基本不等式练习题
不等式练习题
不等式练习题一、基本不等式1. 已知a > b,求证:a + c > b + c。
2. 已知x > 3,求证:x^2 > 9。
3. 已知0 < x < 1,求证:x^3 < x。
4. 已知a, b均为正数,求证:a^2 + b^2 > 2ab。
5. 已知|x| > |y|,求证:x^2 > y^2。
二、一元一次不等式1. 解不等式:3x 7 > 2x + 4。
2. 解不等式:5 2(x 3) ≤ 3x 1。
3. 解不等式:2(x 1) 3(x + 2) > 7。
4. 解不等式:4 3(x 2) ≥ 2x + 5。
5. 解不等式:5(x 3) + 2(2x + 1) < 7x 9。
三、一元二次不等式1. 解不等式:x^2 5x + 6 > 0。
2. 解不等式:2x^2 3x 2 < 0。
3. 解不等式:x^2 4x + 4 ≤ 0。
4. 解不等式:3x^2 + 4x 4 > 0。
5. 解不等式:x^2 + 5x 6 < 0。
四、分式不等式1. 解不等式:x / (x 1) > 2。
2. 解不等式:1 / (x + 3) 1 / (x 2) ≤ 0。
3. 解不等式:(x 1) / (x + 1) < 0。
4. 解不等式:(2x + 3) / (x 4) ≥ 1。
5. 解不等式:(3x 2) / (x^2 5x + 6) > 0。
五、含绝对值的不等式1. 解不等式:|x 2| > 3。
2. 解不等式:|2x + 1| ≤ 5。
3. 解不等式:|3x 4| < 2。
4. 解不等式:|x + 3| |x 2| > 1。
5. 解不等式:|x 5| + |x + 1| < 6。
六、综合应用题1. 已知不等式组:$\begin{cases} 2x 3y > 6 \\ x + 4y ≤ 8 \end{cases}$,求x的取值范围。
基本不等式练习题 含答案
试卷第1页,总1页基本不等式1、若,则的最大值为( )ABC .2D 2、已知)A .5B .4 C .8D .6 3、设x>0 ) A .最大值1 B .最小值1 C .最大值5 D .最小值4、已知 ()D.55、,则的最大值为_______.6、设________. 7、若、为正实数,且,则的最小值为__________.8、设_____. 9、已知正数满足,则的最小值为______.10、某新建居民小区欲建一面积为1600平方米的矩形绿地,在绿地四周铺设人行道,设计要求绿地长边外人行道宽1米,短边人行道宽4米,如图所示。
怎样设计绿地的长和宽,才能使人行道的占地面积最小?并求出最小值。
023x <<(32)x x -2x >5-0,0,2,a b a b >>+=ab 1x >a b 3a b ab ++=ab 0x >,a b 4a b ab +=+a b答案第1页,总1页 参考答案1、【答案】D2、【答案】D3、【答案】A4、【答案】C5、【答案】36、7、【答案】8、9、【答案】9.10、【答案】长.宽.最小面积 试题分析:根据题意求出人行横道的面积表达式,结合基本不等式即可求解.【详解】设矩形绿地的长为米,宽为米,则平方米所以人行横道的面积(即人行道面积等于外围矩形面积减去内部矩形面积) 即当且仅当,即时等号成立 故当绿地的长为,宽为时,才能使人行道的占地面积最小,最小值为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题,要注意基本不等式成立的条件,考查了学生分析和解决问题的能力,属于中档题.980m 20m 2336m a b 1600ab =()()821600S a b =++-2816S a b =++28a b =80,20a m b m ==80m 20m 2336m。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1。
若a ∈R ,下列不等式恒成立的是 ( )A .21a a +>B .2111a <+ C .296a a +> D .2lg(1)lg |2|a a +>2。
若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是 ( )A.12B.22a b + C.2ab D.a3。
设x >0,则133y x x=--的最大值为 ( )A.3 B.3- C.3- D.-14。
设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A 。
10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数,且141x y+=,则xy 有 ( ) A.最大值16 B.最小值116 C.最小值16 D.最大值1166。
若a , b , c ∈R ,且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 ( )A .2222a b c ++≥B .2()3a b c ++≥C .111abc++≥ D .a b c ++≤7. 若x 〉0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 ( )A .114x y ≤+B .111x y +≥ C 2≥ D .11xy ≥8。
a ,b 是正数,则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 ( )A.22a b ab a b ++ 22a b aba b+≤≤+C.22ab a b a b ++ D.22ab a ba b +≤+ 9。
某产品的产量第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,设这两年平均增长率为x ,则有( )A.2p q x += B.2p q x +< C.2p q x +≤ D.2p qx +≥ 10. 下列函数中,最小值为4的是 ( )A.4y x x =+B.4sin sin y x x=+ (0)x π<<C.e 4e x x y -=+ D.3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题,每小题3分,满分12分,把正确的答案写在题中横线上.11。
基本不等式练习题参考答案
基本不等式练习题一、选择题1.在下列各函数中,最小值等于2的函数是( ) A .y =x +1x B .y =cos x +1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C .y =x 2+3x 2+2D .y =e x +4ex -2[答案] D[解析] x <0时,y =x +1x ≤-2,故A 错;∵0<x <π2,∴0<cos x <1,∴y =cos x +1cos x ≥2中等号不成立,故B 错;∵x 2+2≥2,∴y =x 2+2+1x 2+2≥2中等号也取不到,故C 错,∴选D.2.已知x >0,y >0,且2x +1y =1,若x +2y >m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .m ≥4或m ≤-2B .m ≥2或m ≤-4C .-2<m <4D .-4<m <2 [答案] D[解析] ∵x >0,y >0,且2x +1y =1,∴x +2y =(x +2y )(2x +1y )=4+4y x +xy≥4+24y x ·x y =8,当且仅当4y x =xy,即x =2y 时取等号,又2x +1y =1,∴x =4,y =2,∴(x +2y )min =8,要使x +2y >m 2+2m 恒成立,只需(x+2y )min >m 2+2m ,即8>m 2+2m ,解得-4<m <2.3.(2010·广西柳州市模考)设a ,b ∈R ,则“a +b =1”是“4ab ≤1”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件 [答案] A[解析] a ,b 中有一个不是正数时,若a +b =1,显然有4ab ≤1成立,a ,b 都是正数时,由1=a +b ≥2ab 得4ab ≤1成立,故a +b =1⇒4ab ≤1,但当4ab ≤1成立时,未必有a +b =1,如a =-5,b =1满足4ab ≤1,但-5+1≠1,故选A.4.若a >0,b >0,a ,b 的等差中项是12,且α=a +1a ,β=b +1b ,则α+β的最小值为( )A .2B .3C .4D .5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项,∴a +b =12×2=1.a +1a +b +1b ⇒1+1a +1b =1+a +b ab =1+1ab , ∵ab ≤a +b 2,∴ab ≤(a +b )24=14.∴原式≥1+4.∴α+β的最小值为5.故选D.5.若直线2ax -by +2=0(a >0,b >0)被圆x 2+y 2+2x -4y +1=0截得的弦长为4,则1a +1b的最小值是( ) A .1 B .2 C .3 D .4[答案] D[解析] 圆(x +1)2+(y -2)2=4,∵弦长为4,故为直径,即直线过圆心(-1,2),∴a +b =1.∴1a +1b =⎝⎛⎭⎫1a +1b (a +b )=2+b a +a b ≥4.当且仅当a =b =12时取等号. 6.已知c 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距,则b +c a 的取值范围是( )A .(1,+∞)B .(2,+∞)C .(1,2)D .(1,2][答案] D[解析] 由题设条件知,a <b +c ,∴b +ca>1,∵a 2=b 2+c 2,∴(b +c )2a 2=b 2+c 2+2bc a 2≤2(b 2+c 2)a 2=2,∴b +ca≤ 2.故选D.二、填空题7.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t 的最小值为________.[答案] -2[解析] y =t 2-4t +1t =t +1t -4因为t >0,y =t +1t -4≥2t ·1t-4=-2. 等号在t =1t,即t =1时成立.8.已知正数a ,b ,c 满足:a +2b +c =1则1a +1b +1c 的最小值为________.[答案] 6+4 2 [解析]1a +1b +1c =a +2b +c a +a +2b +c b +a +2b +c c=⎝⎛⎭⎫2b a +a b +⎝⎛⎭⎫c a +a c +⎝⎛⎭⎫c b +2b c +4≥22+2+22+4=6+42,等号在2b a =a b ,c a =a c ,c b =2bc 同时成立时成立.即a =c =2b =1-22时等号成立. 9.设圆x 2+y 2=1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,则AB 的最小值为______. [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为x a +yb =1,则ab a 2+b2=1,∴a 2b 2=a 2+b 2≥2ab ,切线与两轴交于点A (a,0)和(0,b ),不妨设a >0,b >0,∴ab ≥2,则AB =|AB |=a 2+b 2≥2ab ≥2.三、解答题10.(1)已知a >0,b >0,且4a +b =1,求ab 的最大值; (2)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,求3x +4y 的最小值; (3)已知x <54,求f (x )=4x -2+145x -的最大值。
基本不等式练习题(较全)
1、若实数x ,y 满足224x y +=,求xy 的最大值
2、若x>0,求9()4f x x x =+
的最小值;
3、若0x <,求1y x x =+
的最大值
4、若x<0,求9()4f x x x =+
的最大值
5、求9()45
f x x x =+
-(x>5)的最小值.
6、若x ,y R +∈,x+y=5,求xy 的最值
7、若x ,y R +∈,2x+y=5,求xy 的最值
8、已知直角三角形的面积为4平方厘米,求该三角形周长的最小值
1、求1 (3)3y x x x =
+>-的最小值.
2、求(5) (05)y x x x =-<<的最大值.
3、求1(14)(0)4y x x x =-<<的最大值。
4、求123 (0)y x x x =
+<的最大值.
5、若2x >,求1252y x x =-+
-的最小值
6、若0x <,求21x x y x ++=
的最大值。
7、求2
y =
的最小值.
8(1)用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少?
(2)段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?。
(完整版)基本不等式均值定理练习题
基本不等式(均值定理)练习题 一、选择题 1.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的个数为( ) ①ab ≤1;②a b 2;+≤③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤11 2.a b+≥ (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.已知22b 1m a a 2,n 2b 0,a 2-=+>=≠-()()则m 、n 之间的大小关系是( ) (A)m>n (B)m<n (C)m=n (D)不确定3.设a a a 11x 2x m log x,n log ,p log ,221x+===+其中0<a <1,x >0且x ≠1,则下列结论正确的是( ) (A )m <n <p (B)m <p <n (C)n <m <p (D)n <p <m4.已知不等式1a x y)()9x y++≥(对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)25.设a>0,b>0,若3是3a 与3b 的等比中项,则11a b+的最小值为( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)146.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=423-,则2a+b+c 的最小值为( )()()()()A 3 1 B 3 1 C 23 2 D 232-++-7.设x>y>z,n ∈N *,且11n x y y z x z +≥---恒成立,则n 的最大值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5二、填空题1.在4×+9×=60的两个中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上________和________.2.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是__________.3.若对任意x>0,2x a x 3x 1≥++恒成立,则a 的取值范围是__________. 4.函数y=log a (x+3)-1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn >0,则12m n+的最小值为_______. 5.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 .三、解答题 1.若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x,y 的值 2.若+∈R y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值 3.已知x ,y 为正实数,且x 2+y 22 =1,求x 1+y 2 的最大值.4.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1.函数y =2x +22x 的最小值为( )A .1B .2C .22D .4 答案:C解析:因为2x >0,所以y =2x +22x ≥22x ·22x =22 ,当且仅当2x =22x ,即x =12时取“=”.故选C.2.若a >0,b >0且2a +b =4,则1ab的最小值为( )A .2B .12C .4D .14答案:B解析:∵a >0,b >0,∴4=2a +b ≥22ab (当且仅当2a =b ,即:a =1,b =2时等号成立),∴0<ab ≤2,1ab ≥12 ,∴1ab 的最小值为12.3.下列结论正确的是( )A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x≥2B .当x ∈⎝⎛⎦⎤0,π2 时,sin x +4sin x的最小值为4 C .当x >0时,x +1x ≥2D .当0<x ≤2时,x -1x无最大值答案:C解析:当x ∈(0,1)时,lg x <0,故A 不成立,对于B 中sin x +4sin x≥4,当且仅当sinx =2时等号成立,等号成立的条件不具备,故B 不正确;D 中y =x -1x在(0,2]上单调递增,故当x =2时,y 有最大值,故D 不正确;又x +1x ≥2x ·1x=2(当且仅当x =1x即x =1时等号成立).故C 正确. 4.下列不等式恒成立的是( )A .a 2+b 2≤2abB .a 2+b 2≥-2abC .a +b ≥2|ab |D .a +b ≥-2|ab | 答案:B解析:对于A ,C ,D ,当a =0,b =-1时,a 2+b 2>2ab ,a +b <2ab ,a +b <-2|ab | ,故A ,C ,D 错误;对于B ,因为a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|a |·|b |=2|ab |≥-2ab ,所以B 正确.故选B.5.若x >0,y >0,x +2y =1,则xy2x +y的最大值为( )A .14B .15C .19D .112答案:C解析:x +2y =1⇒y =1-x 2 ,则xy2x +y =x -x 23x +1 .∵x >0,y >0,x +2y =1,∴0<x <1.设3x +1=t (1<t <4),则x =t -13,原式=-t 2+5t -49t =59 -⎝⎛⎭⎫t 9+49t ≤59 -2481 =19 ,当且仅当t 9 =49t ,即t =2,x =13 ,y =13 时,取等号,则xy 2x +y 的最大值为19 ,故选C.6.已知a >0,b >0,c >0,且a 2+b 2+c 2=4,则ab +bc +ac 的最大值为( )A .8B .4C .2D .1 答案:B解析:∵a 2+b 2≥2ab ,a 2+c 2≥2ac ,b 2+c 2≥2bc ,∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +bc +ca ),∴ab +bc +ca ≤a 2+b 2+c 2=4.7.若直线x a +yb=1(a >0,b >0)过点(1,1),则a +b 的最小值等于( )A .2B .3C .4D .5 答案:C解析:因为直线x a +y b =1(a >0,b >0)过点(1,1),所以1a +1b=1.所以a +b =(a +b )·⎝⎛⎭⎫1a +1b =2+a b +b a ≥2+2a b ·b a =4,当且仅当a b =b a 即a =b =2时取“=”,故选C.8.若向量a =(x -1,2),b =(4,y ),a 与b 相互垂直,则9x +3y 的最小值为( ) A .12 B .2 C .3 D .6 答案:D解析:∵a ⊥b ,∴a ·b =(x -1,2)·(4,y )=4(x -1)+2y =0,即2x +y =2, ∴9x +3y =32x +3y ≥232x +y =232 =6,当且仅当2x =y =1时取等号,∴9x +3y 的最小值为6.9.用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型面积的最大值为( ) A .9 cm 2 B .16 cm 2 C .4 cm 2 D .5 cm 2 答案:C解析:设矩形模型的长和宽分别为x cm ,y cm ,则x >0,y >0,由题意可得2(x +y )=8,所以x +y =4,所以矩形模型的面积S =xy ≤(x +y )24 =424 =4(cm 2),当且仅当x =y =2时取等号,所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时,面积最大,为4 cm 2.故选C.二、填空题10.已知a ,b ∈R ,且a -3b +6=0,则2a +18b 的最小值为________.答案:14解析:∵a -3b +6=0,∴ a -3b =-6,∴ 2a +18b =2a +2-3b ≥22a ·2-3b =22a -3b=22-6 =14 .当且仅当2a =2-3b ,即a =-3,b =1时,2a +18b 取得最小值为14.11.已知函数f (x )=4x +ax(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________.答案:36解析:∵x >0,a >0,∴4x +a x ≥24x ·ax=4 a ,当且仅当4x =a x ,即:x =a 2 时等号成立,由a2 =3,a =36.12.[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0,b >0,3a +b =2ab ,则a +b 的最小值为________.答案:2+3解析:由3a +b =2ab , 得32b +12a=1, ∴a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎫32b +12a =2+b 2a +3a2b ≥2+2b 2a ·3a 2b =2+3 (当且仅当b 2a =3a2b即b =3 a 时等号成立).[能力提升]13.[2024·合肥一中高三测试]若a ,b 都是正数,则⎝⎛⎭⎫1+b a ⎝⎛⎭⎫1+4ab 的最小值为( ) A .7 B .8C .9D .10 答案:C解析:⎝⎛⎭⎫1+b a ⎝⎛⎭⎫1+4a b =5+b a +4ab≥5+2b a ·4a b =9(当且仅当b a =4ab即b =2a 时等号成立).14.(多选)已知a >0,b >0,且a +b =1,则( )A .a 2+b 2≥12B .2a -b >12C .log 2a +log 2b ≥-2D . a + b ≤2 答案:ABD解析:对于选项A ,∵a 2+b 2≥2ab ,∴2(a 2+b 2)≥a 2+b 2+2ab =(a +b )2=1,∴a 2+b 2≥12,正确;对于选项B ,易知0<a <1,0<b <1,∴-1<a -b <1,∴2a -b >2-1=12,正确;对于选项C ,令a =14 ,b =34 ,则log 214 +log 234 =-2+log 234 <-2,错误;对于选项D ,∵2 =2(a +b ) ,∴[2(a +b ) ]2-( a + b )2=a +b -2ab =( a - b )2≥0,∴ a + b ≤2 ,正确.故选ABD.15.(多选)已知a ,b ,c 为正实数,则( )A .若a >b ,则ab <a +c b +cB .若a +b =1,则b 2a +a 2b 的最小值为1C .若a >b >c ,则1a -b +1b -c ≥4a -cD .若a +b +c =3,则a 2+b 2+c 2的最小值为3 答案:BCD解析:因为a >b ,所以a b -a +c b +c =c (a -b )b (b +c ) >0,所以ab >a +c b +c ,选项A 不正确;因为a +b =1,所以b 2a +a 2b =⎝⎛⎭⎫b 2a +a +⎝⎛⎭⎫a 2b +b -(a +b )≥2b +2a -(a +b )=a +b =1,当且仅当a =b =12 时取等号,所以b 2a +a 2b的最小值为1,故选项B 正确;因为a >b >c ,所以a -b >0,b -c >0,a -c >0,所以(a -c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c =[](a -b )+(b -c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -b +1b -c =2+b -c a -b +a -b b -c≥2+2b -c a -b ·a -bb -c=4,当且仅当b -c =a -b 时取等号,所以1a -b +1b -c ≥4a -c,故选项C 正确;因为a 2+b 2+c 2=13 [(a 2+b 2+c 2)+(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]≥13(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca )=13 [(a +b )2+2(a +b )c +c 2]=13 (a +b +c )2=3,当且仅当a =b =c =1时等号成立,所以a 2+b 2+c 2的最小值为3,故选项D 正确.16.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是________.答案:30解析:一年的总运费为6×600x =3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元. 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x +4x 万元.因为3 600x +4x ≥2 3 600x ·4x =240,当且仅当3 600x =4x ,即x =30时取得等号,所以当x =30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.。
必修一 基本不等式练习(精选典题)含答案
必修一基本不等式练习(精选典题)一.选择题(共19小题)1.已知正数x,y满足x+y=1,则的最小值为()A.5B.C.D.22.若关于x的不等式ax2+bx﹣1>0的解集是{x|1<x<2},则不等式bx2+ax﹣1<0的解集是()A.B.{x|x<﹣1或C.D.或x>1}3.若a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值为()A.B.5C.D.254.若正数a,b满足:lga+lgb=lg(a+b),则的最小值为()A.16B.9C.4D.15.若a>0,b>0,ab=a+b+1,则a+2b的最小值为()A.3+3B.3﹣3C.3+D.76.下列说法正确的是()A.的最小值为2B.的最小值为4,x∈(0,π)C.x2+1的最小值为2xD.4x(1﹣x)的最大值为17.不等式的解集为()A.[0,1]B.(0,1]C.(﹣∞,0]∪[1,+∞)D.(﹣∞,0)∪[1,+∞)8.若a>0,b>0,且a+2b﹣4=0,则ab的最大值为()A.B.1C.2D.49.已知a<b,则的最小值为()A.3B.2C.4D.110.若a<b<0,则下列结论中不恒成立的是()A.|a|>|b|B.>C.a2+b2>2ab D.()2>12.若不等式x2+ax+1≥0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(﹣∞,﹣2]C.[﹣2,2]D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)13.若m+n>0,则关于x的不等式(m﹣x)(n+x)>0的解集是()A.{x|﹣n<x<m}B.{x|x<﹣n或x>m}C.{x|﹣m<x<n}D.{x|x<﹣m或x>n} 14.关于x的方程x2﹣(a﹣1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根,则实数a的取值范围是()A.(4,5]B.[3,6]C.(5,]D.[)15.若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈(0,]恒成立,则a的最小值为()A.0B.﹣2C.﹣5D.﹣316.若关于x的不等式ax﹣1>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax﹣1)(x+2)≥0的解集是()A.[﹣2,+∞)B.[﹣2,1]C.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)D.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞)17.不等式ax2+bx+c>0的解集为(﹣4,1),则不等式b(x2+1)﹣a(x+3)+c>0的解集为()A.B.C.D.18.已知关于x的不等式ax2+x<0的解集中的整数恰有2个,则()A.<a≤B.≤a<C.<a≤或﹣≤a<﹣D.≤a<或﹣<a≤﹣19.若不等式(x﹣a)(1﹣x﹣a)<1对任意实数x成立,则()A.﹣1<a<1B.0<a<2C.D.二.解答题(共7小题)20.解下列不等式:(1)x4﹣x2﹣2≥0;(2).21.解关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a≥0(a∈R).22.已知函数f(x)=ax2﹣(a2+1)x+a+b(a,b∈R).(Ⅰ)若f(x)≤0的解集为[﹣1,3],求a+b的值;(Ⅱ)若a∈[﹣1,0],b=0,求f(x)>0的解集.23.(1)已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:;(2)解关于x的不等式:ax2﹣2≥2x﹣ax(a<0).24.若不等式ax2﹣bx+c>0的解集为{x|﹣3<x<2}.(1)求证:b+c=﹣7a;(2)求不等式cx2+bx+a<0的解集.25.已知函数f(x)=ax2﹣(2a+1)x+2.(1)当a=2时,解关于x的不等式f(x)≤0;(2)若a>0,解关于x的不等式f(x)≤0.26.已知关于x的不等式:x2﹣mx+m>0,其中m为参数.(1)若该不等式的解集为R,求m的取值范围;(2)当x>1时,该不等式恒成立,求m的取值范围.不等式练习参考答案一.选择题(共19小题)1.C;2.C;3.C;4.C;5.D;6.D;7.B;8.C;9.A;10.D;;12.C;13.A;14.C;15.C;16.D;17.B;18.B;19.D;二.解答题(共7小题)20.【解答】解:(1)将原不等式因式分解得(x2+1)(x2﹣2)≥0,∵x2+1>0,所以,x2﹣2≥0,解得x≤或x≥,因此,原不等式的解集为{x|x≤或x ≥};(2)由,得,化简得,等价于,解得x<﹣4或x≥﹣1,因此,原不等式的解集为{x|x<﹣4或x≥﹣1}.21.【解答】解:关于x的不等式x2﹣(a+1)x+a≥0化为(x﹣1)(x﹣a)≥0,不等式对应方程的实数根为a和1;当a>1时,不等式的解集为(﹣∞,1]∪[a,+∞);当a=1时,不等式的解集为R,当a<1时,不等式的解集为(﹣∞,a]∪[1,+∞).22.【解答】解:函数f(x)=ax2﹣(a2+1)x+a+b(a,b∈R).(Ⅰ)由f(x)≤0的解集为[﹣1,3],即方程ax2﹣(a2+1)x+a+b的两个根分别为﹣1,3.∴a>0∴,解得:a=1,b=﹣4.则a+b=﹣3.(Ⅱ)由b=0,可得f(x)=ax2﹣(a2+1)x+a=(ax﹣1)(x﹣a)∵a∈[﹣1,0],∴当a=0时,可得f(x)=﹣x,则f(x)>0,即﹣x>0,∴x<0∴解集为{x|x<0};∴当即a=﹣1时,f(x)>0,可得(x﹣a)2<0.此时无解;当a∈(﹣1,0)时,f(x)>0,即(ax ﹣1)(x﹣a)>0.∵∴解集为{x|<x<a};综上可得:当a∈(﹣1,0)时,不等式的解集为{x|<x<a};当a=﹣1时,不等式的无解;当a=0时,不等式的解集为{x|x<0}.23.【解答】解:(1)∵a+b+c=1,代入不等式的左端,∴====.∵a,b,c∈(0,+∞),∴.∴.∴(当且仅当时,等号成立).(2)原不等式可化为ax2+(a﹣2)x﹣2≥0,化简为(x+1)(ax﹣2)≥0.∵a<0,∴.1°当﹣2<a<0时,;2°当a=﹣2时,x=﹣1;3°当a<﹣2时,.综上所述,当﹣2<a<0时,解集为;当a=﹣2时,解集为{x|x=﹣1};当a<﹣2时,解集为.24.【解答】解:(1)证明:关于x的一元二次不等式ax2﹣bx+c>0的解集为{x|﹣3<x<2},∴a<0,且﹣3,2是一元二次方程ax2﹣bx+c=0的两个实数根,∴=﹣3+2=﹣1,=﹣3×2=﹣6;∴b=﹣a,c=﹣6a;∴b+c=﹣7a;(2)b=﹣a,c=﹣6a代入不等式cx2+bx+a <0,得﹣6ax2﹣ax+a<0,又a<0,则﹣6x2﹣x+1>0,化为6x2+x﹣1<0,解得﹣<x<;∴所求不等式的解集为{x|﹣<x<}.25.【解答】解:(1)当a=2时f(x)≤0可化为2x2﹣5x+2≤0,可得(2x﹣1)(x﹣2)≤0,解得,∴f(x)≤0的解集为;(2)不等式f(x)≤0可化为ax2﹣(2a+1)x+2≤0,a>0时,则不等式为a(x﹣)(x﹣2)≤0;①当时,有,解不等式得:;②当时,有,解不等式得:x=2;③当时,有,解不等式得:;综上:①时,不等式的解集为;②时,不等式的解集为{x|x=2};③时,不等式的解集为.26.【解答】解:(1)关于x的不等式x2﹣mx+m>0的解集为R,则△<0,即m2﹣4m<0;)解得0<m<4,∴m的取值范围是0<m<4;(2)当x>1时,关于x 的不等式x2﹣mx+m>0恒成立,等价于m<恒成立,设f(x)=,x>1;则f(x)=(x﹣1)++2≥2+2=4,当且仅当x=2时取“=”;∴m的取值范围是m<4.。
高一基本不等式题型练习(全)
基本不等式●知识梳理),都是正数;)积(或和)为定值(有时需要通过“配凑、拆分”找出定值))与必须能够相等(等号能够取到).●题型训练题型一(直接运用基本不等式)已知正数、满足,则的最小值是?已知正实数,满足,则的最大值为?设,求函数题型二型(配凑法)1.若,则当取最小值时,此时,分别为?2.函数的最小值是?3.当时,求函数的最大值为?4.设,求函数的最大值为?5.已知为正实数且时,则的最大值为?6.已知,则的最大值为?7.当时,求函数的最大值为?8.当,时,求函数的最大值.题型三型(分离常数法、换元法)1.当时,函数的最小值为?2.已知,则的最小值为?3.函数的最小值为?4.求函数的最大值.5.求函数的最大值.6.函数的最大值为?题型四乘“1”法1.若,,且,则的最小值为?2.已知正实数,满足,则的最小值为?3.若正数,满足,则的最小值为?4.设,均为正数.且时,则的最小值为?5.若正数,满足,则的最小值为?1.正实数,满足,则的最小值为?2.正实数,满足,则的最小值为?3.已知,,,则的最小值为?4.已知正数,满足,则的最小值为?5.已知,,,则的最小值为?1.若正实数,满足,则的最小值为?2.若实数,满足,则的最小值为?3.若,,且,则的最小值为?4.设,,,则()A.有最大值B.有最小值C.有最大值D.有最小值5.已知,且满足,则的最小值为?6.设,均为正数,且则的最小值为?7.若正数,满足,则的最小值为?题型七其他类型(难)1.已知,求的最大值为?解:,,,当且仅当时取等号,,当且仅当,即时取等号,,即当时,有最大值,即有最大值.2.函数的最大值为?3.正数,满足,则的最小值为?解:令,,,,,,,,,当且仅当时,即时,取等号,故的最小值为.4.设,是正实数,且,则的最小值为?解:令,,则,,,原式,当且仅当时取等号,即的最小值为.易错题1.已知时,求函数的最值为?2.下列命题正确的是()A.函数的最小值为B.若,且,则C.函数的最小值为D.函数的最小值为3.已知正实数,满足,则的最小值为()解:,当且仅当时等号成立,,,,4.设正实数,满足,则()A .有最大值4B .有最小值C .有最大值D .有最小值解:选项,当且仅当即时等号成立,所以的最小值为.故不正确.选项,由不等式得,当且仅当时等号成立,所以的最大值为.故不正确.选项,()ab b ab a b a 2122+=++=+易知的最大值为.所以()22121212=⨯+=++ab b a 有最大值,所以2的最大值为b a +故正确.选项,()abb a b ab a b a 211222222-=+=++=+易知ab 的最大值为41.所以21412122=⨯-+有最小值b a 故不正确.。
不等式练习题及答案解析
基本不等式练习题一、选择题1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是( C )A .x +12xB .x 2-1+1x 2-1C .2x +2-x D .x (1-x )2.函数y =3x 2+6x 2+1的最小值是( D )A .32-3B .-3C .6 2D .62-3解析: y =3(x 2+2x 2+1)=3(x 2+1+2x 2+1-1)≥3(22-1)=62-3.3.已知m 、n ∈R ,mn =100,则m 2+n 2的最小值是( A )A .200B .100C .50D .20解析:选A.m 2+n 2≥2mn =200,当且仅当m =n 时等号成立. 4.给出下面四个推导过程:①∵a ,b ∈(0,+∞),∴b a +a b ≥2b a ·ab=2;②∵x ,y ∈(0,+∞),∴lg x +lg y ≥2lg x ·lg y ;③∵a ∈R ,a ≠0,∴4a +a ≥24a·a =4;w w w .x k b 1.c o m④∵x ,y ∈R ,,xy <0,∴x y +y x =-[(-x y )+(-y x )]≤-2(-x y )(-yx)=-2.其中正确的推导过程为( D )A .①②B .②③C .③④D .①④ 解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.①∵a ,b ∈(0,+∞),∴b a ,ab∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;②虽然x ,y ∈(0,+∞),但当x ∈(0,1)时,lg x 是负数,y ∈(0,1)时,lg y 是负数,∴②的推导过程是错误的;③∵a ∈R ,不符合基本不等式的条件, ∴4a +a ≥24a·a =4是错误的; ④由xy <0得x y ,y x 均为负数,但在推导过程中将全体x y +y x 提出负号后,(-xy)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.5.已知a >0,b >0,则1a +1b+2ab 的最小值是( C )A .2B .2 2C .4D .5解析:选C.∵1a +1b +2ab ≥2ab +2ab ≥22×2=4.当且仅当⎩⎨⎧a =b ab =1时,等号成立,即a =b =1时,不等式取得最小值4.6.已知x 、y 均为正数,xy =8x +2y ,则xy 有( C )A .最大值64B .最大值164C .最小值64D .最小值164解析:选C.∵x 、y 均为正数,∴xy =8x +2y ≥28x ·2y =8xy ,当且仅当8x =2y 时等号成立.∴xy ≥64.7.若xy >0,则对 x y +yx说法正确的是( B )A .有最大值-2B .有最小值2C .无最大值和最小值D .无法确定8.设x ,y 满足x +y =40且x ,y 都是正整数,则xy 的最大值是( A )A .400B .100C .40D .20 9.在下列各函数中,最小值等于2的函数是( D ) A .y =x +1xB .y =cosx +1cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<π2C .y =x2+3x2+2D .24-+=x xee y [解析] x<0时,y =x +1x ≤-2,故A 错;∵0<x<π2,∴0<cosx<1,∴y =cosx +1cosx ≥2中等号不成立,故B 错;∵x2+2≥2,∴y =x2+2+1x2+2≥2中等号也取不到,故C 错∴选D.10.已知正项等比数列{an}满足:a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m ,a n 使得nm a a =4 a 1,则1m+4n 的最小值为( A ) A.32B.53C.256D .不存在[解析] 由已知an>0,a7=a6+2a5,设{an}的公比为q ,则a6q =a6+2a6q ,∴q2-q -2=0,∵q>0,∴q =2,∵aman =4a1,∴a12·qm+n -2=16a12,∴m +n -2=4, ∴m +n =6,∴1m +4n =16(m +n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m +4n =16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5+n m +4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2n m ·4m n =32, 等号在n m =4mn,即n =2m =4时成立.11. “a=14”是“对任意的正数x ,均有x +ax ≥1”的( A )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件[解析] ∵a =14,x>0时,x +ax ≥2x·a x =1,等号在x =12时成立, 又a =4时,x +a x =x +4x≥2x·4x =4也满足x +ax≥1,故选A. 12.设a ,b ∈R ,则“a+b =1”是“4ab≤1”的( A ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件[解析] a ,b 中有一个不是正数时,若a +b =1,显然有4ab≤1成立,a ,b 都是正数时,由1=a +b≥2ab 得4ab≤1成立,故a +b =1⇒4ab≤1,但当4ab≤1成立时,未必有a +b =1,如a =-5,b =1满足4ab≤1,但-5+1≠1,故选A.13.若a>0,b>0,a ,b 的等差中项是12,且α=a +1a ,β=b +1b ,则α+β的最小值为( D )A .2B .3C .4D .5[解析] ∵12为a 、b 的等差中项,∴a +b =12×2=1.a +1a +b +1b ⇒1+1a +1b =1+a +b ab =1+1ab, ∵ab ≤a +b 2,∴ab≤a +b 24=14.∴原式≥1+4.∴α+β的最小值为5.故选D.二、填空题1.函数y =x +1x +1(x ≥0)的最小值为____1____.2.若x >0,y >0,且x +4y =1,则xy 有最___大_____值,其值为___116_____.解析:1=x +4y ≥2x ·4y =4xy ,∴xy ≤116.3.(2010年高考山东卷)已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为___3_____.解析:∵x >0,y >0且1=x 3+y 4≥2xy 12,∴xy ≤3.当且仅当x 3=y4时取等号.答案:34.已知x ≥2,则当x =_2___时,x +4x有最小值__4__.5.已知t>0,则函数y =t2-4t +1t 的最小值为__-2_____.[解析] y =t2-4t +1t =t +1t -4因为t>0,y =t +1t-4≥2t·1t -4=-2.,等号在t =1t,即t =1时成立.6.已知正数a ,b ,c 满足:a +2b +c =1则1a +1b +1c 的最小值为 [答案] [解析]1a +1b +1c =a +2b +c a +a +2b +c b +a +2b +c c =⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +a b +⎝ ⎛⎭⎪⎫c a +a c +⎝ ⎛⎭⎪⎫c b +2b c +4≥22+2+22+4=6+42,等号在2b a =a b ,c a =a c ,c b =2b c 同时成立时成立,即a =c =2b =1-22时等号成立.7.已知x>0,y>0,lg2x +lg8y =lg2,则xy 的最大值是____112____.[解析] ∵lg2x +lg8y =lg2,∴2x·8y =2,即2x +3y =2,∴x +3y =1,∴xy =13x·(3y)≤13·⎝⎛⎭⎫x +3y 22=112,等号在x =3y ,即x =12,y =16时成立. 三、解答题1.已知f (x )=12x+4x .(1)当x >0时,求f (x )的最小值; (2)当x <0 时,求f (x )的最大值.解:(1)∵x >0,∴12x ,4x >0. ∴12x +4x ≥212x ·4x =8 3.当且仅当12x=4x ,即x =3时取最小值83,∴当x >0时,f (x )的最小值为8 3.(2)∵x <0,∴-x >0.则-f (x )=12-x +(-4x )≥212-x ·(-4x )=83,当且仅当12-x=-4x 时,即x =-3时取等号.∴当x <0时,f (x )的最大值为-8 3.2.(1)设x >-1,求函数y =x +4x +1+6的最小值;(2)求函数y =x 2+8x -1(x >1)的最值.解:(1)∵x >-1,∴x +1>0.∴y =x +4x +1+6=x +1+4x +1+5≥2 (x +1)·4x +1+5=9,当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,取等号.∴x =1时,函数的最小值是9.(2)y =x 2+8x -1=x 2-1+9x -1=(x +1)+9x -1=(x -1)+9x -1+2.∵x >1,∴x -1>0.∴(x -1)+9x -1+2≥2(x -1)·9x -1+2=8.当且仅当x -1=9x -1,即x =4时等号成立,∴y 有最小值8.3.已知a ,b ,c ∈(0,+∞),且a +b +c =1,求证:(1a -1)·(1b -1)·(1c-1)≥8.证明:∵a ,b ,c ∈(0,+∞),a +b +c =1,∴1a -1=1-a a =b +c a =b a +c a ≥2bc a , 同理1b -1≥2ac b ,1c -1≥2ab c ,以上三个不等式两边分别相乘得 (1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8. 当且仅当a =b =c 时取等号.4.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解:设污水处理池的长为x 米,则宽为200x米.总造价f (x )=400×(2x +2×200x )+100×200x+60×200=800×(x +225x )+12000≥1600x ·225x+12000=36000(元)当且仅当x =225x(x >0),即x =15时等号成立.。
基本不等式练习题
基本不等式练习题一、选择题1.若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解,则实数a 的取值范围是( )A .4-<aB .4->aC .12->aD .12-<a 2.若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .3-≤mB .3-≥mC .03≤≤-mD .03≥-≤m m 或3.当x >1时,不等式x +11-x ≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ). A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[3,+∞) D .(-∞,3]4.设a >0,b >0.若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b的最小值为 ( ) A .8 B .4 C .1 D.145.若x >0,y >0,则221+)(y x +221+)(x y 的最小值是 ( ). A .3 B .27 C .4 D .29 6.设a >0,b >0 则下列不等式中不成立的是 ( ).A .a +b +ab 1≥22 B .(a +b )(a 1+b1)≥4 C 22≥a +b D .ba ab +2≥ab 8.设x 、y 均为正实数,且32+x +32+y=1,则xy 的最小值为 ( ) A .4 B .4 3 C .9 D .169.已知x >0,y >0,x +2y +2xy =8,则x +2y 的最小值是 ( )A .3B .4 C.92 D.112 二、填空题:10、当0>x 时,()122+=x x x f 的值域是 。
11.已知0<x <34,则函数y =5x (3-4x )的最大值为________. 12.若正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是 ..13.设a ,b 均为正的常数且x >0,y >0,xa +yb =1,则x +y 的最小值为 . 14.函数y =log a (x +3)-1(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny +1=0上,其中mn >0,则m 1+n2的最小值为 . 15.已知关于x 的不等式2x +2x -a ≥7在x ∈(a ,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为______. 16.求函数12++=x x x y (x >0)的值域为 . 17.当x 为何值时,28(1)1x y x x +=>-有最小值为 . 三、解答题18.求函数y =1+10+7+2x x x (x >-1)的最小值.19.若,x y 是正数,且1222=+y x ,求21y x +的最大值20.已知不等式(x +y )(1x +a y)≥9对任意的正实数x 、y 恒成立,求正数a 的最小值.21、正数a ,b ,c 满足a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 。
高中地理基本不等式练习题(含答案)
高中地理基本不等式练习题(含答案)1. 以下哪个城市的平均年降水量最大?A. 北京B. 上海C. 广州D. 成都答案: C. 广州2. 下列哪个海洋的水温最高?A. 北冰洋B. 大西洋C. 太平洋D. 印度洋答案: D. 印度洋3. 在高纬度地区,以下哪个现象最可能发生?A. 首都人口多B. 气候寒冷C. 地形多样D. 降水量大答案: B. 气候寒冷4. 下列哪个国家是热带雨林气候带的代表?A. 英国B. 加拿大C. 巴西D. 俄罗斯答案: C. 巴西5. 在地理上,哪个方向是北半球的正北方向?A. 正西方向B. 正东方向C. 正南方向D. 正北方向答案: D. 正北方向6. 以下地形中,最容易形成丘陵的是?A. 平原地形B. 山地地形C. 高原地形D. 盆地地形答案: A. 平原地形7. 下列哪个气候带的地区最适宜农业?A. 热带气候带B. 寒温带C. 西风带D. 亚热带气候带答案: A. 热带气候带8. 以下哪个因素不会影响海洋的盐度?A. 降水量B. 蒸发C. 河流输入D. 海底火山喷发答案: D. 海底火山喷发9. 以下地质灾害中,属于由人类活动导致的是?A. 地震B. 泥石流C. 洪水D. 火山爆发答案: B. 泥石流10. 人口最密集的洲是?A. 亚洲B. 欧洲C. 非洲D. 北美洲答案: A. 亚洲。
基本不等式练习题(带答案)
《基本不等式》同步测试一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ,下列不等式恒成立的是 ( )A .21a a +>B .2111a <+ C .296a a +> D .2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是 ( )A.12B.22a b + C.2ab D.a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 ( )A.3 B.3- C.3- D.-14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 5. 若x , y 是正数,且141x y+=,则xy 有 ( ) A.最大值16 B.最小值116 C.最小值16 D.最大值1166. 若a , b , c ∈R ,且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 ( )A .2222a b c ++≥B .2()3a b c ++≥C .111abc++≥.a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 ( )A .114x y ≤+ B .111x y+≥ C 2 D .11xy ≥8. a ,b 是正数,则2,2a baba b++三个数的大小顺序是 ( )A.22a b ab a b ++ 22a b aba b +≤≤+C.22ab a ba b ++ D.22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,设这两年平均增长率为x ,则有( )A.2p q x +=B.2p q x +< C.2p q x +≤ D.2p qx +≥ 10. 下列函数中,最小值为4的是 ( )A.4y x x =+B.4sin sin y x x=+ (0)x π<< C.e 4e x x y -=+ D.3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题,每小题3分,满分12分,把正确的答案写在题中横线上.11. 函数y =的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池,如果池底和池壁每m 2的造价为200元和150元,那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1,则其内切圆半径的最大值是 . 14. 若x , y 为非零实数,代数式22228()15x y x yy x y x+-++的最小值为 .三、解答题, 本大题共4小题,每小题12分,共48分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知:2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1,求证:111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1(1)求ab 的取值范围;(2)求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y恒成立试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题二.填空题11.1214.对三、解答题1516. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18.存在,23c =。
基本不等式练习题及答案解析
1.若xy >0,则对x y +y x 说法正确的是()A .有最大值-2B .有最小值2C .无最大值和最小值D .无法确定2.设x ,y 满足x +y =40且x ,y 都是正整数,则xy 的最大值是()A .400B .100C .40D .203.已知x ≥2,则当x =____时,x +4x 有最小值____.4.已知f (x )=12x +4x .(1)当x >0时,求f (x )的最小值;(2)当x <0时,求f (x )的最大值.一、选择题1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是()A .x +12x B .x 2-1+1x 2-1C .2x +2-xD .x (1-x )2.函数y =3x 2+6x 2+1的最小值是()A .32-3B .-3C .62D .62-33.已知m 、n ∈R ,mn =100,则m 2+n 2的最小值是()A .200B .100C .50D .204.给出下面四个推导过程:①∵a ,b ∈(0,+∞),∴b a +a b ≥2b a ·a b=2;②∵x ,y ∈(0,+∞),∴lg x +lg y ≥2lg x ·lg y ;③∵a ∈R ,a ≠0,∴4a +a ≥24a ·a =4;④∵x ,y ∈R ,,xy <0,∴x y +y x =-[(-x y )+(-y x )]≤-2?-x y ??-y x?=-2.其中正确的推导过程为()A .①②B .②③C .③④D .①④5.已知a >0,b >0,则1a +1b +2ab 的最小值是()A .2B .22C .4D .56.已知x 、y 均为正数,xy =8x +2y ,则xy 有()A .最大值64B .最大值164C .最小值64D .最小值164二、填空题7.函数y =x +1x +1(x ≥0)的最小值为________.8.若x >0,y >0,且x +4y =1,则xy 有最________值,其值为________.9.(2010年高考山东卷)已知x ,y ∈R +,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为________.三、解答题10.(1)设x >-1,求函数y =x +4x +1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.11.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:(1a-1)·(1b-1)·(1c-1)≥8.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.答案:1.答案:B2.答案:A3.答案:244.解:(1)∵x >0,∴12x ,4x >0.∴12x +4x ≥212x ·4x =83.当且仅当12x=4x ,即x =3时取最小值83,∴当x >0时,f (x )的最小值为8 3.(2)∵x <0,∴-x >0.则-f (x )=12-x +(-4x )≥212-x ·?-4x ?=83,当且仅当12-x=-4x 时,即x =-3时取等号.∴当x <0时,f (x )的最大值为-8 3.一、选择题1.答案:C2.解析:选D.y =3(x 2+2x 2+1)=3(x 2+1+2x 2+1-1)≥3(22-1)=62-3.3.解析:选A.m 2+n 2≥2mn =200,当且仅当m =n 时等号成立.4.解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.①∵a ,b ∈(0,+∞),∴b a ,a b∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;②虽然x ,y ∈(0,+∞),但当x ∈(0,1)时,lg x 是负数,y ∈(0,1)时,lg y 是负数,∴②的推导过程是错误的;③∵a ∈R ,不符合基本不等式的条件,∴4a +a ≥24a ·a =4是错误的;④由xy <0得x y ,y x 均为负数,但在推导过程中将全体x y +y x 提出负号后,(-x y)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.5.解析:选C.∵1a +1b +2ab ≥2ab +2ab ≥22×2=4.1时,等号成立,即a =b =1时,不等式取得最小值4.6.解析:选C.∵x 、y 均为正数,∴xy =8x +2y ≥28x ·2y =8xy ,当且仅当8x =2y 时等号成立.∴xy ≥64.二、填空题7.答案:18.解析:1=x +4y ≥2x ·4y =4xy ,∴xy ≤116.答案:大1169.解析:∵x >0,y >0且1=x 3+y 4≥2xy 12,∴xy ≤3.当且仅当x 3=y 4时取等号.答案:3三、解答题10.解:(1)∵x >-1,∴x +1>0.∴y =x +4x +1+6=x +1+4x +1+5≥2?x +1?·4x +1+5=9,当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,取等号.∴x =1时,函数的最小值是9.(2)y =x 2+8x -1=x 2-1+9x -1=(x +1)+9x -1=(x -1)+9x -1+2.∵x >1,∴x -1>0.∴(x -1)+9x -1+2≥2?x -1?·9x -1+2=8.当且仅当x -1=9x -1,即x =4时等号成立,∴y 有最小值8.11.证明:∵a ,b ,c ∈(0,+∞),a +b +c =1,∴1a -1=1-a a =b +c a =b a +c a ≥2bc a ,同理1b -1≥2ac b ,1c -1≥2ab c,以上三个不等式两边分别相乘得(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8.当且仅当a =b =c 时取等号.12.解:设污水处理池的长为x 米,则宽为200x 米.总造价f (x )=400×(2x +2×200x )+100×200x +60×200=800×(x +225x )+12000≥1600x ·225x+12000=36000(元)当且仅当x =225x(x >0),即x =15时等号成立.。
基本不等式专题练习
基本不等式专题练习1、已知正数x,y满足2223x yxyx y-=+,那么y的最大值为2、已知x+y=1,y>0,x>0,则12x+xy+1的最小值为____________3、若x,y,z均为正实数,且x2+y2+z2=1,则的最小值为4、若为的三个内角,则的最小值为..5、已知正实数a,b,c满足+=1,++=1,则实数c的取值范围是.6、若实数x,y满足2x2+xy-y2=1,则x-2y5x2-2xy+2y2的最大值为__________7、设实数x,y满足x24-y2=1,则3x2-2xy的最小值是__________.8、若实数x,y满足x2-4xy+4y2+4x2y2=4,则当x+2y取得最大值时,xy的值为________9、设,求的最小值为____________10、若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2),则x+12y的最大值为__________11、已知0,0,2a b c>>>,且2a b+=,则2ac c cb ab+-+的最小值为 .12、在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式CD→2≥(m-2)OC→·OD→+m(OC→·OB→)·(OD→·OA→)对任意实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是__________13、已知x、y∈R,满足2≤y≤4-x,x≥1,则x2+y2+2x-2y+2xy-x+y-1的最大值为__________14、已知a,b为正实数,且a+b=1,则a2+2a+b2b+1的最小值为____________15、若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则x2+y2x-y的最小值为__________16、已知正实数a,b满足9a2+b2=1,则ab3a+b的最大值为____________17、已知正数x,y满足1x+1y=1,则4xx-1+9yy-1的最小值为____________18、已知实数a,b,c满足a2+b2=c2,c≠0,则ba-2c的取值范围为_________19、设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值是________20、已知实数x、y满足x>y>0,且x+y≤2,则2x+3y+1x-y的最小值为______21、已知x,y为正实数,则4x4x+y+yx+y的最大值为________22、已知正实数x,y满足x+2x+3y+4y=10,则xy的取值范围为________23、已知函数f(x)=3x+a与函数g(x)=3x+2a在区间(b,c)上都有零点,则a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2的最小值为________.24、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数)的导函数为f′(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f′(x)恒成立,则b2a2+c2的最大值为____________25、若,a b∈R,0ab>,则4441a bab++的最小值为___________.26、某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是.27、若ABC∆的内角满足sin2sinA B C=,则cos C的最小值是28、如图所示,在ABC∆中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线,AB AC于不同的两点,M N,若,(,0)AB mAM AC nAN m n==>,则14m n+的最小值为 .29、设二次函数2()(,,f x ax bx c a b c=++为常数)的导函数为()f x'.对任意x∈R,不等式()()f x f x'≥恒成立,则222ba c+的最大值为30、已知函数2()(,)f x x bx c b c=++∈R,对任意的x∈R,恒有()().f x f x'≤若对满足题设条件的任意,b c,不等式22()()()f c f b M c b-≤-恒成立,则M的最小值为 .31.已知数点在直线上,是数列的前项和,数列的最大值为 .32、如图1,是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段和曲线分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要,拟过栈桥上某点点分别修建与平行的栈桥,且以为边建一个跨越水面的三角形观光平台建立如图2所示的直角坐标系,测得的方程是,的方程是,设点的坐标为.(题中所涉及长度单位均为米,栈桥及防波堤都不计宽度)(1)求三角形观光平台面积的最小值;(2)若要使的面积不小于320平方米,求的范围.2(1)2zxyz+,,A B C ABC∆41A B C++1a1b1a b1bc1ca,,a b c R+∈938432a b cb c c a a b+++++1(,)n na a+10x y-+=11,na S={}na n1()(32)nnSn S++,OA OB CD EFCD M,OA OB,MG MK,MG MK.MGK CD220(020)x y x+=≤≤EF200(0)xy x=>M(,)s tMGKMGK∆t。
基本不等式练习题及答案
基本不等式练习题及答案1.函数y=x+x/(x>0)的值域是什么?正确答案:B.(0,+∞)解析:当x>0时,x/x=1,所以函数可以简化为y=2x。
因为x>0,所以函数的值域为(0,+∞)。
2.下列不等式中正确的个数是多少?正确答案:C.1解析:只有第一组不等式a^2+1>2a成立,其他两个不等式都不成立。
3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为多少?正确答案:B.1解析:将a+2b-2=0变形得到2b=2-a,所以b=1-a/2.因为a>0,所以1-a/2<1,所以b<1.所以ab的最大值为a(1-a/2)=a-a^2/2,当a=1时取得最大值为1/2.4.若函数f(x)=x+1/(x-2)在x=a处取最小值,则a等于多少?正确答案:C.3解析:f(x)可以写成x+1/(x-2)=x-2+3+1/(x-2),所以f(x)的最小值在x=3时取得,此时f(3)=3+1=4.5.已知t>0,则函数y=(t^2-4t+1)/t的最小值为多少?正确答案:1解析:将分子t^2-4t+1写成(t-2)^2-3,所以y=(t-2)^2/t-3/t。
因为t>0,所以y的最小值为3/t-(t-2)^2/t,当t=2时取得最小值1.某单位要建造一间背面靠墙的矩形小房,地面面积为12平方米,房子侧面的长度x不得超过5米。
房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,墙高为3米,不计房屋背面的费用。
求侧面的长度为多少时,总造价最低。
去年,XXX年产量为10万件,每件产品的销售价格为100元,固定成本为80元。
今年起,工厂投入100万元科技成本,每年递增100万元科技成本,预计产量每年递增1万件。
每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=80.若水晶产品的销售价格不变,求第n次投入后的年利润f(n)。
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不等式练习题
一、 基本题型
1、若0x >,求31y x x
=--的最大值。
2、若22l g l g 2o x o y +=,求14x y
+的最大值。
3、若lg 2lg 42x y +=,且0,0x y >>,求lg lg x y +的最大值。
4、若0,0a b >>,且142a b
+=,求ab 的最小值。
5、若1x >,求11
y x x =+-的最小值。
6、若302
x <<,求()32y x x =-的最大值。
7、若52x <,求1225
y x x =+-的最大值。
8、求2
y =
9、求4sin sin y x x
=+在()0,x π∈上的最小值。
10、若0,0x y >>,且3xy x y =++,求xy 的范围。
11、求()2801
x y x x +=≥+的最值。
12、0,0x y >>,且21x y +=,求41x y
+的最小值。
13、0t >,求241t t y t
-+=的最小值。
二、选择题
1、,a b R ∈且0ab >,则下列不等式不正确的是( )
.||A a b a b +>- .||||||B a b a b +<+ .||C a b ≤+ .2b a D a b
+≥ 2、(),0,,1,22a b a b a b M ∈+∞+==+,则M 的整数部分是( ) .1A .2B .3C .4D
3、(),0,x y ∈+∞且()19a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立,则正实数a 的最小值为()
.2A .4B
.6C .8D 4、
0,0a b >>则11a b ++()
.2A B .4C
.5D 5、
,,1,1x y R a b ∈>>,若3,x y a b a b ==+=11x y +的最大值为() .2A
3.2B .1C 1.2D 6、
()()1210f x x x x =+-<,则()f x 有() .A 最大值 .B 最小值 .C 增函数
.D 减函数 7、函数()21log 511y x x x ⎛⎫=++> ⎪-⎝⎭的最小值为()
.3A - .3B .4C .4D - 8、
0,0a b >>3a 与3b 的等比中项,则11a b +的最小值为() .8A .4B .1C 1.4D 9、0,0,2a b a b ≥≥+=则()
1.2A a b ≤ 1.2B ab ≥ 2
2.2C a b +≥ 22.3D a b +≤
10、若0,0x y >>且23x y +=则24x y +的最小值为()
.A B C .4D
11、下列结论正确的是()
1
.01,l g 2
lg A x x x x >≠+≥当且 .2B x >≥ 1.22C x x ≥当时,+x 的最小值为 1.02,D x x x <<-无最大值。