计算迎面相遇和追及相遇次数的问题
多次相遇与全程的关系
多次相遇与行程的关系二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：相遇分二种情况：一：迎面相遇；二追及相遇。
情况一：迎面相遇情况第1次迎面相遇，共走1个全程；第2次迎面相遇，共走3个全程；第3次迎面相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次迎面相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N米。
迎面相遇的速度是两者的速度和来计算。
即第N次相遇时，两人（车等）共行了2N-1个全程，速度是速度和情况二：追及相遇计算：第1次追及相遇，多走1个全程；第2次追及相遇，多走3个全程；第3次追及相遇，多走5个全程；…………，………………；第N次追及相遇，多走2N-1个全程追及相遇是追及问题，速度是两都的速度差来计算。
两地相向出发情况下，如追及相遇四次时，那快的比慢的多行2*4-1=7个全程。
快的比慢的多行2N-1个全程（N为追及次数），追及的速度是两者的速度差。
总相遇（通称相遇）=迎面相遇+追及相遇例：甲乙两名动动员在长为25米的游泳池里来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转身时间，那么这段时间内甲、乙共相遇（包括追及）多少次？分两种情况计算：一、迎面相遇：2N-1=（5*60）*(1+0.6)/25（距离=时间*速度）距离/单位长度=几全程数再取整即【距离/单位长度】2N-1=480/25=19……5,取整数部分为19，即2N-1=19 N=10（次）即迎面相遇了10次；二、追及相遇：2N-1=（5*60）*(1-0.6)/25=120/25=4……20 取整为4，即2N-1=4 N=2.5取整为二次（半次或有小数部分说明追及了比整数部分多的部分，但没到下一次，半路上）总次数=迎面相遇+追及相遇=10+2=12(次)2. 同地同向出发：情况一：迎面相遇第1次迎面相遇，共走2个全程；第2次迎面相遇，共走4个全程；第3次迎面相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次迎面相遇，共走2N个全程；迎面相遇问题的速度是两者的速度和；情况二、追及相遇第1次追及相遇，多走2个全程；第2次追及相遇，多走4个全程；第3次追及相遇，多走6个全程；…………，………………；第N次追及相遇，多走2N个全程追及问题的追及速度是两者的速度差。
高中物理多次相遇问题与追及问题
相遇与追及问题一、学习目标1. 理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题.2. 体会数形结合的数学思想方法.二、主要内容1. 行程问题的基本数量关系式：路程=时间×速度；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度.2．相遇问题的数量关系式：相遇路程=相遇时间×速度和；速度和=相遇路程÷相遇时间；相遇时间=相遇路程÷速度和.3.追及问题的数量关系式：追及距离=追及时间×速度差；速度差=追及距离÷追及时间；追及时间=追及距离÷速度差.4. 能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题.三、例题选讲例1 两辆汽车同时分别从相距500千米的A，B两地出发，相向而行，速度分别为每小例2 甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车.例3 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？例6一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇.然后，两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇.求A、B两地相距多少千米？例7 甲、乙、丙三人进行100米赛跑.当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有40米.如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多远？例8小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑单车去追，每分行375米.问爸爸出发多少分后能追上小明？例9 解放军某部快艇追击敌舰，追到A岛时，敌舰已逃离该岛15分钟，已测出敌舰每分钟行驶1000米，解放军快艇每分钟行驶1360米，在距离敌舰600米处可开炮射击.问解放军快艇从A岛出发经过多少分钟就可以开炮射击敌舰？例10 甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而行，乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需要多少分钟？例11 两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时从两地同向出发，经过45分甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？例12 甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米，如果她们同时分别从直路两端点出发，跑了6分，那么，这段时间内，两人共迎面相遇了多少次？巩固练习:1、甲、乙两站相距980千米，两列火车由两站相对开出，快车每小时行50千米，慢2、甲车每小时行60千米，1小时后，乙车紧紧追赶，速度为每小时80千米，几小时后乙车可追上甲车？3、早晨6时，有一列货车和一列客车同时从相距360千米的甲、乙两城相对开出，中途相遇，这期间，货车停车一次60分钟，客车停车两次各30分钟，已知货车每小时行42千米，客车每小时行78千米，问两车在几点钟相遇？4、东、西两镇相距240千米，一辆客车从上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12点，两车恰好在两镇间的中点相遇，如果两车都从上午8时由两地相向开出，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？5、骑单车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行进，下午1点到，以每小时15千米的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进呢？6、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行了12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地.如果他从甲地先骑自行车行了21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地.问：全程骑摩托车需要多少小时才能到达乙地？7、兄妹两人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路返回去取，行至离校门口180米处与妹妹相遇，他们家离学校多少米？8、兄妹两人在周长300米的圆形水池边玩.从同一地点同时背向饶水池而行.哥哥每分钟走13米，妹妹每分钟走12米.他们第5次相遇时，哥哥共走了多长的路？课后作业:1.甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙多少小时可追上甲？2.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米？3.父亲和儿子都在某厂工作,他们从家里出发步行到工厂,父亲用40分钟,儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家,问儿子用多少分钟可赶上父亲?4.解放军某部小分队,以每小时6千米的速度到某地执行任务,途中休息30分后继续前们?5.甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒钟可追上乙.若乙比甲先跑2秒钟,则甲跑4秒钟能追上乙。
(完整版)多次相遇和追及问题
1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】 （难度等级 ※）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【巩固】 （难度等级 ※）甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【解析】 17一共六百秒，第一次相遇是两人总共跑一个90米，以后是180米相遇次。
相对速度每秒五米。
第一次相遇是18秒。
180米相遇需要36秒。
此后是582秒总共有16次。
所以相遇17次。
知识精讲教学目标3-1-3多次相遇和追及问题【解析】【巩固】（难度等级※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?【解析】176甲乙每分钟速度和:400×5÷8=250米每分钟,甲比乙多:0.1×60=6米甲每分钟:(250+6)÷2=128米128×8÷400=2 (224)相遇点与A最短路程为400-224=176米【解析】二、运用倍比关系解多次相遇问题【例 2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
计算迎面相遇和追及相遇次数的问题
计算迎面相遇和追及相遇次数的问题高等有趣，值得一探【题目】一游泳池道长100米，甲乙两个运发动从泳道的两端同时下水做往返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。
甲运发动一共从乙运发动身边经过了多少次？【解答】从身边经过，包括迎面和追上两种情况。
能迎面相遇【〔81＋89〕×15＋100】÷200，取整是13次。
第一次追上用100÷〔89－81〕＝12.5分钟，以后每次追上需要12.5×2＝25分钟，显然15分钟只能追上一次。
因此经过13＋1＝14次。
如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍〔乙也是如此〕。
总结：假设两人走的一个全程中甲走1份M米，两人走3个全程中甲就走3份M米。
〔含义是说，第一次相遇时，甲乙实际就是走了一个全程，第二次相遇时，根据上面的公式，甲乙走了 2*2-1=3个全程，如果在第一次相遇时甲走了m米，则第二次相遇时甲就走了3个m米〕下面我们用这个方法看一道例题。
湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。
两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。
问：两岛相距多远？【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，此时甲走的路程也为第一次相遇地点的3倍。
画图可知，由3倍关系得到：A，B两岛的距离为 700×3－400=1700米小学奥数行程问题分类讨论2010-06-08 12:00:20 来源：网络资源进入论坛行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。
具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。
现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。
行程问题解析
，行程问题从运动形式上分可以分为五大类：五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。
这其中的交织与综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法……诸如此类的综合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。
想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。
下面我们就以五大题型为主线，以典型例题的形式对行程问题的整个知识架构做一个系统性梳理，并在例题的讲解中穿插解题方法的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型与方法有一个总体把握。
每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。
每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。
1. 直线上的相遇与追及上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。
一般情况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联系在一起。
这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是"和"与"差"：只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。
例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。
问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007年小升初考题）「思路解析」本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。
那路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件"两车在离两地中点32千米处相遇"这句话中。
行测之路程问题
国考行测考试中很多考生对数量关系的题目感到心有余而力不足，事实上，数量关系模块也一直是很多学员复习的重点和难点。
从9?17联考来看，这一模块的难度有所下降，且基本是上课过程中涉及较多的传统题型，如行程问题、经济利润问题、工程问题、几何问题和计数问题等。
但是根据题目类型来看，行程问题出题方式比较多，难度也比较大，其中的多次相遇问题、队伍行进问题等式很多考生最为头疼的题目，本篇主要就行程问题中的多次相遇问题做一个简要的梳理和解读。
多次相遇问题要求考生在理解的基础上记忆基本结论，很多问题就能迎刃而解了。
基本结论：从左右两点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1）；第N次追上相遇，路程差=全程*（2N-1）。
从同一点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1）；第N次追上相遇，路程差=全程*（2N-1）。
一、从左右两点出发：1、甲乙两人分别从A、B两点出发，他们迎面相遇次数和路程和之间的关系见下图：从左右两点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1）；2、甲乙两人分别从A、B两点出发，他们迎面相遇次数和路程和之间的关系见下图：从左右两点出发：第N次追上相遇，路程差=全程*（2N-1）；【例题1】（2011浙江省考）a大学的小李和b大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于a、b两校之间。
现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次迎面相遇。
问a，b两校相距多少米？（）A.1140米B.980米C.840米D.760米【答案】D。
根据多次相遇结论，从两点出发第二次迎面相遇两人路程和=3个全程，故路程和=速度和*时间=（85+105）*12=190*12=3倍全程，一个全程=760米，答案选D。
【例题2】（2011国考）甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。
两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。
多次相遇追及问题及详解
行程问题：多次相遇、追及问题1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙两车分别从A,B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶;已知甲车的速度是25千米/时,乙车的速度是15千米/时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米;求A,B两地的距离分析：多次相遇问题,最好把全程分成分数去考虑甲乙的速度比是25：15=5：3,第一次相遇两车共行了一个全程,其中乙行了;第三次两车共行了5个全程,乙行了5× = 个全程,第四次相遇两车共行了7个全程,乙行了7× = 个全程,两次路程差是个全程,所以AB两地相距200千米2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行,乙的速度是甲的,二人相遇后继续行进,甲到B地,乙到A地后立即返回;已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米,那么,A﹑B两地相距多少千米分析：第一次相遇,甲乙的路程和是一个全程,甲行的路程是全程的,乙行了全程的,第二次相遇,甲乙的路程和是3个全程,此时甲行了×3= 个全程,两次相遇的距离是个全程,即20千米,所以AB的距离是20÷=50千米;3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间有条公路,甲从A地出发,步行到B地,乙骑摩托车从B地出发,不停地往返于A、B两地之间,他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问：当甲到达B地时,乙追上甲几次分析：在第一次相遇与第一次追上之间,乙在100-80=20分钟内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度,即等于甲在80+100分钟内所走的路程,因此,乙的速度是甲的9倍=180÷20,则BF的长为AF的9倍,所以,甲从A到B,共需走80×1+9=800分钟,乙第一次追上甲时,所用的时间为100分钟,且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始,乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程,因此,追及时间也变为200分钟,所以,在甲从A到B的800分钟内,乙共有4次追上甲,即在第100分钟,300分钟,500分钟和700分钟.4、五年级行程问题：多次相遇、追及问题-----难度：高难度快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经过5小时相遇;已知慢车从乙地到甲地用12.5小时,慢车到甲地停留1小时后返回,快车到乙地停留2小时后返回,那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间分析：慢车相遇后经过12.5-5=7.5小时到甲地,13.5小时后从甲地返回;所以甲乙的速度比是7.5：5=3：2;因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程,第二次相遇时共行三个单程,所以若两车都不停留,则第一次相遇到第二次相遇需10小时;现在慢车停留1时,快车停留2小时,所以第一次相遇后11小时两车间的距离还需快车再行1小时;这段距离两车需行3÷3+2=0.6小时;从第一次相遇到第二次相遇共需11.6小时;5、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间的距离是950米.甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼.甲步行每分走40米,乙跑步每分行150米,40分后停止运动.甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近,距离是多少米分析：方法一：不用比例甲40分钟行了40×40=1600米,即甲还没有返回到A地,第一次相遇,甲乙行了两个全程,行了950×2÷150+40=10分,甲距离B地950-10×40=550米,第二次相遇,乙比甲多行了2个全程,距B地950-950×2÷150-40×40≈200米,第三次相遇,甲乙共行了4个全程,距B地950-950×4÷150+40×40=150米,第四次相遇,乙比甲多行了4个全程,甲行了950×4÷159-40×40=1.8米,距B地1.8-950=431.8米;所以第三次相遇近;方法二：用比例,把全程分成19份,那么每次相遇的点占全程的积分之几就一目了然了;略。
完整版“多次相遇问题”解题技巧
“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。
相对来讲，直线型更加复杂。
环型可是单纯的周期问题。
一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。
（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，能够是迎面碰头相遇，也能够是反面追及相遇。
题意若是没有明确说明是哪一种相遇，对两种情况均应做出思虑。
1、迎面碰头相遇：以以下图，甲、乙两人从 A、B 两地同时相向而行，第一次迎面相遇在 a 处，（为清楚表示两人走的行程，将两人的路线分开画出）则共走了 1 个全程，到达对岸 b 后两人转向第二次迎面相遇在 c 处，共走了 3 个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的行程是第一次相遇的2 倍。
此后的每次相遇都多走了2 个全程。
所以第三次相遇共走了5 个全程，依次类推得出：第 n 次相遇两人走的行程和为（ 2n-1 ）S，S 为全程。
而第二次相遇多走的行程是第一次相遇的用这个 2 倍关系解题。
即对于甲和乙而言从2 倍，分开看每个人都是 2 倍关系，经常能够a 到 c 走过的行程是从起点到 a 的 2 倍。
相遇次数全程个数再走全程数111232352472⋯⋯⋯n2n-122、反面追及相遇与迎面相遇似，反面相遇同是甲、乙两人从A、 B 两地同出，以下，此可假全程 4 份，甲 1 分走 1 份，乙 1 分走 5 份。
第一次反面追及相遇在 a ，再1 分，两人在 b 迎面相遇，到第 3 分，甲走 3 份，乙走 15 份，两人在 c 相遇。
我能够察，第一次反面相遇，两人的行程差是 1 个全程，第二次反面相遇，两人的行程差 3 个全程。
同第二次相遇多走的行程是第一次相遇的 2 倍，看每个人多走的路程也是第一次的 2 倍。
依次推，得：第 n 次反面追及相遇两人的行程差（2n-1 ） S。
（二）岸型岸型是两人同从一端出，与两岸型相似，岸型也有迎面碰相遇和反面追及相遇两种情况。
行程问题解析
，行程问题从运动形式上分可以分为五大类：五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。
这其中的交织与综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法……诸如此类的综合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。
想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。
下面我们就以五大题型为主线，以典型例题的形式对行程问题的整个知识架构做一个系统性梳理，并在例题的讲解中穿插解题方法的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型与方法有一个总体把握。
每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。
每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。
1. 直线上的相遇与追及上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。
一般情况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联系在一起。
这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是"和"与"差"：只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。
例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。
问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007年小升初考题）「思路解析」本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。
那路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件"两车在离两地中点32千米处相遇"这句话中。
学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡
学而思奥数模块三解多次相遇问题的工具柳卡 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】学而思奥数模块之行程问题模块三 解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船【解析】 这就是着名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．【例 2】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次【解析】 采用运行图来解决本题相当精彩！首先，甲跑一个全程需30130÷=（秒），乙跑一个全程需300.650÷=（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇．从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5420⨯=（次）【例 3】 (2009年迎春杯复赛高年级组)A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．【解析】 本题采用折线图来分析较为简便．如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点． 由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．【例1】 甲、乙两人在一条90米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。
小学数学竞赛：多次相遇和追及问题.学生版解题技巧 培优 易错 难
1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例 1】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米?【例 2】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
问：甲、乙二人的速度各是多少？板块二、运用倍比关系解多次相遇问题知识精讲教学目标3-1-4多次相遇和追及问题地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【例 4】 甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【例 5】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】 A 、B 是圆的直径的两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C 点第一次相遇，在D 点第二次相遇．已知C 离A 有75米，D 离B 有55米，求这个圆的周长是多少米？【巩固】 如右图，A ，B 是圆的直径的两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C 点第一次相遇，在D 点第二次相遇。
(小学奥数)多次相遇和追及问题
1. 學會畫圖解行程題2. 能夠利用柳卡圖解決多次相遇和追及問題3. 能夠利用比例解多人相遇和追及問題板塊一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題所有行程問題都是圍繞“=⨯路程速度时间”這一條基本關係式展開的，多人相遇與追及問題雖然較複雜，但只要抓住這個公式，逐步表徵題目中所涉及的數量，問題即可迎刃而解．【例 1】 甲、乙兩名同學在周長為300米圓形跑道上從同一地點同時背向練習跑步，甲每秒鐘跑3.5米，乙每秒鐘跑4米，問：他們第十次相遇時，甲還需跑多少米才能回到出發點？【巩固】 甲乙兩人在相距90米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他們同時分別從直路兩端出發，10分鐘內共相遇幾次？知識精講 教學目標3-1-4多次相遇和追及問題【巩固】甲、乙兩人從400米的環形跑道上一點A背向同時出發，8分鐘後兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那麼兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米?【例 2】甲、乙二人從相距60千米的兩地同時相向而行，6時後相遇。
如果二人的速度各增加1千米／時，那麼相遇地點距前一次相遇地點1千米。
問：甲、乙二人的速度各是多少？板塊二、運用倍比關係解多次相遇問題【例 3】上午8點8分，小明騎自行車從家裏出發，8分鐘後，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然後爸爸立即回家，到家後又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【例 4】甲、乙兩車同時從A地出發，不停的往返行駛於A，B兩地之間。
已知甲車的速度比乙車快，並且兩車出發後第一次和第二次相遇都在途中C地。
問：甲車的速度是乙車的多少倍？【例 5】如圖，甲和乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動，當乙走了100米以後，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇.求此圓形場地的周長．【巩固】A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇．已知C離A有75米，D離B有55米，求這個圓的周長是多少米？【巩固】如右圖，A，B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇。
“多次相遇问题”解题技巧
“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。
相对来讲，直线型更加复杂。
环型只是单纯的周期问题。
一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。
“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。
（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。
题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。
之后的每次相遇都多走了2个全程。
所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。
即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
相遇次数相遇次数 全程个数全程个数全程个数 再走全程数再走全程数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2…… …… ……n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A 、B 两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，份，甲甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。
份。
则第一次背面追及相遇在则第一次背面追及相遇在a 处，再经过1分钟，两人在b 处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c 处相遇。
我们可以观察，我们可以观察，第一次背面相遇时，第一次背面相遇时，第一次背面相遇时，两人的路程差是两人的路程差是1个全程，个全程，第二次背面相遇时，第二次背面相遇时，第二次背面相遇时，两人的两人的路程差为3个全程。
同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。
小升初奥数难点之迎面相遇问题
小升初奥数中有很多专题，小升初奥数中有很多专题，我们需要把专题分类清晰，我们需要把专题分类清晰，我们需要把专题分类清晰，脑海中有清晰的脉络，脑海中有清晰的脉络，脑海中有清晰的脉络，逐个梳理逐个梳理学习。
学习。
这也是小学培养知识统合梳理能力的有效机会。
鸡兔同笼、这也是小学培养知识统合梳理能力的有效机会。
鸡兔同笼、这也是小学培养知识统合梳理能力的有效机会。
鸡兔同笼、抽屉原理、抽屉原理、抽屉原理、孙子定理等都孙子定理等都是小学奥数常出现的专题，其中有一个问题对中学学习很有帮助，那就是：迎面相遇问题，也是小升初奥数的难点之一，数学家教专题讲解：也是小升初奥数的难点之一，数学家教专题讲解：甲乙两车往返于AB 两地，第一次距离A 地700米处相遇，第二次距离B400米处相遇。
求共有多少个迎面相遇点？几个背后追上点？求共有多少个迎面相遇点？几个背后追上点？分析：行程问题多次相遇和追及都是加2全程的规律。
但我开始对这个题的分析是有小问题的。
就是相遇点不可以是起点或终点。
此题我们先考虑全程。
问题的。
就是相遇点不可以是起点或终点。
此题我们先考虑全程。
第一次两人共走1个全程。
个全程。
第二次共3个所以甲此时走了2100米，单独看甲是一个全程多400米。
全程就是2100-400=1700米。
米。
三次是3500米离A100米，第四次是离起点1500米，第五次-500米，第六次900米，第七次-1100米，第8次300米，第九次是1700米。
米。
但是第九次是我们要思考的能在终点B 相遇吗。
此时甲走了7个全程，乙走了10个全程。
程。
此时所谓的相遇点实际上是追及点。
他们同时到B 并且同时掉头不是迎面相遇。
所以端点是不能成为迎面相遇点的。
因为按规律算既是相遇点也是追及点。
第九次相遇点实际是规律的第十次为-300米。
第十次为规律的第11次为1100米，第11次为-900米，第12次为500米，第13次为-1500米，第14次为-100米，第15次为1300米，第16次为-700米。
“多次相遇问题”解题技巧
“多次相遇问题”解题技能“多次相遇”问题有直线型和环型两种模子.相对来讲,直线型加倍庞杂.环型只是单纯的周期问题.一.直线型直线型多次相遇问题宏不雅上分“两岸型”和“单岸型”两种.“两岸型”是指甲.乙两人从路的两头同时动身相向而行;“单岸型”是指甲.乙两人从路的一端同时动身同向而行.（一）两岸型两岸型甲.乙两人相遇分两种情形,可所以迎面碰头相遇,也可所以不和追及相遇.题意假如没有明白解释是哪种相遇,对两种情形均应做出思虑.1.迎面碰头相遇：如下图,甲.乙两人从A.B两地同时相向而行,第一次迎面相遇在a处,（为清晰暗示两人走的旅程,将两人的路线离开画出）则共走了1个全程,到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处,共走了3个全程,则从第一次相碰到第二次相遇走过的旅程是第一次相遇的2倍.之后的每次相遇都多走了2个全程.所以第三次相遇共走了5个全程,依次类推得出：第n次相遇两人走的旅程和为（2n-1）S,S为全程.而第二次相遇多走的旅程是第一次相遇的2倍,离开看每小我都是2倍关系,经常可以用这个2倍关系解题.即对于甲和乙而言从a到c走过的旅程是从起点到a的2倍.相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2… … …n 2n-1 22.不和追及相遇与迎面相遇类似,不和相遇同样是甲.乙两人从A.B两地同时动身,如下图,此时可假设全程为4份,甲1分钟走1份,乙1分钟走5份.则第一次不和追及相遇在a处,再经由1分钟,两人在b处迎面相遇,到第3分钟,甲走3份,乙走15份,两人在c处相遇.我们可以不雅察,第一次不和相遇时,两人的旅程差是1个全程,第二次不和相遇时,两人的旅程差为3个全程.同样第二次相遇多走的旅程是第一次相遇的2倍,单看每小我多走的旅程也是第一次的2倍.依次类推,得：第n次不和追及相遇两人的旅程差为（2n-1）S.（二）单岸型单岸型是两人同时从一端动身,与两岸型类似,单岸型也有迎面碰头相遇和不和追及相遇两种情形.1.迎面碰头相遇：如下图,假设甲.乙两人同时从A端动身,假设全程为3份,甲每分钟走2份,乙每分钟走4份,则甲乙第一次迎面相遇在a处,此时甲走了2份,乙走了4份,再过1分钟,甲共走了4份,乙共走了8份,在b处迎面相遇,则第二次相遇多走的跟第一次相遇雷同,依次类推,可得出：当第n次碰头相遇时,两人的旅程和为2ns.2.不和追及相遇与迎面相遇类似,假设全程为3份,甲每分钟走1份,乙每分钟走7份,则第一次不和相遇在a处,2分钟后甲走了2份,乙走了14份,两人在b处相遇.第一次相遇,两人走的旅程差为2S,第二次相遇两人走的旅程差为4S,依次类推,可以得出：当第n次追及相遇时,两人的旅程差为2ns.“直线型”总结（熟记）①两岸型：第n次迎面碰头相遇,两人的旅程和是（2n-1）S.第n次不和追及相遇,两人的旅程差是（2n-1）S.②单岸型：第n次迎面碰头相遇,两人的旅程和为2ns.第n次不和追及相遇,两人的旅程差为2ns.下面列出几种往后可能会考到的直线型多次相遇问题罕有的模子：{模子一}：依据2倍关系求AB两地的距离.【例1】甲.乙两人在A.B两地间往返漫步,甲从A,乙从B同时动身,第一次相遇点距B60米,当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇.A.B相距若干米？A.150B.170C.180D.200【答案及解析】B.如下图,第一次相遇在a处,第二次相遇在b处,aB的距离为60,Ab的距离为10.以乙为研讨对象,依据2倍关系,乙从a到A,再到b共走了第一次相遇的2倍,即为60×2=120米,Ab为10,则Aa的距离为120-10=110米,则AB距离为110+60=170米.{模子二}：告知两人的速度和给准时光,求相遇次数.【例2】甲.乙两人在长30米的泳池内泅水,甲每分钟游37.5米,乙每分钟游52.5米.两人同时分离从泳池的两头动身,触壁后原路返回,如是往返.假如不计转向的时光,则从动身开端盘算的1分50秒内两人共相遇若干次？A.2D.5B.3C.4【答案及解析】B.标题没说是迎面照样不和,所以两种相遇的次数都应当盘算.离开评论辩论,如是是迎面依据迎面相遇个相遇,则走的全程的个数为,-n走的全程为2n次,,则走的全程数为假如是不和相遇1=5,,求得n=3;1故在不秒内,分50克不及不和相遇.所以共相遇3次. {模子三}：告知两人的速度和随意率性两次迎面相遇的距离,求AB两地的距离.【例3】甲.乙两车分离从A.B两地同时动身,在A.B间不竭往返行驶.甲车每小时行20千米,乙车每小时行50千米,已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米,则A.B相距若干千米？B.100C.105D.110A.95【答案及解析】C.走雷同时光内,甲乙走的旅程比为20：50=2：5.将全程算作7份,则第一次相遇走1个全程时,甲走2份,乙走5份.以甲为研讨对象（也可以以乙）,第10次迎面相遇走的全程数为2×10-1=19个,甲走1个全程走2份,则走19个全程可走19×2=38份.7份是一个全程,则38份共有38÷7=5…3份（当商是偶数时从甲的一端数,0也是偶数;当商是奇数时从乙的一端数,比方第1个全程在乙的一端,第2个全程在甲的一端）从乙端数3份.同应当第18次相遇,甲走的份数为（2×18-1）×2=70份.共有70÷7=10个全程,10为偶数在甲的端点.如下图：则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米,所以AB长为千米.w点评：对于给定随意率性两次的距离,主如果依据速度转化为全程的份数,找一个为研讨对象,看在相遇次数内走的全程数,从而转化为份数,然后依据一个全程的份数,将研讨对象走的总份数去失落全程的个数看残剩的份数,留意由全程的个数决议残剩的份数从哪一端数.【例4】甲.乙两车分离从A.B两地同时动身,在A.B间不竭往返行驶.甲车每小时行45千米,乙车每小时行36千米,已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米,则A.B相距若干千米？A.90B.180C.270D.110【答案及解析】A.法一：同上题.雷同时光,甲.乙旅程比为45：36=5：4,则将全程分成9份.则一个全程时甲走5份,乙走4份.以甲为研讨对象,第2次相遇,走的全程数为2×2-1=3个,则甲走的份数为3×5=15份,一个全程为9份,则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份,则从乙端数6份.第3次相遇走的份数为（2×3-1）×5=25份,转化为全程的个数为25÷9=2…7,则从甲端数7份.如下图：由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米,则AB相距=90千米.法二：在此引入“沙漏模子”.应用沙漏模子解题的前提是题干中已知两人的速度.将速度转化为雷同旅程的前提下两人的时光比,则以时光为刻度,画出两人到达对岸的路线图,两人走的路线图订交的点即为两人相遇的地点.s-t图中的路线因像古代记时光的沙漏故称为“沙漏模子”.本题中,甲.乙走到端点用的时光比为36：45=4：5.如下图：依据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和O,依据三角形类似,可得CE:EG=3:6=1:2,则求得第2次相遇距A地的比例为S/3,同理DO:ON=7：2,则第3次相遇距A地的比例为7S/9,则两次相遇比例为为40千米,则S=90千米.w点评：考生假如能控制“沙漏”模子,则会直不雅快速的进步解题速度.用交点断定是迎面相遇照样不和相遇的技能：看订交的两条线是由统一岸引出照样两岸,统一岸则解释是不和相遇,不合岸则解释是迎面相遇.用时留意：一般题干预及到的相遇次数较少时可画,相遇次数太多,则会消费大量时光,晦气于进步速度;画时的单位刻度要看时光比,假如时光比中的数据较大可把刻度画大.{模子四}：告知两人的速度,相遇次数较少时,应用s-t图形成“沙漏”模子速解.【例5】A.B两地相距950米.甲.乙两人同时由A地动身往返锤炼半小时.甲步行,每分钟走40米;乙跑步,每分钟行150米.则甲.乙二人第几回迎面相遇时距B地比来.A.1B.2C.3D.4【答案及解析】B.应用“沙漏模子”.甲乙走到端点用的时光比为150：40=15：4,半小时两人共走的全程数为个.对于单岸型,相遇6个全程,则是迎面第三次相遇（由前边公式推出）画出s-t图：不雅察上图可知,可第3次迎面相遇的进程中,甲乙有一次不和相遇（交点由统一点引出）.而在三次迎面相遇中第2次相遇离B地比来,并且可依据三角形类似求出离B地的距离.【例6】河流赛道长120米,水流速度为2米/秒,甲船静水速度为6米/秒,乙船静水速度为4米/秒.比赛进行两次往返,甲.乙同时从起点动身,先顺水航行,问若干秒后甲.乙船第二次迎面相遇？D.54B.50C.52A.48【答案及解析】C.由题知,得出如下关系：顺流逆流甲8（15）4（30）乙6（20）2（60）注：（）中为走完整程的时光.假设A到B是顺流,由上表可知甲.乙两人第2次迎面相遇共有4个全程.因为甲的速度快,则第2次相遇前甲已走了2个全程.共15+30=45秒.当第45秒时乙走了一个顺流全程20秒和25秒的逆流,走的旅程为25×2=50米,则在残剩的70米内,甲乙分离以顺流和逆流相遇时光为t,则有70=（8+2）×t,求得t=7秒,则共用时光45+7=52秒.本题同样可用“沙漏模子”解决.依据上表中的速度关系,可得出一个全程时的时光关系如下：顺流逆流甲 3 6乙 4 12依据时光的关系,得出s-t图像,如下：不雅察上图,可看出第二次迎面相遇在P点,以甲为研讨对象盘算时光,此时甲走了一个顺流,一个逆流,别的EP段为顺流,依据三角形类似可求出走EP用的时光EP:PN=EF:MN=7:8,由上表,求出走EP用的时光为,则甲共走的时光为15+30+7=52.二.环型环型重要分两种情形,一种是甲.乙两人同地同时反向迎面相遇（不成能不和相遇）,一种是甲.乙两人同地同时同向不和追及相遇（不成能迎面相遇）.离开评论辩论如下：（一）甲.乙两人从A地同时反向动身：如下图,一个周长分成4份,假设甲是顺时针每分钟走1份到B,乙是逆时针每分钟走3份到B,则第一次相遇两人走了1个周长,则再过1分仲,甲再走1份到C,同样乙走3份也到C,则第二次相遇共走了2个周长,依次类推,可得出：第n次迎面相遇共走了n圈.（二）甲.乙两人从A地同时同向动身：如下图,全程分成4份.假设甲.乙两人都是顺时针同时动身,甲每分钟走1份,乙每分钟走5份,则1分钟后两人在B处第一次不和追及相遇,两人走的旅程差为1个周长.再过1分钟后,甲到C处,乙也到C处,两人第二次不和追及相遇,多走的旅程差同样为一个周长,依次类推,可以得出：第n次不和追及相遇,旅程差为n圈.环型多次相遇问题相比较较简略,当甲.乙不在统一地点动身时相对具有难度.比方在直径两头动身.考生可经由过程下面的例题掌控.【例1】老张和老王两小我在周长为400米的圆形池塘边漫步.老张每分钟走9米,老王每分钟走16米.如今两小我从统一点反偏向行走,那么动身后若干分钟他们第三次相遇？A.33B.45C.48D.56【答案及解析】C.第一次迎面相遇时光为400÷（9+16）=16,则第三次迎面相遇时光为16×3=48.【例2】小明.小亮从400米环形跑道的统一点动身,背向而行.当他们第一次相遇时,小明回身往回跑;再次相遇时,小亮回身往回跑;今后的每次相遇分离是小明和小亮两人交替调转偏向,小明速度3米/秒,小亮速度5米/秒,则在两人第30次相遇时小明共跑了若干米？A.11250B.11350C.11420D.11480【答案及解析】A.由题意知,第1次是迎面相遇,第2次是不和追及相遇,之后都是迎面与不和相遇瓜代.则在30次相遇中,迎面相遇15次,不和相遇15次.迎面相遇一次用时为400÷（3+5）=50,不和相遇一次用时为400÷（5-3）=200,则30次相遇共用时为15×（50+200）=3750s,则小时在这段时光里跑的旅程为3750×3=11250米.【例3】甲.乙两人分离从一圆形场地的直径两头点同时开端以匀速按相反偏向绕此圆形路线活动,当乙走了100米今后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇,则这个圆形场地的周长为若干米？A.320B.360C.420D.480【答案及解析】D.如下图,假设甲.乙分离在直径A.B两头以顺时针和逆时针活动.第1次相遇在C点距B点100米,第2次相遇在D点,距A点60当在直径端点两岸行走时,可将环型转化为直线型,则第2次相遇每小我走的路都是第1次相遇的2倍.以乙为研讨对象,则从C到D走的路是B到C的2倍,即200米,因AD为60米,则CA为200-60=140米,所以半个周长为100+140=240米,周长为240×2=480米.总结对于多次相遇问题,要有意识的造就上述几种模子的解题技能,尤其是直线型的多次相遇问题,对于给定两者速度的标题,且相遇次数较少时能闇练应用“沙漏模子”解题,可直不雅有用地进步解题的速度.对于环型,不像直线型那么庞杂,留意处理好相遇次数,是迎面照样追及相遇,应用公式可快速解题.。
多次相遇和追及问题含答案
多次相遇与追及问题知识框架一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【考点】行程问题 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300103000⨯=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了 3.5300014003.54⨯=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行300200100-=米才能回到出发点．【答案】100米【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【考点】行程问题【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】 17【答案】17【例 2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
小学数学行程问题之多人多次相遇和追及问题含答案
多次相遇和追及问题知识框架一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；=⨯多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】A 、B 两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。
如果甲、乙从A ，丙从B 地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。
行程问题之多次相遇与追及问题 非常完整版题型训练+答案解析
行程问题之多次相遇与追及问题非常完整版题型训练+答案解析本文介绍了行程体系中多次相遇和追及的问题。
其中，对于两地相向出发的情况，第N次相遇共走2N-1个全程；对于同地同向出发的情况，第N次相遇共走2N个全程。
在多人多次相遇追及的解题过程中，需要注意路程差和几个全程的关键。
例1中，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇，第二次在离B地25千米处相遇。
根据题意可知，A、B两地间的距离为260千米。
例2中，甲和乙两人在一圆形场地上按相反的方向绕圆形路线运动，第一次相遇时甲乙共走完0.5圈的路程，第二次相遇时甲乙共走完1.5圈的路程。
根据题意可得，此圆形场地的周长为480米。
例3中，甲、乙两人从环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后第五次相遇。
已知甲比乙每秒钟多走0.1米，求第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程。
根据题意可得，第五次相遇时共合走5个全程，相遇点与点A沿跑道上的最短路程为2000米。
甲和乙的速度分别为250米/分和122米/分，他们在周长为300米的圆形跑道上背向而行。
甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米。
他们第十次相遇时，甲还需跑100米才能回到出发点。
___和爸爸在上午8点8分开始在家门口的100米直线跑道上跑步。
___的速度为6米/秒，爸爸的速度为4米/秒。
爸爸在8分钟后追上___，然后回家，再次追上___时离家12千米，此时是8点32分。
___和___在长100米的直线跑道上来回跑步，___的速度为6米/秒，___的速度为4米/秒。
他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟。
在这段时间内，他们迎面相遇了5次。
甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。
已知乙的速度是甲的速度的2倍。
解答：由于甲、乙的速度比是1:2，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是1:2.第一次相遇时，两人共走完了AB的长度，可以把AB的长度看作3份，甲、乙各走了1份和2份。
第100次相遇时，甲、乙共走了199个AB，甲走了1×199=199份。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算迎面相遇和追及相遇次数的问题高等有趣，值得一探【题目】一游泳池道长100米，甲乙两个运动员从泳道的两端同时下水做往返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。
甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？【解答】从身边经过，包括迎面和追上两种情况。
能迎面相遇【（81＋89）×15＋100】÷200，取整是13次。
第一次追上用100÷（89－81）＝12.5分钟，以后每次追上需要12.5×2＝25分钟，显然15分钟只能追上一次。
因此经过13＋1＝14次。
如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。
总结：若两人走的一个全程中甲走1份M米，两人走3个全程中甲就走3份M米。
（含义是说，第一次相遇时，甲乙实际就是走了一个全程，第二次相遇时，根据上面的公式，甲乙走了 2x2-1=3个全程，如果在第一次相遇时甲走了m米，那么第二次相遇时甲就走了3个m米）下面我们用这个方法看一道例题。
湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。
两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。
问：两岛相距多远？【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，此时甲走的路程也为第一次相遇地点的3倍。
画图可知，由3倍关系得到：A，B两岛的距离为 700×3－400=1700米小学奥数行程问题分类讨论2010-06-08 12:00:20 来源：网络资源进入论坛行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。
具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。
现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。
一、一般相遇追及问题。
包括一人或者二人时(同时、异时)、地(同地、异地)、向(同向、相向)的时间和距离等条件混合出现的行程问题。
在杯赛中大量出现，约占80%左右。
建议熟练应用标准解法，即s=v×t结合标准画图(基本功)解答。
由于只用到相遇追及的基本公式即可解决，并且要就题论题，所以无法展开，但这是考试中最常碰到的，希望高手做更为细致的分类。
二、复杂相遇追及问题。
(1)多人相遇追及问题。
比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我们能碰到的是三人相遇追及问题。
解题思路完全一样，只是相对复杂点，关键是标准画图的能力能否清楚表明三者的运动状态。
(2)多次相遇追及问题。
即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复相遇和追及，俗称反复折腾型问题。
分为标准型(如已知两地距离和两者速度，求 n次相遇或者追及点距特定地点的距离或者在规定时间内的相遇或追及次数)和纯周期问题(少见，如已知两者速度，求一个周期后，即两者都回到初始点时相遇、追及的次数)。
标准型解法固定，不能从路程入手，将会很繁，最好一开始就用求单位相遇、追及时间的方法，再求距离和次数就容易得多。
如果用折线示意图只能大概有个感性认识，无法具体得出答案，除非是非考试时间仔细画标准尺寸图。
一般用到的时间公式是(只列举甲、乙从两端同时出发的情况，从同一端出发的情况少见，所以不赘述)：单程相遇时间：t单程相遇=s/(v甲+v乙)单程追及时间：t单程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇时间：Tn= t单程相遇×(2n-1)第m次追及时间：Tm= t单程追及×(2m-1)限定时间内的相遇次数：N相遇次数=[ (Tn+ t单程相遇)/2 t单程相遇]限定时间内的追及次数：M追及次数=[ (Tm+ t单程追及)/2 t单程追及]注：[]是取整符号之后再选取甲或者乙来研究有关路程的关系，其中涉及到周期问题需要注意，不要把运动方向搞错了。
简单例题：甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米，问(1)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙追及相遇?(2)相遇时距离中点多少千米?(3)50小时内，甲乙两车共迎面相遇多少次?三、火车问题。
特点无非是涉及到车长，相对容易。
小题型分为：(1)火车vs点(静止的，如电线杆和运动的，如人)s火车=(v火车±v人)×t经过(2)火车vs线段(静止的，如桥和运动的，如火车)s火车+s桥=v火车×t经过和s火车1+s火车2=(v火车1±v火车2)×t经过合并(1)和(2)来理解即s和=v相对×t经过把电线杆、人的水平长度想象为0即可。
火车问题足见基本公式的应用广度，只要略记公式，火车问题一般不是问题。
(3)坐在火车里。
本身所在火车的车长就形同虚设了，注意的是相对速度的计算。
电线杆、桥、隧道的速度为0(弱智结论)。
四、流水行船问题。
理解了相对速度，流水行船问题也就不难了。
理解记住1个公式(顺水船速=静水船速+水流速度)就可以顺势理解和推导出其他公式(逆水船速=静水船速-水流速度，静水船速=(顺水船速+逆水船速)÷2，水流速度=(顺水船速-逆水船速)÷2)，对于流水问题也就够了。
技巧性结论如下：(1)相遇追及。
水流速度对于相遇追及的时间没有影响，即对无论是同向还是相向的两船的速度差不构成“威胁”，大胆使用为善。
(2)流水落物。
漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：从落物到发现的时间段，t2：从发现到拾到的时间段)与船速、水速、顺行逆行无关。
此结论所带来的时间等式常常非常容易的解决流水落物问题，其本身也非常容易记忆。
例题：一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游50千米处。
一艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同。
客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米。
客船在行驶20千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇。
求水流速度。
五、间隔发车问题。
空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。
一旦掌握了3个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。
(1)在班车里。
即柳卡问题。
不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题：A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。
每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。
已知从A站到B站单程需要105分钟，从B站到A站单程需要80分钟。
问8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车?(2)在班车外。
联立3个基本公式好使。
汽车间距=(汽车速度+行人速度)×相遇事件时间间隔------1汽车间距=(汽车速度-行人速度)×追及事件时间间隔------2汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔------31、2合并理解，即汽车间距=相对速度×时间间隔分为2个小题型：1、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答;2、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图-尽可能多的列3个好使公式-结合s全程=v×t-结合植树问题数数。
例题：小峰在骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超越小峰。
小峰骑车到半路车坏了，于是只好坐出租车去小宝家。
这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，如果这3种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公交车站每隔多少分钟发一辆车?六、平均速度问题。
相对容易的题型。
大公式要牢牢记住：总路程=平均速度×总时间。
用s=v×t写出相应的比要比直接写比例式好理解并且规范，形成行程问题的统一解决方案。
七、环形问题。
是一类有挑战性和难度的题型，分为“同一路径”、“不同路径”、“真实相遇”、“能否看到”等小题型。
其中涉及到周期问题、几何位置问题(审题不仔细容易漏掉多种位置可能)、不等式问题(针对“能否看到”问题，即问甲能否在线段的拐角处看到乙)。
仍旧属于就题论题范畴，不展开了。
八、钟表问题。
是环形问题的特定引申。
基本关系式：v分针= 12v时针(1)总结记忆：时针每分钟走1/12格，0.5°;分针每分钟走1格，6°。
时针和分针“半”天共重合11次，成直线共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表画图总结)。
(2)基本解题思路：路程差思路。
即格或角(分针)=格或角(时针)+格或角(差)格：x=x/12+(开始时落后时针的格+终止时超过时针的格)角：6x=x/2+(开始时落后时针的角度+终止时超过时针的角度)可以解决大部分时针问题的题型，包括重合、成直角、成直线、成任意角度、在哪两个格中间，和哪一个时刻形成多少角度。
例题：在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度?从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直?(3)坏钟问题。
所用到的解决方法已经不是行程问题了，变成比例问题了，有相应的比例公式。
这里不做讨论了，我也讨论不好，都是考公务员的题型，有难度。
九、自动扶梯问题。
仍然用基本关系式s扶梯级数=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解决最漂亮。
这里的路程单位全部是“级”，唯一要注意的是t上或下要表示成实际走的级数/人的速度。
可以PK掉绝大部分自动扶梯问题。
例题：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下向上走，男孩由上向下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了 80级到达楼下。
如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?十、十字路口问题。
即在不同方向上的行程问题。
没有特殊的解题技巧，只要老老实实把图画对，再通过几何分析就可以解决。
十一、校车问题。
就是这样一类题：队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地(即到达目的地的最短时间，不要求证明)分4种小题型：根据校车速度(来回不同)、班级速度(不同班不同速)、班数是否变化分类。
(1)车速不变-班速不变-班数2个(最常见)(2)车速不变-班速不变-班数多个(3)车速不变-班速变-班数2个(4)车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图-列3个式子：1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间;2、班车走的总路程;3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。
最后会得到几个路程段的比值，再根据所求代数即可。
此类问题可以得到几个公式，但实话说公式无法记忆，因为相对复杂，只能临考时抱佛脚还管点儿用。