统计分布

(2—6—30）
关于Φ (t）有表可查，在一般的数理统计书中都可查到。 令
z t

，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量Z服从
标准正态分布
t u ( z) ( )
(2—6—31）
2.4正态分布
正态分布N(μ ，σ 2)的有关可靠性特征量： (1)可靠度函数
1 2 (2)失效率函数 R(t )
只找出最小 值
抽 样 母集 团
威布尔分布表示的是最小值分布（即从若干个 数据组中只选出最小值时的分布）
三、威布尔分布
3.2威布尔分布是用来干什么的？
a.通过威布尔分布分析试验数据，推导出参数m；从面识 别产品处在浴盆曲线模型中的初期故障、随机故障和耗 损故障的全部时间周期。 b.通过威布尔分布分析试验数据，推导出参数η；从而 得知产品的特征寿命、中位寿命、B10寿命、可靠寿命.
t e



u2 2
du 1 (
(t )2 2
tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

)
(2—6—32）
1 t 1 e ( ) f (t ) 2 (t ) 2 t R(t ) 1 1 ( ) 2 du t e 2

(2—6—33）
(3)平均寿命
E( X )
(2—6—34）
(4)寿命方差
D( X ) 2
(2—6—35）
2.4正态分布
正态分布是应用最广泛的一种分布。很多工程问题可用正态分布 来描述，如各种误差、材料特性、磨损寿命、疲劳失效都可看作或近 似看作正态分布。但在许多情况下，随机试验得到的数据常常不能取 负值，如寿命、强度、应力等，因此，用正态分布作为失效分布的理 论是不适宜的，此时，可以改用“截尾正态分布”。
P( X 1.5) 1 P( X 1.5) 1 (
因此，该批钢轴的废品率为0.02275。
1.5 1.49 ) 1 (2) 0.02275 0.005
(2)设规定钢轴直径的合格尺寸为X，则有P(X≤x)=0.95。 即
P( X 1.49 x 1.49 ) 0.95 0.005 0.005
对数正态分布的有关可靠性特征： (1)累积分布函数
F (t )
t 0
(ln x ) 2 ln t exp dx ( ) 2 2 x 2 1
(2—6—44） (2—6—45）
(2)可靠度函数 ln t R (t ) 1 ( ) (3)失效率函数
6 6 1
, 1 1.282 查标准正态颁布表得 (4) 1, (1) 0.8413
2.6对数正态分布
当随机变量X的对数lnX服从参数为σ 和μ 和的正态分布N(μ ,σ 2) 时，那么称随机变量X服从对数正态分布LN（μ ，σ 2) 。它的分布密 度函数为
(ln t ) 2 f (t ) exp 2 2 t 2 1
2.5截尾正态分布
根据截尾正态分布的定义可得各特征量如下： (1)分布密度函数
1 (t ) 2 f (t ) exp 2 2 ( ) 2
t≥0,σ ﹥0
(2—6—38）

(2)累积分布函数
F (t ) 1 t 1 ( ) ( ) 1
2.6对数正态分布
例2.6.7设某个产品的寿命服从μ =5，σ =1的对数正态分布，求t=150h的 可靠度和失效率。 解：由公式（2－6－45）得，t＝150h的可靠度为
R(150 ) 1 ( ln 150 5 ) 1 (0.01) 0.496 1
为了计算λ (150)，必须先计算f(150)。
2.5截尾正态分布
截尾正态分布的分布密度函数为：
(t ) 2 f (t ) exp 2 2 a 2 1
其中a>0为常数，保证
t≥0,σ ﹥0

(2—6—36）


0
f (t )dt 1 ，可以算出 a ( ) 。
截尾正态分布的概率密度曲线见图2.22：
从而 P( z 0.95 ) (0.95 )
其中 0.95
x 1.49 0.005
由正态分布表可查得 0.95 =1.64485，代入上式有
x 1.49 1.64485 0.005 1.498 cm
因此，规定钢轴直径的合格尺寸应为1.498cm。
2.5截尾正态分布
2.4正态分布
如果随机变量X的分布密度函数为
(t ) 2 1 f (t ) exp 2 2 2
-∞<t<+∞
(2—6—27）
则称随机变量X服从参数为μ和σ的正态分布N(μ，σ2)，μ和σ分别称 为位置参数和尺度参数。 正态分布的概率密度曲线见图2.20。 如果μ=0，σ=1 ，此时我们称随机变量 X 服从标准正态分布 N(0 ， 1) 。 其分布密度函数与分布函数分别用φ(t)和Φ(t)表示，即
但在客观实际中，真正完全重复的现象是不多见的，应当根据实际问题的 性质来决定是否可以应用此模型来处理，如“有放回”地抽取是重复试验 ，“无放回”地抽取不是重复试验，但当产品的批量很大而抽取的总次数 相对来说很小时，可近似地看作“有放回”来处理
2.3泊松分布
泊松分布可以认为是当n无限大时二项 分布的推广。 当n很大，p很小时，用泊松分布近似代 替二项分布
…
由n个环构成的链条中的最弱环模型
三、威布尔分布
由于威布尔分布 是根据最弱环节模型 或串联模型得到的， 能充分反映材料缺陷 和应力集中源对材料 疲劳寿命的影响，也 能反映电子元器件组 成的产品在使用过程 中各种应力（包括热 应力、电应力、机械 应力）对元器件的寿 命影响，而且具有递 增的失效率，所以， 将它作为材料、零件 或元器件的寿命分布 模型或给定寿命下的 疲劳强度模型是合适 的。
三、威布尔分布
3.1威布尔分布的物理意义 瑞典工程师威布尔从30年代开始研究轴承寿命，以的又研究结 构强度和疲劳等问题。他采用了“链式”模型来解释结构强度 和寿命问题。这个模型假设一个结构是由若干小元件(设为n个) 串联而成，于是可以形象地将结构看成是由n个环构成的一条 链条，其强度(或寿命)取决于最薄弱环的强度(或寿命)。单个 链的强度(或寿命)为一随机变量，设各环强度(或寿命)相互独 立，分布相同，则求链强度(或寿命)的概率分布就变成求极小 值分布问题，由此给出威布尔分布函数。由于零件或结构的疲 劳强度(或寿命)也应取决于其最弱环的强度(或寿命)，也应能 用威布尔分布描述。
二、可信性工程常用分布
2.1在可靠性工程中，常用的分布有：
二项分布 泊松分布(Poisson) 指数分布 正态分布 对数正态分布 威布尔分布(Weibull) 等
2.2二项分布
二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性和质量控制领域。在可靠 性试验和可靠性设计中，常用于相同单元平行工作的冗余系统的可靠性指 标的计算；另外二项分布在可靠性抽样检查中也很有用，在一定意义下， 确定n个抽样样本中所允许的不合格品数，就需要用二项分布采计算。
t>0
(2—6—43）
其中μ 和σ 是两个参数，且−∞<μ <+∞,σ >0。
大家知道，对数变换可以使较大的数缩小为较小的数，且愈大的数 缩小得愈厉害，这一特性使较为分散的数据，通过对数变换，可以相 对地集中起来，所以常把跨几个数量级的数据用对数正态分布去拟合。
对数正态分布的密度曲线见图2．23。
2.6对数正态分布

t
(2—6—41）

)
1 exp ( ) 2 2 2 ( )
(2—6—42）

(4)可靠寿命
t (r ) 1 1 ( )r
(2—6—43）
2.5截尾正态分布
例2.6.6 有一批钢轴，规定钢轴的直径不超过1.5cm就是合格品尺寸X服从 N(1.49，0.005 2) (1)试判断该批钢轴的废品率是多少? (2)如果要保证有95％的合格率，那么，应该规定钢轴直径的合格尺寸 是多少? 解:(1)已知μ =1.49，σ =0.005
可信性统计分布
郑平 2010-6-29
目录 一、产品寿命与统计分布 二、可信性工程常用分布 三、威布尔分布 四、例题 五、附表
一、产品寿命与统计分布
寿命是产品可靠性的一个很重要的指标，我们知道，产品的寿命是一个随 机变量，这些事先并不知道，但它有一定的取值范围，服从一定的统计分 布。如能知道它的分布规律，可靠性数据的处理就很容易，所以知道产品 的寿命分布很重要。分布的类型很多，要确定产品的寿命服从何种分布是 很困难的，一般有两种方法：
例2.6.7 已知某型号继电器的寿命服从正态分布N(4×106，1012)，求该 型号继电器工作至5×106次时的可靠度R(5×106)、失效率又(5×106) 及可靠水平r=0.9时的可靠寿命t(0.9)。 解：根据式(2-6-39)得
1 5 106 4 106 1 1 (1) 1 0.8413 0.1587 R(5 10 ) 1 ( ) 6 6 4 10 10 4 ( ) 106
1.一种是根据其物理背景来定，即产品的寿命分布与产品的类型(如电子类、 机械类)关系大，而与其所承受的应力情况、产品的内在结构及其物理、化学、 机械性能有关，与产品发生失效时的物理过程有关。通过失效分析，证实该产 品的故障模式或失效机理与某种类型分布的物理背景相接近时，可由此确定它 的失效分布。 2.另一种方法是通过可靠性寿命试验及使用情况，获得产品的失效数据，用 统计推断的方法来判断它是属于何种分布。
(2—6—39）

(3)可靠读函数
R (t ) t 1 ( ) ( ) 1
(2—6—40）

2.5截尾正态分布
根据截尾正态分布的定义可得各特征量如下： (4)失效率函数
(t )
(4)平均寿命
E( X )
(
t

) 1
1 (
6
根据式(2-6-40)得
根据式(2-6-42)得
5 106 4 106 ( ) 106 6 10 (5 106 ) 1.52106 /次 6 6 5 10 4 10 1 ( ) 106
4 106 6 t (0.9) 4 10 10 1 ( ) 0 . 9 2.718 10（次） 6 10
ln150 5 1 f (150) ( ) e 1 1 150 2 (ln150 5) 2 2
0.00266
于是得
(150)
f (150) 0.00266 0.0054/ h R(150) 0.496
因此，t=150h的可靠度和失效率分别为0.496和0.0054/h。
1 (t ) e 2
(t ) 1 e 2

t2 2
-∞<t<+∞
(2—6—28）
u2 2
du
(2—6—29）
8
2.4正态分布
标准正态分布的概率密度曲线见图 2.2.l，它是以纵轴为对称轴的钟形曲 线。
2.4正态分布
对于标准正态分布，有一个重要的分布值计算公式：
Φ (t)=1−Φ (-t)
(t ) (
ln t

)(t ) 1
1 (
ln t
(2—6—46）
(4)平均寿命

2
2
)
E( X ) e
(5)寿命方差
2

(2—6—47）
2
2 )
D( X ) e
2(
(e 1)
2
(2—6—48）
2.6对数正态分布
在可靠性领域中，对数正态分布近年来受到 重视，一般用于由裂痕扩展而引起的失效分布。 如疲劳腐蚀失效，此外，也用于恒定应力加速寿 命试验后样品失效时间进行的统计分析。由概率 论可知，当随机变量受许多微小偶然因素乘积的 影响时，该随机变量的对数服从正态分布，即该 随机变量服从对数正态分布