6.3偏导数及其在经济学中的应用

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偏导数公式大全24个

偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。

在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。

下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。

1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。

2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。

3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。

4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。

5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。

类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。

6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。

类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。

7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。

8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。

9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。

10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。

6.3偏导数及其在经济学中的应用

设甲和乙是两个有关联的商品, P1和P2分别为它们的单位价格,
Q1和Q2分别为它们的需求量.若甲和乙的需求函数分别为
Q1 Q1(P1, P2 ),
Q2 Q2 (P1, P2 ).
则商品甲和商品乙的需求量Q1和Q2对自身价格P1和P2的价格偏弹性
分别为
E11
EQ1 EP1
P1 Q1
Q1 , P1
有关外,还与其配置系统价格P2 (单位 : 万元)有关,具体关系为
Q
100
250 P1
100P2
P2 2
,
当P1 25, P2 2时,求
(1)销售量Q对自身价格P1的直接价格偏弹性;
(2)销售量Q对相关价格P2的交叉价格偏弹性.
f x
(x0 ,
y0 )
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意: f x (x0 , y0 )
f
( x0
)
lim
x 0
f
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
x
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
同样可定义对 y 的偏导数
f2(x, y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
2. 二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
第6.3节
偏导数及其在经济学中的应用

2-6偏导数在经济分析中的应用

w1 w 2
)

由问题的实际意义知，当两种投入要素分别为
x 1 6( w 2 w1 )

, x 2 6(
w1 w 2
)

时，生产12个单位产量的成本取得最小值．
1 1 3 2 L , 某商品的生产函数为 Q 6 K 其中Q 为产品产量, L为劳动投入,K为资本投入;又知资本投入价格为4,劳动力投入价格为3,产品销售价格为p=2. 求: (1). 该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大利润; (2).若投入总额限定在60个单位范围内,求此时取最大利润时的投入及最大利润.
表示每增加一个单位商品qx 的消费所得到的总效用的增加量. 表示每增加一个单位商品qy 的消费所得到的总效用的增加量.
¶u ¶ qy
边际效用是递减的, 随着一个人所消费的某种商品的数量增加, 其总效用虽然递增, 但该物品的标边际效用却是递减的趋势.
2. 弹性
考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比:
D xz z Dx x = D xz x Dx z
当D x
0 时,
D xz x lim ? Dx 0 D x z fx ( x, y )
'
x f ( x, y )
称为z = f ( x, y) 在点 ( x , y ) 处对 x 的弹性函数. 记为 e x .
即
ex = f x ( x, y )
'
解利润函数为
pf ( L , K ) w L rK
1 1 2
1 2 L3 K
4L 3K
其定义域为开区域
D {( L , K ) L 0 , K 0 }
由利润最大化的一阶必要条件，有

微积分第二版课件第三节偏导数与经济应用

每种产品的边际利润．
解(1)对产品 q的1 边际成本为
C q1
6q1
7
1.5q2
对产品q2的边际成本为
C q2
1.5q1
6
4q2
(2)
C q1
q15 (6q1 7 1.5q2 ) q15 41.5
q2 3
q2 3
(3) 利润函数
L(q1, q2 ) 30q1 20q2 C(q1, q2 ) 23q1 14q2 3q12 1.5q1q2 2q22
解对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
同理
u 2xez cos( x2 y3) x u 3y2ez cos( x2 y3) y
u ez sin( x2 y3) z
3.二元函数偏导数的几何意义
二元函数 z =f (x, y) 的图形表示空间一张曲面. 当
y = y0时, 曲面z = f (x, y)与平面 y = y0 的交线方程为
由偏导数定义可知,求偏导数 fx，(x就, y是) 在函数中视f (yx为, y常) 数，只对x求导数，因此有
类似地
fx (x,
y)
d dx
f
(x,
y)
y不变
fy (x,
y)
d dy
f
(x,
y)
x不变
这样求偏导数实际上是一元函数求导问题.
对于固定点 (x0, 处y0 )的导数有
fx (x0 , y0 ) fx (x, y) (x0 ,y0 ) fx (x, y0 ) xx0
4.偏导数与连续的关系一元函数可导与连续的关系：连续可导对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
例
讨论函数
f

偏导数及其在经济分析中的应用和计算方法

y
zy
二、
求下列函数的偏导数:
1. z (1 xy) y ；
2．u arctan(x y)z.
三、
x2 y2
曲线
z
4
在点(2,4,5)处的切线
y 4
与 x 轴正向所成的倾角是多少?
四、
设 z y x ,求 2 z , 2 z 和 2 z . x 2 y 2 xy
五、设 z x ln( xy),求 3 z 和 3 z . x 2y xy 2
偏导数的计算、偏导数的几何意义
高阶偏导数
纯偏导混合偏导（相等的条件）
偏导数在经济分析中的应用
思考题
若函数 f ( x, y)在点 P0( x0 , y0 )处连续，能否断定 f ( x, y)在点 P0( x0 , y0 )的
偏导数必定存在？
思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 ,
2u x 2
2u y2
(
y2 x2
x2 y2 )2
(
x2 x2
y2 y2 )2
0.
四、偏导数在经济分析中的应用 ——交叉弹性(cross elastic)
在一元函数微分学中,我们引出了边际和弹性的概念,来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率,这些概念也可以推广到多元函数微分学中去,并被赋予了丰富的经济含义.
数，记作z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y
)
.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义导数是微积分的重要概念，描述了函数的变化率和切线的斜率。

而函数可以是多变量的，也就是包含多个自变量的函数。

在多变量函数中，我们常常使用偏导数来描述函数在某个指定变量处的变化率。

本文将会探讨偏导数的几何意义以及其在实际应用中的重要性。

一、偏导数的定义和计算方法首先，我们来了解一下偏导数的定义。

对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以将其中一个自变量视为固定值，而对其他自变量求导。

这就得到了偏导数。

偏导数可以记作∂f/∂xi，其中∂表示对单个变量求导。

计算偏导数的方法与对单变量函数求导的方法类似。

对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们将其中的其他自变量视为常数，然后对指定的自变量进行求导。

例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，在x处求偏导数时，我们将y视为常数，对x进行求导，得到2x；而在y处求偏导数时，我们将x视为常数，对y进行求导，得到2y。

二、1. 偏导数与斜率的关系偏导数可以看作是多变量函数图像上某点处的切线斜率。

在二维平面中，对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别表示了函数在x和y 方向上的变化率。

因此，它们可以用来确定函数图像上某点处的切线斜率。

当在点(x0,y0)处求对x的偏导数时，结果表示了函数曲面在(x0,y0)点处关于x轴的切线斜率。

同理，对y的偏导数可表示函数曲面在(x0,y0)点处关于y轴的切线斜率。

2. 偏导数与方向导数的关系方向导数是一种描述函数在给定方向上变化率的概念。

对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，它的方向导数在点(x0,y0,...,zn)处的方向u处定义为：Duf(x0,y0,...,zn) = ∇f(x0,y0,...,zn)·u其中∇f(x0,y0,...,zn)表示函数在点(x0,y0,...,zn)处的梯度向量，u表示方向向量。

梯度向量可以看作是偏导数组成的向量，即：∇f(x0,y0,...,zn) = ( ∂f/∂x0, ∂f/∂y0,..., ∂f/∂zn )因此，可以将方向导数与偏导数联系起来。

偏导数与方向导数

偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率和方向性。

在本文中，我们将介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的偏导数。

对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，其中∂表示偏导数的符号，f表示函数，xi表示自变量。

偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数，对某个变量求导即可。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算∂f/∂x和∂f/∂y。

计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导，得到2x + 2y。

同理，计算∂f/∂y时，将x视为常数，对y求导，得到2x + 2y。

因此，函数f(x, y)的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。

二、方向导数的定义和计算方法方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。

对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的方向导数可以表示为∇f·u，其中∇f表示函数f的梯度，u表示方向向量。

方向导数的计算方法可以通过梯度向量和方向向量的点积来实现。

梯度向量∇f表示函数在某一点上的变化率最大的方向，它的计算方法为∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。

例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的方向导数可以表示为∇f(1, 2)·u，其中∇f(1, 2) = (4, 6)。

如果方向向量u为(1, 1)，则方向导数为(4, 6)·(1, 1) = 10。

这表示在点(1, 2)处沿着方向(1, 1)的变化率为10。

三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 最优化问题：偏导数可以用于求解多元函数的最大值和最小值。

导数在经济学中的应用

导数在经济学中的应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。

而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，确实是边际分析方法。

1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。

用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。

不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)确实是固定成本。

平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。

而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。

例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 假如产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。

类似地运算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c 7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x xx c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。

偏导数知识点总结方法

偏导数知识点总结方法一、偏导数的定义偏导数是多变量函数在某一点上的导数。

对于一个多变量函数f(x, y)，其在点(x0, y0)处的偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。

其中，∂f/∂x表示在y固定的条件下，f对x的变化率；∂f/∂y表示在x固定的条件下，f对y的变化率。

在数学上，可以用以下的极限定义来表示偏导数：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。

这样，我们就可以得到一个多变量函数在某一点上的偏导数值。

二、偏导数的性质偏导数具有一些特有的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和计算偏导数。

下面是一些偏导数的性质：1. 常数乘法法则：如果f(x, y)是一个多变量函数，k是一个常数，那么∂(kf)/∂x = k∂f/∂x，∂(kf)/∂y = k∂f/∂y。

2. 和差法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(f+g)/∂x = ∂f/∂x + ∂g/∂x，∂(f+g)/∂y = ∂f/∂y + ∂g/∂y。

3. 乘积法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(fg)/∂x = g∂f/∂x + f∂g/∂x，∂(fg)/∂y = g∂f/∂y + f∂g/∂y。

4. 商法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(f/g)/∂x = (g∂f/∂x - f∂g/∂x) /g^2，∂(f/g)/∂y = (g∂f/∂y - f∂g/∂y) / g^2。

5. 复合函数法则：如果z=f(x, y)，x=g(u, v)，y=h(u, v)，那么∂z/∂u = (∂z/∂x)(∂x/∂u) +(∂z/∂y)(∂y/∂u)，∂z/∂v = (∂z/∂x)(∂x/∂v) + (∂z/∂y)(∂y/∂v)。

偏导数及其应用

经济学以及规划方面起举足轻重的作用。本文先对偏导数的概念以及基本性质进行阐述，然后具体阐述偏导数在求
最值问题上的应用。同时介绍拉格朗日乘数法，阐述偏导数在求条件最值方面的用法。对于偏导数求最值的用法 ,
本文在每一种最值上都举了例子从而表明求最值的方法。最后介绍偏导数在不等式求解和经济学方面的一些简单应
量固定，即可求出对于各个自变量的偏导。
其中值得一提的是，对于一元函数而言，不连续
的函数的导数时没有意义的。例如，对于 y=|x| 这个函
数，在 x=0 处不连续，于是这个函数在 x=0 处没有导数。
而对于多元函数的偏导，不连续未必说明不可导，而可
导也未必说明连续。下面举个例子来说明：
用，从而对偏导数的实际生活应用层面进行探讨。
关键词偏导数；极值；最值；拉格朗日乘数法；交叉弹性
中图分类号 O1
文献标识码 A
文章编号 2095-6363（2016）15-0036-02
1 偏导数的概念及其基本性质
偏导数的定义：假设二元函数 z=f(x,y), 点 (x0， y0) 是在函数定义域内的某一点，把 y0 固定而使得 x0 处
4 含有约束条件的偏导数问题求法在实际情况中，问题往往不能简单的抽象为一个
函数本身的最值问题，往往还存在约束条件。有些情况下的约束条件很好处理。例如求 z=x2+y2 在约束条件下 y=x+1 的最小值，我们只需将函数中的 y 换成 x 就可以很轻松的求出最小值。但是对于某些约束条件却不是那
科学前沿论坛
偏导数及其应用
丁志诚南京师范大学附属中学江宁分校，江苏南京 211102
摘要当今社会，随着实际工作中最优化问题的出现，函数问题变得越来越重要。很多问题，需要考虑的因素

第三节偏导数及其经济应用 2013-4-20

§8.3 偏导数及其经济应用教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用．重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数．难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数的偏导数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：一、偏导数的定义及其计算方法1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆-.二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ∆=+∆-.2.二元函数偏导数的定义【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数，并记作00x x y y z x ==∂∂，00x x y y fx==∂∂，00x x xy y z ==或00(,)xf x y '. 其中 00(,)xf x y '= 000000(,)(,)limlim x x x f x x y f x y zxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆.(2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数:00x x y y z y==∂∂=00(,)y f x y '=000000(,)(,)lim limy y y z f x y y f x y yy ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 结论(1)当(,)f x y 在点00(,)x y 处同时存在对x ，y 的偏导数时，简称(,)f x y 在点00(,)x y 可偏导.(2)当(,)f x y 在平面某一区域D 内每一点(,)x y 处都存在对x ，y 的偏导数时，则称函数在该区域D 内有偏导函数，记作,,,z z fx y x∂∂∂∂∂∂(,),(,),,x y x y f x y f x y z z ''''也简称偏导数．3.多元函数偏导数的定义设0()()U P D f ⊂,若一元函数000001211(,,,,,,)k k k n f x x x x x x -+ 在0k k x x =处存在极00000000001111110(,,,,,)(,,,,,)lim k k k k k n k k k n x kf x x x x x x f x x x x x x -+-+∆→+∆-∆ ,则称此极限为()u f P =在点000012(,,,)n P x x x 处对k x 的偏导数，并记作kP P ux =∂∂，kP P f x =∂∂，0kx P P u =或0()kx f P .提问：用定义表示三元函数(,,)f x y z 在点000(,,)x y z 处的三个偏导数.0000000000(,,)(,,)(,,)limx x f x x y z f x y z f x y z x∆→+∆-'=∆；0000000000(,,)(,,)(,,)limy y f x y y z f x y z f x y z y∆→+∆-'=∆； 0000000000(,,)(,,)(,,)lim z z f x y z z f x y z f x y z z∆→+∆-'=∆.结论：多元函数求偏导数时，只将一个变量看作未知量，而其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将12(,,,)n f x x x 中所有()j x j k ≠看作常量而对k x 求导可得kfx ∂∂. 4.偏导数函数设区域()D D f ⊂,若(,)z f x y =在D 内每一点P 对(x y 或的偏导数(,)x f x y 或(,)y f x y 都存在,那么(,)x f x y 或(,)y f x y 就称为(,)z f x y =对(x y 或的偏导函数，（它仍是,x y 的函数）.记作u x ∂∂，（或u y ∂∂）f x∂∂（或fy∂∂），x u （或y u ）或()x f P （或()y f P ）. 可见,函数()x f P 在0P P =处的值为偏导数0()x f P .以后在不混淆的情况下,将偏导函数()x f P 也称为偏导数.例1(1) 求 223z x xy y =++在点(1,2)处的偏导数．分析：二元函数的偏导数① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x 求导可得x f ∂∂. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y 求导可得yf∂∂.解 23z x y x ∂=+∂, 32z x y y∂=+∂．∴1221328x y z x ==∂=⨯+⨯=∂,1231227x y z y==∂=⨯+⨯=∂．(2)2sin z x y =，则(2,)6|z x π∂=∂ ，(2,)6|zy π∂=∂ . (2,)(2,)66|2,|23z zx y ππ∂∂==∂∂.(3) （09.3.4）设()y x z x e =+，则(1,0)|zx∂=∂ln()()[ln()]y x x e y x y y z x e x e x e x x x e +∂∂==+++∂∂+ ln2(1,0)1|(ln 2)2ln 212z e x ∂=+=+∂. （4）（2013.4）设函数(,)z z x y =由方程()xz y xy +=确定，则(1,2)z x∂=∂___________.提示：(1,2)0z =，由对数求导法知1ln()x z z y z y x x∂++=+∂，代值得 (1,2)1l n 2|12zx ∂+=∂，解出(1,2)22l n 2z x∂=-∂.例2求下列函数的偏导数（注意复合函数求导法则:层层求导，导数相乘的含义） (1) 求 2sin(2)z x y =．解)2sin(2y x x z =∂∂ , )2cos(22y x yz =∂∂．（2）2(,)xy f x y e =解 222(,),(,)2xy xyx y f x y y e f x y xye ==．（3）设2()2y z xy x φ=+，其中()u φ可微，求,x y z z 解 22(),()2x y y yz y xy z x xy x xφφ''=-+=+（4）222u x y z =++（考虑两层复合的函数）解 222222,x y x y u u x y z x y z==++++,222z zu x y z=++.（5）ln tany z x= （考虑三层复合的函数ln ,tan ,y z u u v v x===）解 22221sec ()t sec tan x y y y y yz co y x x x x x x =⋅⋅-=-⋅⋅21t sec y y y z co x x x =⋅⋅．（6）()zx u y =解 ()z z zx u y x y-==⋅，1()z z z x x zu zy x y x--=⋅=⋅()z y x zu y y =-⋅，()ln z z x x u y y=⋅．（7）21(,)()xy x yF x y f s ds e dx =+⎰⎰解 (,)(),(,)()()x y F x y yf xy F x y xf xy f y ==-．提问（2012-2-4-11）设1(ln )z f x y=+，其中()f u 可微，则2z z xy x y ∂∂+=∂∂ . 提示：21111(ln );(ln )z z f x f x x x y y y y ∂∂''=+=-+∂∂，20z z x y x y∂∂+=∂∂. 练习：（1）(1)x z xy =+提示：ln(1)(1)x x xy z xy e +=+=．（2）设函数221(.)1xyxy xf x y dt e dy t -=++⎰⎰，求偏导数,f fx y ∂∂∂∂. 提示：2333331,111x f y f x e x y x y x x y-∂∂=-+=∂∂+++. （3）(95.3) 设)(xyxyf z =,)(u f 可导,则='+'y x z y z x . 提示 2()x y yxz yz xyf x''+=.提问:二元函数(,)z f x y =的两个偏导数存在,且0z x ∂>∂,0z y∂<∂，则【】. (A ) (,)f x y 关于x 是减函数，关于y 是增函数； (B ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数； (C ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数； (D ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是减函数.答(D ).因为0>∂∂x z表示当y 保持不变时,),(y x f 是x 的单调增加函数0<∂∂yz表示当x 保持不变时,),(y x f 是y 的单调减少函数.例3 设yz x =(0,1)x x >≠，求证 12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂. 证明因1-=∂∂y yx x z , x x yz y ln =∂∂, 所以x x xyx y x y z x x z y x yy ln ln 1ln 11+=∂∂+∂∂- y y x x +=z 2=例4 已知理想气体的状态方程pV RT =(R 为常数),求证:1p V T V T p∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证明因 RT p V =⇒2p RTV V ∂=-∂, ⇒=p RT V p R T V =∂∂,⇒=R pV T R V p T =∂∂.所以 21p V T R T R V R TV T p V p R p V∂∂∂⋅⋅=-⋅⋅=-=-∂∂∂. 二、偏导数存在与函数连续的关系函数(,)z f x y =在一点00(,)x y 的偏导数存在时并不一定在该点连续，但在点00(,)x y 对x 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于x 是连续函数，同样函数(,)z f x y =在一点00(,)x y 对y 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于y是连续函数.并且有关于一元函数的增减性. 偏导数与连续的关系（1）一元函数在某点可导====>连续，（2）多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续. 例如:设 1 0,0,(,),0.xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩由于00x y fx==∂=∂00(0,0)(0,0)11limlim 0x x f x f x x∆→∆→+∆--==∆∆, 00x y f y==∂=∂00(0,0)(0,0)11limlim 0y y f y f y y∆→∆→+∆--==∆∆. 即(,)f x y 在(0,0)点两个偏导数都存在,但(,)f x y 在(0,0)点显然间断．因为(,)(0,0)lim (,)0(0,0)1x y f x y f →=≠=.又如， ( (220,,)(0,0)(,),,)(0,0)x y f x y xy x y x y =⎧⎪=⎨≠⎪+⎩在点(0,0)处两个偏导数均存在且为0，（用下列方法可求）00x y f x==∂=∂220000(0,0)(0,0)0lim lim 0x x x f x f x x x ∆→∆→⋅-+∆-+==∆∆,但是(,)f x y 在(0,0)点不连续，因为222222(,)(0,0)00lim(,)lim lim (1)1x y x x y kxxy kx kf x y x y x k k →→→====+++ 极限不存在.结论：多元函数偏导数存在与连续没有必然关系.三、二元函数偏导数的几何意义偏导数),(00y x f x 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.提问：是否存在一个函数(,)f x y ，使得4x f x y '=+，3y f x y '=-？（分析：21(,)4()2x f x y f dx x xy y φ==++⎰ 4()3y f x y x y φ'⇒=+≠-，所以这样的(,)f x y 不存在.）四、高阶偏导数1.高阶偏导数: (,)z f x y =偏导函数(,)x f x y '，(,)y f x y '还是,x y 的函数，若(,)x f x y '，(,)y f x y '在区域D 内对,x y 存在有偏导数,则称此偏导数为),(y x f z =的二阶偏导数,并),(0y x f z =Oxz 0M yT xTy),(0y x f z =记作22(,)xx z z f x y x x x ∆∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭,2(,)xy z z f x y x y y x ∆∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭,22(,)yy z z f x y y y y ∆⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭，2(,)yx zz f x y y x x y ∆⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭, 同理有3232z z x x x ∆⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭,3222z z x y y x ∆⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂∂⎝⎭等等. 2.【定理】如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导 (,)xy f x y ，(,)yx f x y 在区域D 内连续，则在该区域内必(,)xy f x y =(,)yx f x y .二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数. 例5 设32331z x y xy xy =--+,于是22333z x y y y x ∂=--∂ ， 3229z x y xy x y∂=--∂； 2226z xy x ∂=∂ ， 232218z x x y y∂=-∂； 222691z x y y x y ∂=--∂∂ , 222691z x y y y x∂=--∂∂. 例6 求函数arctan xz y=的二阶偏导数.解 222111()x y z x y x y y=⋅=++，22y xz x y =-+222222()()xx y xyz x x y x y ∂==-∂++， ()2222222!()()!!xy yx y x y n z z y x y x y r n r ∂-===∂++-， 222222()()yy x xy z y x y x y ∂-==∂++．练习:求函数2y z x ye =的二阶偏导数.解 22,(1)y yx y z xye z x e y ''==+;22,2(1),(2)y y yxx xy yx yy z ye z xe y z z x e y ''''''''==+==+. 例7(05.8) 设()f u 具有二阶连续导数，且(,)()()y x g x y f yf x y =+,求222222g g x y x y ∂∂-∂∂. 解由条件知)()(2yx f x y f x y x g '+'-=∂∂, )(1)()(242322y xf y x y f x y x y f x y xg ''+''+'=∂∂,)()()(1y x f y x y x f x y f x y g '-+'=∂∂ 22222231()()()()g y xx x x x xf f f f y x x y y y y y y ∂''''''=-++∂ 2231()()y x x f f x x y y''''=+故222222y g y x g x ∂∂-∂∂ )()()()()(2222222yx f y x x y f x y y x f y x x y f x y x y f x y ''-''-''+''+'=)(2xy f x y '=.练习求下列函数的二阶偏导数22(1)()z f x y =-，ln (2)x z y =，(3)xyz u e =例8 证明函数1u r =满足方程2222220,u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂其中222r x y z =++.证明:22311u r x xx r x r r r ∂∂=-=-=-∂∂, 22234351313u r x x r r x r r∂∂=-+=-+∂∂；同理2223513u y y r r∂=-+∂, 2223513u z z r r ∂=-+∂. 2222222223533()u u u x y z x y z r r ∂∂∂++++=-+∂∂∂33330r r=-+=.（补充内容）#*、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性(一元函数弹性)我们知道一元函数边际与弹性分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售A Q 是它的价格A P 及其它商品价格B P 的函数(,)A A B Q f P P =,称A BB AQ P P Q ∂⋅∂为A Q 对B P 的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品；当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.【偏弹性定义】设函数(,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数存在，函数对x 的相对改变量(,)(,)(,)x z f x x y f x y z f x y ∆+∆-=与自变量x 的相对改变量x x∆之比x zz x x∆∆称为函数(,)f x y 对从x 到x x +∆两点间的弹性．当0x ∆→时，x zz x x∆∆的极限值称为函数(,)f x y 在点(,)x y 处对x 的弹性，记作x EzEx η或，即0lim x x x z Ez x z x Ex z x x z η∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.类似可以定义函数(,)f x y 在(,)x y 处对y 的弹性为0lim y y y z Ezy z y Ey z y y z η∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.特别地，如果(,)z f x y =中z 表示需求量，x 表示价格，y表示消费者收入，则x η表示需求对价格的弹性，y η表示需求对收入的弹性.( x η恒为正)【交叉弹性概念】设,A B 两种商品彼此相关，它们的需求量,A B Q Q 分别为两种商品价格,A B P P 及其消费者收入y 的函数即(,,)(,,)A A B B A BQ f P P y Q g P P y =⎧⎨=⎩，则1110122202/lim //lim /A B A A A A P A AA AB B B B P B B B B Q Q P Q E P P Q P Q Q P QE P P Q P ∆→∆→∆∂⎫==⋅⎪∆∂⎪⎬∆∂⎪==⋅⎪∆∂⎭直接价格偏弹性；2120222102/lim //lim /B A A A B A P B BA B B B A B P A A B A Q Q P Q E P P Q P Q Q P QE P P Q P ∆→∆→∆∂⎫==⋅⎪∆∂⎪⎬∆∂⎪==⋅⎪∆∂⎭交叉价格弹性.当0,0A B B AQ QP P ∂∂>>∂∂则说明两种商品中任一价格减少都将使其中一个需求量增加且另一个需求量减少此时称,A B 互为替代品；如苹果与香蕉.当0,0A B B AQ QP P ∂∂<<∂∂则说明两种商品中任一价格减少都将使其中一个需求量同时增加此时称,A B 互为互补品；如汽车与汽油.例某种数码相机的销售量A Q 除与它自身的价格A P 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格B P 有关,具体222504120102A B B A b b ac Q P P P a-±-=+-- 求 50A P =，5B P =时（1）A Q 对A P 的弹性；（2）A Q 对B P 的交叉弹性. 解：（1）A Q 对A P 的弹性为2225025012010A A A A A A A A B BAEQ Q P P EP P Q P P P P ∂=⋅=-⋅∂+--2250120250(10)A A B B P P P P =-+-+ 当A P =50，B P =5时25011205025050(5025)10A B EQ EP =-=-⋅+-+ （2）A Q 对B P 的交叉弹性为 2(102)25012010A A B BB B A B BBEQ Q P P P EP P Q P P P ∂=⋅=-+⋅∂+--BA P =50，B P =5时520212055025A EQ EP =-⋅=-+--B 小结：1．多元函数求对x 偏导数，就把函数看作x 的一元函数，求函数对x 的导数即为所求偏导数．2．一元函数的可导必连续在多元函数中不再成立，即(,)f x y 在一点存在偏导数，但在这一点不一定连续.偏导数),(00y x f x 存在，则有0(,)()f x y g x =在点00(,)x y 连续，偏导数00(,)y f x y 存在，则0(,)()f x y h y =在点00(,)x y 连续.3. 二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.4.偏弹性可以在一元函数弹性的基础上,把导数换成偏导数,对谁求偏弹性,就把谁看作自变量.课后记：存在的问题:不能正确的运用公式，计算错误较多；忽略了混合偏导数在连续情况下才与求导数的顺序无关的条件.。

偏导数在经济学中的有效应用

偏导数是高等数学教学中的重要组成部分，也是最基本的内容之一，更是与高中数学中的“导数”有密切联系的一部分内容。

而且，这部分内容与经济学之间也有密切的联系，是提高学生学习其他学科质量的保障。

所以，在经济数学基础教学的过程中，教师要做好偏导数的相关研究工作，要有意识地将两者结合在一起进行研究，以提高学生的经济分析能力，帮助学生树立正确的学习观念和经济观念。

一、偏导数与边际产量之间的关系边际产量作为微观经济学中的重要组成部分，是确保企业利润最大化的主要参考量。

所以，在经济数学基础教学中，在讲解偏导数时，我们不能简单地向学生讲解一些基本的知识，比如，如何求偏导数，偏导数的含义等，还要将生活中的经济问题与偏导数的教学应用结合起来。

所以，我们除了按照教材向学生讲解边际产量的相关概念之外，更重要的是要组织学生对相关的问题进行讨论，如，某企业的生产函数为Q =200K 12L 23，其中Q 是产量（单位：件），K 是资本投入（单位：千元），L 是劳动力投入（单位：千工时），求当L =8，K=9时的边际产量，并解释其意义。

要想求出边际产量，首先我们要理解的就是边际产量的概念，之后，在通过确定某一量不变的过程中根据偏导数的相关知识进行解答，比如，当资本投入K 不变时，劳动力投入发生转变，边际产量则可以将劳动力投入L 看做为变量求偏导，即：αQ αL。

反之，当劳动力投入L 不变时，我们可以对资本投入K 求偏导。

按照这样的过程，组织学生自主进行分析，借助边际产量的概念以及偏导数的相关知识进行解答，并引导学生进行分析和思考，这两者的结合对实际的经济分析有什么意义，能够得到怎样的结论等。

比如，借助偏导数来求解边际产量能够通过与边际成本的比较判断是否合算，以帮助学生学会分析相关的经济现象，提高知识的利用能力。

同时，我们还可以将对资本投入K 的偏导值与对劳动力投入L 的偏导值之比来表示边际技术替代率，当边际技术替代率为正值时，表示资本投入与劳动力投入同时增加才能达到与从前相同的产量水平。

浅析偏导数在经济学中的应用

浅析偏导数在经济学中的应用摘要：在学习高等数学的微积分的时候,多元函数微分学是一个重点，又是一个难点,而且偏导数又是多元函数微分学中的重难点之一.随着社会的不断发展，多元函数偏导数的极值与最值在经济学和实际生活中应用越来越广泛.本文主要探讨在经济学实际生活中如何利用多元函数偏导数求解极值，特别是条件极值（拉格朗日乘数法），最值等方面的应用.关键词：多元函数偏导数，拉格朗日乘数法，最值，应用在学习高等数学中，我们对多元函数和一元函数的认识更上了一层，对其的认知也不只限于对于概念的理解，更应对它们再经济学和日常生活中得应用加强了许多，比如，。

在讨论函数极值问题上，函数的自变量只有限制在函数定义域内，而无其他条件限制时称为无条件极值.若函数自变量除了限制在函数定义域内，还有其它一些约束条件时，称为条件极值，对于条件极值，我们通常使用拉格朗日乘数法来求解。

.1.在经济中关于产品最优化问题拉格朗日乘数法在经济中的最优化问题中是广泛的应用，在经济中用多元偏导数解决的都是具体的实际问题，如利润最大、费用最小、产品材料最省、产品体积最大等，而且它们的存在与否是显而易见的.注意：如果根据问题的性质，确实能够判断出我们所讨论的问题存在最大值或者存在最小值，且多元函数在定义域D内只有一个极值可疑点时，那么，这个可疑点的函数值，就一定也是我们所求的最值，当题意不能直接确定最大、最小时，用极值的判别法即的符号判断.其中。

例1：假设在某一企业在市场分割成2个相同分量的市场的情况下，同时出售同一种产品，两个市场的需求函数满足 , .其中P1和P2表示为销售价格，Q1,Q2表示为销售量，总成本函数为 .(1)若该企业实行价格差别策略，试试确定两个市场上这产品的销售价格和销售量分别为多少时，使得企业获得的利润最大？分析：该问题中价格差别策略是其他方面不同，但是采取同一商品不同的销售价格，很明显问题是要求总利润即目标函数 ,此问题无约束条件，即为求无条件极值的问题.解：目标函数为，又由于，，所以。

§6.3偏导数

′ = z ′yx
的偏导数, 的偏导数, 偏导数. 的偏导数称为偏导数
10
z = x 3 y 2 3xy 3 xy + 1, 求它的二阶偏导数求它的二阶偏导数. 例1.设设
z 解 = 3x 2 y 2 3 y 3 y , x 2 z z = = 6 xy 2 , 2 x x x
z = 2 x3 y 9 xy 2 x, y 2 z z = = 6 x 2 y 9 y 2 1, xy y x
2 z z 2 z z 2 2 3 = = 2 x 18xy, = = 6 x y 9 y 1, y 2 y y yx x y y 3z 2 z 2 z 3 z = 2 = 6 y2, = 2 = 12xy. 再求 3 2 x x x x y y x
称为函数 z = f ( x , y ) 对于 x 的偏改变量或偏增量, 的偏改变量或偏增量, 类似地: 类似地: y z
= f ( x0 , y0 + y ) f ( x0 , y0 )
的偏改变量或偏增量. 称为函数 z = f ( x , y ) 对于 y 的偏改变量或偏增量当 x 在 x0 处有增量 x , y 在 y0 处有增量 y 时,
x z y z 1 2 2 = 2 , = 2 , 证 z = ln( x + y ), 2 2 y x + y 2 x x + y
z (x + y ) x 2x y x = , = 2 2 2 2 2 2 2 x (x + y ) (x + y )
2
2
2
2
2
2 z ( x2 + y2 ) y 2 y x2 y2 . = = 2 2 2 2 2 2 2 y (x + y ) (x + y )

偏导数的几何应用讲解

偏导数的几何应用讲解
偏导数在几何中的应用有曲面的切平面和法线、空间曲线的切线、参数曲面的切平面等。

以曲面的切平面和法线为例，偏导数可以确定曲面上一点处的切向量，而切平面是过该点的平面，其法向量就是该点处的切向量，法线是与切平面垂直的直线，其方向向量也就是该点处的切向量。

偏导数在几何中的应用还包括求旋转曲面的切平面和法线方程、求由方程组所确定的空间曲线的切线方程、求参数曲面的切平面方程等。

偏导数在经济分析中的应用

2023-11-07contents •偏导数概述•偏导数在经济学中的应用•偏导数在金融学中的应用•偏导数在市场分析中的应用•偏导数在生产者理论中的应用•偏导数在消费者理论中的应用目录01偏导数概述偏导数的定义偏导数的定义对于函数$f(x,y)$，如果$\frac{\partial f}{\partial x}$表示$x$对$f$的导数，那么偏导数就是部分地求导，即对其中一个变量求导，而保持其他变量不变。

偏导数的表示在多元函数的偏导数中，对于函数$f(x,y)$，其偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。

偏导数的性质•线性性质：偏导数是线性运算，即如果$f(x,y)$和$g(x,y)$是两个二元函数，且$a$和$b$是常数，那么$(a f + b g)(x,y)$的偏导数等于$a \frac{\partial f}{\partial x} + b \frac{\partial g}{\partial x}$和$a\frac{\partial f}{\partial y} + b \frac{\partial g}{\partial y}$。

•高阶偏导数：如果一个多元函数的一阶偏导数还是关于其余变量的函数，那么可以继续求它的偏导数，以此类推，得到高阶偏导数。

偏导数在经济分析中的意义描述变量之间的关系偏导数可以描述两个变量之间的关系，例如，当一个变量增加时，另一个变量是增加还是减少。

在经济学中，经常需要考虑多个变量的优化问题，例如，如何在满足一定约束条件下最大化或最小化一个目标函数。

偏导数可以用来研究这些问题的局部最优解。

在政策分析中，偏导数可以用来研究政策变化对经济的影响。

例如，政府可以通过税收政策来影响消费者的购买行为，而偏导数可以用来描述这种影响的大小。

优化问题政策分析02偏导数在经济学中的应用边际效用函数表示在一定时间内，消费者增加一单位某种商品的消费所得到的效用量的增量。

6.3偏导数及其在经济学中的应用

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2-6偏导数在经济分析中的应用

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