高考数学二轮复习：第五讲 等差等比

第五讲 等差等比★★★高考在考什么 【考题回放】 1．在等差数列}{n a 中，836a a a +=，则=9S （ A ）A.0B.1C.1-D. -1或12.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为q ，则2q 的值为（ D ）A.2B. 215- C. 215+ D. 215±3.已知数列{na }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ）A ．9B ．8 C. 7 D ．64.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ D ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（B ）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．86. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S成等差数列，则{}n a 的公比为13．★★★高考要考什么等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a等差数列的通项公式：dn a a n )1(1-+=------该公式整理后是关于n 的一次函数等差数列的前n 项和 1．2)(1n n a a n S +=2. d n n na S n 2)1(1-+= 3.Bn An S n +=2等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2ba A +=或b a A +=2等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果na 是等差数列的第n 项，ma 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有dm n a a m n )(-+=对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则qp m n a a a a +=+。

也就是：=+=+=+--23121n n n a a a a a a ，3．若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++4．设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：○1当n 为偶数时，d 2n S =-奇偶S ， ○2当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，=偶奇S S n n 1+， 等比数列的判定方法:①定义法：若)0(1≠=+q q a a nn ②等比中项：若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。

等比数列的通项公式:如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。

等比数列的前n 项和:○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q qqa a S n n ○3当1=q 时，1na S n =等比中项:如果使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

那么ab G =2。

等比数列的性质:1．等比数列任意两项间的关系：如果na 是等比数列的第n 项，ma 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则vu m n a a a a ⋅=⋅也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 。

3．若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。

如下图所示：kkk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++★★ 突 破 重 难 点【范例1】n S 设是等差数列{}n a 的前n 项和，已知434131S S 与的等比中项为551S ，434131S S 与的等差中项为1，求数列{}n a 的通项．解析 由已知得234534111()34511234S S S S S ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即2113505222a d d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，解得101d a =⎧⎨=⎩或11254d a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 1n a ∴= 或321255n a n =- 经验证 1=n a 或n a n 512532-=均满足题意，即为所求．【点睛】若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}nS n 也是等差数列．本题是以此背景设计此题．【变式】已知等差数列｛an ｝的公差和等比数列｛bn ｝的公比相等，且都等于d （d ＞0，d ≠1）.若a1=b1，a3=3b3，a5=5b5，求an ，bn ．解：由已知2114112345a d a d a d a d ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②由①，得a1（3d2－1）＝2d ③由②，得a1（5d4－1）＝4d ④因为d ≠0，由③与④得2（3d2－1）＝5d4－1， 即5d4－6d2＋1＝0，解得d ＝±1，d ＝±55． ∵d ＞0，d ≠1，∴d ＝55．代入③，得a1＝－5，故b1=－5. an ＝－5＋55（n －1）＝55（n －6），bn ＝－5×（55）n －1．本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：4121，4143，83，163… … … … 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i 行第j 列的数为aij ( i≥j ， i ， j ∈N*)． (1) 求a83；(2) 试写出a ij 关于i ， j 的表达式； (3) 记第n 行的和为An ，求.21nn n n n a a a A +++=解析 （1）由题知{}1n a 成等差数列，且21,412111==a a ，所以公差811,24d a ==。

又{}3na 成等比数列，且83,433231==a a ．又公比都相等，∴每行的公比是21=q ．∴21)21(2283=⨯=a ．（2）由（1）知，441)1(411i i a i =⋅-+=，∴1111)21()21(4)21(---=⋅=⋅=j j j i ij i i a a ．（3）])21()21(211[121-++++=n n n a A 11)21(2])21(2[4---=-=n n n n n ．【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．【文】在等比数列{a n}中，前n 项和为Sn ，若Sm ，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am ， am+2， am+1成等差数列（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明解析（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n 项和为Sn ，若am ， am+2， am+1成等差数列，则 Sm ，Sm+2，Sm+1成等差数列（２）设{an}的首项为a1，公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1∴2a1qm+1=a11-m q +a1qm ∵a1≠0 q≠0 ，∴2q2－q －1=0 ， ∴q=1或q=－21当q=1时，∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2， ∴Sm ，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=－21时，2212112[1()]4122113212m m m a S a +++--⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，12111111[1()][1()]4122111321122m m m m m a a S S a +++----⎡⎤⎛⎫+=+=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， ∴Sm ，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真 【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．【变式】等差数列{}n a 的前n 项和为1312932n S a S =+=+，，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项na 与前n 项和nS ；（Ⅱ）设()nn S b n n *=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：（Ⅰ）由已知得112133932a a d ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩，，2d ∴=， 故212(2)n n a n S n n =-+=+，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得2nn S b n n ==+．假设数列{}n b 中存在三项p q rb b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2(2)(2)(2)q p r +=++．2()(2)20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，．与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．【范例3】若有穷数列12,...na a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S-取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S 解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，∴数列{}n b 为25811852，，，，，，． （2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c Skk k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S取得最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是： ①22122122222221m m m --- ，，，，，，，，，，； ②2211221222222221m m m m ---- ，，，，，，，，，，，；③122221222212222m m m m ---- ，，，，，，，，，，； ④1222212222112222m m m m ---- ，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ．当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S2009212212---+-=m m m1222200921--+=--m m m ．对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ．当15002m <≤时，20S 12220821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，200200822--=m m S ；当15002007m <≤时，200S 3222009-+=-m m ．对于④，当2008m ≥时，200200822--=m m S；当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-m m ．【点睛】在看懂题目意思基础上，注意各种情况的讨论，考察观察，分析，运用能力 【文】如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件ma a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”．例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649cc c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100dd d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ，∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++=()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861． （3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列．当50n ≤时，n n d d d S +++= 21n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+= ．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150(50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯ 75002299232+-=n n ．综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．。