2013江苏省高考数学真题(含答案)

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1.函数y 3sin （2x）的最小正周期为 ______________ 42•设z （2 i ）2 （i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________________2 23 .双曲线-— 1的两条渐近线的方程为169（第5题）6 •抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5此训练成绩（单位：环），结果如运动员 第一次 第二次 第三次 第四次第五次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892方差为：S2 2 2 2 2(89 90) (90 90)(91 90)(88 90) (92 90)25.7•现在某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m , n （ m 7 , n 9）可以任意选取，则m , n都取到奇数的概率为 ______________ .8 .如图，在三棱柱A 1B 1C 1 ABC 中，D , E , F 分别是AB , AC , AA 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V ，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积为 V 2，则 V , :V 2 __________9 •抛物线y x 2在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D （包含三角形内部和边界）•若4 .集合｛ 1,0,1｝共有 ____________ 个子集.5•右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 _____________点P（x, y）是区域D内的任意一点，贝U x 2y的取值范围是________10•设D , E 分别是 ABC 的边AB , BC 上的点,集用区间表示为16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面SBC ，AB BC ，AS AB ，过A 作AF SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点•求证：(1) 平面EFG//平面ABC ； (2)BC SA .若 DE 1AB 2AC (2为实数)，则12的值为11.已知f (x)是定义在R 上的奇函数。

当x 0时,f(x)2x 4x ，则不等式f (x) x 的解AD - AB ，BE -BC ，2 312 .在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的标准方程为1(a 0,b 0)，右焦点为F ，右准线为I ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线BF 的距离为d i ， F 到I 的距离为d 2，若d 2-6d 1，则椭圆C 的离心率为13•在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a,a)，P 是函数y图象上一动点,若点P ，A 之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a 的所有值为14.在正项等比数列｛a n ｝中，a 51—，a 6a 7 3，则满足 a 1 a 22a n da ? a n 的最大正整数n 的值为 ___________二、解答题：本大题共 6小题，共计明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)已知 a =(cos ,sin )，b (cos90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说,sin )，0(1 )若 |a b| . 2，求证：a (2)设 c (0,1)，若 a b求，的值.17. (本小题满分14分)18. 19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点A(0,3)，直线l : y 2x 4 . 设圆C 的半径为1，圆心在 (1)若圆心C 也在直线y求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M , 标a 的取值范围.l 上.x 1上,过点A 作圆C 的切线,使 MA 2MO ,求圆心C 的横坐(本小题满分16分) 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至到C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B , 位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min .在甲出发2min 后，乙从 A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的3 5 °C 处有两种路径。

一种是从 然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两 A 沿直线步行 12速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A 一 , cosC13(1) 求索道AB 的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过乙步行的速度应控制在什么范围内？(本小题满分16分)设｛a *｝是首项为a ，公差为d 的等差数列(dnS n ，n cn N ,其中c 为实数.(1)若c 0，且d, b 2, b 4成等比数列，证明:2 *S nk n S k （ k,n N ）；(2)若｛b n ｝是等差数列，证明：c 0 .20.(本小题满分16分)设函数f(x) ln x ax , g(x) e x ax ，其中a 为实数.(1 )若f (x)在(1,)上是单调减函数，且 g(x)在(1,)上有最小值，求a 的取值范围; (2)若g(x)在(1,)上是单调增函数，试求f (x)的零点个数，并证明你的结论.A0) , S n 是其前n 项和.记b n一、 填空题 1、【答案】n【解析】T = | 6 | = |字| = n.w 1 12 1 2、【答案】5【解析】z = 3-4i , i 2=- 1, | z | =^ + 42 = 5.33、【答案】y3x42 2【解析】令：Xy0，得y3 X 1691644、 【答案】8 【解析】23= 8.5、 【答案】3【解析】n = 1, a = 2, a = 4, n = 2; a = 10, n = 3; a = 28, n = 4.6、 【答案】289 90 91 88 92【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： x 90 91 88 929057、【答案】 一63【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7, 9共5种情况, 则m ,n 都取到奇数的概率为20 .7 9638、【答案】1: 24三棱柱A 1B 1C 1 ABC 的体积之比为1： 24.9、【答案】[—2, ]2013年答案【解析】三棱锥F ADE 与三棱锥A 1ABC 的相似比为1: 2，故体积之比为1: &又因三棱锥A 1 ABC 与三棱柱A 1B 1C 1 ABC 的体积之比为 1： 3 .所以，三棱锥 F ADE 与21 z【解析】抛物线y x 在x 1处的切线易得为y = 2x — 1,令z = x 2y , y = — 2 x + 2 . 1 1(0,— 1)时，Z min = — 2，过点(2 , 0)时，Z max = 2 .10、【答案】2X V 0的图像。

不等式 f(x) x ，表示函数y = f (x)的图像在【解析】 DE DB BE 1 —1 —2 — —AB BC AB (BA AC)2 3 23 1AB 2 AC1AB2AC6 311 22 所以, 11、【答案】 (-5, 0) U (5,+^ ) 【解析】做出f (x)x 2 4x (x 0)的图像，如下图所示。

由于f(x)是定义在R 上的奇函数,y = x 的上方，观察图像易得：解集为 + 8 )。

(-5, 0) U (5,画出可行域如下, 易得过点 利用奇函数图像关于原点对称做出x、6 —，所以,3【解析】二、 解答题15、解：(1) a — b = (cos a~ cos 3 sin a — sin 3),| a — b| 2= (cos a — cos 32+ (sin a — sin 3)2= 2 — 2(cos a • cos 升 sin a • sin 3)= 2, 所以，cos a- cos 3+ sin a ・ sin 3= 0,所以，a b .12、【答案】仝3 【解析】如图，i : 积得：d 1 = be得：,6a 2ab.6b 2若d 22a x =e13、【答案】 1或10离心率为:14、【答案】 12【解析】设正项等比数列{a *}首项为a 1,公比为 则:am ag 5(112 q)得:1 a 1=32，q=2 , a n = 26_n记T n2na 〔 a 2a na i a 2a n(n 2—1) n2n1(n 1)n2丁In 2 ，化简得：2n 1 2211—n211 n 25时,也12 •当n = 12 时，T |212，当 n = 13 时，T 1313，故 n max =12.cos cos0①①2+②2得：cos( a—31(2)sin sin1②所以，a— 3=22a=—+3,33带入②得：2 、3 1sin( + 3 + sin 3= cos 供了sin 3= sin(— + 3 = 1,3 2 23所以，—+3= —.3 2所以，a= , 3=—.6 616、证：(1)因为SA= AB 且AF丄SB所以F为SB的中点.又E, G分别为SA SC的中点，所以，EF// AB, EG// AC.又AB A AC= A, AB 面SBC AC 面ABC, 所以，平面EFG//平面ABC .(2 )因为平面SABL平面SBC 平面SABA平面SBC= BC,AF 平面ASB AF丄SB.所以，AF丄平面SBC又BC 平面SBC,所以，AF丄BC.又AB丄BC, AF A AB= A,所以，BC丄平面SAB.又SA 平面SAB,所以，BC SA.y x 1 ，十,17、解：⑴联立：y 2x 4，得圆心为：, 2).设切线为：y kx3,|3k 3 2|1 ,得：k0 or k 3d ------------------<1 k2r4故所求切线为：y0 or y 3 3 x 3 . 4(2)设点M(x, y),由MA 2MO，知：-x2 (y 3)2 2 , x2 y2, 化简得：x2 (y 1)2 4 ,即：点M的轨迹为以(0, 1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆 D. 又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.故：1 w|CD| <3,其中CD Ja2(2a 3)2.12解之得：0 < a < .518、解：(1)如图作BD丄CA于点D,设BD= 20k，则DC= 25k, AD= 48k,AB= 52k，由AC= 63k = 1260m ,知：AB= 52k= 1040m .(2)设乙出发x分钟后到达点M ,此时甲到达N点，如图所示.则:AM = 130x, AN= 50(x + 2),由余弦定理得：MN2= AM2+ AN2-2 AM • ANcosA= 7400 x2- 14000 x+ 10000 ,故乙步行的速度应控制在［嚅19、证：(1)若c 0,则a n a (n 1)d , S n n[( n 1)d 2a]1)d22a当a,b2,b4成等比数列，b2叭,即：a2d3da a得: d22ad，又d 0 ,故d 22由此: S n n2a,S nk (nk)2 a n 2k2a , n2S k n2k2a .故：；S nk n2S k(k,n N*). 2a .(3),. 35其中0< x< 8,当x= 37由(1)知：BC= 500m ,若甲等乙3分钟，则乙到此时乙的速度最小，且为:若乙等甲3分钟，则乙到此时乙的速度最大，且为:(min)时，MN甲到C用时:C用时：竿5500+ 865C用时：学5500+ 515最小,126050此时乙在缆车上与甲的距离最短.126 ■y(min).+ 3 = ¥ (min)，在BC上用时:1250石m/min .111—3 = g (min)，在BC上用时:62514 m/min .865565(min).(min).nS n(2)b n—n cn 2(n 1)d 2a22n c 2 (n 1)d 2a n(n 1)d 2ac (n 1)d 2a2 2 n c (n 1)d 2a c若｛b n ｝是等差数列，则b n An Bn 型. 观察(探)式后一项，分子幕低于分母幕,(n 1)d 2a c 故有 _____ 2_ 2 0.即 c (n 1)d 2a 经检验，当c 0时｛0｝是等差数列. 20、解：(1) f (x) 1 a w 0 在(1, x )上恒成立，则a故:g (x) 若1< (x ) e x 此时, g(x)e x ax 在(1,若 a >e ,贝U g(x) c (n 1)d 2a0，而(n 1)d 2aa > 0在(1,)上恒成立,)上是单调增函数，无最小值，不合;e ax 在(1, | n a)上是单调减函数，在(Ina ,数，g min (x)g(lna)，满足.故a 的取值范围为：a > e .(2) g (x) e xa > 0在(1,)上恒成立，则a w e x ,f (x)(i )若 0V)上是单调增函1 ax / c 、 (x 0). x令f (x) > 0得增区间为(0,1；)；1令f (x) V 0得减区间为(- ,).a当X T 0 时，f(x) ;当X T +8时，f(x)T —g;1 1 1当X=a时，f(a )=- lna—1>0，当且仅当a =-时取等号.1 i故：当a =e时，f(x)有1个零点；当O v a V e时，f(x)有2个零点.(ii )若a = 0，则f(x) =- lnx,易得f(x)有1 个零点.1(iii )若a v 0，则f (x) — a 0在(0, )上恒成立，X即: f (X) In X ax在(0, )上是单调增函数，当X T 0 时，f(x) T-m ；当x^ + m 时，f(x)T + 8. 此时，f(x)有1个零点.1 1综上所述：当a =-或a v 0时，f(x)有1个零点；当0v a v -时，f(x)有2个零点.e —。