贝塞尔函数

贝塞尔函数

当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。

§5.1 贝塞尔方程的引出

下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。

这个问题可以归结为求解下述定解问题：

22222

2222

22222

0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎩

用分离变量法解这个问题，先令

(,,)(,)()

u x y t V x y T t =

代入方程（5.1）得

2

2

2

2

2

(

)V V VT a T

x

y

∂∂'=+

∂∂

或

2

2

2

2

2

(0)V V T x

y

a T

V

λλ∂∂+'∂∂=

=->

由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程

2

0T a T λ'+=

（5.4）

2

2

2

2

0V V V x

y

λ∂∂+

+=∂∂

（5.5）

从（5.4）得

2

()a t

T t Ae

λ-=

方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件

2

2

2

0x y R

V

+== （5.6）

的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得

22

222

110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R

V v V

V R V ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨⎪=≤≤⎩ 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得

()()0θμθ''Θ+Θ=

（5.9）

2

2

()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-=

（5.10）

由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：

2

2

2

0,1,2,,,n

对应于2

n

n

μ

=，有

00()2

a θΘ=

（为常数）

()cos sin ,(1,2,)n n n a n b n n θθθΘ=+=

以2

n

n

μ

=代入（5.10）得

2

2

2

()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-=

（5.11）

这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。

若再作代换

r =

，

并记

()F r P

=，

则得

2

2

2

()()()()0r F r rF r r n F r '''++-=.

这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。

由条件（5.8）及温度u 是有限的，分别可得

()0

(0)P R P =⎧⎪⎨<+∞

⎪⎩ （5.12）

因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在R

ρ

=处的

第一类边界条件，第二个条件是在0

ρ

=处的自然边界条件，由于

2

()k ρρ

=在0

ρ

=处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一

节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。

§5.2 贝塞尔方程的求解

在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为

2

2

2

22

()0d y dy x

x

x n y dx

dx

++-=

（5.13）

其中n 为任意实数或复数。我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现2n 的项，所以在讨论时，不妨先假定0n ≥。

设方程（5.13）有一个级数解，其形式为

20120

()c k

c k

k k

k y x a a x a x a x a

x

∞

+==+++++=

∑ ，0

0a ≠ （5.14）

其中常数c 和(0,1,2,)k a k = 可以通过把y 和它的导数,y y '''代入（5.13）

来确定。

将（5.14）及其导数代入（5.13）后得

2

20

{[()(1)()()]}0c k

k k c k c k c k x

n a x

∞

+=++-+++-=∑

化简后写成

22221

2

20122

()[(1)]{[()

]}0c c c k

k k k c n a x c n a x

c k n a a x

∞

++-=-++-+

+-+=∑