2013江苏省高考数学真题(含答案)

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）

、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1.函数y 3sin （2x

）的最小正周期为 ______________ 4

2•设z （2 i ）2 （i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________________

2 2

3 .双曲线-

— 1的两条渐近线的方程为

16

9

（第5题）

6 •抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5此训练成绩（单位：环），结果如运动员 第一次 第二次 第三次 第四次

第五次 甲 87 91 90 89 93 乙

89

90

91

88

92

方差为：S

2 2 2 2 2

(89 90) (90 90)

(91 90)

(88 90) (92 90)

2

5

.

7•现在某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m , n （ m 7 , n 9）可以任意选取，则

m , n

都取到奇数的概率为 ______________ .

8 .如图，在三棱柱A 1B 1C 1 ABC 中，D , E , F 分别是

AB , AC , AA 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V ，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积为 V 2，则 V , :V 2 __________

9 •抛物线y x 2在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D （包含

三角形内部和边界）•若

4 .集合｛ 1,0,1｝共有 ____________ 个子集.

5•右图是一个算法的流程图，则输出的

n 的值是 _____________

点P（x, y）是区域D内的任意一点，贝U x 2y的取值范围是________

10•设D , E 分别是 ABC 的边AB , BC 上的点,

集用区间表示为

16. (本小题满分14分)

如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面SBC ，AB BC ，AS AB ，过A 作

AF SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点•求

证：

(1) 平面EFG//平面ABC ； (2)

BC SA .

若 DE 1AB 2AC (

2为实数)，则1

2的值为

11.已知f (x)是定义在R 上的奇函数。当x 0时,

f(x)

2

x 4x ，则不等式f (x) x 的解

AD - AB ，BE -BC ，

2 3

12 .在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的标准方程为

1(a 0,b 0)，右焦点为

F ，右准线为I ，短轴的一个端点为 B ，设原点到直线

BF 的距离为d i ， F 到I 的距离为d 2，

若d 2

-6d 1，则椭圆C 的离心率为

13•在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a,a)，P 是函数y

图象上一动点,

若点P ，A 之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a 的所有值为

14.在正项等比数列｛a n ｝中，a 5

1

—，a 6

a 7 3，则满足 a 1 a 2

2

a n da ? a n 的

最大正整数n 的值为 ___________

二、解答题：本大题共 6小题，共计

明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)

已知 a =(cos ,sin )，b (cos

90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

,sin )，0

(1 )若 |a b| . 2，求证：a (2)设 c (0,1)，若 a b

求，的值.

17. (本小题满分14分)

18. 19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点A(0,3)，直线l : y 2x 4 . 设圆C 的半径为1，圆心在 (1)若圆心C 也在直线y

求切线的方程；

(2)若圆C 上存在点M , 标a 的取值范围.

l 上.

x 1上,过点A 作圆C 的切线,

使 MA 2MO ,

求圆心C 的横坐

(本小题满分16分) 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至

到C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B , 位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min .在甲出发2min 后，乙从 A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到

C .假设缆车匀速直线运动的

3 5 °

C 处有两种路径。一种是从 然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两 A 沿直线步行 12

速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A 一 , cosC

13

(1) 求索道AB 的长；

(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过

乙步行的速度应控制在什么范围内？

(本小题满分16分)

设｛a *｝是首项为a ，公差为d 的等差数列(d

nS n ，

n c

n N ,其中c 为实数.

(1)若

c 0

，且d, b 2, b 4成等比数列，证明:

2 *

S nk n S k （ k,n N ）；

(2)若｛b n ｝是等差数列，证明：c 0 .

20.(本小题满分16分)

设函数f(x) ln x ax , g(x) e x ax ，其中a 为实数.

(1 )若f (x)在(1,)上是单调减函数，且 g(x)在(1,)上有最小值，求a 的取值范围; (2)若g(x)在(1,)上是单调增函数，试求

f (x)的零点个数，并证明你的结论.

A

0) , S n 是其前n 项和.记b n