电场强度的几种求解方法2018.11.9

电场强度的几种求解方法电场强度是静电学中极其重要的概念，也是高考考点分布的重点区域之一．求电场强度常见的有1、基本公式法：定义式法、点电荷电场强度公式法、匀强电场公式法、2、矢量叠加法：电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是：(1)确定分析计算场强的空间位置；(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；(3)依次利用平行四边形定则求出矢量和．例题1、电荷连线上方的一点。

下列哪种情况能使P 点场强方向指向MN 的左侧？（ ）A.Q1、Q2都是正电荷，且Q1<Q2B.Q1是正电荷，Q2是负电荷，且Q1>|Q2|C.Q1是负电荷，Q2是正电荷，且|Q1|<Q2D.Q1、Q2都是负电荷，且|Q1|>|Q2|3、对称法：对称法实际上就是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法，利用此法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，有出奇制胜之效。

利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．例如：如图9，均匀带电的34球壳在O 点产生的场强，等效为弧BC 产生的场强，弧BC 产生的场强方向，又等效为弧的中点M 在O 点产生的场强方向．例题2、 如图所示，带电量为＋q 的点电荷与均匀带电薄板相距为2d ，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。

若图中a 点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为_________，方向_________。

（静电力恒量为k ）【解析】图中a 点处的电场强度为零，说明带电薄板在a 点产生的场强E a1与点电荷＋q 在a 点产生的场强E a2大小相等而方向相反（如图所示），即，由于水平向左，则水平向右。

根据对称性，带电薄板在b 点产生的强度与其在a 点产生的场强大小相等而方向相反。

所以，其方向水平向左。

4、填补法：求解物理问题，要根据问题给出的条件建立起物理模型。

但有时由题给条件建立模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型。

这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题。

：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．例题3、如图所示，用长为L 的金属丝弯成半径为r 的圆弧，但在A 、B 之间留有宽度为d 的间隙，且d远远小于r ，将电量为Q 的正电荷均为分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。

【解析】中学物理只讲到有关点电荷强的计算公式和匀强电场场强的计算方法以，本题是求一个规则带电体所产生的电场，没有现成公式直接可用，需变换思维角度。

假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相应点的点电荷，它们在圆心O 处产生的电场叠加后合场强为零。

根据对称性可知，带电小段，由题给条件可视为点电荷，它在圆心O 处的场强E 1，是可求的。

若题中待求场强为E 2，则E 1+ E 2＝0。

设原缺口环所带电荷的线密度为ρ,Q ρπ＝/(2r-d)，则补上的那一小段金属丝带电量Q ＇＝d ρ，在0处的场强E 1＝K Q ＇/r 2,由E 1+ E 2＝0可得：E 2＝- E 1，负号表示E 2与E 1反向，背向圆心向左。

点评：从此题解法可以看出，由于添扑圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，再“由整体分为局部”，这种先合后分的思想方法能使解题者迅速获得解题思路。

5、微元法：微元法就是将研究对象分割成若干微小的的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量转化为常量、容易确定的量。

将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．例题4、如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q ，半径为R ，圆心为O ，P 为垂直于圆环平面的称轴上的一点，OP ＝L ，试求P 点的场强。

【解析】设想将圆环看成由ｎ个小段组成，当ｎ相当大时，每一小段都可以看作点电荷，其所带电荷量Ｑ′＝Ｑ／ｎ，由点电荷场强公式可求得每一小段带电体在Ｐ处产生的场强为222==(+)kQ kQ E nr n R L由对称性知，各小段带电环在Ｐ处的场强Ｅ，垂直于轴的分量Ｅｙ相互抵消，而其轴向分量Ｅｘ之和即为带电环在Ｐ处的场强ＥＰ22==cos (+)P x Q E nE nk n R L 3222=n (+)QLk R L点评：严格的说，微分法是利用微积分的思想处理物理问题的一种思想方法，对考生来说有一定的难度，但是在高考题中也时而出现，所以，在复习过程中要进行该方法的思维训练，以适应高考的要求。

6、极值法：物理学中的极值问题可分为物理型和数学型两类。

物理型主要依据物理概念、定理求解。

数学型则是在根据物理规律列方程后，依靠数学中求极值的知识求解。

例题5、如图所示，两带电量均为+Q 的点电荷相距2L ，MN 是两电荷连线的中垂线，分析MN 上场强的变化。

7、等效替代法“等效替代”方法，是指在效果相同的前提下，从A 事实出发，用另外的B 事实来代替，必要时再由B 而C ……直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应联系，得以用有关规律解之。

如以模型代实物，以合力（合运动）替代数个分力（分运动）；等效电阻、等效电源等。

等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．例如：一个点电荷＋q 与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图8甲、乙所示．图8例题6、如图所示，一带正Q 电量的点电荷A ，与一块接地的长金属板MN 组成一系统，点电荷A 与板MN 间的垂直距离为为d ，试求A 与板MN 的连线中点C 处的电场强度．【解析】求金属板和点电荷产生的合场强，显然用现在的公式直接求解比较困难。

能否用中学所学的知识灵活地迁移而解决呢？当然可以。

由于金属板接地，电势为0，而一对等量异号的电荷在其连线的中垂线上电势也为0，因而可以联想成图中所示的两个等量异号电荷组成的静电场等效替代原电场。

根据电场叠加原理，容易求得C 点的场强。

c A B222E =E +E =kQ/(d/2)(3/2)40/9kQ d kQ d +=点评：等效法的实质在效果相同的情况下，利用物理问题中某些相似或相同效果进行知识迁移的一种解决问题方法，等效法解题往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。

8、平衡法：利用处于静电平衡中的导体求解电场强度例题7、 如图所示，金属球壳A 的半径为R ，球外点电荷的电量为Q ，到球心的距离为r ，则金属球壳感应电荷产生的电场在球心处的场强等于（ ）A.B. C. 0D.【解析】：金属球壳A 放在电荷周围，将发生静电感应现象，当导体处于静电平衡时，其内部场强处处为零，所以，对金属球壳内任意一点感应电荷在此处产生的场强与点电荷Q 在此处的场强大小相等，方向相反。

而点电荷Q 在球心的场强为，则感应电荷在球心处的场强为。

则正确答案为D 。

练习1：如图所示，在水平面上相距为2d 的A 和B 两点上固定着等量异种的两个点电荷，电荷量分别为＋Q 和－Q .在AB 连线的中垂线上取一点P ，垂足为O ，∠PAO ＝ α，则P 点的场强的大小和方向( )A.2kQ d 2cos 2α，方向向右B.2kQ d 2cos 2α，方向向上C.2kQ d 2cos 3α，方向向右D.2kQ d 2cos 3α，方向向上 练习2：如图所示，AC 、BD 为圆的两条互相垂直的直径，圆心为O ，将带有等量电荷q 的正、负点电荷放在圆周上，它们的位置关于AC 对称．要使圆心O 处的电场强度为零，可在圆周上再放置一个适当电荷量的正点电荷＋Q ，则该点电荷＋Q 应放在()A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点练习3：如果把三个电量相等的同种点电荷固定在等边三角形ABC 的三个顶点上，在这 三个点电荷形成的电场中，电场强度为零的点应在该三角形的 ( C )A ．三个顶点上，B ．任一条边的中点上，C ．几何中心，D ．任一条边的延长线上。

练习4：ab 是长为l 的均匀带电细杆，P 1、P 2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示．ab 上电荷产生的静电场在P 1处的场强大小为E 1，在P 2处的场强大小为E 2，则以下说法正确的是( )A ．两处的电场方向相同，E 1>E 2B ．两处的电场方向相反，E 1>E 2C ．两处的电场方向相同，E 1<E 2D ．两处的电场方向相反，E 1<E 2【解析】可从电场叠加角度分析，把均匀带电细杆等效为沿杆放置的无数点电荷．则设c 为a 关于P 1对称的点，则ac 间的电荷在P 1点产生的电场场强为零，ab 杆上电荷在P 1处产生的场强可等效为cb 段电荷在P 1处产生的场强．而P 2处场强是ab 上所有电荷产生电场的叠加，所以两点场强方向必定相反，由对称性可知，cb 段电荷在P 1点和P 2点产生的场强大小相等，而P 2点场强大小等于ac ，cb 两段电荷在P 2点产生场强大小之和．故E 1<E 2.练习5：如图所示，在水平向右、大小为E 的匀强电场中，在O 点固定一电荷量为Q 的正电荷，A 、B 、C 、D 为以O 为圆心、半径为r 的同一圆周上的四点，B 、D 连线与电场线平行，A 、C 连线与电场线垂直．则( A )A ．A 点的场强大小为E 2＋k 2Q 2r4 B ．B 点的场强大小为E －k Q r2 C ．D 点的场强大小不可能为0D ．A 、C 两点的场强相同练习6：如图所示，两个带等量负电荷的小球A 、B (可视为点电荷)，被固定在光滑的绝缘水平面上，P 、N 是小球A 、B 连线的水平中垂线上的两点，且PO ＝ON .现将一个电荷量很小的带正电的小球C (可视为质点)由P 点静止释放，在小球C 向N 点运动的过程中，下列关于小球C 的说法可能正确的是( AD )A ．速度先增大，再减小B ．速度一直增大C ．加速度先增大再减小，过O 点后，加速度先减小再增大D ．加速度先减小，再增大解析 在AB 的中垂线上，从无穷远处到O 点，电场强度先变大后变小，到O 点变为零，故正电荷所受库仑力沿连线的中垂线运动时，电荷的加速度先变大后变小，速度不断增大，在O 点加速度变为零，速度达到最大；由O 点到无穷远处时，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性．如果P 、N 相距很近，加速度则先减小，再增大．练习7：(2013·江苏单科·3)下列选项中的各14圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各14圆环间彼此绝缘．坐标原点O 处电场强度最大的是( B )解析 由对称原理可知，A 、C 图中在O 点的场强大小相等，D 图中在O 点场强为0，因此B 图中两14圆环在O 点合场强应最大，选项B 正确．练习8：如图所示，一个绝缘圆环，当它的14均匀带电且电荷量为＋q 时，圆心O 处的电场强度大小为E ，现使半圆ABC 均匀带电＋2q ，而另一半圆ADC 均匀带电－2q ，则圆心O 处的电场强度的大小和方向为( A)A ．22E ，方向由O 指向DB ．4E ，方向由O 指向DC ．22E ，方向由O 指向BD ．0练习9：(2013·新课标Ⅱ·18)如图，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a 、b 和c 分别位于边长为l 的正三角形的三个顶点上；a 、b 带正电，电荷量均为q ，c 带负电．整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为k .若三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为( B )A.3kq 3l 2B.3kq l 2C.3kq l 2D.23kq l 2 解析 因为小球a 、b 对小球c 的静电力的合力方向垂直于a 、b 连线向上，又因c 带负电，所以匀强电场的场强方向为垂直于a 、b 连线向上．分析小球a 受力情况：b 对a 的排斥力F 1、c 对a 的吸引力F 2和匀强电场对a 的电场力F 3＝qE .根据a 受力平衡可知，a 受力情况如图所示利用正交分解法：F 2cos60°＝F 1＝k q 2l2 F 2sin60°＝qE . 解得E ＝3kq l2. 练习10：已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同．如图所示，半径为R 的球体上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在过球心O 的直线上有A 、B 两个点，O 和B 、B 和A 间的距离均为R .现以OB 为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k ，球的体积公式为V ＝43πr 3，则A 点处场强的大小为( B ) A.5kQ 36R 2 B.7kQ 36R 2 C.7kQ 32R 2 D.3kQ 16R 2解析 由题意知，半径为R 的均匀带电球体在A 点产生的场强E 整＝kQ (2R )2＝kQ 4R 2.挖出的小球半径为R 2，因为电荷均匀分布，其带电荷量Q ′＝43π(R 2)343πR 3Q ＝Q 8.则其在A 点产生的场强E 挖＝kQ ′(12R ＋R )2＝k ·Q 894R 2＝kQ 18R 2.所以剩余空腔部分电荷在A 点产生的场强E ＝E 整－E 挖＝kQ 4R 2－kQ 18R 2＝7kQ 36R 2，故B 正确． 练习11：(2015·山东理综·18)直角坐标系xOy 中，M 、N 两点位于x 轴上，G 、H 两点坐标如图10.M 、N 两点各固定一负点电荷，一电荷量为Q 的正点电荷置于O 点时，G 点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k 表示．若将该正点电荷移到G 点，则H 点处场强的大小和方向分别为( B )A.3kQ 4a 2，沿y 轴正向B.3kQ 4a 2，沿y 轴负向C.5kQ 4a 2，沿y 轴正向D.5kQ 4a 2，沿y 轴负向 解析 因正电荷Q 在O 点时，G 点的场强为零，则可知两负电荷在G 点形成的电场的合场强与正电荷Q 在G 点产生的场强等大反向大小为E 合＝k Q a 2；若将正电荷移到G 点，则正电荷在H 点的场强为E 1＝k Q (2a )2＝kQ 4a 2，因两负电荷在G 点的场强与在H 点的场强等大反向，则H 点的合场强为E ＝E 合－E 1＝3kQ 4a 2，方向沿y 轴负向，故选B. 练习12：(2013·安徽·20)如图6所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满z ＜0的空间，z ＞0的空间为真空．将电荷量为q 的点电荷置于z 轴上z ＝h 处，则在xOy 平面上会产生感应电荷．空间任意一点处的电场皆是由点电荷q 和导体表面上的感应电荷共同激发的．已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在z 轴上z ＝h 2处的场强大小为(k 为静电力常量)( D ) A ．k 4q h 2 B ．k 4q 9h 2 C ．k 32q 9h 2 D ．k 40q 9h 2 解析 该电场可等效为分别在z 轴h 处与－h 处的等量异种电荷产生的电场，如图所示，则在z ＝h 2处的场强大小E ＝k q (h 2)2＋k q (3h 2)2＝k 40q 9h 2，故D 正确． 练习12：(2013·海南·1)如图，电荷量为q 1和q 2的两个点电荷分别位于P 点和Q 点，已知在P 、Q 连线上某点R 处的电场强度为零，且PR ＝2RQ .则( B )A ．q 1＝2q 2B ．q 1＝4q 2C ．q 1＝－2q 2D ．q 1＝－4q 2解析 由于R 处的合场强为0，故两点电荷的电性相同，结合点电荷的场强公式E ＝k q r 2可知，k q 1r 21－k q 2r 22＝0，又r 1＝2r 2，故q 1＝4q 2，本题选B.练习13：如图所示，光滑绝缘细杆与水平面成θ角并固定，杆上套有一带正电小球，质量为m 、电荷量为q, 为使小球静止在杆上，可加一匀强电场，所加电场的场强满足什么条件时，小球可在杆上保持静止( B)A ．垂直于杆斜向上，场强大小为mg cos θqB ．竖直向上，场强大小为mg qC ．垂直于杆斜向上，场强大小为mg sin θqD ．水平向右，场强大小为mg cot θq解析若所加电场的场强垂直于杆斜向上，对小球受力分析可知，其受到竖直向下的重力、垂直于杆斜向上的电场力和垂直于杆方向的支持力，在这三个力的作用下，小球沿杆方向上不可能平衡，选项A 、C 错误；若所加电场的场强竖直向上，对小球受力分析可知，当E ＝mg q时，电场力与重力等大反向，小球可在杆上保持静止，选项B 正确；若所加电场的场强水平向右，对小球受力分析可知，其共受到三个力的作用，假设小球此时能够静止，则根据平衡条件可得Eq ＝mg tan θ，所以E ＝mg tan θq，选项D 错误．本题答案为B. 练习14：如图所示,在正方形四个顶点分别放置一个点电荷,所带电荷量已在图中标出,则下列四个选项中,正方形中心处场强最大的是( B )A. B. C. D. 解:A 、根据点电荷电场强度公式,结合矢量合成法则,两个负电荷在正方形中心处场强为零,两个正点电荷在中心处电场强度为零,故A 错误;B 、同理,正方形对角线异种电荷的电场强度,即为各自点电荷在中心处相加,因此此处的电场强度大小为,所以B 选项是正确的;C 、同理,正方形对角线的两负电荷的电场强度在中心处相互抵消,而正点电荷在中心处,叠加后电场强度大小为,故C 错误;D 、根据点电荷电场强度公式,结合叠加原理,则有在中心处的电场强度大小,故D 错误.所以B 选项是正确的. 解析:在边长为a 的正方形四个顶点A 、B 、C 、D 上依次放置电荷量为题中各选项的点电荷,根据电场强度的方向与大小进行叠加,从而即可求解.练习15：如图所示，真空中O 点有一点电荷，在它产生的电场中有a 、b 两点，a 点的场强大小为E a ，方向与ab 连线成60°角，b 点的场强大小为E b ，方向与ab 连线成30°角．关于a 、b 两点场强大小E a 、E b 的关系，以下结论正确的是( D )A ．E a ＝E b 3B ．E a ＝3E bC ．E a ＝33E bD ．E a ＝3E b 解析 由题图可知，r b ＝3r a ，再由E ＝kQ r 2可知，E a E b ＝r 2b r 2a ＝31，故D 正确． 练习16：(2013·新课标Ⅰ·15)如图，一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、b 、d 三个点，a 和b 、b 和c 、c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q (q >0)的固定点电荷．已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)( B )A ．k 3q R 2B ．k 10q 9R 2C ．k Q ＋q R 2D ．k 9Q ＋q 9R 2解析 电荷q 产生的电场在b 处的场强E b ＝kq R2，方向水平向右，由于b 点的合场强为零，故圆盘上的电荷产生的电场在b 处的场强E b ′＝E b ，方向水平向左，故Q ＞0.由于b 、d 关于圆盘对称，故Q 产生的电场在d 处的场强E d ′＝E b ′＝kq R 2，方向水平向右，电荷q 产生的电场在d 处的场强E d ＝kq (3R )2＝kq 9R2，方向水平向右，所以d 处的合场强的大小E ＝E d ′＋E d ＝k 10q 9R2.练习17：如图所示，图甲中MN 为足够大的不带电接地薄金属板，在金属板的右侧，距离为d 的位置上放入一个电荷量为＋q 的点电荷O ，由于静电感应产生了如图甲所示的电场分布．P 是金属板上的一点，P 点与点电荷O 之间的距离为r ，几位同学想求出P 点的电场强度大小，但发现问题很难，几位同学经过仔细研究，从图乙所示的电场得到了一些启示，经过查阅资料他们知道：图甲所示的电场分布与图乙中虚线右侧的电场分布是一样的．图乙中两异种点电荷所带电荷量的大小均为q ，它们之间的距离为2d ，虚线是两点电荷连线的中垂线．由此他们分别对P 点的电场强度方向和大小作出以下判断，其中正确的是(C)A ．方向沿P 点和点电荷O 的连线向左，大小为2kqd r3 B ．方向沿P 点和点电荷O 的连线向左，大小为2kq r 2－d 2r 3 C ．方向垂直于金属板向左，大小为2kqd r3 D ．方向垂直于金属板向左，大小为2kq r 2－d 2r 3解析 通过类比分析可知，P 点的场强等于点电荷＋q 在P 点的场强垂直于金属板的分量的2倍，方向垂直金属板向左，大小为E P ＝2k q r 2·d r ＝2kqd r3，故C 正确． 练习18：(2018湖北武汉二月)如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、R 、G 、H 是边长为a 的正立方体的八个顶点。