高中数学运用曲线系解曲线方程问题专题辅导

高中数学运用曲线系解曲线方程问题
在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。

引入：高中《数学》第二册（上）P 88第4题是：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），求证：方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。

由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。

利用此结论可得出相关曲线系方程。

一. 直线系
概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。

它的方程称直线系方程。

几种常见的直线系方程：
（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）
（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）
（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）
（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）
（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程： A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）
【例1】已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线L 的方程。

解：设直线L 的方程为
2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0。

∴（λ＋2）x ＋(λ－3)＋2λ－3＝0。

∵L 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴
1
321332--λ≠-λ=+λ。

解得：λ＝2
11。

所以直线L 的方程为：15x ＋5y ＋16＝0
【例2】求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。

分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得
m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①
即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

二. 圆系
概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：
（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。

和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：
x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）
若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，
则表示过两圆的交点的直线。

其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。

（3）过直线与圆交点的圆系方程：
设直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则过直线L 与圆C 交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ（Ax ＋By ＋C ）＝0。

【例3】高中《数学》第二册（上）P 82第8题是：求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程。

解：根据（2）设所求圆的方程为：x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0。

即（1＋λ）x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －(4＋28λ)＝0。

其中圆心为（λ
+λ-λ+-13，13）， 又该圆心在直线x －y －4＝0上 即041313=-λ
+λ+λ+-，得λ＝－7。

∴所求圆方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0。

【例4】高中《数学》第二册（上）P 72第9题是：
求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0 ①和3x 2＋3y 2＋2x ＋y ＝0 ②交点的直线方程。

分析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再用两点式写出直线方程。

若用（2）中方法则非常简单。

解：先化②为圆的一般式方程：
0y 3
1x 32y x 22=+++ ③ 由①－③得：0y )3
11(x )323(=--+- 即7x －4y ＝0。

此为所求直线方程。

【例5】求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆01y 4x 2y x 22=+-++的交点，且过原点的圆方程。

解：根据（3），设所求圆的方程为：
0)4y x 2(1y 4x 2y x 22=++λ++-++。

即0)41(y )4(x )1(2y x 22=λ++-λ+λ+++，因为过原点，所以1＋4λ＝0，得λ＝4
1-。

故所求圆的方程为：0y 4
17x 23y x 22=-++。

三. 椭圆系
（1）与椭圆1b y a x 2222=+（半焦距为c ）共焦点的椭圆系方程：1c
y x 222
=-λ+λ（λ＞
c 2）
（2）与椭圆1b y a x 2222=+具有相同离心率的椭圆系方程为λ=+22
22b
y a x （λ＞0）。

【例6】求经过点（2，－3），且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆方程。

解：因已知椭圆焦点在y 轴上，且c 2＝5， 则可设所求椭圆方程为：15
y x 22
=+λ+λ 又经过点（2，－3），代入方程得：15
94=+λ+λ，解得：λ＝10或λ＝－2（舍去）
【例7】求与椭圆13
y 4x 2
2=+有相同离心率且经过点（2，－3）的椭圆的标准方程。

解：由题意，设所求椭圆方程为
)0t ＞(t 3
y 4x 2
2=+。

∵椭圆过点（2，－3），故23
)3(42t 2
2=-+=。

故所求的椭圆方程是16
y 8x 2
2=+。

三. 双曲线系
（1）与双曲线1b
y a x 2222=-共焦点的双曲线系方程：λ-+λ222
c y x ＝1（0＜λ＜c 2＝ （2）与双曲线1b y a x 2222=-共渐近线的双曲线系方程为λ=-22
22b
y a x （λ≠0） （3）等轴双曲线系方程为：x 2－y 2＝λ（λ≠0）
【例8】求与双曲线19
y 16x 2
2=-共渐近线且过点A （3,32-）的双曲线方程。

分析：一般解法是分类讨论，还需解方程组。

利用（2）可简化运算。

解：设所求双曲线方程为：
λ=-9
y 16x 2
2（λ≠0） 因为过点A （3,32-）， 所以4
1,991612-=λλ=-。

所求双曲线方程为：4
19y 16x 22-=- 即14
x 9y 2
2=-。

后记：应用曲线系方程不当时也会失效。

【例9】求以圆x 2＋y 2＝5与抛物线y 2＝4x 的公共弦为直径的圆的方程。

分析：常规解法是：
由⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+2y 1x ，2y 1x ，x
4y 5y x 2211222解得 得圆方程：（x －1）2＋y 2＝4
若用曲线系方程思想，则可构造方程为
（x 2＋y 2－5）＋λ（y 2－4x ）＝0（*）
即x 2＋(1＋λ)y 2－4λx －5＝0。

则λ＝0时为圆方程，显然为已知圆，不是所求圆。

错误原因分析：由已知两曲线方程得到方程（*），方程（*）是过已知两曲线交点的曲线，但方程（*）不能包含过已知两曲线交点的所有曲线，比如：两直线x ＋y ＝0，x －y ＝0的交点是（0，0），而y 2＝4x ，（x －1）2＋y 2＝1等曲线也都过（0，0），但这些曲线不能从直线系中得到。

所以，应用时要具体问题具体分析。