6.3偏导数及其在经济学中的应用

例,
z
f
(x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
显然
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
例 f (x, y) x2 y2在(0,0)点连续，但偏导数 fx (0,0)和f y (0,0)不存在.
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim
y 0
y y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
nz x n 1
y
例5. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
f y (x0 , y0 ) lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , y
f , y
zy ,
f y (x, y) ,
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
三、偏导数在经济学中的应用 一元函数的导数在经济学中称为边际,二元函数z f (x, y)
的偏导数fx (x, y)和f y (x, y)分别称为函数f (x, y)关于x与y的边际, 边际在该点的值称为边际值. 边际的概念也可推广到多元函数上. 1.1边际产量
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
注意：即使fx (x0, y0 ), f y (x0, y0 )存在，也未必能推出 f (x, y)在(x0, y0 )连续。
3 z yx2
x
2z y x
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
例4. 求z arctan y 的偏导数 z 和 z .
x
x y
例5. 求u
1
的偏导数 u , u , u .
x2 y2 z2
x y z
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
f x
(x0 ,
y0 )
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意: f x (x0 , y0 )
f
( x0
)
lim
x 0
f
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
x
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
同样可定义对 y 的偏导数
x0
x x
1
不 等
定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则
f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
第6.3节
偏导数及其在经济学中的应用
一、 偏导数 二 、高阶偏导数 三、偏导数在经济学中的应用
一、 偏导数
定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
的偏导数，记为
在西方经济学中, 柯布 道格拉斯生产函数为 Q AK L ,
其中
A,, 为正常数,
L : 投入的劳动力数量 K : 投入的资本数量 Q : 产量
当劳动力投入保持不变, 而资本投入发生变化时, 产量的
变化率 Q 称为关于资本的边际产量. K
当资本投入保持不变, 而劳动力投入发生变化时, 产量的
解法1:
z x
2x
3
y
,
z x (1, 2)
z y
3x
2
y
z
y (1, 2)
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
例3. 求f (x, y) x cos y y cos x 在(0,0)点处的偏导数. 1 sin x sin y
f2(x, y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
2. 二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
z x
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2z x2
f xx (x, y);
y
z x
2z x y
fx y (x, y)
x
z y
2z yx
f yx (x, y);
y
z y
2z y2
fy
y (x,
y)
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为