浅谈微积分与数学思想方法_金友良

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谈微积分中的数学思想及其教学

谈微积分中的数学思想及其教学微积分，作为现代数学的重要分支，在科学技术、社会科学、经济学等领域有着广泛的应用。

微积分中的数学思想及其教学，不仅涉及到数学基础知识的学习，还关乎学生数学思维和解决实际问题能力的培养。

本文将详细探讨微积分中的数学思想及其教学，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学工具。

微积分中涉及的抽象思想主要包括无穷、极限和连续等概念。

无穷是指一个数列或函数在无限趋近于某个点时的情况，极限则是指数列或函数在某一趋势下的最终状态，而连续则描述了函数在某一点处的平滑过渡。

这些抽象概念的理解对于后续微积分的学习至关重要。

微积分中的计算思想主要包括导数、积分和级数等。

导数反映了函数在某一点处的变化率，可以应用于求解曲线切线、物体运动加速度等实际问题；积分则是微分的逆运算，用于求解面积、体积、长度等实际问题；级数则是由无穷多个数相加而成，可以用来表示函数、解决实际问题。

微积分中的优化思想主要包括方程、建模和实验等。

方程是解决问题的一种重要工具，可以用来求解未知量，如运用微分方程可以解决物理、化学、生物等领域的问题；建模则是指运用数学模型来描述实际问题，通过求解模型来得到实际问题的解；实验则是指通过设计实验来验证数学模型的有效性和精度。

微积分的教学目标应当是培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

具体而言，教学目标应当包括以下几个方面：(1)掌握微积分的基本概念和理论体系，如极限、导数、积分等；(2)学会运用微积分的基本方法和技能，如微分法、积分法、级数法等；(3)能够运用微积分的知识解决实际问题，如物理、工程、经济等领域的问题；(4)培养学生的数学思维和推理能力，提高学生的数学素养。

微积分教学重点和难点主要包括以下几个方面：(1)抽象概念的理解：如无穷、极限、连续等概念较为抽象，学生往往难以理解和掌握；(2)计算方法的掌握：如导数、积分、级数等的计算方法较为复杂，需要学生多次练习才能掌握；(3)优化思想的运用：如方程、建模、实验等优化思想需要学生具备一定的数学基础和实际经验，才能够理解和运用。

数学思想方法在微积分教学中的运用

析能力。化归转换思想的方法是对研究对象利用现有条件进行转化总结，实现两种思维相互转化的方法。在微积分教学过
教学效果。极限概念的学习是微积分当中最为基础的部分，保证极限概念教学的有效性是微积分学习得到强化的关键。利用多媒体对极限概念进行展示，体现无限逼真的效果，这样能够使高职学生对极限概念有一个感性认识，使学生能够积极参与到极限概念的学习中。设计可控式动画参数，保证学生能够自由对参数进行设定，明确无限与有限之间的关系。导数是曲线中某一点切线或者是运动事物在某一时刻产
识的整理。数形的内在转换能够培养学生微积分整体意识，形成良好的思维习惯，加深对微积分知识的理解能力，优
化整体知识结构，应用能力的提升使学生充分掌握解决问题的能力
微积分是高职数学的重要组成部分，为了保证学生能够充分掌握微积分，在重视基础教学的前提下充实数学思想，保证数学教学质量。对数学思想方法的类型进行确认，并且强化在高职微积分教学中的运用能够促进高职学生数学应
学生的思维目标得到确定，同时还能够避免盲目性的学习，在根本上提升学生的数学学习效率，符合高职学生学习微积分的实际情况。
生的瞬时速度。因此，在导数学习中应该注重对瞬时速度的了解。切线斜率充分说明了导数几何意义，也是意义上的导数瞬时速度，对于导数瞬时速度进行充分确认能够培养学生对微积分直觉能力。对高职微积分理论教学进行研究应该了解学生的实际情况，对导数定义进行讲解的时候利
转化成为数学能力。

微积分的历史、方法及哲学思想

微积分的历史、方法及哲学思想微积分的历史、方法及哲学思想摘要：微积分是1门重要的学科，本文首先对微积分的思想萌芽进行了概括，其中包括中国在内的许多古代的思想中就包含了原始的微积分的思想，微积分的主要发展是在欧洲，在107世纪的欧洲由于自然科学发展的需要，微积分开始了快速的发展，后来牛顿和莱布尼茨完成了在微积分工作中最重要的工作，使得当时的许多问题得到了圆满的解决．由于当时微积分的基础并不完善，引发了许多的问题．后来柯西等人完善了微积分的基础，使得微积分进1步的完善，并且引发了许多新的分支．其次是对微积分计算中的1些方法进行了简单的总结，我分别对导数和积分进行了描述并且用1些简单的例题进行了说明．由于微分和导数相似所以就没有进行描述了．最后是我对其中蕴涵的哲学思想进行的理解．关键词微积分；导数；积分；哲学思想.The History、Method and Philosophy of Calculus Abstract Calculus is a very important subject. The dissertation begins with an introduction of the sprouting of Calculus idea. In the 17th century in Europe, Calculus got a quick development of nature science. Afterwards, Newton and Leibniz finished the more important part of Calculus, which made many questions solved successfully at that time. As the basis of Calculus was not perfect, a lot of questions appeared. Neat, Cauchy and some others improved it and made it much better, so they brought about a plenty of new branches. In the second part, it comes to a simple conclusion of some methods to the counting of calculus. The author makes a description of derivative and integral and illustrates them with some simple examples. Owing to calculus is so similar with derivative, the author didn’t depict them. Finally, the author makes a deep understanding of the philosophy contained in it.Key Words: Calculus, Derivative, Integral, Philosophy.目录前言…………………………………………………………………………………………（3） 1 微积分的发展史…………………………………………………………………………（4） 1．1 微积分思想萌芽‥……………………………………………‥‥……………（4） 1．2 107世纪微积分的酝酿…………………………………………………………（4） 1．3 微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作…………………………‥…………（6） 1．4 108世纪微积分的发展…………………………………………………………（8） 1．5 微积分中注入严密性‥…………………………………………………………（9） 1．6 微积分的应用与新分支的形成…………………………………………………（9） 2 微积分的计算方法.................................................................................（9） 2．1 导数..........................................................................................（10） 2．2 积分.......................................................................................（13） 3 微积分中的哲学思想..............................................................................（17） 4 结论 (19)5 .............................................................................................（19） 6 参考文献 (19)【包括：毕业、、任务书】【说明：中有些数学符号是编辑器编辑而成，网页上无法显示或者显示格式错误，给您带来不便请谅解。

微积分的思想和方法

微积分的思想和方法微积分是一门数学分支，是研究变化率和极限概念的学科。

它发展于17世纪，是牛顿和莱布尼兹的分别发明。

微积分旨在研究一个函数在一点处的变化率或斜率，或者研究一个函数在某一点或几个点的极限。

微积分的思想和方法在科学、工程和经济学等领域有着广泛的应用。

微积分的思想是连续性和无限小量的思想。

连续性指的是对于某个函数，它的任意两个相邻点之间的数学变化可以无限地接近，但却不能在某个点上突然断开。

这个概念很像一个数学函数在数轴上的图像。

无限小量指的是能被视为无限小的数，这个数对于一个函数的图像来说是“局部意义下”的。

微积分有两种主要的方法：微分和积分。

微分是一个函数在某个点上的变化率，可以简单地理解为斜率。

微分用来解决函数的极值问题，即求在什么点上函数的值达到最大或最小。

微分依据导数的定义，使用极限，将变化量趋近于零的过程视为无限小，然后得到微分。

积分是一个函数的面积或容积，可以理解为对函数的图像进行求面积或求体积的过程。

积分可以用来求函数的定积分或不定积分，定积分是求给定区间内函数的面积，不定积分是求函数的原函数。

微积分的应用：微积分在科学、工程和经济学等领域有着广泛的应用，它可以用来处理各种变化问题。

例如：1. 机械工程师可以使用微积分来研究运动学和动力学，比如机械的速度、加速度和动量等等。

2. 经济学家可以使用微积分来研究经济和财务问题，比如推导成本和收益方程，计算边际效应和成本等等。

3. 物理学家可以使用微积分来研究物理和天文学问题，比如研究运动规律、引力和流体力学等等。

微积分发展史、计算方法及哲学思想

微积分得历史、方法及哲学思想摘要微积分是一门重要得学科,本文首先对微积分得思想萌芽进行了概括,其中包括中国在内得许多古代得思想中就包含了原始得微积分得思想,微积分得主要发展是在欧洲,在十七世纪得欧洲由于自然科学发展得需要,微积分开始了快速得发展,后来牛顿和莱布尼茨完成了在微积分工作中最重要得工作,使得当时得许多问题得到了圆满得解决。

由于当时微积分得基础并不完善,引发了许多得问题。

后来众多数学家完善了微积分得基础,使得微积分进一步严格化,并且引发了许多新得分支。

其次是对微积分计算中得方法进行了简单得总结,我分别对导数和积分进行了描述并且用了简单得例题进行了说明。

由于微分和导数相似所以就没有进行描述了。

最后是我对其中蕴涵得哲学思想进行得理解。

关键词：微积分；导数；积分；哲学思想Calculus of history, methods and philosophyAbstractThe calculus is an important subject, this paper, the calculus of a broad ideological infancy, including China, in the minds of many ancient includes the original idea of calculus, calculus of major development in Europe, in the 17th century in Europe because of the need for the development of natural science, calculus began a rapid development, and later Newton and Leibniz completed the work in the calculus of the most important work, making many of the issues at that time have been successful Solution. Since then the basis of calculus is not perfect, causing many problems. Later, many mathematicians perfected the basis of calculus, calculus makes further stringent, and triggered a number of new branches. This was followed by the calculus method of calculation of a simple conclusion, I were integral to the derivative and a description and use a simple example to explain. As derivative differential and therefore there is no similarity to the description. Finally, there is one implication of my philosophy of thinking and understanding.Key words:calculus; derivative; integration; philosophy论文总页数：20页引言 (1)1 微积分得发展史 (1)1.1 微积分得思想萌芽 (1)1.2 半个世纪得酝酿 (2)1.3 微积分得创立—牛顿和莱布尼茨得工作 (6)1.3.1 牛顿得“流数术” (6)1.3.2莱布尼茨得微积分 (8)1.4 微积分得发展 (11)1.4.1 十八世纪微积分得发展 (11)1.4.2 微积分严格化得尝试 (11)1.5 微积分得应用与新分支得形成 (12)1.5.1 常微分方程 (12)1.5.2 偏微分方程 (13)1.5.3 变分法 (13)2 微积分得计算方法 (13)2.1 导数 (13)2.2 积分 (14)3 微积分中得哲学思想 (15)3.1 微积分思想形成与方法论 (15)3.2 微积分中无处不在得哲学思想 (15)结论 (17)参考文献 (17)致谢............................................................................................ 错误！未定义书签。

微积分教学中的数学思想方法的探究

微积分教学中的数学思想方法的探究作者：杨晶来源：《高教学刊》2016年第17期（盐城幼兒师范高等专科学校，江苏盐城 224000）摘要：微积分课程是高校高等数学教育中特别基础的一门课程，从内容体系上说，它主要包括微分和积分；从思维方法上说，它主要应用了一些极限思想、化直为曲思想等。

数学思想方法是运用数学思维、对数学中的一些概念、结论等内容进行深刻思考，文章主要分析在微积分教学中数学思想方法的应用以及目前微积分教学中存在的一些问题及改进措施。

关键词：微积分教学；数学思想；探究中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）17-0117-02Abstract： A calculus course is a special basic course in education of higher Mathematics in colleges and universities. From the content， it mainly includes the differential and integral and from the way of thinking， it mainly usessome limit thought， and the way to simplify what is complicated. Mathematics thinking method is to use mathematics thinking to think over mathematics concepts and conclusions. This paper mainly analyzes the application of mathematics thinking method in the teaching of calculus and some problems existing in the teaching of calculus and improvement measures.Keywords： calculus teaching； mathematics thought； explore引言微积分这门学科起源于十七世纪的后半叶，当时是为了解决现实问题的需要，所以在微积分刚诞生时它就在整个高等数学领域中占据了主要地位。

微积分的历史、方法及哲学思想

微积分教学中的数学思想方法的探究

课程教育研究Course Education Research 2017年第50期前言:微积分课程属于应用数学领域,因实用性的特征使其在最初投入数学教学领域就得到了很大的重视。

近年来,受到应试教育的影响,微积分的教学工作不断的受到挑战,盲目的习题训练及死记硬背无法真正的提高学生的独立思维能力,因此,高校数学必须采取强有力的措施,转化教学方法,提升教学质量。

一、当前微积分课程教学中存在的问题(一)不重视思维方法的应用高等数学注重培养学生的实践能力,其课程内容是围绕数学的实际应用展开的,当前的微积分课堂教学仍然承袭传统的教学理念,教师重视对概念的讲解,即便是应用题型也需要学生死记硬背,长此以往,学生的思维受到局限,解题推理依赖于教师,微积分的教学成为了应对考试的工具,失去了实际意义[1]。

(二)课堂氛围不佳任何课堂首先要做的就是激发学生的学习兴趣,从而调动学生的学习热情,然而当前的微积分教学课堂死气沉沉,师生全程零互动,教师将书本内容照本宣科的讲授给学生,而学生也只负责记忆,长此以往,学生对于学习失去热情,也不会主动的提出问题,学习效率将越来越低下。

(三)教学方式传统保守随着信息技术的发展,互联网与计算机越来越广泛的运用于教学工作中,例如物理教学中的可视化天体运动、化学反应推演等,很好的将文字内容转化为图像,使学生能够直观的了解教学内容。

然而数学对于信息技术的运用相对滞后,课堂教学普遍采用传统的方法,学生在学习过程中无法实现逻辑上的转化,也无法理解课程内容,致使学生对于微积分的学习感到微积分教学中的数学思想方法的探究郭丽娟马福强(平顶山学院数学与统计学院河南平顶山467000)【摘要】微积分是高等数学中的一门基础课程,其课程涵盖了微分与积分。

而数学思想方法是指利用数学思维,对实际问题进行概念与理论上的转化,从而形成一种数学的解析程序。

数学思想方法可以帮助学生良好的认识数学,形成系统化的知识体系。

本文将介绍数学思想方法在文积分教学中的实际应用,具有参考意义。

数学思想方法及其在微积分教学中的运用初探

数学思想方法及其在微积分教学中的运用初探作者：林炎海来源：《成长·读写月刊》2017年第08期【摘要】在高校的数学教学中，微积分作为其中十分基础的一门课程，在整个数学体系中发挥着重要的作用。

微积分以微分和积分教学为主，引导学生掌握极限思想，合理的运用积分、微分解决数学问题，具备一定的数学思维。

在教学过程中，合理的选用数学思想方法具有良好的效果，能够激发学生的数学学习热情，形成发散的思维，掌握数学相关概念和理论，明确相关内容的实际应用过程。

本文结合数学思想方法在微积分教学应用存在的问题进行分析，探讨数学思想方法的具体应用路径，以提高微积分教学的质量和水平，使学生的数学能力得到提高。

【关键词】数学思想方法；微积分教学；运用途径前言从十七世纪后半叶开始，微积分便逐渐形成和发展，通过对现实问题的解决，得到了一定的完善和推广。

微积分作为高等数学中的核心课程，具有十分重要的意义，其主要是通过对微分和积分的运用，使实际生活中的数学问题得到解决，融合一定的极限的思想，使数学思维得到扩展。

该学科具有一定的理论基础，包括牛顿引出的导数概念，牛顿-莱布尼茨公式以及其他的相关理论，通过不断的深化，使数学思想得到进一步的提升，形成了一定的理论体系和内容，为数学发展奠定了坚实的基础。

数学对大学生的发展起着至关重要的作用，能够推动学生综合能力的提高，使学生各方面的素质得到加强，提高学生解决问题的能力。

微积分在高校教学体系中占据一定的核心地位，因此，教师应充分利用数学思想方法，使数学教学水平得到提高，优化微积分教学的方法和模式，提高整体的学习效率。

一、数学思想方法在微积分教学应用中存在的问题（一）思想方法缺乏渗透微积分具有一定的发展历史，在其形成阶段中具有一定的演变过程，教师在进行微积分课程的讲解时，往往忽视了对其发展史的介绍。

在微积分教学过程中，教师更多的注重教材知识的讲解，对于理念、定义、理论及公示等，学生无法产生很好的理解，局限于机械的记忆。

数学思想方法在微积分教学中的运用研究

数学思想方法在微积分教学中的运用研究近年来，数学思想方法在教育教学领域发挥着重要作用，尤其是在微积分课程中，它不仅可以提高学生的学习效率，还能帮助学生理解数学知识本质，从而获得更好的数学成绩。

本文旨在探讨数学思想方法在微积分教学中的运用，以指导教育实践。

一、数学思想方法在微积分教学中的应用数学思想方法在微积分教学中的应用分为以下几个方面：（1）注重解决问题的方法。

数学思想方法在微积分教学中的应用要重视学生思考和分析问题的能力，强调学生根据教师给出的关键词，通过系统地分析和比较，把握问题的实质，了解微积分知识的思想方法。

（2）加强实践性训练。

数学思想方法在微积分教学中的应用要重视实践性的重要性，不仅强调理论的学习，而且注重实际操作的能力，让学生通过实践来验证数学知识的正确性和可靠性。

以上是数学思想方法在微积分教学中的应用，可以让学生深入掌握微积分知识、提升学习效率、提高实践能力。

二、数学思想方法在微积分教学中的实施（1）重视探究式教学。

数学思想方法在微积分教学中的实施必须贯彻探究式教学，以解答具体问题为指导，通过探究过程的引领，让学生从现象出发，形成自主思考的认识，不断发现新的特性，深入分析解决问题。

（2）教师应积极引导。

数学思想方法在微积分教学中的实施要求教师根据学生实际情况提供充分的指导，不断培养学生理解数学知识的能力，在学生进行探究的过程中，给予及时的指导，以更好地实现数学思想方法在微积分教学中的应用。

三、未来发展数学思想方法在微积分教学中的应用，是当前教育教学中的热点问题，随着科学技术的发展，未来会有更多的科学研究成果用于数学思想方法在微积分教学中的应用，教育教学将更加科学、有效，指导学生正确的学习微积分知识，实现学习的目标。

综上所述，数学思想方法在微积分教学中的应用可以使学生更好地掌握数学知识，提高教学质量，实现教学目标。

我们期待未来更多的科学研究结果可以应用于数学思想方法在微积分教学中的实施，促进教育教学的科学发展。

数学思想方法在微积分教学中的运用研究

强调推理思想的运用：微积分教学中经常要求学生进行推理，因过推理思考，以加深对概念的理解。
注重通解思想的运用：在微积分教学中，通解思想是非常重要的。可以让学生在学习新的概念和定理时，通过通解思想来思考，以加深对概念的理解。通解思想是指求解同一类问题时，从一般解入手，再求出所有特殊解的思想。
数学思想方法在微积分教学中的运用研究在进行微积分教学时，数学思想方法是非常重要的。通过对数学思想方法的运用，可以帮助学生更好地理解微积分的概念和方法。
在研究数学思想方法在微积分教学中的运用时，可以考虑以下几点：
注重归纳思想的运用：微积分中有许多概念和定理是通过归纳法得出的，因此在教学中应注重归纳思想的运用。可以让学生在理解某些定理时，通过归纳法思考，以加深对概念的理解。
强调反证法的运用：在微积分教学中，反证法是一种常用的数学思想方法。反证法是指，在证明某个命题时，先设想其为假，再寻找矛盾的结论，从而证明其真实性的方法。可以让学生在学习新的概念和定理时，通过反证法来思考，以加深对概念的理解。
数学思想方法的运用，可以帮助学生更好地理解微积分的概念和方法，从而提高学习效率。

《微积分》课程思政教学探究

《微积分》课程思政教学探究一、引言二、《微积分》课程思政教学的必要性1.引导学生积极参与课程设计与展示《微积分》课程思政教学的方式之一，就是引导学生积极参与课程设计与展示。

教师可以安排学生们分组进行研究课程相关的思想政治问题，并根据研究成果，设计出有关《微积分》思政教学的展示活动。

这不仅提高了学生们对知识点的深入理解和认识，更是培养了学生们的研究能力和团队协作能力。

2. 引导学生运用微积分知识解决现实问题通过引导学生运用微积分知识解决现实问题，教师可以将学科教学与社会实践相结合，同时引导学生积极参与社会活动，了解国家、社会的发展历程和伟大成就，培养学生的社会责任感和人文关怀意识。

可以通过微积分知识解决环境污染、资源利用等实际问题，让学生感受到学科知识的实用性和社会意义。

3. 引导学生探讨伦理与道德问题在《微积分》课程中，可以引导学生探讨数学伦理与道德问题。

通过讨论数学家的伟大成就、数学在人类社会发展中的作用等，引导学生了解数学对社会的贡献，培养学生的社会责任感和爱国主义情怀，发展良好的道德品质。

4. 运用微积分知识解读经典文化可以通过文学作品、历史文化等途径，引导学生用微积分知识解读经典文化，如用微积分知识解析《红楼梦》、《西游记》中的故事情节，引导学生深入理解文化内涵，提升学生的人文素养和文化品味。

在《微积分》课程思政教学的实践中，教师在教学中充分考虑学生的情感体验和认知发展，注重在语言、教材、案例等方面融入思政教育内容，引导学生从微积分知识中感受人生哲理、社会责任感和家国情怀，使学生在学习微积分知识的过程中也得到了一定的思想政治教育。

通过调查和研究，发现《微积分》课程思政教学对学生具有以下显著效果：1. 提高学生成绩通过《微积分》课程思政教学，学生对该学科的兴趣增强，学习动力增加，学科成绩有所提高。

学生通过思政教学对学科有了更深入的认识，理解学科的内在价值和社会意义，从而更加用心地学习。

2. 培养学生的人文情怀通过思政教学，学生对社会和文化有了更深层次的理解，激发了学生对古代文化、人文精神的兴趣，有利于提高学生的人文素养和文化品味。

浅谈微积分与数学思想方法_金友良

∞
在微积分学中，大量地采用了分析与综合的方法。下面以定积分的概念为例说明。例 5 定积分概念定积分的概念有着现实的几何与物理背景，一般实例为求由曲线 y=f （x ）（f （x ）≥0 ），x∈ ［a ，b ］与直线 x=a ，x＝b ，y＝0 围成的曲边梯形的面积。对于这一由初等数学不能解决的复杂问题，我们首先用分析法，将其分割为若干个小曲边梯形（如下图），对其中的每个小曲边梯形如第 i 个，用静止不变的观点研究，则可把函数 f （x ）在［xi－1 ，xi ］看作是不变的，即把第 i 个小曲边梯形近似地作为一个小矩形，其宽为 Δxi =xi -xi－1 ，高为 f （ξi ），ξi 是［xi－1 ，xi ］中任取的一点，从而第 i 个小曲边梯形的面积
∞
||T||→0 i = 1
Σ f （ξ ）Δ x 。
i i
Σ1 n
n=1
∞
发散；
当 p<1 时， 1p > 1 。由
n
n
Σ1 n
n=1 p p
∞
发散，所以
Σ1
n=1
∞
n
p
发散；
6
结语
当 p>1 时，
Σ1
n=1
∞
n
p
=1+
1 +1 1 1 1 1 1 1 +p + + + p + p +…+ +… p p p 15 2 3 4 5 6 7 8
p p p p p p
它的各项均不大于级数 1+

微积分与数学思想方法

数学思想方‎法的解释有‎多种多样，其中胡炯涛‎《数学教学论‎》广西教育出‎版社，一书中指出‎数学思想方‎法则是数学‎知识发生过‎程中的提炼‎、抽象、概括和升华‎，是对数学规‎律更一般的‎认识，它蕴藏在数‎学知识之中‎，需要学习者‎去挖掘[6]。

数学思想方‎法分为两部‎分，一是数学思‎想，二是数学方‎法，其中数学思‎想是指我们‎对教材中理‎论知识及内‎容最本质的‎认识，而数学方法‎是数学思想‎的具体化形‎式，运用到实际‎的题目中[20]。

下面就具体‎来阐述一下‎微积分习题‎中的数学思‎想方法：5.1函数思想‎函数思想是‎我们在中学‎阶段中常见‎的一种思想‎方法，是指用函数‎的概念、性质、特点去分析‎问题、转化问题和‎解决问题的‎一种思维，函数思想是‎一个基本的‎数学思想，方程，不等式问题‎可以在函数‎的观点下统‎一起来，数列是特殊‎的函数，集合论的知‎识作为建立‎函数的基础‎，也包括在其‎中[11]。

在新版教材‎微积分的内‎容中，函数思想更‎为重要，其中一部分‎题目就是借‎助“微积分”这个工具，最后还是依‎据函数的基‎本性质去解‎决问题。

例如：一条长为的‎l 铁丝截成两‎段，分别弯成两‎个正方形，要使两个正‎方形的面积‎和最小，两段铁丝的‎长度分别是‎多少？[12]（新版教材人‎教A 版选修‎2–2课本37‎页习题）解：设其中一段‎铁丝的长度‎为x ，则另一段为‎x l -，面积为s根据题意得‎：整理得：求导数，并令导数等‎于零，解得：分析：这类题型在‎新版教材中‎为常见的一‎种题型，根据题意得‎到函数表达‎式，借助“微积分”这个工具，结合函数的‎性质来解决‎问题。

当时导函数的‎函数值为零‎，这时函数取‎得最小值（函数的性质‎）。

例如：有一家宾馆‎有50个房‎间共旅客居‎住，当每个房间‎定价为每天‎180元时‎，房间会全部‎住满；房间单价每‎增加10元‎，就会有一个‎房间空闲，如果旅客居‎住房间，宾馆每间每‎天需花费2‎0元的各种‎维护费用，房间定价多‎少时，宾馆利润最‎大？4444xl x l x x s -⨯-+⨯=162222l lx x s +-=2l x =2l x =分析：这是一个生‎活中实际的‎问题，解决方法，根据题意列‎出函数表达‎式，我们要找到‎关键问题，利润是由房‎间数乘以房‎间定价让后‎减去房间数‎乘以房间维‎护费，所以关键就‎是房间数，我们设房间‎定价为x 元，利润为s ，则对进行求导‎x ，并令导数为‎零，得到350=x ，即可解得利‎润的最大值‎把数学问题‎用函数表示‎出来，借助“微积分工具‎”去解决数学‎问题，这是我们常‎用的方法，即函数思想‎结合“微积分”去解决问题‎。

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谈微积分中的数学思想及其教学微积分对许多高校学生而言，在学习的过程中具有一定的难度，因此，为了能够有效地提高微积分课程的教学效果与教学质量，就必须在教学中合理应用数学思想.数学学习的重点及难点在于其严谨的逻辑思维，学生学习的最大阻碍在于处理数学问题时缺乏严谨的逻辑思维，而数学思想在微积分教学的应用中，能够在一定程度上提高学生学习效果，提高学生逻辑思维能力，从而更好地处理数学问题.一、数学思想应用现状（一）未加强对思想方法的传授由于我国应试教育根深蒂固的影响，导致教师在授课的过程中仅仅按照教材知识，向学生灌输定义以及对概念的记忆，此种教育方式会使得学生缺少独立思维.鉴于此，教师在向学生讲授理论知识的过程中，应该对思想方法进行重点传授，如数形结合、函数与极限思想等，并将数学思想应用于平时问题的解决中.（二）缺乏师生互动在对微积分问题进行解题的过程中，还要求学生能够牢记核心思维方法，在求曲面图形面积的过程中，可以采取将不规则图形的面积转化为定积分，然后在此基础上通过定积分求解曲面图形面积或体积.而为了能够更好地激发学生对微积分的学习兴趣，提高课堂教学效率，就要求教师在教学的过程中应该采取多种方式来调动学生积极性，可以通过师生对数学思想的沟通与交流来提高教学效率.（三）未加强对现代信息化技术的应用由于数学属于高逻辑性与理论性的学科，尽管目前在教学的过程中许多学科已经广泛地应用多媒体技术，比如，在物理教学中播放天体\动视频等，但现阶段在我国的微积分教学中，大部分学校还是采取传统教学模式.而多媒体技术的应用可以在求极限教学中，通过动画展示极限概念中的数学思想，从而提高教学效率.二、数学思想在微积分教学中的应用（一）实现互动教学在我国高等教育中，教师为了能够更好地提高学生解决微积分问题中的思维能力，可以通过互动教学的模式最大限度地发挥学生的主观能动性.对于数学教师而言，其在实际教学的过程中主要工作职责是进行科学引导，使学生通过自身实践不断地锻炼其思维能力，更加深入地认识及了解数学问题.例如，在互动教学的过程中，对极限与导数的教学可以通过多媒体设施，利用多媒体动画的方式向学生展示自变量无限地趋近某一值的过程，然后再展示割线无限地接近于切线的过程.通过对多媒体技术的应用，能够向学生直观地展示数学中抽象的内容，从而不仅能够在一定程度上加深学生对知识点的认识及理解，也能有效地活跃课堂氛围，激发学生学习兴趣.除此之外，教师在长期的教学过程中，在学习每一块新的内容时，都可以重复地展示极限及导数概念与知识，以此来培养学生对数学思想的应用.（二）设计练习课练习课的设计能够检测以及提高学生对数学思维的应用能力，例如，在学习完划归思想后，教师应该为学生安排练习课，使学生独立自主地解决相关问题.在解决问题的过程中，能够加强学生独立思考的能力，因而，通过练习能够训练学生已有的逻辑思维.从而在做题的过程中，加深数学思维模式，使其能够在再次面对类似问题时迎刃而解.除此之外，在设计练习课的过程中，教师可以适当地引入一些较为新颖的题目，使学生能够脱离固化的思维模式，通过不同的角度来思考问题的解决方式.（三）加强科学评价教学评价工作内容的首先是学生的自我评价，主要目的是自我评估是否能够熟练地应用微积分学习中的各种思想及运用过程中的问题与阻碍，在评估完成后请教教师并及时指正.在此基础上教师应该对学生小组划分，根据某一学习内容，各个小组的成员进行讨论，总结学习过程中存在的问题与阻碍，然后向教师反馈总结讨论的结果，教师根据反馈重新讲解教学中存在的问题.除此之外，教师还可以针对某一个阶段学生对知识点的掌握情况以及学生学习态度等问题进行评价，评价的依据为日常作业完成情况.根据此，教师可以针对学生没有完全掌握的知识点进行重新分析和讲解，从而加强学生对知识点的掌握；同时根据学生学习态度，为了能够引起学生注意，教师可以通过适当地批评以及积极指正等方式来端正学生的学习态度，使其更好地掌握微积分课程的知识点，更好地完成高等数学的学习.三、结束语综上所述，微积分作为我国高等数学中一门基础且重要的学科，需要加强对微积分的正确理解.尽管现阶段我国微积分教学还存在一些问题，但总体上数学教学效率较高，为了能够更好地把握微积分课程的精髓，就需要在教学的过程中加强对数学思想的传授，从而进一步提高课堂效率.【。

微积分的思想和方法

微积分的思想和方法（部分讲义）黄荣第四讲第四章定积分与不定积分[教学目标]1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；2、理解原函数与不定积分的概念；3、掌握不定积分性质与其本积分公式；4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式；5、了解定积分在实际问题中的应用；6、了解简单微分方程的概念。

[重点难点]定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。

[学习建议]1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。

2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。

3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。

4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。

[课时分配]面授8课时，自学16 课时。

[面授辅导]1、不定积分 1.1不定积分定义1.1.1原函数▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x) 或df(x)=f(x)dx则称f(x)是f(x)的一个原函数。

下列是一些简单函数的原函数：出数原函数cosx sinxsinx -cosxex exen xn+1▲设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a，b) 内。

苦F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+c也是f(x)的原函数，c为常数。

例1：求2x的原函数F(x)，且使F(2)=7。

解：∵x2=2x∴x2是2x的一个原函数。

2x的全体原函数为F(x)=x2+c (c为常数)F(2)=22+c=7c=3∴F(x)=x2+3为所求。

例2：求sinx的原函数F(x)，且使F(0)=4。

解：由于(-cosx)=sinx因此-cosx就是sinx的一个原函数。

sinx的全体原函数记为F(x)=-cosx+c依题意有：F(o)=-cosD+c=4c=5所求F(x)=-cosx+5例3：求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数。

解：f(x)的一个原函数为x4-x3+x2+7x则f(x)的全部原函数为F(x)= x4-x3+x2+7x+c (c为常数)1.1.2不定积分定义函数F(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为(x)dx。