高中数学运用曲线系解曲线方程问题专题辅导

高中数学运用曲线系解曲线方程问题

在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。

引入：高中《数学》第二册（上）P 88第4题是：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），求证：方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。利用此结论可得出相关曲线系方程。

一. 直线系

概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程：

（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）

（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）

（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）

（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）

（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程： A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）

【例1】已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线L 的方程。

解：设直线L 的方程为

2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0。

∴（λ＋2）x ＋(λ－3)＋2λ－3＝0。

∵L 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴

1

321332--λ≠-λ=+λ。 解得：λ＝2

11。 所以直线L 的方程为：15x ＋5y ＋16＝0

【例2】求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。

分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得

m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①

即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）

注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

二. 圆系

概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：

（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。

和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：

x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）

若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，

则表示过两圆的交点的直线。

其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线。

（3）过直线与圆交点的圆系方程：

设直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则过直线L 与圆C 交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ（Ax ＋By ＋C ）＝0。

【例3】高中《数学》第二册（上）P 82第8题是：求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程。

解：根据（2）设所求圆的方程为：x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0。

即（1＋λ）x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －(4＋28λ)＝0。 其中圆心为（λ

+λ-λ+-13，13）， 又该圆心在直线x －y －4＝0上 即041313=-λ

+λ+λ+-，得λ＝－7。 ∴所求圆方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0。

【例4】高中《数学》第二册（上）P 72第9题是：

求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0 ①和3x 2＋3y 2＋2x ＋y ＝0 ②交点的直线方程。 分析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再用两点式写出直线方程。若用（2）中方法则非常简单。

解：先化②为圆的一般式方程：

0y 3

1x 32y x 22=+++ ③ 由①－③得：0y )3

11(x )323(=--+- 即7x －4y ＝0。此为所求直线方程。

【例5】求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆01y 4x 2y x 22=+-++的交点，且过原点的圆方程。

解：根据（3），设所求圆的方程为：

0)4y x 2(1y 4x 2y x 22=++λ++-++。

即0)41(y )4(x )1(2y x 22=λ++-λ+λ+++，因为过原点，所以1＋4λ＝0，得λ＝4

1-。 故所求圆的方程为：0y 4

17x 23y x 22=-++。

三. 椭圆系

（1）与椭圆1b y a x 2222=+（半焦距为c ）共焦点的椭圆系方程：1c

y x 222

=-λ+λ（λ＞