信号与系统吴大正第四版第四章课件

信号只含一、 奇次谐波分量。 信号只含一、三、五、…奇次谐波分量。 奇次谐波分量
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信号与系统 电子课件 n 1 t2 ε2 = [ f (t ) − ∑ C jϕ j (t )]2 dt t 2 − t1 ∫t1 j =1
n T 1 2 2 1 n 2 = [ ∫ π f (t )dt − ∑ b 2 ] = 1 − ∑ b j j − T 2 2 2 j =1 j =1
t2
t1
当i ≠ j 0, ϕi (t )ϕ j ∗ (t )dt = K i ≠ 0, 当i = j
则称此复函数集为正交函数集。 则称此复函数集为正交函数集。 复函数集 {e jnΩt }( n = 0, ± 1 , ± 2,⋅ ⋅ ⋅)在区间(t0 , t0 + T ) 内是 完备正交函数集。 完备正交函数集。 = 2π 在区间 (t0 , t0 + T ) T
Ω
∫
t 0 +T
t0
e
jmΩt
(e
jnΩt ∗
) dt = ∫
t 0 +T
t0
e
j ( m − n ) Ωt
0, dt = T,
当m ≠ n 当m = n
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信号与系统 电子课件 二、信号分解为正交函数 设有n个函数 在区间(t 设有 个函数 ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),⋅ ⋅ ⋅, ϕ n (t ) 在区间 1,t2) 构成一个正交函数空间， 用这n个正交 构成一个正交函数空间，则 f (t ) 用这 个正交 函数的线性组合来近似，可表示为： 函数的线性组合来近似，可表示为：
π
当只取基波时 ε 12 = 1 − 1 ( 4 ) 2 = 0.189 2 π
1 4 2 1 4 2 当取基波和三次谐波时ε = 1 − ( ) − ( ) = 0.0994 2 π 2 3π
2 2
当取一、 当取一、三、五次谐波 时 1 4 2 1 4 2 1 4 2 2 ε 3 = 1 − ( ) − ( ) − ( ) = 0.0669 2 π 2 3π 2 5π
(i = 1,2 , ⋅ ⋅ ⋅ ,n)
则此函数集成为完备正交函数集。 则此函数集成为完备正交函数集。
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信号与系统 电子课件
{1, cos(Ωt ), cos(2Ωt ),⋅ ⋅ ⋅, cos(mΩt ),⋅ ⋅ ⋅, sin(Ωt ), sin(2Ωt ) ⋅ ⋅⋅, sin(nΩt ),⋅ ⋅ ⋅}
当n → ∞, ε = 0
2
帕斯瓦尔（ 帕斯瓦尔（Parseval）方程 ）
∞ j =1
∫
t2
t1
f (t )dt = ∑ C 2 K j j
2 j =1
∞
f (t ) = ∑ C jϕ j (t )
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信号与系统 电子课件
4.2 傅里叶级数（周期信号）
若完备的正交集选择的是三角函数集或指数函数 集，那么周期信号所展开的无穷级数就分别成为 三角型傅里叶级数” 指数型傅里叶级数” “三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”， 统称为傅里叶级数。 统称为傅里叶级数。 并非所有的周期信号均能进行傅里叶级数展开 ，只有当周期信号满足狄里赫利条件时，再能展开 只有当周期信号满足狄里赫利条件时， 成傅里叶级数， 成傅里叶级数，通常遇到的周期信号都满足该条件。
当m ≠ n 当m = n ≠ 0 当m = n = 0 当m ≠ n 当m = n ≠ 0
∫
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t 0 +T
t0
sin( mΩt ) cos( nΩt ) dt = 0, 对于所有的 m和 n
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1 cos mx cos nx = [cos(m − n) x + cos(m + n) x] 2 1 sin mx sin nx = [cos(m − n) x − cos(m + n) x] 2 1 cos mx sin nx = [sin( m + n) x − sin(m − n) x] 2 1 sin mx cos nx = [sin( m + n) x + sin(m − n) x] 2
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信号与系统 电子课件
多元函数就极值问题
∂ ∂C j
n 1 t2 2 ∫t1 [ f (t ) − ∑ C jϕ j (t )] dt = 0 j =1 t 2 − t1
Ci
∫ =
t2
t1
f (t )ϕi (t )dt
∫
t2
t1
ϕi2 dt
t2 t1
1 = Ki
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信号与系统 电子课件
• 完备正交函数集
如果在正交函数集 {ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),⋅ ⋅ ⋅, ϕ n (t )}之外，不存在函数 之外，
0 < t2 φ 2 (t )dt < ∞ φ (t ) ∫t1
满足等式
∫
t2
t1
φ (t )ϕi (t )dt = 0
傅里叶的第一个主要论点： 傅里叶的第一个主要论点： “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和” 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和” 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 傅里叶的第二个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
A0 + A1 cos(Ωt + ϕ1 ) + A2 cos(2Ωt + ϕ 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ 2
A0 = a0
2 n 2 n
An = a + b , n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ an = An cos ϕ n , bn bn = − An sin ϕ n , ϕ n = − arctan( ) an
2 2 an = ∫ π f (t ) cos(nΩt )dt , T −2 2 π bn = ∫ 2π f (t ) sin( nΩt )dt , T −2
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π
2 2
n = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅ n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅
信号与系统 电子课件
f (t ) = = a0 + a1 cos(Ωt ) + a2 cos(2Ωt ) + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 sin(Ωt ) + b2 sin(2Ωt ) + ⋅ ⋅ ⋅ 2
∫
t2
t1
f (t )ϕi (t )dt
式中K i = ∫ ϕi2 dt
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信号与系统 电子课件 当取有限项时， 当取有限项时，
n 1 t2 [ f (t ) − ∑ C jϕ j (t )]2 dt ε2 = t 2 − t1 ∫t1 j =1 n t2 1 = [ ∫ f 2 (t )dt − ∑ C 2 K j ] j t1 t 2 − t1 j =1
在区间 (t0 , t0 + T ) 式中T = 2π 组成正交函数集，并且是完备 组成正交函数集，

证明三角函数集
的正交函数集。 的正交函数集。
Ω
0, T t 0 +T cos( mΩt ) cos( nΩt ) dt = , ∫t0 2 T, 0, t 0 +T sin( mΩt ) sin( nΩt ) dt = T ∫t0 2 ,
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连续时间信号与系统的频域分析
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信号与系统 电子课件
本章安排
• 信号的正交分解和傅里叶级数 • 周期信号和非周期信号的频谱 • 傅里叶变换的性质 • 周期信号的傅里叶变换 • LTI系统的频域分析和取样定理 LTI系统的频域分析和取样定理 • 离散傅里叶变换及其性质
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信号与系统 电子课件
an = 0 n = 2,4,6,⋅ ⋅ ⋅ 0, bn = 4 nπ , n = 1,3,5,⋅ ⋅ ⋅
信号的傅里叶级数展开式为： 信号的傅里叶级数展开式为：
1 1 1 f (t ) = [sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + ⋅ ⋅ ⋅ + sin( nΩt ) + ⋅ ⋅ ⋅] π 3 5 n n = 1,3,5,⋅ ⋅ ⋅ 4
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信号与系统 电子课件 一、周期信号的分解
2π 它的周期是T， 设有周期信号 f (t ) ，它的周期是 ，角频率 Ω = 2πF = T
它可分解为： 它可分解为： a f (t ) = 0 + a1 cos(Ωt ) + a2 cos(2Ωt ) + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 sin(Ωt ) + b2 sin(2Ωt ) + ⋅ ⋅ ⋅ 2 ∞ a0 ∞ = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin(nΩt ) 2 n =1 n =1 π π (− , ) 成为傅里叶系数， an , bn 成为傅里叶系数，积分区间 (t0 , t0 + T ) 取
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信号与系统 电子课件 4.1 信号分解为正交函数 正交矢量
Vy
Vz
V
Vx
V
Vx
Vy
V = C1Vx + C2V y
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V = C1Vx + C2V y + C3Vz
信号与系统 电子课件 一、正交函数集 如有定义在(t 如有定义在(t1,t2)区间的两个函数ϕ1和ϕ 2 ，若满足
a0 = A0
n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅
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信号与系统 电子课件
展开为傅里叶级数。 例4.2-1 将如图所示方波信号 f (t ) 展开为傅里叶级数。
f (t )
1
−T
− T 2 T 2
T
t
∞ a0 ∞ 解：根据 f (t ) = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin(nΩt ) 2 n =1 n =1
2 T 2 0 2 T an = ∫ 2T f (t ) cos(nΩt )dt = ∫ T − cos(nΩt )dt + ∫ 2 cos(nΩt )dt T −2 T −2 T 0 2 T 2 0 2 T bn = ∫ 2T f (t ) sin(nΩt )dt = ∫ T − sin(nΩt )dt + ∫ 2 sin( nΩt )dt T −2 T −2 T 0
O
1
Leabharlann Baidu
t
Wal (1, t )
O
1/ 2
1
t
Wal (2, t )
O
1/ 4
1/ 2
3/ 4
1
t
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信号与系统 电子课件 如果是复函数集，正交是指： 如果是复函数集，正交是指： 在区间（ 若复函数集 {ϕi (t )}(i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n) 在区间（t1,t2）满足
∫
∫
t2
t1
ϕ1 (t )ϕ 2 (t )dt = 0
在区间(t 内正交。 则称 ϕ1和ϕ 2 在区间(t1,t2)内正交。 若有n 构成一个函数集， 若有n个函数 {ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),⋅ ⋅ ⋅, ϕ n (t )} 构成一个函数集， 这些函数在区间(t 这些函数在区间(t1,t2)内满足 t2 当i ≠ j 0, ∫t1 ϕi (t )ϕ j (t )dt = K i ≠ 0, 当i = j 则称此函数集为在区间(t 的正交函数集。 则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集。 在区间(t 内相互正交的n 在区间(t1,t2)内相互正交的n个函数构成正交信号空间
cos 2 x = 2 cos x − 1 = 1 − 2 sin x
2 2
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信号与系统 电子课件
证明沃尔什（ 证明沃尔什（Walsh）函数集在区间（0，1）内是完备的 ）函数集在区间（ ， ） 正交函数集。 表示。 为编号 正交函数集。用Wal(k,t)表示。k为编号 表示
Wal (0, t )
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信号与系统 电子课件 数学上给定条件下的函数可展开为由某种 基本函数形式所构成的一组多项式。 基本函数形式所构成的一组多项式。 时域基本信号： 连续系统： 时域基本信号： 连续系统：冲激函数 离散系统： 离散系统：单位序列 频域基本信号？ 频域基本信号？
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信号与系统 电子课件
傅立叶的两个最主要的贡献
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信号与系统 电子课件
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信号与系统 电子课件
f (t ) ≈ C1ϕ1 (t ) + C2ϕ 2 (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + Cnϕ n (t ) = ∑ C jϕ j (t )
j =1 n
才能得到最佳近似。 如何选择 C j才能得到最佳近似。
n 1 t2 ε = [ f (t ) − ∑ C jϕ j (t )]2 dt t 2 − t1 ∫t1 j =1 2