##｝r｝bEE［［’’］r］b（12）
质量阵和刚度阵叠加而来；［$］r 采用瑞利阻尼阵；
钢轨外荷载包括轮轨作用力和钢轨下部的弹簧阻尼
作用力.其中轮轨作用力为
n
｛’｝E ∑｛’｝k E kE1
n
4
∑｛∑δ（xwi-xri）｛(｝TFi（t）｝（13）
kE1 iE1
式中，｛(｝E｛N1，N2，N3，N4｝；
δ（xwi-xri）E<╰╰01
xwi-xriE0； 其它
式中，｛#｝rE｛zr1 φr1 zr2 φr2 …zrj φrj…｝T，
｛#｝bE｛zb1 φb1 zb2 φb2 …zbn φbn…｝T， ［M ］、 ［&］、［$］、［’］分别代表质量、刚度、阻尼以
及力矩阵；脚标rj代表钢轨第j个节点，脚标bn 代
表轨道板第n 个节点； ［M ］r， ［&］r分别由钢轨单元
Abstract：Linearmetrosystemisanewtypeofurbanrailtransitsystem.Concerningoftheinteractionsbothbetweenwheel-railandlinearinductionmotor（LIM）-reactionplate（RP）ofthissystem， thevehicle-trackverticaldynamicmodelisbuiltbasedoncouplingdynamicsanddynamicfiniteelement method.Thevalidityofthesystem modelistestedandthecomputeresultsofthissystemareprovided bycaringoutnumericalcomputation. Keywords：linearmetro；vertical；couplingdynamics
（3）前转向架沉浮运动 Mt¨zt1+（C2z+2C1z）zt1+（K2z+2K1z）zt1-
C2zzc-K2zzc-C1zzw1-K1zzw1-C1zzw2-
K1zzw2-C2zlcφc-K2zlcφcE Mtg+F（h）（4） （4）前转向架点头运动 It¨φt1+2C1zlt2φt1+2K1zlt2φt1-C1zltzw1+
第30卷 第1期 2006年2月
北京交通大学学报 JOURNALOFBEIJINGJIAOTONG UNIVERSITY
文章编号：1673-0291（2006）01-0051-04
Vol.30No.1 Feb.2006
直线电机地铁车辆-轨道垂向耦合动力学模型
冯雅薇，魏庆朝，时 瑾
（北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044）
日本和加拿大两国对直线电机系统的研究都始
于上个世纪80年代.目前国外的文献主要是对系统 的介绍性文章［1，2］和对直线感应电机的研究［3，4］.仅 见加拿大的 Fatemi［5，6］对一种新型的直线电机轨道 结构进行垂向动力学分析.主要研究了新型轨道结
构的动力特性及参数影响，探讨了轮载变化，轨道位
移响应及直线电机荷载在轨枕间分布规律等问题. 由于种种原因，这种轨道结构至今仍没有用于实际
图4 车辆与轨道之间坐标关系 Fig.4 Relationshipbetweentrainandtrack
轨道板单元质量阵的形式与钢轨的基本相同，
只是选取不同的参数.轨道板的单元刚度阵积分前 包括梁单元弯曲应变能和下部支撑弹簧的弹性势能
两部分.轨道板的单元阻尼阵则来源于板下部支撑 阻尼.轨道板所受外力为直线电机对轨道板的电磁 力和轨道板上部受到的弹簧阻尼作用力.其中的电
摘 要：直线电机地铁是一种新型的城市轨道交通系统.本文基于动力有限元和耦合振动理论，考 虑轮轨关系以及直线感应电机和反力板之间的相互作用，建立了直线电机地铁系统车辆-轨道垂向 动力学模型.通过数值计算，验证模型的有效性，并给出计算结果. 关键词：直线电机地铁；垂向；耦合动力学
中图分类号：U239.5
It¨φt2+2C1zlt2φt2+2K1zlt2φt2-C1zltzw3+ C1zltzw4-K1zltzw3+K1zltzw4EM（h）（7）
（7）轮对沉浮运动 Mw¨zw1+C1zzw1+K1zzw1-C1zzt1-K1zzt1-
C1zltφt1-K1zltφt1EMwg+F1（t）（8） Mw¨zw2+C1zzw2+K1zzw2-C1zzt1-K1zzt1+
的建设提供支持，是现阶段较好的研究方法.国内目 前仅见庞 绍 煌［7］对 该 系 统 的 动 力 特 性 有 过 定 性 的
分析，所以进行系统的动力学建模及计算非常必要.
收稿日期：2005-02-25；修订日期：2005-11-02 基金项目：广东省直线电机轨行系统研究课题
作者简介：冯雅薇（1979—），女，天津市人，博士生.eLail：fyw1224@163.com 魏庆朝（1957—），男，河北高邑县人，教授，博士，博士生导师.
文献标识码：A
A VerticalModelforVehicle-TrackCouplingDynaLics onLinearMetroSysteL
FENGYa-wei，WEIQing-chao，SHIJin
（SchoolofCivilEngineeringandArchitecture，BeijingJiaotongUniversity，Beijing100044，China）
1.2 动力学方程
车辆的振动方程如下：
（1）车体沉浮运动 Mc¨zc+2C2zzc+2K2zzc-C2zzt1C2zzt2-K2zzt1-K2zzt2 E Mcg （2）
（2）车体点头运动 Ic¨φc+2C2zl2cφc+2K2zl2cφc-C2zlczt1+
C2zlczt2-K2zlczt1+K2zlczt2E0 （3）
图3 垂向电磁力与气隙关系 Fig.3 Relationshipbetweenverticalelectric
magneticforceandthegap
车轮和钢轨间的相互作用，采用赫兹非线性接
触理论确定，即
F E［Δz（t）／G］3／2
（1）
式中，G 为轮轨接触常数；Δz（t）为轮轨间的弹性压
缩量.
直线电机地铁系统（直线电机系统）采用直线
感应电动机牵引，轮轨支撑导向.车辆平稳运行时， 车上直线电机与轨道上的反力板之间的垂向间隙控
制在10~12mm 左右.当通过交流电时，两部分产 生的磁场相互作用，对车辆起牵引或制动作用.该系 统具有技术先进、安全可靠、经济合理以及绿色环保
的特点.已经在世界上建成9条运营线.我国广州地 铁的4号线以及北京的首都机场线也已决定采用此 系统，现正在积极的建设或筹划中.
52
北京交通大学学报
第30卷
本文作者以采用板式轨道的直线电机系统为 例，建立垂向车辆-轨道耦合动力学模型，并进行计 算机仿真计算及分析.
1 系统模型
1.1 车辆-轨道垂向耦合模型 系统模型如图1.
图1 直线电机系统车辆-轨道耦合动力模型 Fig.1 Vehicle-trackcouplingdynamic modelofliBaidu Nhomakorabeaearmetrosystem
同一数量级上，证明了这一基本程序的正确性. 将直线电机系统仿真程序的气隙计算结果与文
献［5］的计算结果进行比较，两者的气隙变化值都是 在某一平衡位置附近产生周期性的浮动，趋势相近. 当运行速度为79km／h（22m／s），轴重为50kN 时， 文献［5］中 气 隙 的 减 少 量 最 大 值 为 1.04 mm，变 化 范围 约 为 0.1 mm；VTDSS 气 隙 减 小 量 幅 值 为 1.05mm；变化范围为0.05mm（如图6）.可以得出 两者的计算结果具有较好的一致性.
｛’｝k 为轮轨作用力在第k 个钢轨单元节点上产生 的等效荷载列阵；δ 为狄拉克函数；xwiEx0+vt+ li 为t时刻第i 轮对的坐标；li 为各轮对距O’点的
距离；xriE（k-1）lr+xi 为钢轨上与第i 轮对的作 用点在整个钢轨上的坐标；lr 为钢轨单元长度；xi 为第i轮对与钢轨的作用点在钢轨第k 单元中的坐
C1zltzw2-K1zltzw1+K1zltzw2EM（h）（5） （5）后转向架沉浮运动 Mt¨zt2+（C2z+2C1z）zt2+（K2z+2K1z）zt2-
C2zzc-K2zzc-C1zzw3-K1zzw3-C1zzw4-
K1zzw4+C2zlcφc+K2zlcφcEMtg+F（h） （6） （6）后转向架点头运动
图5 程序流程 Fig.5 Programflow
54
北京交通大学学报
第30卷
2 模型验证及计算分析
2.1 模型验证 在本文作者编制的程序上进行改动，去掉直线
电机和反力板之间作用力的影响，变成了可以计算
传统铁路动力响应的仿真程序.选取相应计算参数 分别与文献［9，10］的计算图形进行对比，得出轨道 部分的位移、速度、加速度图形趋势一致，且数值在
运营线路中. 我国建设的直线电机系统并非全套引进，是综
合日本和加拿大两种技术模式，根据国内的设计要
求组合而成.因国内目前还没有建成的运营线和试 验线，无法进行实地的动力性能测试.所以系统的动 力模型和 性 能 参 数 不 能 完 全 照 搬 国 外 建 成 线 的 数
据.计算机动力仿真既可以根据仿真结果对工程选 型起到指导和检验作用，又可为今后国内其他线路
标（如图4）；Nm（m E1~4）为形函数，将作用在钢 轨单元上的荷载等效到节点，由xi 确定.
磁力要等效到相应轨道板单元节点上，与轮轨力等
效到钢轨单元上的方法相同. 1.3 方程求解
车辆和轨道部分的方程可以统一写成 ［M ］｛"#｝+［$］｛%#｝+［&］｛#｝E［’］（14） 这里选用了 Newmark增量逐步积分法和预测 校正法两种积分方法，并进行了计算速度的对比. 预测校 正 法［8］将 显 式 法 与 纽 马 克 隐 式 法 联 合
（a）点支承梁单元
（b）连续支承梁单元
图2 单元模型图 Fig.2 Elementmodel
直线电机固结在转向架上.反力板固结在轨道 板上.直线电机与反力板在垂向产生随气隙量动态 变化的电 磁 力，根 据 日 本 地 铁 协 会 提 供 的 资 料（ 图 3），本文作者对其进行线性化处理.
使用，既提高了精度，又有显示法积分特征，每一步
的计算速度比 Newmark 法要快，可获得良好的效 果.但该方法要求系统质量矩阵为对角阵，且如果系 统的自由度数量大，该法计算的积分步长就较小，从
整体计算速度上，两种方法在本文的程序计算中并
无太大差别. 用Fortran语言编制了直线电机列车与轨道动
力仿 真 分 析 软 件 LMVTDSS（linear metrovehicle trackdynamicsimulationsystem）进 行 计 算，程 序 流 程如图5.
C1zltφt1+K1zltφt1EMwg+F2（t）（9） Mw¨zw3+C1zzw3+K1zzw3-C1zzt2-K1zzt2-
C1zltφt2-K1zltφt2EMwg+F3（t）（10） Mw¨zw4+C1zzw4+K1zzw4-C1zzt2-K1zzt2+
C1zltφt2+K1zltφt2EMwg+F4（t）（11） 式中，z 为垂向位移，φ 为点头角，M 为质量，I 为点 头惯量；角标c、w、r、b、L、t分别代表车体、转向架、 车轮、钢轨、轨道板、直线电机；C1z、C2z分别为一系、 二系悬挂垂向阻尼系数；K1z、K2z分别为一系、二系 悬挂垂向弹簧刚度；Kr、Cr 分别为轨下垫层的垂向 刚度与阻尼；Kb、Cb 分别为轨道板下水泥砂浆的刚 度与阻尼；lc、lt 分别为车辆定距之半和固定轴距之
第1期
冯雅薇等：直线电机地铁车辆-轨道垂向耦合动力学模型
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半；h 为气隙值；F（h）、M（h）分别为直线电机和反 力板之间的作用力和作用力矩；Fi（t）为第i（iE1 ~4）个轮对与钢轨垂向接触力.
钢轨和轨道板的振动方程为
╰［M <╰［M
］ ］rb｛｛"#"#｝｝rb++［［$$］］rb｛｛%#%#｝｝rb++［［&&］r］｛b｛##｝r｝bEE［［’’］r］b（12）
质量阵和刚度阵叠加而来；［$］r 采用瑞利阻尼阵；
钢轨外荷载包括轮轨作用力和钢轨下部的弹簧阻尼
作用力.其中轮轨作用力为
n
｛’｝E ∑｛’｝k E kE1
n
4
∑｛∑δ（xwi-xri）｛(｝TFi（t）｝（13）
kE1 iE1
式中，｛(｝E｛N1，N2，N3，N4｝；
δ（xwi-xri）E<╰╰01
xwi-xriE0； 其它
式中，｛#｝rE｛zr1 φr1 zr2 φr2 …zrj φrj…｝T，
｛#｝bE｛zb1 φb1 zb2 φb2 …zbn φbn…｝T， ［M ］、 ［&］、［$］、［’］分别代表质量、刚度、阻尼以
及力矩阵；脚标rj代表钢轨第j个节点，脚标bn 代
表轨道板第n 个节点； ［M ］r， ［&］r分别由钢轨单元
Abstract：Linearmetrosystemisanewtypeofurbanrailtransitsystem.Concerningoftheinteractionsbothbetweenwheel-railandlinearinductionmotor（LIM）-reactionplate（RP）ofthissystem， thevehicle-trackverticaldynamicmodelisbuiltbasedoncouplingdynamicsanddynamicfiniteelement method.Thevalidityofthesystem modelistestedandthecomputeresultsofthissystemareprovided bycaringoutnumericalcomputation. Keywords：linearmetro；vertical；couplingdynamics
（3）前转向架沉浮运动 Mt¨zt1+（C2z+2C1z）zt1+（K2z+2K1z）zt1-
C2zzc-K2zzc-C1zzw1-K1zzw1-C1zzw2-
K1zzw2-C2zlcφc-K2zlcφcE Mtg+F（h）（4） （4）前转向架点头运动 It¨φt1+2C1zlt2φt1+2K1zlt2φt1-C1zltzw1+
第30卷 第1期 2006年2月
北京交通大学学报 JOURNALOFBEIJINGJIAOTONG UNIVERSITY
文章编号：1673-0291（2006）01-0051-04
Vol.30No.1 Feb.2006
直线电机地铁车辆-轨道垂向耦合动力学模型
冯雅薇，魏庆朝，时 瑾
（北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044）
日本和加拿大两国对直线电机系统的研究都始
于上个世纪80年代.目前国外的文献主要是对系统 的介绍性文章［1，2］和对直线感应电机的研究［3，4］.仅 见加拿大的 Fatemi［5，6］对一种新型的直线电机轨道 结构进行垂向动力学分析.主要研究了新型轨道结
构的动力特性及参数影响，探讨了轮载变化，轨道位
移响应及直线电机荷载在轨枕间分布规律等问题. 由于种种原因，这种轨道结构至今仍没有用于实际
图4 车辆与轨道之间坐标关系 Fig.4 Relationshipbetweentrainandtrack
轨道板单元质量阵的形式与钢轨的基本相同，
只是选取不同的参数.轨道板的单元刚度阵积分前 包括梁单元弯曲应变能和下部支撑弹簧的弹性势能
两部分.轨道板的单元阻尼阵则来源于板下部支撑 阻尼.轨道板所受外力为直线电机对轨道板的电磁 力和轨道板上部受到的弹簧阻尼作用力.其中的电
摘 要：直线电机地铁是一种新型的城市轨道交通系统.本文基于动力有限元和耦合振动理论，考 虑轮轨关系以及直线感应电机和反力板之间的相互作用，建立了直线电机地铁系统车辆-轨道垂向 动力学模型.通过数值计算，验证模型的有效性，并给出计算结果. 关键词：直线电机地铁；垂向；耦合动力学
中图分类号：U239.5
It¨φt2+2C1zlt2φt2+2K1zlt2φt2-C1zltzw3+ C1zltzw4-K1zltzw3+K1zltzw4EM（h）（7）
（7）轮对沉浮运动 Mw¨zw1+C1zzw1+K1zzw1-C1zzt1-K1zzt1-
C1zltφt1-K1zltφt1EMwg+F1（t）（8） Mw¨zw2+C1zzw2+K1zzw2-C1zzt1-K1zzt1+
的建设提供支持，是现阶段较好的研究方法.国内目 前仅见庞 绍 煌［7］对 该 系 统 的 动 力 特 性 有 过 定 性 的
分析，所以进行系统的动力学建模及计算非常必要.
收稿日期：2005-02-25；修订日期：2005-11-02 基金项目：广东省直线电机轨行系统研究课题
作者简介：冯雅薇（1979—），女，天津市人，博士生.eLail：fyw1224@163.com 魏庆朝（1957—），男，河北高邑县人，教授，博士，博士生导师.
文献标识码：A
A VerticalModelforVehicle-TrackCouplingDynaLics onLinearMetroSysteL
FENGYa-wei，WEIQing-chao，SHIJin
（SchoolofCivilEngineeringandArchitecture，BeijingJiaotongUniversity，Beijing100044，China）
1.2 动力学方程
车辆的振动方程如下：
（1）车体沉浮运动 Mc¨zc+2C2zzc+2K2zzc-C2zzt1C2zzt2-K2zzt1-K2zzt2 E Mcg （2）
（2）车体点头运动 Ic¨φc+2C2zl2cφc+2K2zl2cφc-C2zlczt1+
C2zlczt2-K2zlczt1+K2zlczt2E0 （3）
图3 垂向电磁力与气隙关系 Fig.3 Relationshipbetweenverticalelectric
magneticforceandthegap
车轮和钢轨间的相互作用，采用赫兹非线性接
触理论确定，即
F E［Δz（t）／G］3／2
（1）
式中，G 为轮轨接触常数；Δz（t）为轮轨间的弹性压
缩量.
直线电机地铁系统（直线电机系统）采用直线
感应电动机牵引，轮轨支撑导向.车辆平稳运行时， 车上直线电机与轨道上的反力板之间的垂向间隙控
制在10~12mm 左右.当通过交流电时，两部分产 生的磁场相互作用，对车辆起牵引或制动作用.该系 统具有技术先进、安全可靠、经济合理以及绿色环保
的特点.已经在世界上建成9条运营线.我国广州地 铁的4号线以及北京的首都机场线也已决定采用此 系统，现正在积极的建设或筹划中.
52
北京交通大学学报
第30卷
本文作者以采用板式轨道的直线电机系统为 例，建立垂向车辆-轨道耦合动力学模型，并进行计 算机仿真计算及分析.
1 系统模型
1.1 车辆-轨道垂向耦合模型 系统模型如图1.
图1 直线电机系统车辆-轨道耦合动力模型 Fig.1 Vehicle-trackcouplingdynamic modelofliBaidu Nhomakorabeaearmetrosystem
同一数量级上，证明了这一基本程序的正确性. 将直线电机系统仿真程序的气隙计算结果与文
献［5］的计算结果进行比较，两者的气隙变化值都是 在某一平衡位置附近产生周期性的浮动，趋势相近. 当运行速度为79km／h（22m／s），轴重为50kN 时， 文献［5］中 气 隙 的 减 少 量 最 大 值 为 1.04 mm，变 化 范围 约 为 0.1 mm；VTDSS 气 隙 减 小 量 幅 值 为 1.05mm；变化范围为0.05mm（如图6）.可以得出 两者的计算结果具有较好的一致性.
｛’｝k 为轮轨作用力在第k 个钢轨单元节点上产生 的等效荷载列阵；δ 为狄拉克函数；xwiEx0+vt+ li 为t时刻第i 轮对的坐标；li 为各轮对距O’点的
距离；xriE（k-1）lr+xi 为钢轨上与第i 轮对的作 用点在整个钢轨上的坐标；lr 为钢轨单元长度；xi 为第i轮对与钢轨的作用点在钢轨第k 单元中的坐
C1zltzw2-K1zltzw1+K1zltzw2EM（h）（5） （5）后转向架沉浮运动 Mt¨zt2+（C2z+2C1z）zt2+（K2z+2K1z）zt2-
C2zzc-K2zzc-C1zzw3-K1zzw3-C1zzw4-
K1zzw4+C2zlcφc+K2zlcφcEMtg+F（h） （6） （6）后转向架点头运动
图5 程序流程 Fig.5 Programflow
54
北京交通大学学报
第30卷
2 模型验证及计算分析
2.1 模型验证 在本文作者编制的程序上进行改动，去掉直线
电机和反力板之间作用力的影响，变成了可以计算
传统铁路动力响应的仿真程序.选取相应计算参数 分别与文献［9，10］的计算图形进行对比，得出轨道 部分的位移、速度、加速度图形趋势一致，且数值在
运营线路中. 我国建设的直线电机系统并非全套引进，是综
合日本和加拿大两种技术模式，根据国内的设计要
求组合而成.因国内目前还没有建成的运营线和试 验线，无法进行实地的动力性能测试.所以系统的动 力模型和 性 能 参 数 不 能 完 全 照 搬 国 外 建 成 线 的 数
据.计算机动力仿真既可以根据仿真结果对工程选 型起到指导和检验作用，又可为今后国内其他线路
标（如图4）；Nm（m E1~4）为形函数，将作用在钢 轨单元上的荷载等效到节点，由xi 确定.
磁力要等效到相应轨道板单元节点上，与轮轨力等
效到钢轨单元上的方法相同. 1.3 方程求解
车辆和轨道部分的方程可以统一写成 ［M ］｛"#｝+［$］｛%#｝+［&］｛#｝E［’］（14） 这里选用了 Newmark增量逐步积分法和预测 校正法两种积分方法，并进行了计算速度的对比. 预测校 正 法［8］将 显 式 法 与 纽 马 克 隐 式 法 联 合